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6 角平分线
第十一章 三角形的证明及其应用
学习目标
1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点）
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．(难点）
角平分线的性质与判定的内容是什么？
定理　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
定理　在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
结论：三角形的三条角平分线相交于一点.
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么？
结论：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明以上两个结论吗？
角平分线的性质
例1.求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
A
B
C
P
E
F
M
D
N
已知：如图，在△ABC 中，角平分线 BM 与角平分线 CN 相交于点 P，过点 P 分别作 AB，BC，AC 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
求证：∠A 的平分线经过点 P，且 PD=PE=PF.
∴点 P 在∠A 的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
即∠A 的平分线经过点 P.
证明：BM 是 △ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上，且 PD⊥AB，PE⊥BC，垂足为 D，E，
∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
A
B
C
P
E
F
M
D
N
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
典例精析
例2.如图，在△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
（1）已知 CD = 4 cm，求 AC 的长；
（2）求证：AB = AC + CD.
A
C
B
E
D
∵AC = BC，∴∠B = ∠BAC（等边对等角）.
∵∠C = 90°，∴∠B = ×90°=45°.
∴∠BDE=90°– 45°= 45°
∴BE = DE（等角对等边）.
1
2
在等腰直角三角形 BDE 中，
cm（勾股定理），
∴AC = BC = CD + BD =（4+ ）cm.
（1）解：∵AD 是△ABC 的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为 E，
∴DE = CD = 4 cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
A
C
B
E
D
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD ≌ Rt△AED（HL）
∴AC = AE（全等三角形的对应边相等）.
∵BE = DE = CD，
∴AB = AE + BE = AC + CD.
A
C
B
E
D
典例精析
例2.如图，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E.
(1) 如果 CD = 4 cm，求 AC 的长；
E
D
A
B
C
解：∵ AD 是△ABC 的角平分线，
DE⊥AB，垂足为 E，
∴ DE = CD = 4 cm.
∵ AC = BC，∴∠B =∠BAC.
∵∠C = 90°，∴∠B = 45°. ∴ BE = DE.
在等腰 Rt△BDE 中，
(2) 求证：AB＝AC＋CD.
证明：由 (1) 的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
E
D
A
B
C
典例精析
例3.已知：如图，P 是∠AOB 平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为 C，D.
求证：（1）OC = OD；
（2）OP 是 CD 的垂直平分线.
O
C
D
B
P
A
证明：（1）P 是∠AOB 角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC = PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
在 Rt△OPC 和 Rt△OPD 中，
OP = OP，PC = PD，
∴Rt△OPC≌ Rt△OPD（HL）.
∴OC = OD（全等三角形对应边相等）.
O
C
D
B
P
A
（2）∵ OP 是∠AOB 的角平分线，OC=OD，
∴OP 是 CD 的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.
O
C
D
B
P
A
随堂练习
1.如图，已知 △ABC，求作一点 P，使 P 到∠A 的两边的距离相等，且 PA＝PB．下列确定 P 点的方法正确的是 ( )
A. P 为∠A，∠B 两角平分线的交点
B. P 为∠A 的平分线与 AB 的垂直平分线的交点
C. P 为 AC，AB 两边上的高的交点
D. P 为 AC，AB 两边的垂直平分线的交点
B
2.已知： OE 平分∠AOB，P 为 OE 上一点，PC⊥OA 于 C，且 PC = 5，则 P 点到 OB 的距离为_____.
5
A
O
E
B
P
C
3.如图，在△ ABC 中，点 O 是∠ ABC，∠ ACB的平分线的交点， AB+BC+AC=20. 过 O 作 OD ⊥ BC 于点 D，且 OD=3，求△ ABC 的面积 .
解：如图，过点O作 OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点 F，连接 OA.
∵点 O 是∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的平分线的交点，
∴ OE=OF=OD=3.
∴ S △ ABC=S △ ABO+S △ BCO+S △ ACO
=AB·OE+ BC·OD+ AC·OF
=× 3×(AB+BC+AC) =×3×20=30.
课堂总结
　　三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．

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