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(共13张PPT)
第十一章 三角形的证明及其应用
3 等腰三角形
学习目标
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的质;(重点)
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题.(重点、难点)
在前面我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明了等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
等腰三角形中相等的线段
证明：∵ AB = AC，∴∠ABC =∠ACB (等边对等角).
∠2 = ∠ACB (已知)，
又∵∠1 = ∠ABC，
∴∠1 =∠2 (等式性质)．
∵∠DCB =∠ EBC ，BC = CB，∠1 =∠2
∴△BDC≌△CEB (ASA)．
∴BD = CE (全等三角形的对应边相等)．
A
C
B
E
1
2
D
证明：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD 和 CE 是角平分线．
求证：BD = CE.
在 △BDC 与 △CEB 中，
你还能用其他方法证明吗？
证明：∵AB = AC，∴∠ABC =∠ACB.
∵∠3= ∠ABC，∠4= ∠ACB， ∴∠3=∠4.
在△ABD 和△ACE 中，
∵∠3 =∠4，AB = AC，∠A =∠A，
∴△ABD ≌△ACE（ASA）.
∴BD = CE（全等三角形的对应边相等）.
1
2
1
2
议一议
证明：等腰三角形两腰上的中线相等．
BM = CN．
求证：
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BM，CN 两腰上的中线．
又∵ CM = AC，BN =　AB，
证明：
∵ AB = AC (已知)，∴∠ABC =∠ACB.
在△BMC 与△CNB 中，
∵ BC = CB，∠MCB =∠NBC，CM = BN，
∴△BMC≌△CNB (SAS)．
∴ BM = CN.
A
C
B
M
N
∴ CM = BN.
证明：等腰三角形两腰上的高相等．
BP = CQ．
求证：
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高．
证明：
∵ AB = AC (已知)，∴∠QBC =∠PCB.
在△BQC 与△CPB 中，
∵∠BQC =∠CPB，∠QBC =∠PCB，BC = CB，
∴△BQC≌△CPB (AAS).
∴ BP = CQ.
A
C
B
P
Q
还有其他的结论吗
典例精析
例1.已知：如图，AB=DC,BD=CA,
求证：△AED是等腰三角形。
A
B
C
D
E
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS)
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）
∴AE=DE(等角对等边）
∴ △AED是等腰三角形。
典例精析
B
C
D
A
E
例2.如图，等边三角形 ABC 中，BD 是 AC 边上的中线，BD = BE，求∠EDA 的度数.
解：
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 边上的中线，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
随堂练习
1.等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ ）
A. 3条 B. 6条 C. 9条 D. 7条
A
A
C
B
D
E
2.如图，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，若△ABC的周长为 18 cm，EC = 2 cm，则△ADE 的周长是 cm.
12
3.已知：如图，D，E 分别是等边三角形 ABC 的两边 AB，AC 上的两点，且 AD = CE. 求证：CD = BE.
A
B
C
D
E
证明：∵△ABC 是等边三角形，
∴AB = AC.
在△ADC 和△CEB 中，
AC = CB，∠A =∠BCE，AD = CE，
∴△ADC ≌ △CEB，
∴CD = BE.
课堂总结
等腰三角形两底角上的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等；两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.

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