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(共20张PPT)
主讲：
1 三角形内角和定理
（第2课时）
第十一章 三角形的证明及其应用
学习目标
1.理解三角形的外角的定义。
2.掌握“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”和“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”。
3.能灵活运用三角形的外角解决问题。
新课导入
如图，小红沿三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度，那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
在第一个拐弯处转的角度
1
此处涉及到三角形的外角。
讲授新课
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角
1
A
B
C
∠1是△ABC的一个外角
你能在图中画出△ABC的其他外角吗？
讲授新课
1
A
B
C
如图：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6都是三角形ABC的外角
2
3
4
5
6
你还能发现什么？
△ABC同一个顶点处的两个外角互为对顶角。
合作探究
∠1与图中的其他角有什么关系？能证明你的结论吗？与同伴进行交流
1
A
B
C
学生活动：以组为单位进行讨论，时间3分钟。
合作探究
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和。
定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角
求证：∠1=∠B+∠C，∠1＞∠B，∠1＞∠C
证明：在△ABC中，∠CAB+∠B+∠C=180°
于是∠B+∠C=180°-∠CAB
∵∠1=180°-∠CAB
∴∠1=∠B+∠C
∴∠1＞∠B，∠1＞∠C
1
A
B
C
上面这两个定理是由三角形内角和定理直接推导出来的。像这样，由一个基本事实或定理直接推出的真命题，叫做这个基本事实或定理的推论。推论可以当作定理使用。
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD∥BC
经典例题
A
B
C
E
D
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知）
∴∠C=∠EAC（等式的基本性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
你还有其他证明方法吗？
分析：要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”，或“内错角相等”，或“同旁内角互补”。
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。
求证：AD∥BC
经典例题
A
B
C
E
D
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），∠B=∠C（已知）
∴∠B=∠EAC（等式的基本性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠EAD=∠EAC（角平分线的定义）
∴∠B=∠EAD（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
方法2
经典例题
例3 已知：如图，∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角。
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
证明：∵∠BAF是△ABC的三个外角（已知），
∴∠BAF=∠2+∠3（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
同理 ∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2（∠1+∠2+∠3）（等式的基本性质）
∵∠1+∠2+∠3=180°（三角形内角和定理）
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°
（等量代换）
1
A
B
C
2
3
F
D
E
归纳：在三角形的每个顶点处各取一个外角，则这些外角的和是360°
问题解决
如图，小红沿三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度，那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
在第一个拐弯处转的角度
1
2
3
在第二个拐弯处转的角度
在第三个拐弯处转的角度
在拐弯的地方转的角都是三角形的外角，由例3可知一共转了360度
1. 求下列各图中∠1的度数。
35°
120°
2
45°
50°
1
∠2=
∠1=
85
95
随堂练习
2.如图，在△ABC中，∠A=45°，外角∠ACD=100°。求∠B和∠ACB的大小。
随堂练习
解：∵∠ACB+∠ACD=180°
∴∠ACB=180°-∠ACD=80°
∵∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠B=∠ACD-∠A=55°
A
B
C
D
1.如图，在△ABC中，∠A=2∠B，外角∠ACD=150°。求∠B的大小。
能力提升
解：∵∠ACD=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠A=2∠B
∴∠ACD=3∠B
∵∠ACD=150°
∴∠B=50°
A
C
B
D
2.如图，已知点D，E分别在AC，AB上，如果∠B=∠C，那么除对顶角相等外，图中还有哪些角分别相等？证明你的结论。
能力提升
解：∠BEC=∠CDB，∠AEC=∠ADB
∵∠BEC是△AEC的一个外角
∴∠BEC=∠A+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
同理∠CDB=∠A+∠B
∵∠A=∠B
∴∠BEC=∠CDB
∴180°-∠BEC=180°-∠CDB
即∠AEC=∠ADB
A
B
C
D
E
3.如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数.
能力提升
解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEC，
∵ ∠ABD=28°， ∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°
F
A
C
D
E
B
如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
拓展提升
解：延长BP交AC于点E，
∵∠BPC是△PCE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠ACP，
∴∠PEC＝∠BPC－∠ACP
＝150°－30°＝120°.
∵∠PEC是△ABE的外角，
∴∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠A＝∠PEC－∠ABE
＝120°－20°＝100°.
E
可添加辅助线构造三角形的外角
课堂小结
本节课你学习了哪些知识？
三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为三角形的外角
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和。
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
当堂测试
B
C
A
1.如图，填空：
（1）∠ADE=∠B+∠ ；
∠ADB=∠C+∠ =∠AED+∠ 。
（2）用“＞”或“＜”填空：
∠AEC ∠ADE；
∠AEC ∠B
E
D
DAB
CAD
EAD
＞
＞
当堂测试
C
A
B
2.如图，在△ABC中，∠B=40°，AE是∠BAC的平分线，外角∠ACD=110°。求∠AEC的度数
E
D
解：∵∠ACD=∠B+∠BAC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BAC=∠ACD-∠B=70°
∵AE是∠BAC的平分线
∴∠EAB=∠BAC=35°
∴∠AEC=∠B+∠EAB=75°

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