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6 角平分线
第十一章 三角形的证明及其应用
学习目标
1.要求大家掌握角平分线的性质定理和逆定理，会用这两个定理解决一些简单问题.
2.理解角平分线的性质定理和逆定理的证明.
3.进一步发展大家的推理证明意识和能力.
1.什么叫角平分线？
如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线叫角的平分线.
2.还记得角平分线上的点有什么性质吗 你是怎样得到的
角平分线上的点到角两边的距离相等.
角平分线的性质
在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗
改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗
结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
对此你能得出什么结论？动手证一证.
C
A
O
B
C
D
E
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
C
B
1
A
2
P
D
E
O
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等).
∵OC 是∠AOB 的平分线，
∴∠1 =∠2.
∵OP = OP，
1.定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2.书写格式：
如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥ OA于点D，
PE⊥OB于点E,
∴PD＝PE.
3 定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
典例精析
例1.如图，OP 平分∠AOB，PC ⊥ OA，PD ⊥ OB，垂足分别是 C，D. 下列结论中错误的是（ ）
A. PC = PD B. OC = OD
C.∠CPO =∠DPO D. OC = PO
D
议一议
你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．简写
这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．
到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上
已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE.
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
∴ OP 平分∠AOB.
∵PD = PE ，OP = OP ，
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).
∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等).
B
A
D
O
P
E
C
1
2
定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
书写格式：如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)
典例精析
例2.如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE=DF，求 DE 的长.
A
B
C
D
E
F
解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF，
∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上).
又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD= 30°.
在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10，
A
B
C
D
E
F
∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半) .
图形
已知 条件
结论
P
C
P
C
OP 平分∠AOB
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
PD = PE
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于 D
PE⊥OB 于 E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
典例精析
例3.如图，OD平分∠ EOF，在 OE，OF 上分别取点A，B，使 OA=OB，P为OD上一点，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M，N.
求证： PM=PN.
证明：∵ OD平分∠ EOF，∴∠ BOD=∠ AOD.
在△ BOD和△ AOD中，
∴△ BOD ≌△ AOD(SAS).
∴∠ BDO= ∠ ADO，即 DO 平分∠ BDA.
又∵ P 为 DO 上一点，且 PM⊥BD， PN ⊥ AD，
∴ PM=PN.
随堂练习
1.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是 E，F，DE = DF，∠EDB = 60°，则∠EBF = °，BE = .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
2.如图，点 P 是∠ AOB 的平分线OC 上一点， PD ⊥ OB，垂足为 D. 若 PD=2，则点 P 到边 OA 的距离是( )
A. 1 B. 2
C. D. 4
B
3. 如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， BD = CD， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC.
证明：∵AD 是角平分线，
DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF.
又∵BD = CD，
∴Rt△DEB ≌ Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.
课堂总结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上

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