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广东省汕头市潮阳区多校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2026九上·潮阳期末）若是方程的一个解，则n的值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据是方程的一个解，得，解得即可得答案.
2．（2026九上·潮阳期末）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕着某个点旋转后的图形不能与原来的图形重合，故图形不是中心对称图形，A错误.
B、绕着某个点旋转后的图形不能与原来的图形重合，故图形不是中心对称图形，B错误.
C、绕着某个点旋转后的图形不能与原来的图形重合，故图形不是中心对称图形，C错误.
D、绕着某个点旋转后的图形能与原来的图形重合，故图形是中心对称图形，D正确.
故答案为：D．
【分析】根据把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
3．（2026九上·潮阳期末）若一个反比例函数的图象经过，两点，则n的值为（　　）
A．4 B．6 C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数图象经过点，
∴，解得，
∴ 函数解析式为，
∵ 图象经过点，
∴，
整理得，
两边除以得，
∴，
故选A．
【分析】根据待定系数法将点P坐标代入反比例函数可得函数解析式为，再将点Q坐标代入解析式即可求出答案.
4．（2026九上·潮阳期末）如图，量角器外缘上有A，B，C三点，且A，B两点所表示的读数分别是，，则应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
连接，，根据题意得：，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，，根据题意得：，，即可得，，进一步得，根据圆周角定理得.
5．（2026九上·潮阳期末）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．浑水摸鱼 B．守株待兔 C．水中捞月 D．滴水石穿
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 鱼可能存在于浑水中，故浑水摸鱼是随机事件，A错误.
B.兔子撞树是偶然的， 故守株待兔是随机事件，B错误.
C. 月亮在水中是虚影，无法捞取，一定不会发生，故水中捞月是不可能事件，C正确.
D. 水滴长期滴落能穿透石头，故滴水石穿是必然事件，D错误.
故答案为：C．
【分析】根据事件的定义，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
6．（2026九上·潮阳期末）将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向右平移个单位长度得，，再向上平移个单位长度得，，
故答案为：．
【分析】由二次函数的平移规律，可直接得出二次函数平移之后的函数解析式的顶点式，即可得出答案。
7．（2026九上·潮阳期末）我市某家物流公司，去年10月份与12月份完成运输的货物总件数分别为4万件和万件，若设该物流公司由10月份到12月份运输总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】设月平均增长率为x，根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】根据基期量平均增长率=末期量，代入数据即可列方程.
8．（2026九上·潮阳期末）如图，为直径，是的切线，为切点，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，为切点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，结合等腰三角形的性质得，进一步得，再结合切线的性质得，再根据直角三角形两锐角互余得即可.
9．（2026九上·潮阳期末）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图，
根据图形得冰激凌蛋筒圆锥的底面直径为，母线长为，
∴冰激凌蛋筒圆锥的底面半径为，
∴冰激凌蛋筒圆锥部分包装纸的面积是：．
故答案为：B．
【分析】根据图形得冰激凌蛋筒圆锥的底面直径为，母线长为，进一步得冰激凌蛋筒圆锥的底面半径为，再根据圆锥的侧面积底面半径母线长即可得答案.
10．（2026九上·潮阳期末）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍数点”．若关于x的二次函数（n为常数）总有两个不同的倍数点，则n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据“倍数点”定义，设倍数点为，代入函数，得：，
∴，
∵总有两个不同的倍数点，
∴方程有两个不同的实根，
∴，即，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据倍数点的定义，点在二次函数上，代入得方程，再根据总有两个不同的倍数点，该方程需有两个不同的实根，即可得，即，进一步得即可得答案.
11．（2026九上·潮阳期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，你正确的动作应是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转　 　度．
【答案】90
【知识点】生活中的旋转现象；旋转对称图形
【解析】【解答】解：在体育课上，“向右转”的动作是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度．
故答案为：90．
【分析】根据旋转的概念，结合生活实际，正确理解“向右转”这一旋转动作的旋转角度即可．
12．（2026九上·潮阳期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是　 　．
【答案】三等奖
【知识点】可能性的大小；概率的简单应用
【解析】【解答】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为：，
（获一等奖），（获二等奖），（获三等奖），
∵，
∴获奖可能性最大的奖项是三等奖．
故答案为：三等奖．
【分析】根据一等奖、二等奖、三等奖的比为，可得总比例为：，进一步可计算出（获一等奖），（获二等奖），（获三等奖），比较大小即可.
13．（2026九上·潮阳期末）在物理力学知识的学习中，小华同学利用如图所示的装置设计了一个探究“杠杆平衡条件”的实验：
点为杠杆的中点，实验前，杠杆在水平位置平衡，实验时，在点左侧固定位置处悬挂三个砝码，在点右侧用一个弹簧测力计施加一个竖直向下的拉力，杠杆仍能在水平位置平衡，改变弹簧测力计与点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况，实验数据记录如下：
… 10 20 30 40 50 …
… 30 15 10 7.5 6 …
则与之间的函数关系式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格数据发现：表中每对x与y的值的乘积相等，
即可猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，即.
∴设，
∴当，时，，
∴，
∴y与x的函数关系式为：．
故答案为：．
【分析】观察表格数据发现：表中每对x与y的值的乘积相等，即可猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，即，任意代入一组数据即可得y与x之间的函数关系即可得答案.
14．（2026九上·潮阳期末）已知a，b是方程的根，则的值为　 　．
【答案】0
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ a，b 是方程的根，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为： 0．
【分析】根据a，b 是方程的根得，，代入计算即可得答案.
15．（2026九上·潮阳期末）如图，是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．若，则求阴影部分的面积　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，
连接、，，，并延长交于K，过点E作于G，过点D作于H，
∵是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．
∴，，平分，，，，且，
∴，点K与点F重合，即O，F，B三点共线，
∴垂直平分，同理垂直平分，垂直平分，
∴点D是的中点，点F是的中点，
∴，，，
∵，则，
∴，，
∴，，
∴弓形面积为，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【分析】连接、，，，并延长交于K，过点E作于G，过点D作于H，根据是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F，即可得，，平分，，，，且，进一步得点D是的中点，点F是的中点，根据，则，可求出，，，，进一步得弓形面积为，进一步得阴影部分的面积为：即可.
16．（2026九上·潮阳期末）列方程解应用题：如图，在一块边长为的正方形铁皮的四角各截去一边长为的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是，求边长x．
【答案】解：由题意可得，
解得（不合题意，舍去）．
答：原正方形铁皮的边长为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据长方体的体积建立方程，解方程即可求出答案..
17．（2026九上·潮阳期末）如图，圆形拱门最下端在地面上，D为的中点，C为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，路面的宽为2，高为5，求圆形拱门所在圆的半径．
【答案】解：如图，
连接，
∵，，
∴，
设，
∵
∴，
在中利用勾股定理，得，
∴，
∴，
∴拱门所在圆的半径为.
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】连接，根据，，结合垂径定理得，设，根据得，根据勾股定理列方程解出即可得拱门所在圆的半径为.
18．（2026九上·潮阳期末）小明、小红两个人乘坐上海轨道交通2号线，在人民广场站下车，现有A、B两个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等．
（1）小明走A出口的概率是　 　；
（2）请用树状图或表格法求小明、小红两人走同一出口的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有4种等可能的结果小明、小红两人走同一出口的情况有2种．
∴小明、小红两人走同一出口的概率.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意一共有A、B两个出口，共2种结果，其中小明走A出口的可能是1种，其概率是.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意一共有A、B两个出口，共2种结果，其中小明走A出口的可能是1种，其概率是.
（2）根据题意画树状图，
由图可知，共有4种等可能的结果小明、小红两人走同一出口的情况有2种，即可得小明、小红两人走同一出口的概率.
（1）解：因为一共有A、B两个出口，则小明走A出口的概率是；
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有4种等可能的结果小明、小红两人走同一出口的情况有2种．
所以小明、小红两人走同一出口的概率.
19．（2026九上·潮阳期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于，B两点，与反比例函数（，）的图象交于点C，过点C作y轴的平行线与x轴交于点D，点B关于直线对称的点E在反比例函数（，）的图象上．
（1）求B点的坐标；
（2）求k的值．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于，
∴.
∴.
∴一次函数的图象与y轴交点B的坐标为.
（2）解：∵轴，点关于直线对称的点E在反比例函数（，）的图象上．
∴E的坐标为．
∴D点的坐标为．
在中，当时，．
∴．
∵点C在一次函数的图象上，
∴．
解得．
∴k的值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据一次函数的图象与x轴交于，即可得，解出
，即可得一次函数的图象与y轴交点B的坐标为.
（2）根据轴，点关于直线对称的点E在反比例函数（，）的图象上，在中，当时，， 得、、，再根据点C在一次函数的图象上，即可得，计算得k的值为．
（1）解：一次函数的图象与x轴交于，
∴.
∴.
∴一次函数的图象与y轴交点B的坐标为；
（2）解：∵轴，点关于直线对称的点E在反比例函数（，）的图象上．
∴E的坐标为．
∴D点的坐标为．
在中，当时，．
∴．
∵点C在一次函数的图象上，
∴．
解得．
∴k的值为．
20．（2026九上·潮阳期末）发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高，发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 33 45 49 45 m 0
根据以上数据，解决下列问题：
（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是 ，表格中的值为 ；
（2）求出满足条件的函数表达式；
（3）若发球机的发球高度减少，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后 过网（填“能”或“不能”）．
【答案】（1），
（2）解：由（）可知，抛物线的顶点坐标为，设，
把代入，得，
解得，
∴满足条件的函数表达式为.
（3）能
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为时，水平距离为，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是，
∵当和当时的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴与时对应的函数值相等，
∵时，
∴，
故答案为：，.
（3）解：当发球机的发球高度减少时，则此时抛物线解析式为，
当时，，
∵，
∴乒乓球从发球机出口发出后能过网.
故答案为：能．
【分析】（）根据表格中的数据，当乒乓球的竖直高度为时，水平距离为，即可得当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是，根据当和当时的函数值相同，即可得抛物线的对称轴为直线，进一步即可得.
（）由（）可知抛物线的顶点坐标为，设，把代入，得，解得，即可得答案.
（）当发球机的发球高度减少时，可得抛物线解析式为，当时，求出的值，进而比较即可判断求解.
（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为时，水平距离为，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是，
∵当和当时的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴与时对应的函数值相等，
∵时，
∴，
故答案为：，
（2）解：由（）可知，抛物线的顶点坐标为，
设，
把代入，得，
解得，
∴满足条件的函数表达式为；
（3）解：当发球机的发球高度减少时，则此时抛物线解析式为，
当时，，
∵，
∴乒乓球从发球机出口发出后能过网，
故答案为：能．
21．（2026九上·潮阳期末）如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接．
（1）将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形：
（2）在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形．
【答案】（1）解：根据题意作图如下，
为所求.
（2）证明：如图，
连接，由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）以点D为旋转中心，把线段顺时针方向旋转即可得图形.
（2）连接，由旋转性质得，，，即可得是等边三角形，进一步得
，，根据，得，即可得，根据全等性质得，，再根据，，得，，即可得，即可得四边形为平行四边形．
（1）解：如图，为所求；
（2）证明：连接，
由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
22．（2026九上·潮阳期末）如图1，点，点在x轴正半轴上，点O关于对称的点为C，轴，交射线于点D．为的外接圆．
（1）如图2，当M点在上时，证明：为的切线；
（2）如图3，当M点在上时，求x的值；
（3）设，直接写出y与x的函数关系式．
【答案】（1）证明：如图，
连接，，
∵点O关于对称的点为C，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的外接圆，
∴，，
∵M点在上，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线.
（2）解：如图，
连接，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵为的外接圆，
∴，，，
∵M点在上，
∴，
∴，
∴，
∴M的纵坐标为2，
∵M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴ x的值 为.
（3）解：设D的坐标为，
∵点O关于对称的点为C，
∴平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴解得，
∵A，C，D 共线，
∴，即 ，
∴y与x的函数关系式为.
【知识点】坐标与图形性质；列二次函数关系式；线段垂直平分线的性质；切线的判定；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，，根据点O关于对称的点为C，即可得垂直平分，进一步得，，根据，可证明，即可得，进一步得，根据为的外接圆，得，，
再根据互余关系和等量代换求得即可是的切线.
（2）连接，由（1）得，即可得，根据，得，根据为的外接圆得，再证得M的纵坐标为2，，根据勾股定理得，即可得x的值 为.
（3）设D的坐标为，根据点O关于对称的点为C，得平分，即可得，
根据轴，得，进一步得，则，得，由 A，C，D 共线，得即可得y与x的函数关系式为.
（1）证明：连接，，
∵点O关于对称的点为C，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的外接圆，
∴，，
∵M点在上，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵为的外接圆，
∴，，，
∵M点在上，
∴，
∴，
∴，
∴M的纵坐标为2，
∵M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
即
（3）解：设D的坐标为，
∵点O关于对称的点为C，
∴平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得
由 A，C，D 共线，得，
即 ，
即．
23．（2026九上·潮阳期末）已知：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）当时，求点A与点B的坐标；
（2）如图，若，且，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点为线段上一动点，过点M垂直x轴的直线交抛物线于点P，交抛物线于点Q，设点P、点Q的纵坐标分别为、，若的最小值为5，求n的值．
【答案】（1）解：当，时，抛物线解析式为，
当时，，解得，，
∴点，点.
（2）解：如图，
在上取点，连接，
∵，，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵抛物线与y轴交于点C坐标为，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线经过、，
∴，解得
∴抛物线的解析式为.
（3）解：依题意得，点在抛物线上，点在上，
∴，，
∴，
当时，
∵，
∴时，的最小值为5，
∴=5
∴（舍去）或
当时，若，则时，的最小值为5
∴
∴（舍去）
当时，若，则时，的最小值为5
∴
解得（舍去），.
∴n的值为或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把，代入得抛物线解析式得抛物线解析式为，
，当时，，解得，，即可得 点A与点B的坐标 .
（2）在上取点，连接，求出，，在中，，即可得，即可得，进一步得，根据抛物线经过、，得，解出即可得抛物线的解析式为.
（3）依题意得，点在抛物线上，点在上，即可得，当时，根据，时，的最小值为5，即可得=5解出（舍去）或，同理得当时和当时n的值，综合即可得答案.
（1）解：∵当，时，抛物线解析式为
当时，
解得，
∴点，点；
（2）解：如图，在上取点，连接，
∵，，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵抛物线与y轴交于点C坐标为，
∴
在中，，
∴
∴
∴
∵抛物线经过、，
∴，解得
∴抛物线的解析式为；
（3）解：依题意得，点在抛物线上，点在上，
∴，，
∴
当时，
∵，
∴时，的最小值为5
∴=5
∴（舍去）或
当时，若，则时，的最小值为5
∴
∴（舍去）
当时，若，则时，的最小值为5
∴
解得（舍去），.
∴n的值为或.
1 / 1广东省汕头市潮阳区多校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
1．（2026九上·潮阳期末）若是方程的一个解，则n的值为（　　）
A．4 B． C．5 D．
2．（2026九上·潮阳期末）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九上·潮阳期末）若一个反比例函数的图象经过，两点，则n的值为（　　）
A．4 B．6 C． D．
4．（2026九上·潮阳期末）如图，量角器外缘上有A，B，C三点，且A，B两点所表示的读数分别是，，则应为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026九上·潮阳期末）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（　　）
A．浑水摸鱼 B．守株待兔 C．水中捞月 D．滴水石穿
6．（2026九上·潮阳期末）将抛物线向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线的解析式为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026九上·潮阳期末）我市某家物流公司，去年10月份与12月份完成运输的货物总件数分别为4万件和万件，若设该物流公司由10月份到12月份运输总件数的月平均增长率为x，则以下所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026九上·潮阳期末）如图，为直径，是的切线，为切点，交的延长线于点，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026九上·潮阳期末）如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026九上·潮阳期末）若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍数点”．若关于x的二次函数（n为常数）总有两个不同的倍数点，则n的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
11．（2026九上·潮阳期末）在体育课上，当老师下达口令“向右转”时，你正确的动作应是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转　 　度．
12．（2026九上·潮阳期末）某超市的抽奖活动转盘，一等奖、二等奖、三等奖区域的面积比为，则一名顾客转动一次转盘，获奖可能性最大的奖项是　 　．
13．（2026九上·潮阳期末）在物理力学知识的学习中，小华同学利用如图所示的装置设计了一个探究“杠杆平衡条件”的实验：
点为杠杆的中点，实验前，杠杆在水平位置平衡，实验时，在点左侧固定位置处悬挂三个砝码，在点右侧用一个弹簧测力计施加一个竖直向下的拉力，杠杆仍能在水平位置平衡，改变弹簧测力计与点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况，实验数据记录如下：
… 10 20 30 40 50 …
… 30 15 10 7.5 6 …
则与之间的函数关系式为　 　．
14．（2026九上·潮阳期末）已知a，b是方程的根，则的值为　 　．
15．（2026九上·潮阳期末）如图，是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．若，则求阴影部分的面积　 　．
16．（2026九上·潮阳期末）列方程解应用题：如图，在一块边长为的正方形铁皮的四角各截去一边长为的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是，求边长x．
17．（2026九上·潮阳期末）如图，圆形拱门最下端在地面上，D为的中点，C为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，路面的宽为2，高为5，求圆形拱门所在圆的半径．
18．（2026九上·潮阳期末）小明、小红两个人乘坐上海轨道交通2号线，在人民广场站下车，现有A、B两个出口，假设他们从任意出口通过的可能性均等．
（1）小明走A出口的概率是　 　；
（2）请用树状图或表格法求小明、小红两人走同一出口的概率．
19．（2026九上·潮阳期末）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于，B两点，与反比例函数（，）的图象交于点C，过点C作y轴的平行线与x轴交于点D，点B关于直线对称的点E在反比例函数（，）的图象上．
（1）求B点的坐标；
（2）求k的值．
20．（2026九上·潮阳期末）发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高，发球机采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分．某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：
水平距离 0 10 50 90 130 170 230
竖直高度 33 45 49 45 m 0
根据以上数据，解决下列问题：
（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是 ，表格中的值为 ；
（2）求出满足条件的函数表达式；
（3）若发球机的发球高度减少，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后 过网（填“能”或“不能”）．
21．（2026九上·潮阳期末）如图，是等边三角形，点D、点E分别在，上，且．连接．
（1）将线段绕点D按顺时针方向旋转得到线段．请在图中利用尺规作图按上述要求补全图形：
（2）在（1）条件下，连接、，证明：四边形为平行四边形．
22．（2026九上·潮阳期末）如图1，点，点在x轴正半轴上，点O关于对称的点为C，轴，交射线于点D．为的外接圆．
（1）如图2，当M点在上时，证明：为的切线；
（2）如图3，当M点在上时，求x的值；
（3）设，直接写出y与x的函数关系式．
23．（2026九上·潮阳期末）已知：抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）当时，求点A与点B的坐标；
（2）如图，若，且，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点为线段上一动点，过点M垂直x轴的直线交抛物线于点P，交抛物线于点Q，设点P、点Q的纵坐标分别为、，若的最小值为5，求n的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据是方程的一个解，得，解得即可得答案.
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、绕着某个点旋转后的图形不能与原来的图形重合，故图形不是中心对称图形，A错误.
B、绕着某个点旋转后的图形不能与原来的图形重合，故图形不是中心对称图形，B错误.
C、绕着某个点旋转后的图形不能与原来的图形重合，故图形不是中心对称图形，C错误.
D、绕着某个点旋转后的图形能与原来的图形重合，故图形是中心对称图形，D正确.
故答案为：D．
【分析】根据把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，分别对A、B、C、D各选项进行判断即可得答案.
3．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数图象经过点，
∴，解得，
∴ 函数解析式为，
∵ 图象经过点，
∴，
整理得，
两边除以得，
∴，
故选A．
【分析】根据待定系数法将点P坐标代入反比例函数可得函数解析式为，再将点Q坐标代入解析式即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
连接，，根据题意得：，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，，根据题意得：，，即可得，，进一步得，根据圆周角定理得.
5．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A. 鱼可能存在于浑水中，故浑水摸鱼是随机事件，A错误.
B.兔子撞树是偶然的， 故守株待兔是随机事件，B错误.
C. 月亮在水中是虚影，无法捞取，一定不会发生，故水中捞月是不可能事件，C正确.
D. 水滴长期滴落能穿透石头，故滴水石穿是必然事件，D错误.
故答案为：C．
【分析】根据事件的定义，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项进行判断即可得答案.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：抛物线向右平移个单位长度得，，再向上平移个单位长度得，，
故答案为：．
【分析】由二次函数的平移规律，可直接得出二次函数平移之后的函数解析式的顶点式，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】设月平均增长率为x，根据题意得：．
故答案为：C．
【分析】根据基期量平均增长率=末期量，代入数据即可列方程.
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，
连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，为切点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据，结合等腰三角形的性质得，进一步得，再结合切线的性质得，再根据直角三角形两锐角互余得即可.
9．【答案】B
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：如图，
根据图形得冰激凌蛋筒圆锥的底面直径为，母线长为，
∴冰激凌蛋筒圆锥的底面半径为，
∴冰激凌蛋筒圆锥部分包装纸的面积是：．
故答案为：B．
【分析】根据图形得冰激凌蛋筒圆锥的底面直径为，母线长为，进一步得冰激凌蛋筒圆锥的底面半径为，再根据圆锥的侧面积底面半径母线长即可得答案.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据“倍数点”定义，设倍数点为，代入函数，得：，
∴，
∵总有两个不同的倍数点，
∴方程有两个不同的实根，
∴，即，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据倍数点的定义，点在二次函数上，代入得方程，再根据总有两个不同的倍数点，该方程需有两个不同的实根，即可得，即，进一步得即可得答案.
11．【答案】90
【知识点】生活中的旋转现象；旋转对称图形
【解析】【解答】解：在体育课上，“向右转”的动作是以右脚跟为旋转中心，沿着顺时针方向旋转90度．
故答案为：90．
【分析】根据旋转的概念，结合生活实际，正确理解“向右转”这一旋转动作的旋转角度即可．
12．【答案】三等奖
【知识点】可能性的大小；概率的简单应用
【解析】【解答】一等奖、二等奖、三等奖的比为，总比例为：，
（获一等奖），（获二等奖），（获三等奖），
∵，
∴获奖可能性最大的奖项是三等奖．
故答案为：三等奖．
【分析】根据一等奖、二等奖、三等奖的比为，可得总比例为：，进一步可计算出（获一等奖），（获二等奖），（获三等奖），比较大小即可.
13．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：观察表格数据发现：表中每对x与y的值的乘积相等，
即可猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，即.
∴设，
∴当，时，，
∴，
∴y与x的函数关系式为：．
故答案为：．
【分析】观察表格数据发现：表中每对x与y的值的乘积相等，即可猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，即，任意代入一组数据即可得y与x之间的函数关系即可得答案.
14．【答案】0
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵ a，b 是方程的根，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为： 0．
【分析】根据a，b 是方程的根得，，代入计算即可得答案.
15．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，
连接、，，，并延长交于K，过点E作于G，过点D作于H，
∵是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F．
∴，，平分，，，，且，
∴，点K与点F重合，即O，F，B三点共线，
∴垂直平分，同理垂直平分，垂直平分，
∴点D是的中点，点F是的中点，
∴，，，
∵，则，
∴，，
∴，，
∴弓形面积为，
∴阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【分析】连接、，，，并延长交于K，过点E作于G，过点D作于H，根据是等边三角形的内切圆，分别与、、切于点D、E、F，即可得，，平分，，，，且，进一步得点D是的中点，点F是的中点，根据，则，可求出，，，，进一步得弓形面积为，进一步得阴影部分的面积为：即可.
16．【答案】解：由题意可得，
解得（不合题意，舍去）．
答：原正方形铁皮的边长为．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】根据长方体的体积建立方程，解方程即可求出答案..
17．【答案】解：如图，
连接，
∵，，
∴，
设，
∵
∴，
在中利用勾股定理，得，
∴，
∴，
∴拱门所在圆的半径为.
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】连接，根据，，结合垂径定理得，设，根据得，根据勾股定理列方程解出即可得拱门所在圆的半径为.
18．【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有4种等可能的结果小明、小红两人走同一出口的情况有2种．
∴小明、小红两人走同一出口的概率.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意一共有A、B两个出口，共2种结果，其中小明走A出口的可能是1种，其概率是.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意一共有A、B两个出口，共2种结果，其中小明走A出口的可能是1种，其概率是.
（2）根据题意画树状图，
由图可知，共有4种等可能的结果小明、小红两人走同一出口的情况有2种，即可得小明、小红两人走同一出口的概率.
（1）解：因为一共有A、B两个出口，则小明走A出口的概率是；
（2）解：画树状图如下：
由图可知，共有4种等可能的结果小明、小红两人走同一出口的情况有2种．
所以小明、小红两人走同一出口的概率.
19．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于，
∴.
∴.
∴一次函数的图象与y轴交点B的坐标为.
（2）解：∵轴，点关于直线对称的点E在反比例函数（，）的图象上．
∴E的坐标为．
∴D点的坐标为．
在中，当时，．
∴．
∵点C在一次函数的图象上，
∴．
解得．
∴k的值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣对称；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）根据一次函数的图象与x轴交于，即可得，解出
，即可得一次函数的图象与y轴交点B的坐标为.
（2）根据轴，点关于直线对称的点E在反比例函数（，）的图象上，在中，当时，， 得、、，再根据点C在一次函数的图象上，即可得，计算得k的值为．
（1）解：一次函数的图象与x轴交于，
∴.
∴.
∴一次函数的图象与y轴交点B的坐标为；
（2）解：∵轴，点关于直线对称的点E在反比例函数（，）的图象上．
∴E的坐标为．
∴D点的坐标为．
在中，当时，．
∴．
∵点C在一次函数的图象上，
∴．
解得．
∴k的值为．
20．【答案】（1），
（2）解：由（）可知，抛物线的顶点坐标为，设，
把代入，得，
解得，
∴满足条件的函数表达式为.
（3）能
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为时，水平距离为，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是，
∵当和当时的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴与时对应的函数值相等，
∵时，
∴，
故答案为：，.
（3）解：当发球机的发球高度减少时，则此时抛物线解析式为，
当时，，
∵，
∴乒乓球从发球机出口发出后能过网.
故答案为：能．
【分析】（）根据表格中的数据，当乒乓球的竖直高度为时，水平距离为，即可得当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是，根据当和当时的函数值相同，即可得抛物线的对称轴为直线，进一步即可得.
（）由（）可知抛物线的顶点坐标为，设，把代入，得，解得，即可得答案.
（）当发球机的发球高度减少时，可得抛物线解析式为，当时，求出的值，进而比较即可判断求解.
（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为时，水平距离为，
∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是，
∵当和当时的函数值相同，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴与时对应的函数值相等，
∵时，
∴，
故答案为：，
（2）解：由（）可知，抛物线的顶点坐标为，
设，
把代入，得，
解得，
∴满足条件的函数表达式为；
（3）解：当发球机的发球高度减少时，则此时抛物线解析式为，
当时，，
∵，
∴乒乓球从发球机出口发出后能过网，
故答案为：能．
21．【答案】（1）解：根据题意作图如下，
为所求.
（2）证明：如图，
连接，由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）以点D为旋转中心，把线段顺时针方向旋转即可得图形.
（2）连接，由旋转性质得，，，即可得是等边三角形，进一步得
，，根据，得，即可得，根据全等性质得，，再根据，，得，，即可得，即可得四边形为平行四边形．
（1）解：如图，为所求；
（2）证明：连接，
由旋转性质得，，，
∴为等边三角形．
∴，．
∵是等边三角形，
∴，.
∵，，
∴.
∴.
∴，.
∵，，
∴，．
∴．
∴四边形为平行四边形．
22．【答案】（1）证明：如图，
连接，，
∵点O关于对称的点为C，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的外接圆，
∴，，
∵M点在上，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线.
（2）解：如图，
连接，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵为的外接圆，
∴，，，
∵M点在上，
∴，
∴，
∴，
∴M的纵坐标为2，
∵M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴ x的值 为.
（3）解：设D的坐标为，
∵点O关于对称的点为C，
∴平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴解得，
∵A，C，D 共线，
∴，即 ，
∴y与x的函数关系式为.
【知识点】坐标与图形性质；列二次函数关系式；线段垂直平分线的性质；切线的判定；切线的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接，，根据点O关于对称的点为C，即可得垂直平分，进一步得，，根据，可证明，即可得，进一步得，根据为的外接圆，得，，
再根据互余关系和等量代换求得即可是的切线.
（2）连接，由（1）得，即可得，根据，得，根据为的外接圆得，再证得M的纵坐标为2，，根据勾股定理得，即可得x的值 为.
（3）设D的坐标为，根据点O关于对称的点为C，得平分，即可得，
根据轴，得，进一步得，则，得，由 A，C，D 共线，得即可得y与x的函数关系式为.
（1）证明：连接，，
∵点O关于对称的点为C，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的外接圆，
∴，，
∵M点在上，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵为的外接圆，
∴，，，
∵M点在上，
∴，
∴，
∴，
∴M的纵坐标为2，
∵M在的垂直平分线上，
∴，
∴，
即
（3）解：设D的坐标为，
∵点O关于对称的点为C，
∴平分，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴
解得
由 A，C，D 共线，得，
即 ，
即．
23．【答案】（1）解：当，时，抛物线解析式为，
当时，，解得，，
∴点，点.
（2）解：如图，
在上取点，连接，
∵，，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵抛物线与y轴交于点C坐标为，
∴
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线经过、，
∴，解得
∴抛物线的解析式为.
（3）解：依题意得，点在抛物线上，点在上，
∴，，
∴，
当时，
∵，
∴时，的最小值为5，
∴=5
∴（舍去）或
当时，若，则时，的最小值为5
∴
∴（舍去）
当时，若，则时，的最小值为5
∴
解得（舍去），.
∴n的值为或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把，代入得抛物线解析式得抛物线解析式为，
，当时，，解得，，即可得 点A与点B的坐标 .
（2）在上取点，连接，求出，，在中，，即可得，即可得，进一步得，根据抛物线经过、，得，解出即可得抛物线的解析式为.
（3）依题意得，点在抛物线上，点在上，即可得，当时，根据，时，的最小值为5，即可得=5解出（舍去）或，同理得当时和当时n的值，综合即可得答案.
（1）解：∵当，时，抛物线解析式为
当时，
解得，
∴点，点；
（2）解：如图，在上取点，连接，
∵，，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∵抛物线与y轴交于点C坐标为，
∴
在中，，
∴
∴
∴
∵抛物线经过、，
∴，解得
∴抛物线的解析式为；
（3）解：依题意得，点在抛物线上，点在上，
∴，，
∴
当时，
∵，
∴时，的最小值为5
∴=5
∴（舍去）或
当时，若，则时，的最小值为5
∴
∴（舍去）
当时，若，则时，的最小值为5
∴
解得（舍去），.
∴n的值为或.
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