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第十一章 三角形的证明及其应用
3 等腰三角形
学习目标
1.回顾全等三角形的判定和性质;
2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论；(重点)
3.能运用等腰三角形的性质及其推论解决基本的几何问题.（难点）
我们已经学了哪些判定三角形全等的方法？
边边边（SSS）：
三边对应相等的两个三角形全等.
边角边（SAS）：
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.
两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.
角边角（ASA）：
问题：图中有些你熟悉的图形吗 它们有什么共同特点
斜拉桥梁
埃及金字塔
体育观看台架
我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗？
问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？
已知：如图，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求证：△ABC≌△DEF.
A
B
C
D
E
F
定理　两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
总结归纳
证明：
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180°（三角形内角和等于180°）.
∴∠C = 180°－（∠A +∠B），
∠F = 180°－（∠D +∠E），
∵∠A =∠D，∠B =∠E（已知） .
∴∠C =∠F（等量代换）.
∵BC = EF（已知）.
∴△ABC ≌ △DEF（ASA）.
A
B
C
D
E
F
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗
推论：等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线， 底边上的高互相重合(三线合一).
问题2：你能利用基本事实或已知的定理证明这些结论吗
定理：等腰三角形的两个底角相等.
已知： 如图，在 △ABC 中，AB = AC.
求证： ∠B = ∠C.
A
B
C
D
证明：如图，取 BC 的中点 D，连接 AD.
∵AB = AC，BD = CD，AD = AD，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC.
求证：∠B =∠C.
A
B
C
D
证明：
作顶角的平分线 AD，则∠BAD =∠CAD.
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
想一想：由△BAD≌△CAD，图中线段 AD 还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？
由△BAD≌△CAD，
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，∠BAD =∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底边 BC 上的中线、顶角∠BAC 的平分线、底边 BC 上的高线.
A
B
C
D
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
A
C
B
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
证明后的结论,以后可以直接运用.
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
典例精析
例1.(1)在△ABC中，AB＝AC，若∠A＝50°，求∠B；
(2)若等腰三角形的一个角为70°，求顶角的度数；
(3)若等腰三角形的一个角为90°，求顶角的度数．
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，
∴50°＋2∠B＝180°，解得∠B＝65°.
(2)由题意可知，70°的角可以为顶角或底角，当底角为70°时，顶角为180°－70°×2＝40°.因此顶角为40°或70°.
(3)若顶角为90°，底角为 若底角为90°，则三个内角的和大于180°，不符合三角形内角和定理．因此顶角为90°.
典例精析
例2.已知点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，AB＝AC.
(1) 如图①，若 AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2) 如图②，若 BD＝CE，F 为 DE 的中点，求证：AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
E
C
A
B
D
E
C
F
证明：(1) 如图①，过 A 作 AG⊥BC 于 G.
图①
A
B
D
G
E
C
图②
A
B
D
E
C
F
∴ AF⊥BC.
∵ AB＝AC，
∴ BF＝CF.
∴ BD＋DF＝CE＋EF.
(2) ∵ BD＝CE，F 为 DE 的中点，
∴ BD＝CE.
∴ BG－DG＝CG－EG.
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
想一想，不构造辅助线可以结论吗？
随堂练习
1.已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，第三条边的长是（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
B
2.如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)
A．AB＝DE B．AC＝DF
C．∠A＝∠D D．BF＝EC
C
3.△ABC 中，AB ＝ AC，D 是 BC 边上的中点，DF⊥AC 于 F，DE ⊥ AB 于 E .
求证：DE＝ DF.
A
B
C
D
E
F
证明：连接 AD，
∵AB＝ AC，BD＝ DC（已知）
∴AD 是∠BAC 的平分线.
（等腰三角形三线合一）
又∵DE⊥AB DF⊥AC，
∴DE＝ DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）.
A
B
C
D
E
F
课堂总结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.

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