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三角形全等——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型；余角
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则OEC=90°， BOC= 90° ，
BOD+COE = 90 ，
由题意可知，OA=OB =OC=2m，BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，
∴BDO =90，
∴OD=
∴OF=OD+DF =1.2+1.3=2.5(m) ，
∵BDO=OEC = 90，
∴BOD +OBD= 90 ，
∴COE=OBD，
在OBD和 COE中，
∴OBDCOE(AAS)，
∴OE = BD=1.6m
∴EF =OF-OE =2.5-1.6= 0.9(m)，
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m.
故答案为：A.
【分析】 过点C作CE⊥OA于点E， 由题意可知，OA=OB=OC=2m， BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，再由勾股定理得OD=1.2m，则OF =OD+DF=2.5m；然后利用AAS证明OBDCOE(AAS)，得OE = BD=l.6m，则EF =OF -OE =0.9m，即可解答.
2．（2024·济南）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为 （　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC中∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B＝80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE=∠ACB=80°.
故答案为：C.
【分析】先由三角形的内角和定理算出∠ACB的度数，再根据全等三角形的对应角相等可求出∠DCE的度数.
3．（2024·北京市）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是(　　)
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图过程可得OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠AOB=∠A'O'B'.
故答案为：A.
【分析】根据作图过程可得OC=O'C'=OD=O'D'，CD=C'D'，从而结合全等三角形的判定定理即可答案.
4．（2025·福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O 且与边AB， CD 分别相交于点 E，F.若 则△AOE 与△DOF 的面积之和为　 　.
【答案】1
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=BO=1，CD∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，∠OFD=∠OEB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴△DOF的面积=△BOE的面积，
∴△AOE与△DOF的面积之和=△BOA的面积= 1
故答案为：1.
【分析】 根据菱形的性质证明△DOF≌△BOE（AAS），得△DOF的面积=△BOE的面积，进而可以解决问题.
5．（2024·成都）如图，，若，，则的度数为　 　.
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDE，∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠E=45°，
∴∠DCE=180°-∠D-∠E=100°.
故答案为：100°.
【分析】由全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠E=45°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DCE的度数.
6．（2023·嘉兴）如图，在与中，，请添加一个条件　 　，使得．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△AOB与△COD中，∠A=∠C，∠AOB=∠COD，
∴要使△AOB≌△COD，如果使用ASA，可以添加OA=OC，如果使用AAS可以添加OB=OD或AB=CD.
故答案为：OA=OC.（答案不唯一）
【分析】从已知条件看，两个三角形已经具有两组角对应相等，要使两个三角形全等，必须添加任意一对对应边相等.
7．（2023·成都）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上. 若，，则CF的长为　 　.
【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=EF=8，
∵CE=5，
∴CF=EF-EC=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】根据全等三角形的性质求出BC=EF=8，再根据CE=5计算求解即可。
8．（2025·广州）如图，，，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
9．（2025·福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， 求证：
【答案】证明：∵∠CBE=∠CDF，∠ABC +∠CBE=180°，∠ADC +∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴AB=AD.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
由∠CBE=∠CDF，推导出∠ABC=∠ADC，而∠ACB=∠ACD，AC=AC，即可根据“AAS”证明△ABC≌△ADC，则AB=AD.
10．（2025·内江） 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，即BF+CF=EC+CF，
∴BF=EC，
∵BF=4，FC=3，
∴EC=4，
∴BE=BF+EF+EC=4+3+4=11．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，得∠B=∠E，从而利用AAS可判断出△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的对应边相等得BC=EF，由等量减去等量差相等得BF=CE=4，然后根据BE=BF+EF+EC，代值计算可得答案.
11．（2025·南充）如图， 在五边形ABCDE中， AB=AE， AC=AD， ∠BAD=∠EAC.
（1）求证： △ABC≌△AED.
（2）求证： ∠BCD=∠EDC.
【答案】（1）证明：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD--∠CAD=∠EAC--∠CAD.
∴ ∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED. (SAS)
（2）证明：∵△ABC≌△AED，
∴ ∠ACB=∠ADE.
∵ AC=AD，
∴ ∠ACD=∠ADC.
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由角的和差可得∠BAC=∠EAD，结合已知，用边角边可求证；
（2）由（1）中的全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”可得∠ACB=∠ADE，由等边对等角可得∠ACD=∠ADC，然后根据角的和差即可求解.
二、能力题
12．（2025·威海）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（　　）
A．BO＝DO，AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：A.∵BO = DO， AC⊥BD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD， CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形，
∴ A选项不符合题意；
B.在△ACD与△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，
∴CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴ B选项不符合题意；
C.在△ACD与△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(ASA)，
∴AD=AB， CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴C选项不符合题意；
D.由∠ADC=∠ABC， BO=DO， 不能证明四边形ABCD是筝形，
∴D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定和性质，根据筝形的判定逐一进行判定即可.
13．（2025·青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM=CN，过角尺顶点 C的射线 OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是(　　)
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵在△OCM和△OCN中
∴△OCM≌△OCN(SSS)
∴∠COM=∠CON
故选：C.
【分析】由作图方法可知可先得△OCM≌△OCN，理由是边边边，即可得角平分线.
14．（2025·凉山州）如图，，，点在上，，，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：
、
故答案为：C.
【分析】由于，则可得，再结合，可证，则，再利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得，则等量代换得，再在等腰三角形ABC中应用内角和定理即可.
15．（2024·宜宾）如图，在中，，以BC为边作，，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　）
A． B． C．5 D．8
【答案】D
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，如图：
∵BE=AB，∠ABE=90°，
∴.
∵∠DBC=90°=∠EBA，
∴∠DBE=∠CBA，
又∵BD=BC，AB=BE，
∴△DBE≌△CBA(SAS)
∴DE=AC=2.
在△ADE中，AD∵当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值=6+2=8.
故答案为：D.
【分析】将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，由“SAS”可证△DBE≌△CBA，可得DE=AC=2，由等腰直角三角形的性质可得AE，由三角形的三边关系即可求解.
16．（2025·西藏）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形， ∠ABC＝60°，
∴∠ABP=∠CBP=30°，AB=BC=4，
又∵BP=BP，
∴△APB≌△CPB，
∴PA=PC，
过点P 作PE⊥AB于点E，
则BP=2PE，
∴PA+PB+PC=2PC+2PE=2(PC+PE)，
即当C，P，E三点共线时，PA+PB+PC最小值为2CE长，
这时∠BCE=30°，
∴BE=2，
∴，
故PA+PB+PC最小值为，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质得到△APB≌△CPB，即可得到PA=PC，过点P 作PE⊥AB于点E，根据30°的直角三角形的性质求得BP=2PE，即可得到 PA+PB+PC=2(PC+PE)，即可得到当C，P，E三点共线时，PA+PB+PC最小值为2CE长，然后根据勾股定理解答即可.
17．（2024·遂宁）在等边三边上分别取点D、E、F，使得，连接三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时，　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
∴当时，，
∴ 当时，.
故答案为：.
【分析】通过观察当时，，从而将n=10代入计算可得答案.
18．（2024·牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件　 　，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）
【答案】DE＝EF或AD＝CF
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ CF∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
添加DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
∴AE=CE；
添加AD＝CF，
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AE=CE；
故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，可添加DE＝EF或AD＝CF，可证△ADE≌△CFE，可得AE=CE，据此解答即可.
19．（2023·丹东）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，与相交于点，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠BGE=90°，
∴∠BGE=∠C，
又∵∠EBG=∠FBC，
∴△EBG∽△FBC，
∴，
∵BC=AB=12，CF=BE=5，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】根据正方形的四个角是直角，四条边相等可得∠ABE=∠C=90°，AB=BC；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得△ABE≌△BCF；根据全等三角形的对应角相等可得∠BAE=∠CBF，推得∠BGE=∠C；根据有两个角相等的三角形是相似三角形可得△EBG∽△FBC；根据相似三角形的对应边成比例可得；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出BF的值，即可求出BG的值.
20．（2025·淮安）已知：如图，在和中，点D在BC上，，，．求证：≌．
【答案】证明：
，即
在 和 中，
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据 得到 E， 利用AAS即可得证.
21．（2025·武汉）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC.若 ▲ ，则AD=CB
从①OA=OC，②∠ABC=∠CDA，③AB=CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由.
【答案】解：①OA=OC，理由如下
∵AD∥BC
∴∠ODA=∠OBC
在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△COB(AAS)
∴AD=CB
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠ODA=∠OBC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
22．（2025·广安） 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，，，连接 AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：.
（2） 若四边形 AECF 的周长为，求 EF 的长.
【答案】（1）证明： ∵四边形 ABCD 为正方形
∴，，
在 和 中，
（2）解： 连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，，
∴BD垂直平分AC，，
∴，，
由（1）知，
∴，，
∵四边形AECF的周长为，
∴，
在Rt△AOF中，，
∴，
∴，
答：EF的长为6
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADE=∠CBF=45°，AD=BC，再利用SAS可证得结论.
（2）连接AC交BD于点O，利用正方形的性质求出OA的长；利用全等三角形的性质可证得AE=CF=AE=CE，据此可求出AF的长，利用勾股定理可求出OF的长；然后求出BF的长，根据EF=BD-BF，代入计算求出EF的长.
23．（2025·遂宁）如图，在四边形ABCD中，，点E，F在对角线BD上，，且，．
（1）求证：；
（2）连结AE，CF，若，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【答案】（1）)证明： ∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF= FD，
∴BF =DE=2EF，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
（2）解：四边形AECF是菱形，
连接AE， CF，
由(1)得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE， ∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF=90°， BE = EF，
∵∠ABD=30°，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由AB∥CD，得∠ABF =∠CDE， 由BE =EF=FD， 得BF = DE =2EF， 而BAF =∠DCE， 即可根据“AAS”证明△ABF≌△CDE；
(2)由全等三角形的性质得AF=CE，∠AFB=∠CED， 则AF∥CE，所以四边形AECF是平行四边形， 由∠BAF =90°， BE= EF，∠ABD=30°， 可证明 则四边形AECF是菱形.
三、拓展题
24．（2025·上海市）某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
（1）如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AB丄BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180。得到△BFE，若AD=a，且此时DF=DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；
（2）如图2，梯形MNPQ，MN//PQ，MQ=NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点.（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）
【答案】（1）解：如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AB⊥BC，AD//BC，
∴∠A=∠ABC=90。，
∵∠DHB=90。，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=a，
∵E是AB的中点，
∴AE=EB，
∵∠A=∠EBF=90。，∠AED=∠FEB，
∴△AED≌△BEF(ASA)，
∴AD=FB=a，
∵DF=DC，DH⊥CF，
∴FH=HC=2a，
∴BC=BH+CH=3a；
（2）解：图形如图2所示．
方法：取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G，
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)如图1中，过点D作DH⊥BC于点H，证明BG=AD=a，BH=AD=a，再证明FH=HC=2a可得结论；
(2)取MN，MO，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PO的延长线于点L，连接JT，延长JT交OP的延长线于点G即可.
25．（2024·通辽）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.
（1）【模型建立】
如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”.，.求证：.
（2）【模型应用】
如图2，中，的平分线交于点D.请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）
（3）【拓展提升】
如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接.求证：.
【答案】（1）在和中，
，，，
，
；
（2）选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
的平分线，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意直接运用三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，进而根据角平分线的定义得到，从二人根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而结合题意进行线段的运算得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据角的运算即可求解；
选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，再根据题意进行角的运算得到，再进行线段的运算得到，等量代换即可求解；
（3）连接，取的中点F，连接，根据根据角平分线的定义结合弧的关系得到，进而得到，从而得到，根据圆周角定理得到，从而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明得到，最后结合题意即可求解。
1 / 1三角形全等——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点B处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在C处时距离地面的高度是（　　）．
A． B． C． D．
2．（2024·济南）如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为 （　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
3．（2024·北京市）下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法.
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则.
上述方法通过判定得到，其中判定的依据是(　　)
A．三边分别相等的两个三角形全等
B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
4．（2025·福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O 且与边AB， CD 分别相交于点 E，F.若 则△AOE 与△DOF 的面积之和为　 　.
5．（2024·成都）如图，，若，，则的度数为　 　.
6．（2023·嘉兴）如图，在与中，，请添加一个条件　 　，使得．
7．（2023·成都）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上. 若，，则CF的长为　 　.
8．（2025·广州）如图，，，．求证：．
9．（2025·福建）如图，点E，F分别在AB，AD的延长线上， 求证：
10．（2025·内江） 如图，点B、F、C、E在同一条直线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
11．（2025·南充）如图， 在五边形ABCDE中， AB=AE， AC=AD， ∠BAD=∠EAC.
（1）求证： △ABC≌△AED.
（2）求证： ∠BCD=∠EDC.
二、能力题
12．（2025·威海）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是（　　）
A．BO＝DO，AC⊥BD B．∠DAC＝∠BAC，AD＝AB
C．∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BCA D．∠ADC＝∠ABC，BO＝DO
13．（2025·青海）工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，即CM=CN，过角尺顶点 C的射线 OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依据是(　　)
A．AAS B．SAS C．SSS D．ASA
14．（2025·凉山州）如图，，，点在上，，，则的度数为
A． B． C． D．
15．（2024·宜宾）如图，在中，，以BC为边作，，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（　　）
A． B． C．5 D．8
16．（2025·西藏）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，连接BD，点P是BD上的一个动点，连接PA，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是　 　．
17．（2024·遂宁）在等边三边上分别取点D、E、F，使得，连接三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时，　 　.
18．（2024·牡丹江）如图，△ABC中，D是AB上一点，CF∥AB，D、E、F三点共线，请添加一个条件　 　，使得AE＝CE．（只添一种情况即可）
19．（2023·丹东）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，与相交于点，若，则的长为　 　．
20．（2025·淮安）已知：如图，在和中，点D在BC上，，，．求证：≌．
21．（2025·武汉）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，AD∥BC.若 ▲ ，则AD=CB
从①OA=OC，②∠ABC=∠CDA，③AB=CD这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由.
22．（2025·广安） 如图，E， F是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，，，连接 AE，AF，CE，CF.
（1） 求证：.
（2） 若四边形 AECF 的周长为，求 EF 的长.
23．（2025·遂宁）如图，在四边形ABCD中，，点E，F在对角线BD上，，且，．
（1）求证：；
（2）连结AE，CF，若，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
三、拓展题
24．（2025·上海市）某小组对分割梯形组成等腰三角形展开研究．
（1）如图1，梯形ABCD中，AD//BC，AB丄BC，点E是AB中点，D是梯形的顶点，将△ADE绕E旋转180。得到△BFE，若AD=a，且此时DF=DC，求BC的长（用含a的代数式尝试表示）；
（2）如图2，梯形MNPQ，MN//PQ，MQ=NP，请设计一种方法，用一条直线或两条直线分割梯形为若干部分，再进行一系列的图形运动，拼成一个等腰三角形，在图2中画出图形，要求：①所得的部分不重叠，不间隙地拼；②在答题纸横线上并写出等腰三角形的腰是哪条线段；③在答题纸横线上写出这一或两条直线的顶点.（模仿1中的表述：点E是AB中点，D是梯形的顶点）
25．（2024·通辽）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞.
（1）【模型建立】
如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”.，.求证：.
（2）【模型应用】
如图2，中，的平分线交于点D.请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程.（注：只需选择一种情况作答）
（3）【拓展提升】
如图3，为的直径，，的平分线交于点E，交于点D，连接.求证：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型；余角
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥OA于点E，则OEC=90°， BOC= 90° ，
BOD+COE = 90 ，
由题意可知，OA=OB =OC=2m，BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，
∴BDO =90，
∴OD=
∴OF=OD+DF =1.2+1.3=2.5(m) ，
∵BDO=OEC = 90，
∴BOD +OBD= 90 ，
∴COE=OBD，
在OBD和 COE中，
∴OBDCOE(AAS)，
∴OE = BD=1.6m
∴EF =OF-OE =2.5-1.6= 0.9(m)，
即小丽在C处时距离地面的高度是0.9m.
故答案为：A.
【分析】 过点C作CE⊥OA于点E， 由题意可知，OA=OB=OC=2m， BD=1.6m， DF=1.3m， BD⊥OA，再由勾股定理得OD=1.2m，则OF =OD+DF=2.5m；然后利用AAS证明OBDCOE(AAS)，得OE = BD=l.6m，则EF =OF -OE =0.9m，即可解答.
2．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC中∠A＝60°，∠B＝40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B＝80°，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠DCE=∠ACB=80°.
故答案为：C.
【分析】先由三角形的内角和定理算出∠ACB的度数，再根据全等三角形的对应角相等可求出∠DCE的度数.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：由作图过程可得OC=O'C'，OD=O'D'，CD=C'D'，
∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠AOB=∠A'O'B'.
故答案为：A.
【分析】根据作图过程可得OC=O'C'=OD=O'D'，CD=C'D'，从而结合全等三角形的判定定理即可答案.
4．【答案】1
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴DO=BO=1，CD∥AB，
∴∠ODF=∠OBE，∠OFD=∠OEB，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴△DOF的面积=△BOE的面积，
∴△AOE与△DOF的面积之和=△BOA的面积= 1
故答案为：1.
【分析】 根据菱形的性质证明△DOF≌△BOE（AAS），得△DOF的面积=△BOE的面积，进而可以解决问题.
5．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△CDE，∠ACB=45°，
∴∠ACB=∠E=45°，
∴∠DCE=180°-∠D-∠E=100°.
故答案为：100°.
【分析】由全等三角形的对应角相等得∠ACB=∠E=45°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DCE的度数.
6．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△AOB与△COD中，∠A=∠C，∠AOB=∠COD，
∴要使△AOB≌△COD，如果使用ASA，可以添加OA=OC，如果使用AAS可以添加OB=OD或AB=CD.
故答案为：OA=OC.（答案不唯一）
【分析】从已知条件看，两个三角形已经具有两组角对应相等，要使两个三角形全等，必须添加任意一对对应边相等.
7．【答案】3
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴BC=EF=8，
∵CE=5，
∴CF=EF-EC=8-5=3，
故答案为：3.
【分析】根据全等三角形的性质求出BC=EF=8，再根据CE=5计算求解即可。
8．【答案】证明：∵，
∴，即，
在和中，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
9．【答案】证明：∵∠CBE=∠CDF，∠ABC +∠CBE=180°，∠ADC +∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠ADC.
在△ABC和△ADC中，
∴AB=AD.
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
由∠CBE=∠CDF，推导出∠ABC=∠ADC，而∠ACB=∠ACD，AC=AC，即可根据“AAS”证明△ABC≌△ADC，则AB=AD.
10．【答案】（1）证明：∵AB//DE，
∴∠B=∠E，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(AAS)；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，即BF+CF=EC+CF，
∴BF=EC，
∵BF=4，FC=3，
∴EC=4，
∴BE=BF+EF+EC=4+3+4=11．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由两直线平行，内错角相等，得∠B=∠E，从而利用AAS可判断出△ABC≌△DEF；
（2）由全等三角形的对应边相等得BC=EF，由等量减去等量差相等得BF=CE=4，然后根据BE=BF+EF+EC，代值计算可得答案.
11．【答案】（1）证明：∵ ∠BAD=∠EAC，
∴ ∠BAD--∠CAD=∠EAC--∠CAD.
∴ ∠BAC=∠EAD.
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED. (SAS)
（2）证明：∵△ABC≌△AED，
∴ ∠ACB=∠ADE.
∵ AC=AD，
∴ ∠ACD=∠ADC.
∴ ∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC，
∴∠BCD=∠EDC
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由角的和差可得∠BAC=∠EAD，结合已知，用边角边可求证；
（2）由（1）中的全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”可得∠ACB=∠ADE，由等边对等角可得∠ACD=∠ADC，然后根据角的和差即可求解.
12．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：A.∵BO = DO， AC⊥BD，
∴AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD， CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形，
∴ A选项不符合题意；
B.在△ACD与△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，
∴CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴ B选项不符合题意；
C.在△ACD与△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(ASA)，
∴AD=AB， CD=CB，
∴四边形ABCD是筝形，
∴C选项不符合题意；
D.由∠ADC=∠ABC， BO=DO， 不能证明四边形ABCD是筝形，
∴D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定和性质，根据筝形的判定逐一进行判定即可.
13．【答案】C
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：∵在△OCM和△OCN中
∴△OCM≌△OCN(SSS)
∴∠COM=∠CON
故选：C.
【分析】由作图方法可知可先得△OCM≌△OCN，理由是边边边，即可得角平分线.
14．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：
、
故答案为：C.
【分析】由于，则可得，再结合，可证，则，再利用三角形外角的性质及等腰三角形的性质可得，则等量代换得，再在等腰三角形ABC中应用内角和定理即可.
15．【答案】D
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，如图：
∵BE=AB，∠ABE=90°，
∴.
∵∠DBC=90°=∠EBA，
∴∠DBE=∠CBA，
又∵BD=BC，AB=BE，
∴△DBE≌△CBA(SAS)
∴DE=AC=2.
在△ADE中，AD∵当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值=6+2=8.
故答案为：D.
【分析】将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，由“SAS”可证△DBE≌△CBA，可得DE=AC=2，由等腰直角三角形的性质可得AE，由三角形的三边关系即可求解.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ABCD是菱形， ∠ABC＝60°，
∴∠ABP=∠CBP=30°，AB=BC=4，
又∵BP=BP，
∴△APB≌△CPB，
∴PA=PC，
过点P 作PE⊥AB于点E，
则BP=2PE，
∴PA+PB+PC=2PC+2PE=2(PC+PE)，
即当C，P，E三点共线时，PA+PB+PC最小值为2CE长，
这时∠BCE=30°，
∴BE=2，
∴，
故PA+PB+PC最小值为，
故答案为：.
【分析】根据菱形的性质得到△APB≌△CPB，即可得到PA=PC，过点P 作PE⊥AB于点E，根据30°的直角三角形的性质求得BP=2PE，即可得到 PA+PB+PC=2(PC+PE)，即可得到当C，P，E三点共线时，PA+PB+PC最小值为2CE长，然后根据勾股定理解答即可.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
∴当时，，
∴ 当时，.
故答案为：.
【分析】通过观察当时，，从而将n=10代入计算可得答案.
18．【答案】DE＝EF或AD＝CF
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵ CF∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，
添加DE＝EF，
∴△ADE≌△CFE（AAS）
∴AE=CE；
添加AD＝CF，
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AE=CE；
故答案为：DE＝EF或AD＝CF（答案不唯一）.
【分析】由平行线的性质可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，可添加DE＝EF或AD＝CF，可证△ADE≌△CFE，可得AE=CE，据此解答即可.
19．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠BGE=90°，
∴∠BGE=∠C，
又∵∠EBG=∠FBC，
∴△EBG∽△FBC，
∴，
∵BC=AB=12，CF=BE=5，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】根据正方形的四个角是直角，四条边相等可得∠ABE=∠C=90°，AB=BC；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得△ABE≌△BCF；根据全等三角形的对应角相等可得∠BAE=∠CBF，推得∠BGE=∠C；根据有两个角相等的三角形是相似三角形可得△EBG∽△FBC；根据相似三角形的对应边成比例可得；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出BF的值，即可求出BG的值.
20．【答案】证明：
，即
在 和 中，
【知识点】三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据 得到 E， 利用AAS即可得证.
21．【答案】解：①OA=OC，理由如下
∵AD∥BC
∴∠ODA=∠OBC
在△AOD和△COB中
∴△AOD≌△COB(AAS)
∴AD=CB
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】根据直线平行性质可得∠ODA=∠OBC，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
22．【答案】（1）证明： ∵四边形 ABCD 为正方形
∴，，
在 和 中，
（2）解： 连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为正方形，，
∴BD垂直平分AC，，
∴，，
由（1）知，
∴，，
∵四边形AECF的周长为，
∴，
在Rt△AOF中，，
∴，
∴，
答：EF的长为6
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得∠ADE=∠CBF=45°，AD=BC，再利用SAS可证得结论.
（2）连接AC交BD于点O，利用正方形的性质求出OA的长；利用全等三角形的性质可证得AE=CF=AE=CE，据此可求出AF的长，利用勾股定理可求出OF的长；然后求出BF的长，根据EF=BD-BF，代入计算求出EF的长.
23．【答案】（1）)证明： ∵AB∥CD，
∴∠ABF=∠CDE，
∵BE=EF= FD，
∴BF =DE=2EF，
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE(AAS).
（2）解：四边形AECF是菱形，
连接AE， CF，
由(1)得△ABF≌△CDE，
∴AF=CE， ∠AFB=∠CED，
∴AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAF=90°， BE = EF，
∵∠ABD=30°，
∴AE=AF，
∴四边形AECF是菱形.
【知识点】菱形的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由AB∥CD，得∠ABF =∠CDE， 由BE =EF=FD， 得BF = DE =2EF， 而BAF =∠DCE， 即可根据“AAS”证明△ABF≌△CDE；
(2)由全等三角形的性质得AF=CE，∠AFB=∠CED， 则AF∥CE，所以四边形AECF是平行四边形， 由∠BAF =90°， BE= EF，∠ABD=30°， 可证明 则四边形AECF是菱形.
24．【答案】（1）解：如图1中，过点D作DH⊥BC于点H．
∵AB⊥BC，AD//BC，
∴∠A=∠ABC=90。，
∵∠DHB=90。，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=a，
∵E是AB的中点，
∴AE=EB，
∵∠A=∠EBF=90。，∠AED=∠FEB，
∴△AED≌△BEF(ASA)，
∴AD=FB=a，
∵DF=DC，DH⊥CF，
∴FH=HC=2a，
∴BC=BH+CH=3a；
（2）解：图形如图2所示．
方法：取MN，MQ，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PQ的延长线于点L，连接JT，延长JT交QP的延长线于点G，
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)如图1中，过点D作DH⊥BC于点H，证明BG=AD=a，BH=AD=a，再证明FH=HC=2a可得结论；
(2)取MN，MO，PN的中点J，K，T，连接JK，延长JK交PO的延长线于点L，连接JT，延长JT交OP的延长线于点G即可.
25．【答案】（1）在和中，
，，，
，
；
（2）选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
，
；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
平分，
，
在和中，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
的平分线，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据题意直接运用三角形全等的判定与性质证明即可得到；
（2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，进而根据角平分线的定义得到，从二人根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而结合题意进行线段的运算得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据角的运算即可求解；
选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，根据角平分线的定义得到，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，再根据题意进行角的运算得到，再进行线段的运算得到，等量代换即可求解；
（3）连接，取的中点F，连接，根据根据角平分线的定义结合弧的关系得到，进而得到，从而得到，根据圆周角定理得到，从而结合题意运用三角形全等的判定与性质证明得到，最后结合题意即可求解。
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