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河北省石家庄市第八十一中学2025-2026学年上学期10月月考八年级数学试卷
1．（2025八上·石家庄月考）在下列每组图形中，是全等形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·石家庄月考）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．（2025八上·石家庄月考）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为 （　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·石家庄月考）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八上·石家庄月考）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·石家庄月考）如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·石家庄月考）如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．以上都不对
8．（2025八上·石家庄月考）若式子有意义，则x满足的条件是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且且
9．（2025八上·石家庄月考）甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修．若可列方程表示题中的等量关系，则方程中x表示（　　）
A．甲队每天修路的长度 B．乙队每天修路的长度
C．甲队修路所用的天数 D．乙队修路所用的天数
10．（2025八上·石家庄月考）如图，，点A、B、C分别与D、E、F对应，且点E在上，点B、F、C、D在同一直线上，若，，则下列结论正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
11．（2025八上·石家庄月考）关于x的分式方程 的解为 ，则常数a的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．5
12．（2025八上·石家庄月考）根据下列条件，能画出唯一的是（　　）
A． B．
C． D．
13．（2025八上·石家庄月考）如图（1）所示，已知线段，，求作，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（　　）
A．作的依据为
B．弧是以长为半径画的
C．弧是以点A为圆心，为半径画的
D．弧是以长为半径画的
14．（2025八上·石家庄月考）如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（　　）
A．3 B．5 C．4 D．6
15．（2025八上·石家庄月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2025八上·石家庄月考）如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．（2025八上·石家庄月考）计算：　 　．
18．（2025八上·石家庄月考）若分式的值为0，则x的值为　 　．
19．（2025八上·石家庄月考）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据，计算实线所围成的图形面积是　 　．
20．（2025八上·石家庄月考）解方程：
（1）；
（2）．
21．（2025八上·石家庄月考）计算：
（1）．
（2）
22．（2025八上·石家庄月考）若关于x的分式方程无解，求m的值．
23．（2025八上·石家庄月考）如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：．
24．（2025八上·石家庄月考）“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
25．（2025八上·石家庄月考）阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　 　．
（2）解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：A、选项里两个图形大小不一致，不是全等形，故本选项不符合题意；
B、黑色部分大小不一样，不是全等形，故本选项不符合题意；
C、把第一个图形顺时针旋转，两图形大小和形状都一致，完全重合是全等形，故本选项符合题意；
D、两图像的形状不一样，不是全等形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用全等图形的定义及特征（能够完全重合的两个图形叫做全等图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题；不等式的性质；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：A．该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；
B． 该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；
C． 该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；
D． 该选项的逆命题为：如果，那么是真命题，符合题意．
故答案为：D．
【分析】先分别求出各选项的逆命题，再利用真命题的定义逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】不改变分式的值，是依据分式的基本性质进行变化，分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
【解答】对于分式，把分子和分母同时乘以50，就可以把分式各项系数化为整数，
故选B．
【点评】本题主要考查分式的基本性质的应用，是一个基础题．
4．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以，所以；
故选：B．
【分析】根据全等三角形性质，结合角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：★=
★=
★=
=，
故答案为：A．
【分析】利用分式的混合运算化简求解即可。
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
A．添加可得，可利用判定，故此选项不合题意；
B．添加可利用判定，故此选项不合题意；
C．添加不能判定，故此选项符合题意；
D．添加可利用判定，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
7．【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：，分式的值不变，
故答案为：A．
【分析】利用分式的基本性质并将原分式中的和分别替换为原来的一半，最后求解并判断即可.
8．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的乘除法
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
，
且且，
故答案为：D．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
9．【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：乙队每天比甲队多修，则表示乙队每天修路的长度，
即方程中x表示甲队每天修路的长度，
故答案为：A．
【分析】利用“乙队每天比甲队多修 ”分析可得x表示甲队每天修路的长度，从而得解.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故答案为∶B．
【分析】利用全等三角形的性质可得，，再结合，可得，，从而得解.
11．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边都乘以x（x-a），得：3x=2（x-a），
将x=2代入，得：6=2（2-a），
解得a=-1.
故答案为：A.
【分析】给分式方程两边同时乘以x(x-a)，得：3x=2(x-a)，然后将x=2代入就可得到a的值.
12．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
13．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：A、根据作图知，作的依据为，故选项正确；
B、弧是以长为半径画的，故选项错误；
C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误；
D、弧是以长为半径画的，故选项错误．
故答案为：A.
【分析】利用作图痕迹可得：先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端作，从而可得出所要求的三角形，再利用“ASA”证明三角形全等，最后逐项分析判断即可.
14．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
综上所述，全等的三角形有4对，
故答案为：C．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
15．【答案】B
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：
，故A项错误，不符合题意；
，故B项正确，符合题意；
，故C项错误，不符合题意；
，故D项错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用分式的加法的定义及计算方法（①分母相同，分子相加；②分母不同，先通分，再将分子相加）、分式的减法的定义及计算方法（①分母相同，分子相减；②分母不同，先通分，再将分子相减）、分式的乘法的定义及计算方法（先约分，再将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）和分式的除法的定义及计算方法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）分析求解即可.
16．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：是的中线，
，
在和中，
，
，
，所以①正确；
∵
∴，
，即和面积相等，所以②正确；
∵，
，
∴，所以③正确；
与BC不一定相等，
不能判断，所以④错误．
综上，正确的有3个．
故答案为：C．
【分析】先利用三角形中线的定义可得，再利用“”证明，再利用全等三角形的性质可得，即可判断①；再利用全等三角形的性质可得，最后利用面积的和差可判定②；再利用全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③；最后直接根据全等三角形的判定判断④即可，从而得解.
17．【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：.
【分析】利用分式的除法的定义及计算方法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）分析求解即可.
18．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】 【解答】∵的值为0，∴x2=1，x=1或-1，∵x+1≠0，∴x≠-1，∴x=1
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
19．【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴
∴，
∴，，
∴实线所围成的图形面积是；
故答案为：.
【分析】先利用“一线三等角”证出利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出AC和FH的长，最后利用割补法求出图形的面积即可.
20．【答案】（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
21．【答案】（1）解：原式
．
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（2）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（1）解：
原式
．
；
（2）（2）
原式
．
22．【答案】解：，
方程两边乘，得，
整理，得．
当，即时，分式方程无解．
当时，，分式方程无解．
把代入整式方程，得，解得．
综上，m的值为1或．
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【分析】先将分式方程转换为整式方程，再利用方程无解分类：①当，②当时，再求解即可.
23．【答案】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先利用线段的和差及等量代换可得，再利用平行线的性质可得，最后利用“AAS”证出即可.
24．【答案】（1）解：设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
∴（元）；
答：品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元.
（2）解：设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，
由题意得：，
解得：，
∴品牌垃圾桶最多买10个；
答：品牌垃圾桶最多买10个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，根据“ 用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，根据“ 准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个 ”列出不等式求解即可.
（1）解：设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
∴（元）；
答：品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元；
（2）解：设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，
由题意得：，
解得：，
∴品牌垃圾桶最多买10个；
答：品牌垃圾桶最多买10个．
25．【答案】（1）
（2）证明：延长到，使，如下图所示，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】（1）解：延长到点使，连接，
在和中，
，
，
，
，即，
，
故答案为：.
【分析】（1）延长到点使，连接，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形三边的关系求出即可；
（2）延长到，使，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得再结合，利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得最后利用线段的和差及等量代换可得
（1）解：延长到点使，连接，在和中，
，
，
，
，即，
，
故答案为：；
（2）证明：延长到，使如下图所示，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
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1．（2025八上·石家庄月考）在下列每组图形中，是全等形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】全等图形的概念
【解析】【解答】解：A、选项里两个图形大小不一致，不是全等形，故本选项不符合题意；
B、黑色部分大小不一样，不是全等形，故本选项不符合题意；
C、把第一个图形顺时针旋转，两图形大小和形状都一致，完全重合是全等形，故本选项符合题意；
D、两图像的形状不一样，不是全等形，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用全等图形的定义及特征（能够完全重合的两个图形叫做全等图形）逐项分析判断即可.
2．（2025八上·石家庄月考）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题；不等式的性质；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：A．该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；
B． 该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；
C． 该选项的逆命题为：如果，那么是假命题，不符合题意；
D． 该选项的逆命题为：如果，那么是真命题，符合题意．
故答案为：D．
【分析】先分别求出各选项的逆命题，再利用真命题的定义逐项分析判断即可.
3．（2025八上·石家庄月考）不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【分析】不改变分式的值，是依据分式的基本性质进行变化，分子分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．
【解答】对于分式，把分子和分母同时乘以50，就可以把分式各项系数化为整数，
故选B．
【点评】本题主要考查分式的基本性质的应用，是一个基础题．
4．（2025八上·石家庄月考）如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
因为，所以，所以；
故选：B．
【分析】根据全等三角形性质，结合角之间的关系即可求出答案.
5．（2025八上·石家庄月考）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：★=
★=
★=
=，
故答案为：A．
【分析】利用分式的混合运算化简求解即可。
6．（2025八上·石家庄月考）如图，，添加下列条件，还不能使成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，
，
A．添加可得，可利用判定，故此选项不合题意；
B．添加可利用判定，故此选项不合题意；
C．添加不能判定，故此选项符合题意；
D．添加可利用判定，故此选项不合题意；
故答案为：C．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
7．（2025八上·石家庄月考）如果分式中，，的值都变为原来的一半，则分式的值（　　）
A．不变 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：，分式的值不变，
故答案为：A．
【分析】利用分式的基本性质并将原分式中的和分别替换为原来的一半，最后求解并判断即可.
8．（2025八上·石家庄月考）若式子有意义，则x满足的条件是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件；分式的乘除法
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
，
且且，
故答案为：D．
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
9．（2025八上·石家庄月考）甲、乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，乙队每天比甲队多修．若可列方程表示题中的等量关系，则方程中x表示（　　）
A．甲队每天修路的长度 B．乙队每天修路的长度
C．甲队修路所用的天数 D．乙队修路所用的天数
【答案】A
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：乙队每天比甲队多修，则表示乙队每天修路的长度，
即方程中x表示甲队每天修路的长度，
故答案为：A．
【分析】利用“乙队每天比甲队多修 ”分析可得x表示甲队每天修路的长度，从而得解.
10．（2025八上·石家庄月考）如图，，点A、B、C分别与D、E、F对应，且点E在上，点B、F、C、D在同一直线上，若，，则下列结论正确的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四个选项中只有C选项符合题意，
故答案为∶B．
【分析】利用全等三角形的性质可得，，再结合，可得，，从而得解.
11．（2025八上·石家庄月考）关于x的分式方程 的解为 ，则常数a的值为（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．5
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：
方程两边都乘以x（x-a），得：3x=2（x-a），
将x=2代入，得：6=2（2-a），
解得a=-1.
故答案为：A.
【分析】给分式方程两边同时乘以x(x-a)，得：3x=2(x-a)，然后将x=2代入就可得到a的值.
12．（2025八上·石家庄月考）根据下列条件，能画出唯一的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、，不符合三角形的三边关系，不能画出三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
C、，只有一角一边，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意；
D、，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
13．（2025八上·石家庄月考）如图（1）所示，已知线段，，求作，使，，张蕾的作法如图（2）所示，则下列说法中一定正确的是（　　）
A．作的依据为
B．弧是以长为半径画的
C．弧是以点A为圆心，为半径画的
D．弧是以长为半径画的
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-ASA；尺规作图-作三角形
【解析】【解答】解：A、根据作图知，作的依据为，故选项正确；
B、弧是以长为半径画的，故选项错误；
C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误；
D、弧是以长为半径画的，故选项错误．
故答案为：A.
【分析】利用作图痕迹可得：先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端作，从而可得出所要求的三角形，再利用“ASA”证明三角形全等，最后逐项分析判断即可.
14．（2025八上·石家庄月考）如图，，，请问图中全等的三角形有几对？（　　）
A．3 B．5 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
综上所述，全等的三角形有4对，
故答案为：C．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
15．（2025八上·石家庄月考）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】分式的乘除法；分式的加减法
【解析】【解答】解：
，故A项错误，不符合题意；
，故B项正确，符合题意；
，故C项错误，不符合题意；
，故D项错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用分式的加法的定义及计算方法（①分母相同，分子相加；②分母不同，先通分，再将分子相加）、分式的减法的定义及计算方法（①分母相同，分子相减；②分母不同，先通分，再将分子相减）、分式的乘法的定义及计算方法（先约分，再将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）和分式的除法的定义及计算方法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）分析求解即可.
16．（2025八上·石家庄月考）如图，是的中线，点E在线段上，延长至F，使，连接、下列说法：①；②和面积相等；③；④，其中一定正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形的综合；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：是的中线，
，
在和中，
，
，
，所以①正确；
∵
∴，
，即和面积相等，所以②正确；
∵，
，
∴，所以③正确；
与BC不一定相等，
不能判断，所以④错误．
综上，正确的有3个．
故答案为：C．
【分析】先利用三角形中线的定义可得，再利用“”证明，再利用全等三角形的性质可得，即可判断①；再利用全等三角形的性质可得，最后利用面积的和差可判定②；再利用全等三角形的性质可得，利用平行线的判定定理即可判断③；最后直接根据全等三角形的判定判断④即可，从而得解.
17．（2025八上·石家庄月考）计算：　 　．
【答案】
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：.
【分析】利用分式的除法的定义及计算方法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子）分析求解即可.
18．（2025八上·石家庄月考）若分式的值为0，则x的值为　 　．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】 【解答】∵的值为0，∴x2=1，x=1或-1，∵x+1≠0，∴x≠-1，∴x=1
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
19．（2025八上·石家庄月考）如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据，计算实线所围成的图形面积是　 　．
【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由图可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴
∴，
∴，，
∴实线所围成的图形面积是；
故答案为：.
【分析】先利用“一线三等角”证出利用全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求出AC和FH的长，最后利用割补法求出图形的面积即可.
20．（2025八上·石家庄月考）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】（1）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（2）利用解分式方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”并检验即可）分析求解即可.
（1）解：（1）解方程
．
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：解方程
方程两边同乘，得：
展开并整理：，即，解得．
检验：当时，，
所以是增根，原分式方程无解．
21．（2025八上·石家庄月考）计算：
（1）．
（2）
【答案】（1）解：原式
．
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的加减法；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（2）有括号先计算括号内的，再计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），最后计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减）即可.
（1）解：
原式
．
；
（2）（2）
原式
．
22．（2025八上·石家庄月考）若关于x的分式方程无解，求m的值．
【答案】解：，
方程两边乘，得，
整理，得．
当，即时，分式方程无解．
当时，，分式方程无解．
把代入整式方程，得，解得．
综上，m的值为1或．
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【分析】先将分式方程转换为整式方程，再利用方程无解分类：①当，②当时，再求解即可.
23．（2025八上·石家庄月考）如图，在中，点D是边上一点，点E是边延长线上一点，，点F为外一点，连接，，，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，即，
∵，
∴，
在与中，
，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先利用线段的和差及等量代换可得，再利用平行线的性质可得，最后利用“AAS”证出即可.
24．（2025八上·石家庄月考）“垃圾分一分，环境美十分”．我校为积极响应有关垃圾分类的号召，从超市购进了，两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知品牌垃圾桶比品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同．
（1）求购买一个品牌、一个品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若学校决定再次准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个，恰逢超市对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：品牌按第一次购买时售价的九折出售，品牌比第一次购买时售价下降了20%，那么该学校此次最多可购买多少个品牌垃圾桶？
【答案】（1）解：设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
∴（元）；
答：品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元.
（2）解：设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，
由题意得：，
解得：，
∴品牌垃圾桶最多买10个；
答：品牌垃圾桶最多买10个．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，根据“ 用4000元购买品牌垃圾桶的数量与用6000元购买品牌垃圾桶的数量相同 ”列出方程，再求解即可；
（2）设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，根据“ 准备用不超过4800元购进，两种品牌垃圾桶共50个 ”列出不等式求解即可.
（1）解：设品牌垃圾桶每个x元，则B品牌垃圾桶每个元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
∴（元）；
答：品牌垃圾桶每个100元，则B品牌垃圾桶每个150元；
（2）解：设该学校此次最可购买y个品牌垃圾桶，则可购买A品牌垃圾桶个，
由题意得：，
解得：，
∴品牌垃圾桶最多买10个；
答：品牌垃圾桶最多买10个．
25．（2025八上·石家庄月考）阅读下列材料，然后解决问题：
截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
（1）如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，把集中在中．利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　 　．
（2）解决问题：如图2，在四边形中，分别是边上的两点，且，求证．
【答案】（1）
（2）证明：延长到，使，如下图所示，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】（1）解：延长到点使，连接，
在和中，
，
，
，
，即，
，
故答案为：.
【分析】（1）延长到点使，连接，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形三边的关系求出即可；
（2）延长到，使，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得再结合，利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得最后利用线段的和差及等量代换可得
（1）解：延长到点使，连接，在和中，
，
，
，
，即，
，
故答案为：；
（2）证明：延长到，使如下图所示，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
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