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4 直角三角形
第十一章 三角形的证明及其应用
学习目标
能够证明直角三角形的性质定理和判定定理，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性.
直角三角形的两个锐角互余.
这节课我们一起来证明直角三角形的判定与性质.
问题：前面我们探究过直角三角形的哪些性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
直角三角形
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
我们曾经利用数方格和割补图形的方法得到了勾股定理.
证法1 毕达哥拉斯证法
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
∴ a2 +b2 = c2.
证明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
c
∵ c 2 = 4× ab + ( b - a ) 2
c 2 = 2ab + b 2 - 2ab + a 2 ，
c 2 = a 2 + b 2，
∴ a 2 + b 2 = c 2.
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为　　 　　 ．
c 2
4× ab+( b-a ) 2
证法2 赵爽弦图
c
a
c
a
c
b
a
a
b
b
b
反过来，在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的办法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗？
已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2.
求证：△ABC 是直角三角形.
A
B
C
证明：如图，作 Rt△A'B'C'，
A'
B'
C'
使∠A' = 90°，A'B' = AB，A'C' = AC，
则 A'B'2 + A'C'2 = B'C'2（勾股定理）
∵AB2 + AC2 = BC2，
∴BC2 = B'C'2.
∴BC = B'C'.
∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
∴∠A =∠A' = 90°
（全等三角形的对应角相等）.
因此，△ABC 是直角三角形.
A
B
C
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．(定理3)
定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．(定理4)
上面两个定理的条件和结论有什么关系？
议一议
观察上面三组命题，你发现了什么
如果两个角是对顶角，那么它们相等；
如果两个角相等，那么它们是对顶角.
说出下列命题的条件和结论：
如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧；
如果小明发烧，那么他一定患了肺炎.
一个三角形中相等的边所对的角相等；
一个三角形中相等的角所对的边相等.
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题.
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.
你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗 它们都是真命题吗
逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.
举特例：
原命题3= 3，32 = 32；
逆命题：(3)2 = (-3)2，3 ≠ -3
此原命题是真命题；逆命题是假命题.
想一想
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
典例精析
A
例1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　)
随堂练习
1.下列说法正确的是(　　)
A．每个定理都有逆定理
B．每个命题都有逆命题
C．原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
D．真命题的逆命题是真命题
B
2.如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，现将 △ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为 ( )
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 10 cm
B
解：由题意得：(a + b)(a – b)(a2 + b2 – c2) = 0，∴ a – b = 0 或 a2 + b2 – c2 = 0.
3.已知 a、b、c 是△ABC 的三边长，且满足
，试判断△ABC 的形状.
当 a = b 时，△ABC 为等腰三角形；
当 a ≠ b 时，△ABC 为直角三角形.
课堂总结
1.定理 有两个角互余的三角形是直角三角形.
2.勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
3.定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.

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