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(共17张PPT)
第十一章 三角形的证明及其应用
3 等腰三角形
学习目标
1.掌握等边三角形的判定定理，并能加以运用.
2.掌握“30°的角所对的直角边等于斜边的一半”这一定理，并能运用定理解决问题.
3.进一步丰富探索几何图形性质的经验，提升几何推理证明的能力.
1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？
2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？
等腰三角形中相等的线段
一个三角形满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？请证明自己的结论，并与同伴交流.
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
证明：若 AB ＝AC，∠A ＝60°，
则∠B = ∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB＝AC＝BC
（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.
A
B
C
证明：②若AB＝AC，∠B＝∠C = 60°，
则∠A = 180°– ∠B –∠C = 60°，
∴∠A =∠B =∠C = 60°，
∴AB＝AC＝BC
∴△ABC 是等边三角形.
A
B
C
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
做一做
用两个含30°角的全等的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？
已知：如图，△ABC 是直角三角形，∠C = 90°，∠A = 30°. 求证：BC = AB.
1
2
A
B
C
证明：如图，延长 BC 至 D，使 CD = BC，连接 AD.
∵∠ACB = 90°，∴∠BAC=30°，
∴∠ACD = 90°，∠B=60°.
∵AC = AC，∴△ABC ≌ △ADC（SAS）.
∴AB = AD（全等三角形的对应边相等）.
∴△ABD 是等边三角形（有一个角等
于60°的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC = BD = AB.
A
B
C
D
1
2
1
2
几何语言：在△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)
A
B
C
30°
定理：在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
典例精析
例1.求证：如果等腰三角形的底角为15°，那么腰上的高是腰长的一半.
已知：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝15°，CD 是腰 AB 上的高，求证：CD ＝ AB.
C
B
A
D
证明：在△ABC 中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°(等边对等角).
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝15°+ 15°＝30°.
∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果有一个锐角等于 30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∵ CD 是腰 AB 上的高，
∴∠ADC＝90°.
∴ CD＝ AB.
随堂练习
1.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是(　　)
A．有一个内角是60° B．有一个外角是120°
C．有两个角相等 D．腰与底边相等
C
2.如图，折叠直角三角形纸片，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处，已知 BC = 12，∠B = 30°，∠C = 90°，则 DE 的长是____.
4
A
E
B
D
C
3.已知：如图，AB=BC，∠CDE = 120°，DF∥BA，且 DF平分∠CDE.
求证：△ABC 是等边三角形.
证明：
∵ AB＝BC，
∴△ABC 是等边三角形.
又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE，
∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°.
∴△ABC 是等腰三角形，
∴∠EDF＝∠FDC＝60°.
又∵ DF∥ BA，
课堂总结
定理 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

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