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贵州省遵义新蒲新区2025-2026学年上学期八年级期末数学试题
1．（2026八上·遵义期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
2．（2026八上·遵义期末）下列希腊字母中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026八上·遵义期末）北京大学科研团队成功研制出高精度模拟矩阵计算芯片，在求解矩阵方程时，其相对误差可低至0.0000001量级．将数据0.0000001用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·遵义期末）点关于x轴对称的点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
5．（2026八上·遵义期末）某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026八上·遵义期末）计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2026八上·遵义期末）化简的结果为（　　）
A．2 B．1 C． D．
8．（2026八上·遵义期末）数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝，如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等．
小英却说：“不用再测量，因为≌，所以”
小英用到的判定三角形全等的方法是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026八上·遵义期末）若，则代数式的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
10．（2026八上·遵义期末）数形结合是初中数学重要的思想方法，如图所示的几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2026八上·遵义期末）小星和小红到距离新浦的遵义会议纪念馆参观，小星乘燃油车先出发，后，小红乘新能源车出发，结果他们同时到达．已知新能源车的平均速度是燃油车平均速度的倍，设燃油车的平均速度为，则列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2026八上·遵义期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
13．（2026八上·遵义期末）请你写出一个比大的整数　 　．
14．（2026八上·遵义期末）贵州花江峡谷大桥全长2890米，大桥多采用三角形结构（如图），使其不易变形，其蕴含的数学道理是　 　．（填序号）
①三角形具有稳定性；②三角形的内角和为；③三角形任意两边之和大于第三边．
15．（2026八上·遵义期末）分解因式：　 　．
16．（2026八上·遵义期末）如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为，当四边形的周长最小时，则的长为　 　．
17．（2026八上·遵义期末）（1）请在①，②，③，④中任选3个代数式求和．
（2）计算：．
18．（2026八上·遵义期末）已知分式：，，；
（1）要使分式有意义，则的取值范围为______．
（2）化简，并从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值
19．（2026八上·遵义期末）如图，，；有如下条件：①；②．
（1）从①②中选一个作为已知条件，求证：；
（2）若，，求点到点的距离．
20．（2026八上·遵义期末）【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线上的所有点的横坐标均为，则直线称为直线．如图，直线上的横坐标均为3，记为直线．探索关于直线对称的点的坐标规律如下：
已知点 对称轴 对称点 横坐标之间的数量关系
直线
直线
直线
（1）【特例感知】根据以上图表，可知关于直线对称的点的坐标为______．
（2）【规律应用】结合以上规律完成下列问题：
①点关于直线对称的点的坐标为______．
②若点关于直线对称的点的坐标为，则的值为______．
（3）【深入拓展】若点与点关于直线对称，求点的坐标．（用含有，，的代数式表示）
21．（2026八上·遵义期末）第十五届全国运动会在广州开幕，吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，寓意“喜气洋洋，团圆和美”，商店用1800元购进吉祥物“喜洋洋”和用3000元购进吉祥物“乐融融”．
（1）求吉祥物“乐融融”和“喜洋洋”的购进单价
（2）该商店将吉祥物“乐融融”的售价定为95元／件，全部售出后总利润不低于1280元．求吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为多少元？
22．（2026八上·遵义期末）【教材呈现】小红练习了人教版八年级上册数学118页第7题，并进行了深入研究：
7.已知，，求的值 解： 的值为．
（1）【解决问题】已知，，求的值；
（2）【知识迁移】已知，求的值．
23．（2026八上·遵义期末）【课本再现】小新完成人教版八年级上册数学53页第8题后再深入拓展，并对四边形进行了如下尺规作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧交于点，交于点；
②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；
③作射线交于点．
若，点为中点．
（1）【问题解决】线段与的位置关系为______．
（2）【尝试证明】求证：；
（3）【拓展提高】若，，求的长．
24．（2026八上·遵义期末）阅读材料，回答下列问题（规定且）：
材料一：乘方：求个相同因数（）乘积的运算，叫作乘方，记作：，其中，为底数，为指数，结果为幂．如：．设，，有如下性质：
（1）；
（2）；
材料二：开方：如果一个数的次方等于（即：），称为的次方根．记作： ，为被开方数，为根指数．如：
材料三：对数：如果，那么被称为以为底的对数，记作，其中为对数的底数，为真数．如：，则．设，，则，，，有如下性质及推导过程：
（1）；
（2）；
（1）推导过程：
；
规律总结：乘方、开方、对数之间的关系：．
（1）根据以上材料规律：已知；则______；______
（2）类比材料三的推导过程，求证：；
（3）根据阅读材料计算：．
25．（2026八上·遵义期末）综合与探究：
【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点
（1）【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点．
①补全图形，则的度数为 ▲ ；
②若点在线段上，求证：；
③若点在射线上，，，求的长；
（2）【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．因为，所以能构成三角形，故Ａ正确.
B．因为，所以不能构成三角形，故Ｂ错误.
C．因为，所以不能构成三角形，故Ｃ错误.
D．因为，所以不能构成三角形，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项计算较小两边之和与最大边的比较，即可判断是否能构成三角形．
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：∵ α、β、γ不存在一条直线使图形对折后两侧完全重合，
∴α、β、γ不是轴对称图形.
∵ θ 存在一条直线使图形对折后两侧完全重合，
∴ θ是轴对称图形.
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义分别对 α、β、γ、θ进行判断即可得答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据科学计算法的表示方法得：.
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法表示形式为，进一步确定n、a的值，即可得答案.
4．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：根据关于x轴对称的点的特点得：点关于x轴对称的点的坐标为.
故答案为：C．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据两直线平行，内错角相等，结合，得．
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故Ａ错误.
B、，故Ｂ正确.
C、，故Ｃ错误.
D、与不是同类项，不能合并，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】根据，，，与不是同类项，不能合并即可得答案.
7．【答案】B
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据同分母分式相加，分母不变，把分子相加，对进行计算即可得答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在与中，
，
∴，
，
故选：A．
【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
故答案为：D．
【分析】根据得，代入代数式求值即可得答案.
10．【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，
前一幅图中阴影部分面积等于大正方形的面积，减去小正方形的面积，即，
后一幅图中阴影部分为两个梯形，其面积等于，
二者面积相等，则有．
故答案为：A．
【分析】求出前一幅图中阴影部分面积为，后一幅图中阴影部分面积为，根据二者面积相等即可得.
11．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设燃油车平均速度为，则新能源车速度为，由题意得：
，即，
故答案为：C．
【分析】设燃油车平均速度为，则新能源车速度为，根据小星先出发，同时到达，故小星所用时间比小红多（即小时），利用，列出时间差方程即可．
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
由作图过程可知：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：C．
【分析】由作图过程可得是的垂直平分线，得到，则，，进而推出，由三角形内角和定理得，进一步计算得即可求解．
13．【答案】2
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：通过有理数估算可知，
整数是正整数、零和负整数，
但比大的整数应为正整数，且最小整数为，
因此可写出或更大整数，
故答案为：.
【分析】根据是无理数，其近似值约为，因此比大的整数包括所有大于等于的整数，如、、等即可得答案.
14．【答案】①
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：如图，
大桥多采用三角形结构，使其不易变形，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性．
故答案为：①．
【分析】根据题目图形发现大桥多采用三角形结构，使其不易变形，即可知道其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性．
15．【答案】2（m＋n）（m－n）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为：2（m＋n）（m－n）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
16．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
过作交直线于，在上方作，交直线于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形的周长为，
∴当最小时，四边形的周长最小，
由垂线段最短可得最小，
∵四边形的面积为，
∴，
∴
∴，
∴当四边形的周长最小时，则的长为.
故答案为：．
【分析】过作交直线于，在上方作，交直线于，先证明，得到，，，则是等边三角形，得到，，四边形的周长为，当最小时，四边形的周长最小，由垂线段最短可得最小，再由面积求出即可．
17．【答案】解：（1）∵，，，
∴从，，，中任选三个计算，
选择①②③，其结果为.
（2）原式
【知识点】单项式乘单项式；有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）分别计算出四个代数式①，②，③，④的值，然后任选三个进行求和运算即可.
（2）把进行同底数幂的乘法，乘方最后合并同类项即可．
18．【答案】（1）
（2）解：根据题意得，，
∴
∵分式、、要有意义，则，分式是除数，故分式不能为0，
∴，
∴当时，原式.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：使分式有意义，则分母不为零，
∴，解得，
故答案为：．
【分析】（1）使分式有意义，得，解出即可.
（2）把，，代入先进行化简得，根据计算过程中分式要有意义，即可选择当时，原式.
（1）解：使分式有意义，
则分母不为零，
∴，
得，
故答案为：．
（2）解：
；
由于分式、、要有意义，则，
又∵分式是除数，故分式不能为0，
∴，
故当时，上式，
当时，上式，
综上，当时，的值为；当时，的值为．
19．【答案】（1）解：选择①，证明如下，
如图，
∵，
∴，
在和中，
，
∴.
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴点到点的距离为8．
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）选择①，根据可证明即可.
（2）根据平行线的性质，结合，，得，再根据，得是等边三角形，即可得点到点的距离为8．
（1）选择①，
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
选择②，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即点到点的距离为8．
20．【答案】（1）解：
（2）解：①
②
（3）解：∵关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
∴点关于直线对称的点的坐标．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（1）解：根据表格可以发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
∴关于直线对称的点的坐标为，即，
故答案为：.
（2）解：结合表格规律发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
①点关于直线对称的点的坐标为，即，
故答案为：．
②∵点关于直线对称的点的坐标为，
∴，解得
故答案为：．
【分析】（1）根据表格可以发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，即可得答案.
（2）结合表格规律发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，①根据点关于直线对称的点的坐标为，即，②根据点关于直线对称的点的坐标为，得，解出即可.
（3）根据关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，得点关于直线对称的点的坐标．
（1）解：根据表格可以发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
∴关于直线对称的点的坐标为，即，
故答案为：；
（2）解：结合表格规律发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
①点关于直线对称的点的坐标为，即，
故答案为：．
②∵点关于直线对称的点的坐标为，
∴，
解得
故答案为：．
（3）解：∵关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
∴点关于直线对称的点的坐标．
21．【答案】（1）解：设吉祥物“乐融融”的购进单价为元，则吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是元，根据题意得：，解得，
经检验是分式方程的解，
，
∴吉祥物“乐融融”的购进单价为75元，吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是90元.
（2）解：设吉祥物“喜洋洋”每件的售价为元，购进“喜洋洋”（件），购进“乐融融”（件），
根据题意得：，解得，
∴吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为114元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设吉祥物“乐融融”的购进单价为元，则吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是元，结合题意列分式方程，解出即可.
（2）设吉祥物“喜洋洋”每件的售价为元，分别计算出购进“乐融融”和“喜洋洋”的件数，再根据全部售出后总利润不低于1280元，列出不等式，解出即可.
（1）解：设吉祥物“乐融融”的购进单价为元，则吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
，
答：吉祥物“乐融融”的购进单价为75元，吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是90元；
（2）解：设吉祥物“喜洋洋”每件的售价为元，
购进“喜洋洋”（件），
购进“乐融融”（件），
根据题意得，
解得，
答：吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为114元．
22．【答案】（1）解：∵
∴
∴
∴的值为．
（2）解：∵
∴
∴的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；分式的值
【解析】【分析】（1）根据得，进一步得，把代入计算即可得的值为．
（2）把进行平方计算，得出，将代入计算即可求出值．
（1）解：∵
∴
∴
∴的值为．
（2）解：∵
∴
∴的值为．
23．【答案】（1）
（2）证明：如图，
过点E作于点F，
由作图过程可知：平分，
∴，
∵，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图，
延长交于，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】
（1）根据得，即可得.
（2）如图，过点E作于点F，根据作图过程可知，平分，得，再根据点为中点，得，即可证明得，即可推出，进而可得.
（3）延长交于，根据，，，得，再根据，，，得，即可得，，进一步可得，可得．
（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，过点E作于点F，
由作图过程可知：平分，
∴，
∵，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
24．【答案】（1）；
（2）解：令，，则，，，
∴．
（3）解：根据材料三的性质，得，
∵，
∴．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；归纳与类比
【解析】【解答】（1）解：∵，得，
∴，得，
∵，得，
∴，得，
故答案为：；．
【分析】（1）根据，得，即可得，得，再根据，得，即可得，得，即可.
（2）令，，则，，，即可得令，，则，，.
（3）根据材料三的性质，得，得.
（1）解：∵，得，
∴，得，
∵，得，
∴，得，
故答案为：；．
（2）解：令，，
则，，，
∴．
（3）解：根据材料三的性质，
得，
∵，
∴．
25．【答案】（1）解：①
；.
②若点在线段上，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
③若点在线段上，由②可得，
∵，，
∴，
∴.
若点在射线上，在下方，如图：
由②同理可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
综上所述，的长为或.
（2）解：的面积为.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）解：①补全图形如下：
连接，
∵，点在的平分线上，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：.
（2）解：由（1）可得，
∵，
∴，，
取一点，使，，过作交直线于，连接，
∴，，
∴，
∴，，
设，，则，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
连接，取中点，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即，
代入得，
整理得，
∴．
【分析】（1）①连接，由角平分线得到，，再根据三角形内角和得到，即可根据等于加求解即可.
②若点在线段上，根据已知条件可证明与全等，得到与相等，进一步得等于的和，结合，得到.
③点在线段上，由②可得，即可得，同理得若点在射线上，在下方时，，综合即可得答案.
（2）根据已知条件求出，取一点，使，，过作交直线于，连接，证明全等，得到，，设，，则可求出，，，根据等于和和的和，得到，连接，取中点，连接，根据三角形面积公式即可得.
（1）解：①连接，补全图形如图所示：
∵，点在的平分线上，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：；
②若点在线段上，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
③若点在线段上，由②可得，
∵，，
∴，
∴；
若点在射线上，在下方，如图：
由②同理可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
（2）解：由（1）可得，
∵，
∴，，
取一点，使，，过作交直线于，连接，
∴，，
∴，
∴，，
设，，则，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
连接，取中点，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即，
代入得，
整理得，
∴．
1 / 1贵州省遵义新蒲新区2025-2026学年上学期八年级期末数学试题
1．（2026八上·遵义期末）下列长度的三条线段能构成三角形的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A．因为，所以能构成三角形，故Ａ正确.
B．因为，所以不能构成三角形，故Ｂ错误.
C．因为，所以不能构成三角形，故Ｃ错误.
D．因为，所以不能构成三角形，故Ｄ错误.
故答案为：A．
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，分别对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ各选项计算较小两边之和与最大边的比较，即可判断是否能构成三角形．
2．（2026八上·遵义期末）下列希腊字母中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：∵ α、β、γ不存在一条直线使图形对折后两侧完全重合，
∴α、β、γ不是轴对称图形.
∵ θ 存在一条直线使图形对折后两侧完全重合，
∴ θ是轴对称图形.
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义分别对 α、β、γ、θ进行判断即可得答案.
3．（2026八上·遵义期末）北京大学科研团队成功研制出高精度模拟矩阵计算芯片，在求解矩阵方程时，其相对误差可低至0.0000001量级．将数据0.0000001用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：根据科学计算法的表示方法得：.
故答案为：C．
【分析】根据科学记数法表示形式为，进一步确定n、a的值，即可得答案.
4．（2026八上·遵义期末）点关于x轴对称的点的坐标为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：根据关于x轴对称的点的特点得：点关于x轴对称的点的坐标为.
故答案为：C．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得答案.
5．（2026八上·遵义期末）某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴.
故答案为：D．
【分析】根据两直线平行，内错角相等，结合，得．
6．（2026八上·遵义期末）计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故Ａ错误.
B、，故Ｂ正确.
C、，故Ｃ错误.
D、与不是同类项，不能合并，故Ｄ错误.
故答案为：B．
【分析】根据，，，与不是同类项，不能合并即可得答案.
7．（2026八上·遵义期末）化简的结果为（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】分式的加减法；同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】根据同分母分式相加，分母不变，把分子相加，对进行计算即可得答案.
8．（2026八上·遵义期末）数学活动课上，小星制作了一个燕尾形的风筝，如图，，，他准备用刻度尺量和的长是否相等．
小英却说：“不用再测量，因为≌，所以”
小英用到的判定三角形全等的方法是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在与中，
，
∴，
，
故选：A．
【分析】根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
9．（2026八上·遵义期末）若，则代数式的值为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴．
∴．
故答案为：D．
【分析】根据得，代入代数式求值即可得答案.
10．（2026八上·遵义期末）数形结合是初中数学重要的思想方法，如图所示的几何图形描述了一个重要的数学公式，这个公式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：如图，
前一幅图中阴影部分面积等于大正方形的面积，减去小正方形的面积，即，
后一幅图中阴影部分为两个梯形，其面积等于，
二者面积相等，则有．
故答案为：A．
【分析】求出前一幅图中阴影部分面积为，后一幅图中阴影部分面积为，根据二者面积相等即可得.
11．（2026八上·遵义期末）小星和小红到距离新浦的遵义会议纪念馆参观，小星乘燃油车先出发，后，小红乘新能源车出发，结果他们同时到达．已知新能源车的平均速度是燃油车平均速度的倍，设燃油车的平均速度为，则列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设燃油车平均速度为，则新能源车速度为，由题意得：
，即，
故答案为：C．
【分析】设燃油车平均速度为，则新能源车速度为，根据小星先出发，同时到达，故小星所用时间比小红多（即小时），利用，列出时间差方程即可．
12．（2026八上·遵义期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接．若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，
由作图过程可知：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴．
故答案为：C．
【分析】由作图过程可得是的垂直平分线，得到，则，，进而推出，由三角形内角和定理得，进一步计算得即可求解．
13．（2026八上·遵义期末）请你写出一个比大的整数　 　．
【答案】2
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：通过有理数估算可知，
整数是正整数、零和负整数，
但比大的整数应为正整数，且最小整数为，
因此可写出或更大整数，
故答案为：.
【分析】根据是无理数，其近似值约为，因此比大的整数包括所有大于等于的整数，如、、等即可得答案.
14．（2026八上·遵义期末）贵州花江峡谷大桥全长2890米，大桥多采用三角形结构（如图），使其不易变形，其蕴含的数学道理是　 　．（填序号）
①三角形具有稳定性；②三角形的内角和为；③三角形任意两边之和大于第三边．
【答案】①
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：如图，
大桥多采用三角形结构，使其不易变形，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性．
故答案为：①．
【分析】根据题目图形发现大桥多采用三角形结构，使其不易变形，即可知道其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性．
15．（2026八上·遵义期末）分解因式：　 　．
【答案】2（m＋n）（m－n）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】
故答案为：2（m＋n）（m－n）．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
16．（2026八上·遵义期末）如图，在四边形中，，，，，四边形的面积为，当四边形的周长最小时，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，
过作交直线于，在上方作，交直线于，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形的周长为，
∴当最小时，四边形的周长最小，
由垂线段最短可得最小，
∵四边形的面积为，
∴，
∴
∴，
∴当四边形的周长最小时，则的长为.
故答案为：．
【分析】过作交直线于，在上方作，交直线于，先证明，得到，，，则是等边三角形，得到，，四边形的周长为，当最小时，四边形的周长最小，由垂线段最短可得最小，再由面积求出即可．
17．（2026八上·遵义期末）（1）请在①，②，③，④中任选3个代数式求和．
（2）计算：．
【答案】解：（1）∵，，，
∴从，，，中任选三个计算，
选择①②③，其结果为.
（2）原式
【知识点】单项式乘单项式；有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方）；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）分别计算出四个代数式①，②，③，④的值，然后任选三个进行求和运算即可.
（2）把进行同底数幂的乘法，乘方最后合并同类项即可．
18．（2026八上·遵义期末）已知分式：，，；
（1）要使分式有意义，则的取值范围为______．
（2）化简，并从，，，中选取一个合适的数作为的值代入求值
【答案】（1）
（2）解：根据题意得，，
∴
∵分式、、要有意义，则，分式是除数，故分式不能为0，
∴，
∴当时，原式.
【知识点】分式有无意义的条件；分式的加减法；分式的化简求值
【解析】【解答】（1）解：使分式有意义，则分母不为零，
∴，解得，
故答案为：．
【分析】（1）使分式有意义，得，解出即可.
（2）把，，代入先进行化简得，根据计算过程中分式要有意义，即可选择当时，原式.
（1）解：使分式有意义，
则分母不为零，
∴，
得，
故答案为：．
（2）解：
；
由于分式、、要有意义，则，
又∵分式是除数，故分式不能为0，
∴，
故当时，上式，
当时，上式，
综上，当时，的值为；当时，的值为．
19．（2026八上·遵义期末）如图，，；有如下条件：①；②．
（1）从①②中选一个作为已知条件，求证：；
（2）若，，求点到点的距离．
【答案】（1）解：选择①，证明如下，
如图，
∵，
∴，
在和中，
，
∴.
（2）解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴点到点的距离为8．
【知识点】点到直线的距离；平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）选择①，根据可证明即可.
（2）根据平行线的性质，结合，，得，再根据，得是等边三角形，即可得点到点的距离为8．
（1）选择①，
证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
选择②，
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
即点到点的距离为8．
20．（2026八上·遵义期末）【观察思考】在平面直角坐标系中，若直线上的所有点的横坐标均为，则直线称为直线．如图，直线上的横坐标均为3，记为直线．探索关于直线对称的点的坐标规律如下：
已知点 对称轴 对称点 横坐标之间的数量关系
直线
直线
直线
（1）【特例感知】根据以上图表，可知关于直线对称的点的坐标为______．
（2）【规律应用】结合以上规律完成下列问题：
①点关于直线对称的点的坐标为______．
②若点关于直线对称的点的坐标为，则的值为______．
（3）【深入拓展】若点与点关于直线对称，求点的坐标．（用含有，，的代数式表示）
【答案】（1）解：
（2）解：①
②
（3）解：∵关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
∴点关于直线对称的点的坐标．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】（1）解：根据表格可以发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
∴关于直线对称的点的坐标为，即，
故答案为：.
（2）解：结合表格规律发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
①点关于直线对称的点的坐标为，即，
故答案为：．
②∵点关于直线对称的点的坐标为，
∴，解得
故答案为：．
【分析】（1）根据表格可以发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，即可得答案.
（2）结合表格规律发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，①根据点关于直线对称的点的坐标为，即，②根据点关于直线对称的点的坐标为，得，解出即可.
（3）根据关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，得点关于直线对称的点的坐标．
（1）解：根据表格可以发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
∴关于直线对称的点的坐标为，即，
故答案为：；
（2）解：结合表格规律发现：关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
①点关于直线对称的点的坐标为，即，
故答案为：．
②∵点关于直线对称的点的坐标为，
∴，
解得
故答案为：．
（3）解：∵关于直线对称的点纵坐标一样，横坐标和为，
∴点关于直线对称的点的坐标．
21．（2026八上·遵义期末）第十五届全国运动会在广州开幕，吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，寓意“喜气洋洋，团圆和美”，商店用1800元购进吉祥物“喜洋洋”和用3000元购进吉祥物“乐融融”．
（1）求吉祥物“乐融融”和“喜洋洋”的购进单价
（2）该商店将吉祥物“乐融融”的售价定为95元／件，全部售出后总利润不低于1280元．求吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为多少元？
【答案】（1）解：设吉祥物“乐融融”的购进单价为元，则吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是元，根据题意得：，解得，
经检验是分式方程的解，
，
∴吉祥物“乐融融”的购进单价为75元，吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是90元.
（2）解：设吉祥物“喜洋洋”每件的售价为元，购进“喜洋洋”（件），购进“乐融融”（件），
根据题意得：，解得，
∴吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为114元．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设吉祥物“乐融融”的购进单价为元，则吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是元，结合题意列分式方程，解出即可.
（2）设吉祥物“喜洋洋”每件的售价为元，分别计算出购进“乐融融”和“喜洋洋”的件数，再根据全部售出后总利润不低于1280元，列出不等式，解出即可.
（1）解：设吉祥物“乐融融”的购进单价为元，则吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验是分式方程的解，
，
答：吉祥物“乐融融”的购进单价为75元，吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是90元；
（2）解：设吉祥物“喜洋洋”每件的售价为元，
购进“喜洋洋”（件），
购进“乐融融”（件），
根据题意得，
解得，
答：吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为114元．
22．（2026八上·遵义期末）【教材呈现】小红练习了人教版八年级上册数学118页第7题，并进行了深入研究：
7.已知，，求的值 解： 的值为．
（1）【解决问题】已知，，求的值；
（2）【知识迁移】已知，求的值．
【答案】（1）解：∵
∴
∴
∴的值为．
（2）解：∵
∴
∴的值为．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；分式的值
【解析】【分析】（1）根据得，进一步得，把代入计算即可得的值为．
（2）把进行平方计算，得出，将代入计算即可求出值．
（1）解：∵
∴
∴
∴的值为．
（2）解：∵
∴
∴的值为．
23．（2026八上·遵义期末）【课本再现】小新完成人教版八年级上册数学53页第8题后再深入拓展，并对四边形进行了如下尺规作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧交于点，交于点；
②分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；
③作射线交于点．
若，点为中点．
（1）【问题解决】线段与的位置关系为______．
（2）【尝试证明】求证：；
（3）【拓展提高】若，，求的长．
【答案】（1）
（2）证明：如图，
过点E作于点F，
由作图过程可知：平分，
∴，
∵，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图，
延长交于，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】（1）解：如图，
∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】
（1）根据得，即可得.
（2）如图，过点E作于点F，根据作图过程可知，平分，得，再根据点为中点，得，即可证明得，即可推出，进而可得.
（3）延长交于，根据，，，得，再根据，，，得，即可得，，进一步可得，可得．
（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）证明：如图，过点E作于点F，
由作图过程可知：平分，
∴，
∵，，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长交于，
∵，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
24．（2026八上·遵义期末）阅读材料，回答下列问题（规定且）：
材料一：乘方：求个相同因数（）乘积的运算，叫作乘方，记作：，其中，为底数，为指数，结果为幂．如：．设，，有如下性质：
（1）；
（2）；
材料二：开方：如果一个数的次方等于（即：），称为的次方根．记作： ，为被开方数，为根指数．如：
材料三：对数：如果，那么被称为以为底的对数，记作，其中为对数的底数，为真数．如：，则．设，，则，，，有如下性质及推导过程：
（1）；
（2）；
（1）推导过程：
；
规律总结：乘方、开方、对数之间的关系：．
（1）根据以上材料规律：已知；则______；______
（2）类比材料三的推导过程，求证：；
（3）根据阅读材料计算：．
【答案】（1）；
（2）解：令，，则，，，
∴．
（3）解：根据材料三的性质，得，
∵，
∴．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；开立方（求立方根）；归纳与类比
【解析】【解答】（1）解：∵，得，
∴，得，
∵，得，
∴，得，
故答案为：；．
【分析】（1）根据，得，即可得，得，再根据，得，即可得，得，即可.
（2）令，，则，，，即可得令，，则，，.
（3）根据材料三的性质，得，得.
（1）解：∵，得，
∴，得，
∵，得，
∴，得，
故答案为：；．
（2）解：令，，
则，，，
∴．
（3）解：根据材料三的性质，
得，
∵，
∴．
25．（2026八上·遵义期末）综合与探究：
【问题背景】如图，，点在的平分线上，于点
（1）【操作探究】如图①，点在射线上，连接，过点作交射线于点，过点作于点．
①补全图形，则的度数为 ▲ ；
②若点在线段上，求证：；
③若点在射线上，，，求的长；
（2）【拓展应用】如图②，点在线段上，连接，，，直接写出的面积．
【答案】（1）解：①
；.
②若点在线段上，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
③若点在线段上，由②可得，
∵，，
∴，
∴.
若点在射线上，在下方，如图：
由②同理可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
综上所述，的长为或.
（2）解：的面积为.
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）解：①补全图形如下：
连接，
∵，点在的平分线上，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：.
（2）解：由（1）可得，
∵，
∴，，
取一点，使，，过作交直线于，连接，
∴，，
∴，
∴，，
设，，则，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
连接，取中点，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即，
代入得，
整理得，
∴．
【分析】（1）①连接，由角平分线得到，，再根据三角形内角和得到，即可根据等于加求解即可.
②若点在线段上，根据已知条件可证明与全等，得到与相等，进一步得等于的和，结合，得到.
③点在线段上，由②可得，即可得，同理得若点在射线上，在下方时，，综合即可得答案.
（2）根据已知条件求出，取一点，使，，过作交直线于，连接，证明全等，得到，，设，，则可求出，，，根据等于和和的和，得到，连接，取中点，连接，根据三角形面积公式即可得.
（1）解：①连接，补全图形如图所示：
∵，点在的平分线上，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：；
②若点在线段上，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
③若点在线段上，由②可得，
∵，，
∴，
∴；
若点在射线上，在下方，如图：
由②同理可得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
综上所述，的长为或；
（2）解：由（1）可得，
∵，
∴，，
取一点，使，，过作交直线于，连接，
∴，，
∴，
∴，，
设，，则，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
连接，取中点，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
即，
代入得，
整理得，
∴．
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