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高一数学练习 参考答案
一、选择题: 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A C D A B D C
二、选择题: 本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
题 号 9 10 11
答 案 AD BD BCD
高一数学 答案 第1页 共 4 页
{#{QQABIQaxwwIQ0pQACa6bEQFMCAmYsICRLKgugRAcqAYLiQFABAA=}#}
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
1
12. 13. 2 1 14. 32
2
.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)

解：（1）由a = (cos ,sin )，b = (0,2) ，故向量 a =1 ， b = 2 --------2 分
π π
且a，b的夹角为 ，可得a b =1 2 cos =1 --------4 分
3 3

则 (a + 2b ) b = a b + 2b b =1+ 2 22 = 9 . --------6 分

（2）解：由 (a + b) ⊥ a，所以 (a + b) a = 0， --------8 分

(a + b) a = cos2又a +b = (cos ,sin + 2)，故 + sin2 + 2sin = 1+ 2sin = 0
1 5 1
sin = ，故cos + = sin = -------13 分
2 2 2
16.(本小题满分 15 分)
2
解：（1）若 f (x) 的最小正周期为 ，则 = ，解得 = 2， f (x) = cos2x，


令 2x 2k , 2k ， k Z，解得 x k ,k ， k Z，
2

所以 f (x) 的单调递增区间是 k ,k ， k Z； --------6 分
2
高一数学 答案 第2页 共 4 页
{#{QQABIQaxwwIQ0pQACa6bEQFMCAmYsICRLKgugRAcqAYLiQFABAA=}#}
x x
（2）当 = 2时， f (x) = cos 2x，所以 g(x) = f (x) 2 f ( ) f ( ) = cos 2x 2cos xcos(x )
2 2 4 2

= cos2x 2sin xcos x = cos2x sin 2x = 2 cos(2x + ) ， --------10 分
4
3 3
当 x , 0 时， 2x + , . 当 2x + = ，即 x = 时， g(x) 取得最小值 1;
2 4 4 4 4 4 2

当 2x + = 0，即 x = 时， g(x)取得最大值 2 ，
4 8

所以函数 y = g(x) 在区间 , 0 上的值域是 1, 2 ． --------15 分
2
17.(本小题满分 15 分)
解；（1）由在R上的函数 f (x) 的图象关于点 (1,1)中心对称，得 f (1 x) + f (1+ x) = 2，
则 f (0) + f (2) = 2， f (1) + f (1) = 2 ， f (1) =1.
1 3 3
当 x 2 时， f (x) = log x， f (2) = ， f (0) = 2 f (2) = ， f (0) = ， f (1) =1 .--------4 分 4
2 2 2
（2）若 g(x)为中心对称图形，则在定义域内有 g(m x) + g(m + x) = 2n恒成立．
g(m x) + g(m + x) = (m x)3 3(m x)2 + (m + x)3 3(m + x)2 = 2m3 + 6mx2 6m2 6x2 ，
根据中心对称定义有 2m3 + 6mx2 6m2 6x2 = 2n，
6m 6 = 0
整理得： (6m 6)x2 + (2m3 6m2 2n) = 0，则 ，解得m=1，n = 2， 3 2
2m 6m 2n = 0
g(x) = x3 3x2 是中心对称图形，且对称中心是 (1, 2) ． -------10 分
（3）由（2）知， g(1 x) + g(1+ x) = 4； g(1) = 2 ，
又 2cos2 1o + 2cos2 89o = 2(cos2 1o + sin2 1o ) = 2 ， 2cos2 2o + 2cos2 88o = 2(cos2 2o + sin2 2o ) = 2 ，…，
2cos2 44o + 2cos2 46o = 2(cos2 44o + sin2 44o ) = 2
故 g(2cos2 1o ) + g(2cos2 2o ) + g(2cos2 3o ) + g(2cos2 87o ) + g(2cos2 88o ) + g(2cos2 89o ) =
g(2cos2 1o ) + g(2cos2 89
o) + g(2cos
2 2o) + g(2cos2 88o) + + g(2cos
2 44o) + g(2cos2 46o ) + g(2cos
2 45o )
= 4 44+ ( 2) = 178． -------15 分
18.(本小题满分 17 分)
24
1(0 x 6)
解：（ ） 12 x1 f (x) = ，当 3 分钟时水中洗衣液的浓度为 2.5g / 升时，
15 x (6 x 15)
3
5 24 5
可得 af (x) = ，即 a( 1) = ，解得 a =1.5． -------4 分
2 12 3 2
144
6 (0 x 6) 144
（2）由题意可得 a = 6，则 6 f (x) = 12 x ，则当 0 x 6时，由 6 6 ，解得
12 x
30 2x (6 x 15)
x 0，即0 x 6，当6 x 15时，由30 2x 6 ，解得 x 12 ，即6 x 12，
综上所述，得0 x 12，即有效去污时间可达 12 分钟． -------10 分
（3）假设要使接下来的 6 分钟内持续有效去污，再投放 a个单位的洗衣液.
高一数学 答案 第3页 共 4 页
{#{QQABIQaxwwIQ0pQACa6bEQFMCAmYsICRLKgugRAcqAYLiQFABAA=}#}
1 24 24a
则当6 x 15时， y = 3 (5 x) + a( 1) = (18 x) + a 3 4 6a a 3，
3 12 (x 6) 18 x
当且仅当18 x = 2 6a时取到等号，因为1 a 6 ，所以6 x 15可取到，
所以 y有最小值 4 6a a 3，令 4 6a a 3 6 ，易知a = 3，符合此不等式。
即 9 分钟后再投放 3 个单位的洗衣液能使接下来的 6 分钟内持续有效去污. -------17 分
19.(本小题满分 17 分)
1
解：（1）函数 f (x) = x2在 1,1 上具有性质 P( ) ，理由如下：
2
若 x2
1 1 1 1 1 1
= (x + )2 ，则 x = ，因为 [ 1,1]，且 + = [ 1,1]， 0 0 0
2 4 4 4 2 4
1
所以函数 f (x) = x2在 1,1 上具有性质 P( ) ． -------4 分
2
（ ）由题意，因为函数 f (x) = cos2

2 x 上具有性质 P( ) ，所以 f (x0 ) = f (x0 + ) . 由于
4 4
1
f (x) = cos2 x = （cos2x +1) .即存在 x0 0, t ，使得 cos2x0 = cos2(x0 + ) = sin 2x0 ，
2 4
3 k 3 k 5
tan 2x0 = 1，得 2x0 = k + (k Z) ，又因为 x0 = + [0,t]且 x0 + = + [0,t]
4 2 8 4 2 8
5 5
所以 t ，即 t的取值范围是[ ,+ ) . -------10 分
8 8
（3）证明：设 g(x) = f (x) f (x +1) ， x 0,1 ，则有 g(0) = f (0) f (1)， g(1) = f (1) f (2)
由 f (0) = f (2)，得 g(0) + g(1) = 0 ，
① 当 g(0) ， g(1)有一个为 0 时， f (0) = f (1)或 f (1) = f (2)，则函数 y = f (x) 在区间 0,2 上具有
性质 P(1)．
②当 g(0) ， g(1)均不为 0 时，由于其和为 0，则 g(0) ， g(1)必然一正一负，即 g(0)g(1) 0 ，
由于函数 y = g(x) 的图像是连续不断的曲线，由零点存在性定理知，存在 x0 (0,1) ，使得
g(x ) = f (x ) f (x +1) = 0，即 f (x ) = f (x +1) ， 0 0 0 0 0
所以函数 y = f (x) 在区间 0,2 上也具有性质 P(1)，
综上所述，函数 y = f (x) 在区间 0,2 上具有性质 P(1)． -------17 分
高一数学 答案 第4页 共 4 页
{#{QQABIQaxwwIQ0pQACa6bEQFMCAmYsICRLKgugRAcqAYLiQFABAA=}#}绝密★考试结束前
高一数学练习
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
一、选择题: 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1. 已知集合 A={x N | x 1}， B ={x | 2x 16}，则 A∩B =
A． 2, 3, 4 B． (1,4) C． (1, 4 D．
π
2. “ = ” 是“函数 y = cos(x )为奇函数”的
2
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若函数 f (x) = 2x +m 在区间 ( ,2)上单调递减，则实数m的取值范围是
A. ( ,4 B. 4,+ ) C. ( , 4 D. 4,+ )
3
4. 已知 tan = ， (0, )，则2sin + cos 的值为
4
2
A. 1 B.
5
2 2 2
C. 或 D.
5 5 5
25π
5. 若a = sin ，b = e0.5 ， c = log2 0.4，则 a、b、c的大小关系为
3
A. b a c B. a b c C. c a b D. b c a
6. 函数 f (x) = loga (2x 1) +1(a 0且 a 1)的图象过定点 A(m,n)，若对任意正数 x， y，
3 x
都有mx + ny = 3，则 + 的最小值为
x +1 y
11
A．1 B．2 C． D．3
5

7. 在 ABC中，DA+ 2DB = 0， AE = EC，BE和CD相交于点F ，设 AC = a， AB = b，

若 AF = xa + yb ，则 x + y等于
1 2 3 3
A. B. C. D.
2 5 5 4
ZNMX 高一数学 第1页 共4页
{#{QQABIQaxwwIQ0pQACa6bEQFMCAmYsICRLKgugRAcqAYLiQFABAA=}#}
8. 已知a b 0，则下列命题正确的是
A. 若a b =1， 则a3 b3 1 B. 若a b =1，则 3 a 3 b 1
C. 若 ea eb =1， 则a b 1 D. 若 lna lnb =1，则a b 1
二、选择题: 本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是

A．O为平面内一定点，若OA = 4OB 3OC，则 A、B、C三点共线且 AB = 3BC

B．非零向量 a,b满足 a b 0，则 a与b的夹角为钝角

C．若 a = (6, 8) ，b与 a共线，且 | b |= 5，则b = (3, 4)

D．若非零向量 a，b， c满足3a + 4b + 5c = 0， | a |=| b |=| c |，则 a ⊥ b

10.已知函数 f (x) = sin( x + )( 0) ，则下列说法正确的是
4

A．若将 f (x) 图象向左平移 个单位长度，所得图象与原图象重合，则 的最小值为 4
4

B．若 f ( ) = f ( )，则 的最小值为 1
6 3
3
C．若 f (x) 在 ( , ) 内无零点，则 的取值范围为 0, 2 4
1 5
D．若 f (x) 在 ( , ) 内单调递减，则 的取值范围为[ , ]
2 2 4
11.已知定义域为R的函数 f (x) ，对任意实数 x，y都有 f (x + y) + f (x y) = f (x) f (y)，且 （f 2）= 2，
则以下结论一定正确的有
A． f (0) = 0 B． f (x) 是偶函数
C． f (x) 的图象关于点 (1,0) 中心对称 D． f (1) + f (2) + + f (2026) = 2
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
12. 若 cos( + ) = ，则 sin( )的值为 .
3 2 6

13. 已知 a,b满足 | a + b |=1，且 a = (1, 1) ，则b在 a上的投影向量的模的最小值为 .
4
14.已知两条直线 l1 : y =m +1和 l : y = (m 0)，l1 与函数 y =| log2 x |的图象从左至右相交于点 A，2 B，
m
l2 与函数 y =| log2 x |的图象从左至右相交于点C，D．记线段 AC和 BD在 x轴上的投影长度分
b
别为 a，b，当m变化时， 的最小值为 ．
a
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四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)

已知向量a，b 满足a = (cos ,sin )，b = (0,2) ，.
π
（1）若a，b 的夹角为 ，求 (a + 2b ) b ；
3
5
（2）若 (a + b) ⊥ a，求cos + 的值.
2
16.(本小题满分 15 分)
已知函数 f (x) = cos x( 0)．
（1）若函数 y = f (x) 的最小正周期为 ，求 的值及 y = f (x) 的单调递增区间；
x x
（2）设 = 2， g(x) = f (x) 2 f ( ) f ( )，求函数 y = g(x) 在区间 , 0 上的值域． 2 2 4 2
17.(本小题满分 15 分)
若函数 f (x) 的定义域为D，对于任意 x D，都有 f (m x) + f (m+ x) = 2n，则称函数 f (x) 为
中心对称函数，其中 (m,n) 为函数 f (x) 的对称中心．
（1）已知定义R上的函数 f (x) 的图象关于点 (1,1)中心对称，且当 x 2 时， f (x) = log4 x，
求 f (0) ， f (1) 的值；
（2）探究函数 g(x) = x3 3x2 是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；
若否，请说明理由．
（3）运用第（2）问的结论
求 g(2cos2 1o ) + g(2cos2 2o ) + g(2cos2 3o ) + g(2cos2 87o ) + g(2cos2 88o ) + g(2cos2 89o ) 的值.
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18.(本小题满分 17 分)
有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放 a(1 a 6,a R)个单位的该洗衣液在一定
量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度 y（克 / 升）随着时间 x（分钟）变化的函数关系式近似为
24
1(0 x 6)
y = a f (x) ，其中 12 xf (x) = ，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投
15 x (6 x 15)
3
放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于 6（克 / 升）时，
它才能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次 a个单位的洗衣液，当 3 分钟时水中洗衣液的浓度为 2.5 克 / 升，求 a的值；
（2）若只投放一次 6 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？
（3）若第一次投放 3 个单位的洗衣液，9 分钟后再投放 3 个单位的洗衣液，问能否使接下来的 6 分
钟内持续有效去污？说明理由．
19.(本小题满分 17 分)
已知函数 y = f (x) 的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在 x 使得0 f (x0 ) = f (x0 +m)，
则称函数 y = f (x) 在区间D上具有性质 P(m) ，
2 1（1）判断函数 f (x) = x 在区间 1,1 上是否具有性质 P( ) ，并说明理由；
2

（2）若函数 f (x) = cos2 x在区间 0，t 上具有性质 P( ) ，求 t的取值范围；
4
（3）已知函数 y = f (x) 的图像是连续不断的曲线，且 f (0) = f (2) ，求证：函数 y = f (x) 在区间 0,2
上具有性质P(1) .
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