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(共18张PPT)
主讲：
1 三角形内角和定理
（第3课时）
第十一章 三角形的证明及其应用
学习目标
1.理解五角星形五个顶角的和等于180°的证明方法。
2.能灵活运用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解决问题。
新课导入
漂亮的五角星形
你知道这些漂亮的五角星形的五个顶角的度数的和是多少吗？
讲授新课
已知：如图，五角星形的顶角分别是∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，
求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
B
A
C
D
E
F
G
分析：能否把五个角凑到一个三角形中？
利用∠AFG是△FCE的外角，可以把∠C和∠E凑到△AFG中
利用∠AGF是△BDG的外角，可以把∠B和∠D凑到△AFG中
讲授新课
已知：如图，五角星形的顶角分别是∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，
求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
B
A
C
D
E
F
G
证明：∵∠AFG是△FCE的一个外角（外角的定义）
∴∠AFG=∠C+∠E（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
同理，∠FGA=∠B+∠D
∵在△AFG中，∠A+∠AFG+∠FGA=180°（三角形内角和定理）∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°（等量代换）
由此可知，五角星形五个顶角的和等于180°。
讲授新课
已知：如图，五角星形的顶角分别是∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，
求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
B
A
C
D
E
F
G
议一议
在证明五角星形五个顶角的和等于180°时，小明想通过连接CD，把五个角“凑”到△ACD内。他的想法可行吗？与同伴进行交流
可行，只需要把∠B和∠E凑到△ACD中
讲授新课
已知：如图，五角星形的顶角分别是∠A，∠B，∠C，∠D，∠E，
求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
B
A
C
D
E
F
证明：连接CD
∵∠BFC是△BFE的一个外角（外角的定义）
∴∠BFC=∠B+∠E（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
同理，∠BFC=∠FCD+∠FDC
∴∠B+∠E=∠FCD+∠FDC
∵在△ACD中，∠A+∠ACE+∠FCD+∠FDC+∠ADB=180°
（三角形内角和定理）∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+∠ADB=180°（等量代换）
由此可知，五角星形五个顶角的和等于180°。
方法2
变式训练
1.如图，将点B向右移动到AC边上时，上面的结论还成立吗？
B
A
C
D
E
解：成立。仍然有∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E=180°
∵∠CBD是△ABD的一个外角（外角的定义）
∴∠CBD=∠A+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
同理，∠ABE=∠C+∠E
∵∠ABE+∠DBE+∠CBD=180°（平角的定义）∴∠C+∠E+∠DBE+∠A+∠D=180°（等量代换）
由此可知，结论仍成立
变式训练
2.如图，将点B向右移动到∠CAD内部时，上面的结论还成立吗？
B
A
C
D
E
F
解：成立。仍然有∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°
∵∠EFG是△BFD的一个外角（外角的定义）
∴∠EFG=∠B+∠D（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
同理，∠FGE=∠A+∠C
∵在 EFG中∠EFG+∠FGE+∠E=180°（三角形内角和定理）
∴∠B+∠D+∠A+∠C+∠E=180°（等量代换）
由此可知，结论仍成立
G
经典例题
1
A
B
C
例4 已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到点D，连接DE
求证：∠1＞∠2
2
3
4
5
F
D
E
证明：∵∠1是△ABC的一个外角（已知）
∴∠1＞∠3（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠3是△CDE的一个外角（外角的定义）
∴∠3＞∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1＞∠2
1如图，下列哪几种说法一定正确？
（1）∠B＞∠ACD
（2）∠B+∠ACD=180°-∠A
（3）∠B+∠ACB＜180°
（4）∠HEC＞∠B
随堂练习
A
B
C
E
D
H
2 已知：如图，在△ABC中，∠DAC=∠B，
求证：∠ADC=∠BAC
随堂练习
A
B
C
D
证明：∵∠ADC是△ABD的一个外角
∴∠ADC=∠B+∠BAD（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC
∠DAC=∠B
∴∠ADC=∠BAC
拓广提升
如图，求证：（1）∠BDC＞∠A
（1）∠BDC=∠B+∠C+∠A
证明：（1）延长CD交AB于点E
∵∠BDC是△BDE的一个外角，
∴∠BDC＞∠BED（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠BED是△AEC的一个外角，
∴∠BED＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠BDC＞∠A
A
B
C
D
E
拓广提升
如图，求证：（1）∠BDC＞∠A
（1）∠BDC=∠B+∠C+∠A
证明：（2）延长CD交AB于点E
∵∠BDC是△BDE的一个外角，
∴∠BDC=∠B+∠BED（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∵∠BED是△AEC的一个外角，
∴∠BED=∠A+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠B+∠C+∠A
A
B
C
D
E
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
拓广提升
结论：如图，∠BDC+∠B+∠C+∠A=360°
A
B
C
D
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
课堂小结
本节课你用到了哪些知识？
三角形的内角和是180°
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
当堂测试
B
C
A
1.已知：如图，AB∥CD
求证：∠CAB=∠CED+∠CDE
E
D
证明：∵AB∥CD
∴∠CAB=180°-∠C（两直线平行，同旁内角互补）
在△CDE中
∠CED+∠CDE=180°-∠C（三角形的内角和定理）
∴∠CAB=∠CED+∠CDE
当堂测试
C
A
B
2.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠A=50°，求∠BFC的大小
F
解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠FBC=∠ABC，∠FCB=∠ACB
在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A（三角形的内角和定理）
在△FBC中
∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）
= 180°-（∠ABC+ ∠ACB）
=180°- （180°-∠A）
=90°+ ∠A=115°

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