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(共20张PPT)
1 三角形内角和定理
（第1课时）
第十一章 三角形的证明及其应用
学习目标
1.理解三角形内角和定理的证明过程。
2.初步掌握添加辅助线证明命题的方法。
3.会用三角形内角和定理解决与三角形有关的问题。
4.知道“直角三角形的两锐角互余”“有两个角互余的三角形是直角三角形”“四边形的内角和是360°”可以作为继续推理的依据。
新课导入
我们知道，三角形三个内角的和等于180°。你还记得这个结论的探索过程吗？
小学我们把三角形的三个角撕下来，正好拼成一个平角。
这种方法不严谨！
合作探究
A
B
C
（1）如图，初中我们把∠A撕下后移到了∠1的位置，推出b与a平行，通过以C为顶点的三个角的和是180°探索出这个结论的。
a
b
如果不撕下∠A，那么你能通过作图的方法达到移动∠A的效果吗？
合作探究
A
B
C
我们可以以点C为顶点，以CA为一边在三角形外部作∠1=∠A，再作BC的的延长线，得到平角∠BCD。
E
1
D
（2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流。
合作探究
A
B
C
证明：作BC的的延长线CD，
在 ABC的外部，以CA为一边作∠ACE=∠A
于是CE∥BA（内错角相等，两直线平行）
∴∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）
E
1
D
已知：如图， ABC是任意一个三角形
求证：∠A+∠B+∠C=180°。
2
这里的CD，CE称为辅助线。辅助线通常画成虚线
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°。
合作探究
议一议 在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到顶点A处，他过点A作直线PQ∥BC（如图）。他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？
A
B
C
P
Q
证明：如图，过点A作PQ∥BC
于是∠PAB=∠B，
∠QAC=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵∠BAC+∠PAB+∠QAC=180°（平角的定义）
∴∠BAC+∠B+∠C=180°（等量代换）
你还能用其他方法证明三角形内角和是180°吗？与同伴进行交流
A
B
C
Q
合作探究
证明：如图，过点A作AQ∥BC
于是∠QAC=∠C，（两直线平行，内错角相等）
∠QAB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠QAB=∠BAC+∠QAC
∴∠BAC+∠QAC+∠B=180°
∴∠BAC+∠B+∠C=180°
经典例题
例1 如图，在 ABC中，已知∠ABC=38°，∠ACB=62°，AD平分∠BAC。求∠ADB的度数。
解：在 ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°
∵∠B=38°，∠C=62°
∴∠BAC=80°
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=40°。
在 ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°
∵∠B=38°，∠BAD=40°
∴∠ADB=102°
A
B
C
D
在 ABC和 ADB中分别用三角形内角和定理
学以致用
B
A
C
1.证明：直角三角形的两个锐角互余。
已知：如图 ABC中，∠B=90°
求证：∠A+∠C=90°
证明：在 ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∵∠B=90°
∴∠A+∠C=90°
可以作为继续推理的依据
学以致用
B
A
C
2.证明：有两个角互余的三角形是直角三角形。
已知：如图 ABC中，∠A+∠C=90°
求证： ABC是直角三角形
证明：在 ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∵∠A+∠C=90°
∴∠B=90°
∴ ABC是直角三角形
可以作为继续推理的依据
3.已知：如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D
求证：∠A=∠DCB
证明：∵∠ACB=90°
∴ ABC是直角三角形
∴∠A与∠B互余
∵CD⊥AB
∴ CDB是直角三角形
∴∠DCB与∠B互余
∴∠A=∠DCB（同角的余角相等）
学以致用
A
D
B
C
综合运用
已知：如图，在 ABC中，DE∥BC，∠A=60°，∠C=70°
求证：∠ADE=50°
证明：在 ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∵∠A=60°，∠C=70°
∴∠B=50°
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B=50°（两直线平行，同位角相等）
A
B
C
D
E
已知：如图，四边形ABC是任意一个四边形
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°
本题实际上证明了如下结论：四边形的内角和等于360°
证明：连接AC
在 ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB=180°
在 ADC中，∠CAD+∠D+∠ACD=180°
∴∠BAD+∠B+∠BCD+∠D
=∠BAC+∠CAD+∠B+∠ACB+∠ACD+∠D
=（∠BAC+∠B+∠ACB）+（∠CAD+∠D+∠ACD）
=360°
能力提升
B
C
D
A
可以作为继续推理的依据
在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P处（如图（1））？如果把三个角“凑”到三角形内的一点P处呢？（如图（2））？如果“凑”到三角形外的一点P处呢（如图（3））？你还能想出其他证法吗？
拓展应用
在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P处（如图（1））？如果把三个角“凑”到三角形内的一点P处呢？（如图（2））？如果“凑”到三角形外的一点P处呢（如图（3））？你还能想出其他证法吗？
拓展应用
证明：如图（1），过点P作PQ∥AC，PR∥AB，
∵PQ∥AC
∴∠A=∠BQP，∠C=∠QPB，（两直线平行，同位角相等）
∵PR∥AB
∴∠B=∠RPC（两直线平行，同位角相等）
∠BQP=∠QPR（两直线平行，内错角相等）
∵∠QPR+∠RPC+∠QPB=180°（平角的定义）
∴∠A+∠B+∠C=180°
同样的方法可以证明图（2），图（3）
归纳：借助平行线的“移角”的功能，将三角形的三个内角转化成一个平角
课堂小结
三角形三个内角的和等于180°
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
四边形的内角和等于360°
本节课你学习了哪些可以作为继续推理的依据？
当堂检测
1.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝90°，则∠A的度数为(　　)
A．30°　　B．40°　 C．50° 　D．60°
C
2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A = 150°，∠B= ∠D=40°.求∠C的度数.
解：在四边形ABCD中
∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=360°
∵∠BAD=150°，∠B=∠D=40°
∴∠C＝130°.
当堂检测
3.求出下列各图中的x值．
x=70
x=30
当堂检测
4.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行），∴∠CED=∠B=78°（两直线平行，同位角相等）．
在 DEC中，∠EDC+∠DEC+∠C=180°
∵∠C=60°，
∴∠EDC=42°．

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