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培优专题 因式分解·待定系数法—浙教版数学七（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2025七下·杭州期中） 若是多项式的一个因式，则m的值为（　　）
A．-8 B．8 C．-2 D．2
【答案】D
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：∵是多项式的一个因式，
∴可设，
又，
∴，解得：m=2.
故答案为：2.
【分析】先根据多项式的一个因式，设出多项式分解因式的结果，从中得到关于m的方程求解.
2．（2021七下·平湖期末）如果是的一个因式，则的值为（　　）
A．-3 B．-2 C．0 D．2
【答案】B
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：设
∴-a=1，-(a+1)=0，b=a-1，
解得：a=-1，b=-2，
故答案为：B.
【分析】设另一个因式为(x+a)，然后展开合并后对应系数相等解题即可.
二、填空题
3．（2024七下·岳阳期中）已知是的一个因式，则　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：kx2+x+12=（x+3）（kx+4），得
kx2+x+12=kx2+（3k+4）x+12
3k+4=1
k= 1
故答案为： 1．
【分析】根据整式的乘法与整式除法的关系，可得另一个因式，根据两个因式的常数项的乘积等于多项式的常数项，可得答案．
4．（2024七下·临平月考）若多项式的因式分解结果为，则的值是　 　.
【答案】4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：将展开，可得原式=3x2+(6+n)x+2n
∴.解得.
∴m+n=4
故答案为：4.
【分析】本题主要考查了待定系数法，即因式分解后的结果展开后的二次项系数、一次项系数、常数项与原多项式均相同，利用这个特点列式求解即可.
5． 1637年，法国数学家笛卡儿在其《几何学》一书中，首次应用待定系数法给出了因式分解定理.关于笛卡儿的“待定系数法”的原理，现举例说明如下.分解因式： 观察知x=1时，原式=0，故原式可分解为x-1与另一个整式的积.令 比较对应项系数得b-1=2，c-b=0，-c=-3，解得b=3，c=3.从而
根据以上材料，解答下面问题：
已知x-1是多项式 的一个因式，那么k=　 　；将这个多项式分解因式，得　 　
【答案】2；(x-1)2(x+2)
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：（1）∵ 知x-1是多项式 的一个因式，
∴当 x=1时，原式=13-3×1+k=0，
∴k=2；
设=（x-1）（x2+bx+c）=x3+(b-1)x2+(c-b)x-c
∴b-1=0，-c=2；
∴b=1，c=-2，
∴=（x-1）（x2+x-2）=（x-1）（x-1）（x+2）=（x-1）2（x+2）。
故答案为：（x-1）2（x+2） .
【分析】将x=1代入原式，得原式=0，可求得k的值；然后设原式 ，用待定系数法解.
6．（2026八上·安州期末）若多项式x2+ax+b因式分解的结果是（x-2）（x+3），则a+b= 　 　．
【答案】-5
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式x2+ax+b因式分解的结果是(x-2)(x+3)，
(x-2)(x+3)=x2+3x-2x-6=x2+x-6，
∴a=1，b= -6，
∴a+b=1+(-6)=-5.
故答案为：-5.
【分析】首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案.
7．（2025八上·凉州期末）如果是多项式的一个因式，则的值为　 　．
【答案】8
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：解：设
则，
解得：．
故答案为：8．
【分析】本题考查因式分解与整式乘法的逆关系，需通过设另一个因式建立方程求解。因为是多项式的一个因式，所以可设另一个因式为，则；将右边展开得；根据恒等式对应项系数相等，列出方程组；解第一个方程得，再代入第二个方程得。
8．（2025七下·嘉兴期末） 若多项式 有一个因式为 ，则 a 的值为　 　.
【答案】3
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：设另一个因式为(mx+k)，
则(x-1)(mx+k)
=mx2+kx-mx-k
=mx2+(k-m)x-k
=ax2-6x+3，
则-k=3，k-m=-6，
解得：k=-3，m=3，
那么a=m=3，
故答案为：3.
【分析】根据因式定理，若多项式有因式(x-1)，则当=1时多项式的值为0，代入x=1后解方程即可求出a的值.
9．（2025七下·杭州月考）若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 　 　 ．
【答案】-8
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：设该多项式的另一个因式是x+n，
得(x+2)(x+n)=x2+(n+2)x+2n，
∴n+2=-2，解得n=-4，
∴m=2n=2×(-4)=-8，
故答案为：-8.
【分析】运用多项式乘多项式的计算方法进行求解.
三、解答题
10．如果多项式 有一个因式是 ， 求 的值．
【答案】解： 是 的因式，
可设 ．
令 ， 则 ，
得 ，
即 ，
解得 ．
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【分析】设另一个因式为R，则可以得到，然后根据题意可知是方程的解诶，代入即可求出k的值 ．
11．已知x4+4x2+3x+4 中含有一个因式x2+ax+1．
（1）求a的值．
（2）因式分解x4+4x2+3x+4．
【答案】（1）解：设
.
（2）解：.
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【分析】（1）首先设x4+4x2+3x+4=(x2+ax+1)(x2+bx+4)，进而根据多项式乘以多项式法则求出(x2+ax+1)(x2+bx+4)的积，即可得到a与b的关系，求解可得a、b的值；
（2）根据（1）中所求的a、b的值，及因式分解的定义即可得出答案.
四、阅读理解题
12．仔细阅读下面的例题：例：已知二次多项式 有一个因式为x+3，求另一个因式以及 m的值。
解：设另一个因式为x+n。
由题意，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)，
则
解得
∴另一个因式为x-7，m的值为-21。
请仿照上述方法解答下列问题：
（1）若x2+ bx+c=(x-2)(x+4)，则b=　 　，c=　 　。
（2）已知二次多项式 有一个因式为2x-3，求另一个因式以及k的值。
【答案】（1）2；8
（2）解：设另一个因式为：x+a，
则
即
解得：
故另一个因式为x+4，k的值为-12.
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：（1）
则b=2，c=-8，
故答案为：2，-8；
【分析】(1)根据例题中已知的两个式子的关系，式子的右边利用整式的乘法展开，然后根据两个式子对应项的系数相等即可求解；
(2)利用例题的解题思路，设出另一个因式，然后利用多项式的乘法法则展开，根据对应项的系数相等即可求解.
13．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”．
【解决问题】
（1）当　 　时，多项式，所以可以因式分解为　 　；
（2）对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值；
（3）对于三次多项式，用“试根法”因式分解．
【答案】（1）；
（2）解：由题意可知，
∴，
∴，，
∴，；
（3）解：当时，，
∴多项式有因式，
设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【知识点】因式分解﹣待定系数法；一次因式的概念
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）通过解方程求出使多项式值为0的x值，再根据平方差公式进行因式分解；
（2）将等式右边展开，然后根据多项式相等时对应项系数相等来求解a、b的值；
（3）通过试根找出多项式的一个因式，再设出另一个因式，展开后根据对应项系数相等求出未知系数，从而完成因式分解.
14．（2024七下·邵东月考） 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则，
，解得：，，
另一个因式为，的值为．
请仿照上述方法解答下面问题：
（1）若，则　 　，　 　；
（2）已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值；
（3）已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值．
【答案】（1）-1；-6
（2）解：设另一个因式为：，
则，
，解得：，，
另一个因式是，
故答案为：，
（3）解：设另一个因式是，则
则，解得：或，
是正整数，
，另一个因式是；（不符合题意舍去），
另一个因式是，a值是2
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】(1)=x2-x-6，故b=-1，c=-6；
故答案为：-1；-6.
【分析】（1）展开右式即可得b和c的值；
(2)设另一个因式为，同理利用待定系数法可得k的值和b的值；
(3)另一个因式为，得待定即可得另一个因式和a的值.
五、实践探究题
15．（2024八上·温岭期末）根据以下素材，完成下列任务：
素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶，让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？
素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式能不能在有理数范围内因式分解与的值有关；
赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务：
任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的的值，并分解能分解的那个二次三项式；
任务2 探究关系 如果能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 ；
任务3 确定结论 根据任务1，任务2中的值的特征，写出整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件：　　　，并证明．
【答案】解：任务1：多项式的，多项式的；
根据题意可知多项式能分解因式，多项式不能分解因式，
；
任务2：设，
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴是整数，
∴是整数，
∴s、t都为整数，
∵，
∴或或或，
∴所有整数p的值为，，7，5；
故答案为：，，7，5．
任务3：整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数，证明如下：
设
∴，
∴，
∴，
∵a、b、c都是整数，
∴m、n都是整数，
∴是一个整数，
∴是一个完全平方数，
∴整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解﹣待定系数法
【解析】【分析】 任务1： 先计算，再分解因式即可；
任务2： 设，得到，根据完全平方公式得到然后根据s，t是整数求出p值即可．
任务3：设，即可得到，根据解答即可．
1 / 1培优专题 因式分解·待定系数法—浙教版数学七（下）核心素养达标检测
一、选择题
1．（2025七下·杭州期中） 若是多项式的一个因式，则m的值为（　　）
A．-8 B．8 C．-2 D．2
2．（2021七下·平湖期末）如果是的一个因式，则的值为（　　）
A．-3 B．-2 C．0 D．2
二、填空题
3．（2024七下·岳阳期中）已知是的一个因式，则　 　．
4．（2024七下·临平月考）若多项式的因式分解结果为，则的值是　 　.
5． 1637年，法国数学家笛卡儿在其《几何学》一书中，首次应用待定系数法给出了因式分解定理.关于笛卡儿的“待定系数法”的原理，现举例说明如下.分解因式： 观察知x=1时，原式=0，故原式可分解为x-1与另一个整式的积.令 比较对应项系数得b-1=2，c-b=0，-c=-3，解得b=3，c=3.从而
根据以上材料，解答下面问题：
已知x-1是多项式 的一个因式，那么k=　 　；将这个多项式分解因式，得　 　
6．（2026八上·安州期末）若多项式x2+ax+b因式分解的结果是（x-2）（x+3），则a+b= 　 　．
7．（2025八上·凉州期末）如果是多项式的一个因式，则的值为　 　．
8．（2025七下·嘉兴期末） 若多项式 有一个因式为 ，则 a 的值为　 　.
9．（2025七下·杭州月考）若x+2是x2﹣2x+m的一个因式，则常数m的值为 　 　 ．
三、解答题
10．如果多项式 有一个因式是 ， 求 的值．
11．已知x4+4x2+3x+4 中含有一个因式x2+ax+1．
（1）求a的值．
（2）因式分解x4+4x2+3x+4．
四、阅读理解题
12．仔细阅读下面的例题：例：已知二次多项式 有一个因式为x+3，求另一个因式以及 m的值。
解：设另一个因式为x+n。
由题意，得x2-4x+m=(x+3)(x+n)，
则
解得
∴另一个因式为x-7，m的值为-21。
请仿照上述方法解答下列问题：
（1）若x2+ bx+c=(x-2)(x+4)，则b=　 　，c=　 　。
（2）已知二次多项式 有一个因式为2x-3，求另一个因式以及k的值。
13．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”．
【解决问题】
（1）当　 　时，多项式，所以可以因式分解为　 　；
（2）对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值；
（3）对于三次多项式，用“试根法”因式分解．
14．（2024七下·邵东月考） 仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，则，
，解得：，，
另一个因式为，的值为．
请仿照上述方法解答下面问题：
（1）若，则　 　，　 　；
（2）已知二次三项式分解因式后有一个因式是，求另一个因式以及的值；
（3）已知二次三项式有一个因式是，是正整数，求另一个因式以及的值．
五、实践探究题
15．（2024八上·温岭期末）根据以下素材，完成下列任务：
素材1 在因式分解习题课上，赵老师“随便”写了几个整系数二次三项式，让同学们因式分解，结果小王发现同学们都能在有理数范围内分解，小王也想试一试，就随便写了两个二次三项式∶，让同学们因式分解，结果发现有一个不能因式分解，这到底为什么呢？
素材2 看着小王有些疑问，赵老师笑着说：整系数二次三项式能不能在有理数范围内因式分解与的值有关；
赵老师的话引起全班同学的兴趣，决定探究一下，请你加入完成下列任务：
任务1 特例求解 写出小王给出的两个二次三项式的的值，并分解能分解的那个二次三项式；
任务2 探究关系 如果能在有理数范围内因式分解，写出所有整数p的值 ；
任务3 确定结论 根据任务1，任务2中的值的特征，写出整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件：　　　，并证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：∵是多项式的一个因式，
∴可设，
又，
∴，解得：m=2.
故答案为：2.
【分析】先根据多项式的一个因式，设出多项式分解因式的结果，从中得到关于m的方程求解.
2．【答案】B
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：设
∴-a=1，-(a+1)=0，b=a-1，
解得：a=-1，b=-2，
故答案为：B.
【分析】设另一个因式为(x+a)，然后展开合并后对应系数相等解题即可.
3．【答案】
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：kx2+x+12=（x+3）（kx+4），得
kx2+x+12=kx2+（3k+4）x+12
3k+4=1
k= 1
故答案为： 1．
【分析】根据整式的乘法与整式除法的关系，可得另一个因式，根据两个因式的常数项的乘积等于多项式的常数项，可得答案．
4．【答案】4
【知识点】多项式乘多项式；因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：将展开，可得原式=3x2+(6+n)x+2n
∴.解得.
∴m+n=4
故答案为：4.
【分析】本题主要考查了待定系数法，即因式分解后的结果展开后的二次项系数、一次项系数、常数项与原多项式均相同，利用这个特点列式求解即可.
5．【答案】2；(x-1)2(x+2)
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：（1）∵ 知x-1是多项式 的一个因式，
∴当 x=1时，原式=13-3×1+k=0，
∴k=2；
设=（x-1）（x2+bx+c）=x3+(b-1)x2+(c-b)x-c
∴b-1=0，-c=2；
∴b=1，c=-2，
∴=（x-1）（x2+x-2）=（x-1）（x-1）（x+2）=（x-1）2（x+2）。
故答案为：（x-1）2（x+2） .
【分析】将x=1代入原式，得原式=0，可求得k的值；然后设原式 ，用待定系数法解.
6．【答案】-5
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：∵多项式x2+ax+b因式分解的结果是(x-2)(x+3)，
(x-2)(x+3)=x2+3x-2x-6=x2+x-6，
∴a=1，b= -6，
∴a+b=1+(-6)=-5.
故答案为：-5.
【分析】首先利用多项式乘法将原式展开，进而得出a，b的值，即可得出答案.
7．【答案】8
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：解：设
则，
解得：．
故答案为：8．
【分析】本题考查因式分解与整式乘法的逆关系，需通过设另一个因式建立方程求解。因为是多项式的一个因式，所以可设另一个因式为，则；将右边展开得；根据恒等式对应项系数相等，列出方程组；解第一个方程得，再代入第二个方程得。
8．【答案】3
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：设另一个因式为(mx+k)，
则(x-1)(mx+k)
=mx2+kx-mx-k
=mx2+(k-m)x-k
=ax2-6x+3，
则-k=3，k-m=-6，
解得：k=-3，m=3，
那么a=m=3，
故答案为：3.
【分析】根据因式定理，若多项式有因式(x-1)，则当=1时多项式的值为0，代入x=1后解方程即可求出a的值.
9．【答案】-8
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：设该多项式的另一个因式是x+n，
得(x+2)(x+n)=x2+(n+2)x+2n，
∴n+2=-2，解得n=-4，
∴m=2n=2×(-4)=-8，
故答案为：-8.
【分析】运用多项式乘多项式的计算方法进行求解.
10．【答案】解： 是 的因式，
可设 ．
令 ， 则 ，
得 ，
即 ，
解得 ．
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【分析】设另一个因式为R，则可以得到，然后根据题意可知是方程的解诶，代入即可求出k的值 ．
11．【答案】（1）解：设
.
（2）解：.
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【分析】（1）首先设x4+4x2+3x+4=(x2+ax+1)(x2+bx+4)，进而根据多项式乘以多项式法则求出(x2+ax+1)(x2+bx+4)的积，即可得到a与b的关系，求解可得a、b的值；
（2）根据（1）中所求的a、b的值，及因式分解的定义即可得出答案.
12．【答案】（1）2；8
（2）解：设另一个因式为：x+a，
则
即
解得：
故另一个因式为x+4，k的值为-12.
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】解：（1）
则b=2，c=-8，
故答案为：2，-8；
【分析】(1)根据例题中已知的两个式子的关系，式子的右边利用整式的乘法展开，然后根据两个式子对应项的系数相等即可求解；
(2)利用例题的解题思路，设出另一个因式，然后利用多项式的乘法法则展开，根据对应项的系数相等即可求解.
13．【答案】（1）；
（2）解：由题意可知，
∴，
∴，，
∴，；
（3）解：当时，，
∴多项式有因式，
设另一个因式为，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴．
【知识点】因式分解﹣待定系数法；一次因式的概念
【解析】【解答】解：（1）当时，，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）通过解方程求出使多项式值为0的x值，再根据平方差公式进行因式分解；
（2）将等式右边展开，然后根据多项式相等时对应项系数相等来求解a、b的值；
（3）通过试根找出多项式的一个因式，再设出另一个因式，展开后根据对应项系数相等求出未知系数，从而完成因式分解.
14．【答案】（1）-1；-6
（2）解：设另一个因式为：，
则，
，解得：，，
另一个因式是，
故答案为：，
（3）解：设另一个因式是，则
则，解得：或，
是正整数，
，另一个因式是；（不符合题意舍去），
另一个因式是，a值是2
【知识点】因式分解﹣待定系数法
【解析】【解答】(1)=x2-x-6，故b=-1，c=-6；
故答案为：-1；-6.
【分析】（1）展开右式即可得b和c的值；
(2)设另一个因式为，同理利用待定系数法可得k的值和b的值；
(3)另一个因式为，得待定即可得另一个因式和a的值.
15．【答案】解：任务1：多项式的，多项式的；
根据题意可知多项式能分解因式，多项式不能分解因式，
；
任务2：设，
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴是整数，
∴是整数，
∴s、t都为整数，
∵，
∴或或或，
∴所有整数p的值为，，7，5；
故答案为：，，7，5．
任务3：整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数，证明如下：
设
∴，
∴，
∴，
∵a、b、c都是整数，
∴m、n都是整数，
∴是一个整数，
∴是一个完全平方数，
∴整系数二次三项式能在有理数范围内因式分解的条件是的值为完全平方数．
【知识点】因式分解﹣十字相乘法；因式分解﹣待定系数法
【解析】【分析】 任务1： 先计算，再分解因式即可；
任务2： 设，得到，根据完全平方公式得到然后根据s，t是整数求出p值即可．
任务3：设，即可得到，根据解答即可．
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