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贵州六盘水市六枝特区2025~2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学
1．（2026八上·六枝特期末）下列实数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数是无限不循环小数，是无限不循环小数。
故答案为：A.
【分析】本题考查无理数的认识.
2．（2026八上·六枝特期末）下列图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有C选项对应的图形是轴对称图形，其余四个选项对应的图形均不是轴对称图形。
故答案为：C．
【分析】一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。本题根据轴对称图形的定义逐个图形进行分析即可得出答案。
3．（2026八上·六枝特期末）在平面直角坐标系中，位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：平面直角坐标系中，位于第四象限，
故答案为：．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
4．（2026八上·六枝特期末）已知变量之间的关系式为，当时，的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；函数值
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：B．
【分析】本题将代入，然后列式计算即可得出答案。
5．（2026八上·六枝特期末）已知是方程的解，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
将，代入方程，得，
解得．
故答案为：C．
【分析】本题条件中“是方程的解 ”，因此将，将方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，此时求出的值即可．
6．（2026八上·六枝特期末）如图，，直线与分别交于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题先根据“两直线平行、同位角相等”得出；然后根据对顶角相等得到．
7．（2026八上·六枝特期末）小明参加篮球技能大赛，两项技能得分情况如下表所示（每项满分100分）：
项目 投球技能 控球技能
得分 70 90
若综合成绩按投球技能占，控球技能占来计分，则小明的综合成绩为（　　）
A．50分 B．78分 C．80分 D．82分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：综合成绩=（分）．
故答案为：B．
【分析】本题结合条件“ 综合成绩按投球技能占，控球技能占来计分 ”，然后结合表中数据，并运用加权平均数的计算方法列式即可求出综合成绩．
8．（2026八上·六枝特期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是同位角
B．三角形两边的平方和等于第三边的平方
C．立方根等于本身的数只有0和1
D．如果，那么
【答案】D
【知识点】等式的基本性质；勾股定理；同位角的概念；真命题与假命题；立方根的性质
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是同位角，同位角也不一定相等，故原命题是假命题；
B、只有直角三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方，故原命题是假命题；
C、立方根等于本身的数有0，1和，故原命题是假命题；
D、如果，那么，是真命题；
故答案为：D．
【分析】本题结合同位角定义可以判断A选项；勾股定理判断B选项；立方根性质判断C选项；等式的传递性判断D选项，进而选出真命题即可．
9．（2026八上·六枝特期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过二、三、四象限．则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限，
∴且。
四个选项中，只有D选项符合条件，
故答案为：D．
【分析】一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限。本题中因为一次函数经过二、三、四象限，从而对应得出且，最后从选项中找出满足条件的即可。
10．（2026八上·六枝特期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合，
，
，
∵，
，即，
解得，
故答案为：A．
【分析】本题先依据折叠的性质并结合图中信息，得出，然后利长方形的性质得出，最后放到Rt△AEB中，利用勾股定理列式计算即可．
11．（2026八上·六枝特期末）小亮骑自行车前往离家2千米的图书馆，骑行5分钟后遇到同学，停留聊天10分钟，继续骑行5分钟到达图书馆，下列选项中能大致描述他去图书馆的过程中离图书馆的距离（千米）与所用时间（分）之间的关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：结合条件，小亮去图书馆的过程中离图书馆的距离（千米）与所用时间（分）之间的关系的图象是：
故答案为：C．
【分析】本题结合条件“ 骑行5分钟后遇到同学，停留聊天10分钟 ”，则中间5到15分钟的函数图象是平行于t轴的线段；“ 继续骑行5分钟到达图书馆 ”，即最终在第20分钟的时候，对应s是2千米，由此得出关于s和t的图象，即可得出答案。
12．（2026八上·六枝特期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在格点上，则点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：，
设点到直线的距离为，
则，
而
解得；
故答案为：C．
【分析】本题先依据勾股定理列式求出=，然后利用割补法求出的面积为，再利用三角面积计算公式列出，此时即可求出h，即点到直线的距离．
13．（2026八上·六枝特期末）4的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
14．（2026八上·六枝特期末）甲、乙两支篮球队队员身高的平均数均为，若甲、乙两队队员身高的方差分别为，则队员身高更为整齐的球队是　 　队．（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即乙队身高更为整齐．
故答案为：乙．
【分析】数据中，方差越小，数据波动越小。题中分析得出，乙队员身高的方差小于甲队员身高的方差，因此乙队身高越整齐．
15．（2026八上·六枝特期末）若，则　 　．
【答案】
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；求二次根式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴；
故答案为：．
【分析】本题先利用绝对值和平方的非负性，求出m=2、n=6，然后代入中计算并化简即可．
16．（2026八上·六枝特期末）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，等边的顶点的坐标是，点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动，第2025秒时点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形-动点问题；探索规律-点的坐标规律；已知正弦值求边长；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：∵等边的顶点的坐标是，
∴，
∵点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动，
∴每经过秒，点回到原点，
∵，
2×3=6，OA+=4+2=6，
∴第2025秒时点的坐标与第3秒时点的坐标相同，此时点运动到的中点处，
设的中点为，作轴，如图，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
∴第2025秒时点的坐标是；
故答案为：．
【分析】本题结合等边三角形的性质和条件“ 点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动 ”，计算得出点每6秒回到原点，然后计算出第2025秒时点所在的位置为AB中点，此时结合图中信息做辅助线，并放到Rt△ACD中，利用三角函数计算得出AD=1、CD=，最后作差得出OD=3，此时即可得出C点坐标，即为第2025秒时点的坐标。
17．（2026八上·六枝特期末）（1）计算：；
（2）解方程组：
【答案】（1）解：；
（2）解：
将①代入②得，，
解得，
将代入①得，，
∴原方程组的解为．
【知识点】零指数幂；代入消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）分别计算绝对值，立方根，零指数幂，最后再计算加减即可；
（2）利用代入消元法先求出x=4，最后将x=4代入①中求出y即可．
18．（2026八上·六枝特期末）已知的各顶点坐标分别为．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出；
（2）请在如图所示的平面直角坐标系中画出关于轴对称的，并写出点的坐标__________；
（3）在轴上是否存在点，使得的值最小？若存在满足条件的点，请在图中作出该点，并求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2），
（3）解：如图，点即为所求；
．
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；尺规作图-作三角形；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】（2）解：∵B（2，6），
∴；
故答案为：（2）；
【分析】（1）现在平面直角坐标系中描出点A、B、C，连线即可画出；
（2）先找到点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1即可画出，然后可以结合图中信息写出点的坐标，也可以依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变、横坐标互为相反数”写出即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，得到，得到当点在线段上时，，此时最小，然后利用勾股定理列式求解即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；；
（3）解：如图，点即为所求；
．
19．（2026八上·六枝特期末）为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，．
（1）试判断图中的形状，并说明理由；
（2）经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即是直角三角形．
（2）解：由（1）知，而，
∴，
（元），
∴改造这块土地需要1800元。
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）先放到直角三角形ABD中，利用勾股定理求出，再利用列式得出，此时利用勾股定理的逆定理即可得出答案；
（2）结合（1）的证明结果，将四边形分割成两个直角三角形，分别列式求出面积后求和，最后计算费用即可．
（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，则（舍负）
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：由（1）知，而
∴，
∴费用为：（元）
20．（2026八上·六枝特期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标．
【答案】（1）解：把，代入，
得：，解得，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴或；
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；三角形-动点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将，代入，得到关于k和b的方程组，最后求出k和b即可得出函数解析式；
（2）设，因为C点在x轴上，此时可以利用两点距离公式和绝对值的性质，计算得出；然后利用三角形面积和“的面积是面积的2倍”，列出关于c的方程，求解即可．
（1）解：把，代入，得：
，解得，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴或；
∴或．
21．（2026八上·六枝特期末）已知：如图，在中，的平分线交于点，点是上的一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先由角平分线的性质以及条件，得出，再由“内错角相等，两直线平行”即可得出证明结果；
（2）根据三角形内角和为，计算得出=54°，再由“两直线平行，同位角相等”即可求解的度数．
（1）证明：∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
22．（2026八上·六枝特期末）12月4日是国家宪法日，为了激发青少年学习法律的热情，某校举办了“宪法进校园”法律知识竞赛活动，旨在了解学生对法律知识的掌握情况．该校从八（1）班、八（2）班学生的知识竞赛成绩中，各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．
八（1）班：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
八（2）班：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
八（1）班、八（2）班抽取的学生的成绩统计表
班级 最小值 四分位数 最大值
八（1）班 _________ _________ _________ 100
八（2）班 70 80 93 96
（1）上述表中，__________，__________；
（2）求出八（1）班这组数据的四分位数，并补全八（1）班成绩的箱线图；
（3）请你利用所学的统计知识，对这两个班知识竞赛的成绩情况进行分析和评价．
【答案】（1）60，90
（2）解：八（1）班成绩从低到高排序后为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
∴；
∵60，70，70，80，89的中位数为；91，92，96，98，100中位数为，
∴，；
补全八（1）班成绩的箱线图，如图所示：
（3）解：∵两个班级中位数都是90，
∴两个班中间水平的学生的成绩相当，
而从箱线图可得八（2）班的成绩更稳定等．
【知识点】中位数；箱线图；四分位数
【解析】【解答】（1）解：两个班级成绩从低到高排序后为：
八（1）班：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
八（2）班：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96．
∴，，
故答案为：（1）60，90；
【分析】（1）将两个班级成绩排序，首先可以找出八（1）班最小值a=60，然后结合四分位数的定义即可求出b的值；
（2）根据下四分位数、中位数以及上四分位数的定义，分别列式计算得出、，，然后补全箱线图；
（3）结合中位线和箱线图进行分析即可．
（1）解：两个班级成绩排序后为：
八（1）班：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
八（2）班：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96．
∴，，
故答案为：60，90；
（2）解：八（1）班成绩排序后：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
∴；
而60，70，70，80，89的中位数为；而91，92，96，98，100中位数为，
故；；
补全八（1）班成绩的箱线图，如图所示：
（3）解：两个班级中位数相同，说明中间水平的学生的成绩相当，从箱线图可得八（2）班的成绩更稳定等．
23．（2026八上·六枝特期末）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【答案】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：
，解得：，
∴1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨.
（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，依题意得：
20m+15n=190，即，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；
方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；
方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．
方案1所需费用：5008+4002=4800(元)；
方案2所需费用：5005+4006=4900(元)；
方案3所需费用：5002+40010=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，
∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“已知条件列方程组，解出即可.
（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆，根据已知条件列出二元一次方程20m+15n=190，解出，再根据m，n均为正整数，解出即可得各运输方案，再根据方案计算比较得出费用最小的数据．
24．（2026八上·六枝特期末）阅读理解：
我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法：
解：，
．
又……①，
，
即……②．
由得：，
即，
在这个方程的两边同时平方得：，
解得：．
将代入原方程检验，可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
（1）若，则的“对偶式”为_____，__________；
（2）解方程：．
【答案】（1），；
（2）解：，
∴．
∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；加减消元法解二元一次方程组；利用开平方求未知数
【解析】【解答】（1）解：，
其“对偶式”；
；
故答案为：（1），．
【分析】（1）根据题目中对偶式的定义，结合条件可以直接写出，再根据材料中的计算步骤，利用平方差公式计算即可得出的值；
（2）先构造已知方程左边的对偶式，此时可以利用平方差公式求出两个式子的乘积为5；然后结合原方程的值为5得到对偶式的式子的值为1，再通过加减消元计算求解，最后检验即可。
（1）解：根据“对偶式”的定义，，
其“对偶式”；
；
故答案为：，．
（2）解：，
∴．
又∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
25．（2026八上·六枝特期末）已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方．
（1）观察·思考
直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________；
（2）操作 思考
将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分；
（3）联系拓广
将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值．
【答案】（1），
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平分。
（3）解：当在上方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度为，
∴；
当在直线的下方时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度为，
∴；
综上：或．
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：（1），；
【分析】（1）先依据“两直线平行、同位角相等”得到，然后结合平角的定义求出=30°，最后依据“内错角相等，两直线平行”得到；
（2）依据角平分线的定义求出=30°，然后结合平角的定义求出=120°，并计算出=60°，从而得出，从而得证；
（3）分在上方和在下方两种情况，结合平行线的判断性质以及旋转的性质计算求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，；
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：当在上方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度为，
∴；
当在直线的下方时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度为，
∴；
综上：或．
1 / 1贵州六盘水市六枝特区2025~2026学年度第一学期期末质量监测 八年级数学
1．（2026八上·六枝特期末）下列实数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026八上·六枝特期末）下列图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026八上·六枝特期末）在平面直角坐标系中，位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2026八上·六枝特期末）已知变量之间的关系式为，当时，的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2026八上·六枝特期末）已知是方程的解，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．4
6．（2026八上·六枝特期末）如图，，直线与分别交于点．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026八上·六枝特期末）小明参加篮球技能大赛，两项技能得分情况如下表所示（每项满分100分）：
项目 投球技能 控球技能
得分 70 90
若综合成绩按投球技能占，控球技能占来计分，则小明的综合成绩为（　　）
A．50分 B．78分 C．80分 D．82分
8．（2026八上·六枝特期末）下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是同位角
B．三角形两边的平方和等于第三边的平方
C．立方根等于本身的数只有0和1
D．如果，那么
9．（2026八上·六枝特期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过二、三、四象限．则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026八上·六枝特期末）如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2026八上·六枝特期末）小亮骑自行车前往离家2千米的图书馆，骑行5分钟后遇到同学，停留聊天10分钟，继续骑行5分钟到达图书馆，下列选项中能大致描述他去图书馆的过程中离图书馆的距离（千米）与所用时间（分）之间的关系的图象是（　　）
A． B．
C． D．
12．（2026八上·六枝特期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，的每个顶点都在格点上，则点到直线的距离为（　　）
A． B． C． D．
13．（2026八上·六枝特期末）4的算术平方根是　 　．
14．（2026八上·六枝特期末）甲、乙两支篮球队队员身高的平均数均为，若甲、乙两队队员身高的方差分别为，则队员身高更为整齐的球队是　 　队．（填“甲”或“乙”）
15．（2026八上·六枝特期末）若，则　 　．
16．（2026八上·六枝特期末）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，等边的顶点的坐标是，点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动，第2025秒时点的坐标是　 　．
17．（2026八上·六枝特期末）（1）计算：；
（2）解方程组：
18．（2026八上·六枝特期末）已知的各顶点坐标分别为．
（1）请在如图所示的平面直角坐标系中画出；
（2）请在如图所示的平面直角坐标系中画出关于轴对称的，并写出点的坐标__________；
（3）在轴上是否存在点，使得的值最小？若存在满足条件的点，请在图中作出该点，并求出的最小值；若不存在，请说明理由．
19．（2026八上·六枝特期末）为贯彻党的教育方针，培养“德智体美劳”全面发展的社会主义建设者和接班人．某校准备将校内一块四边形土地（如图所示）改造成学生劳动实践基地，其中，．
（1）试判断图中的形状，并说明理由；
（2）经测算，该地块改造费用每平方米的成本约50元，请你为学校计算一下改造这块土地约需要多少费用？
20．（2026八上·六枝特期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标．
21．（2026八上·六枝特期末）已知：如图，在中，的平分线交于点，点是上的一点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
22．（2026八上·六枝特期末）12月4日是国家宪法日，为了激发青少年学习法律的热情，某校举办了“宪法进校园”法律知识竞赛活动，旨在了解学生对法律知识的掌握情况．该校从八（1）班、八（2）班学生的知识竞赛成绩中，各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）．
八（1）班：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
八（2）班：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
八（1）班、八（2）班抽取的学生的成绩统计表
班级 最小值 四分位数 最大值
八（1）班 _________ _________ _________ 100
八（2）班 70 80 93 96
（1）上述表中，__________，__________；
（2）求出八（1）班这组数据的四分位数，并补全八（1）班成绩的箱线图；
（3）请你利用所学的统计知识，对这两个班知识竞赛的成绩情况进行分析和评价．
23．（2026八上·六枝特期末）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
24．（2026八上·六枝特期末）阅读理解：
我们将与称为一对“对偶式”，应用“对偶式”的特征可以解某些含有根号的方程．例如：在解这个方程时，可采用如下方法：
解：，
．
又……①，
，
即……②．
由得：，
即，
在这个方程的两边同时平方得：，
解得：．
将代入原方程检验，可得是原方程的解．
请根据上述材料回答下面的问题：
（1）若，则的“对偶式”为_____，__________；
（2）解方程：．
25．（2026八上·六枝特期末）已知：如图1，直线与直线分别相交于点，且，将含的直角三角板的直角顶点放置在直线上的点处，一边在直线上，另一边在直线的下方．
（1）观察·思考
直接写出图1中__________，线段与直线的位置关系是__________；
（2）操作 思考
将图1中的三角板绕点逆时针旋转到如图2所示的位置，使三角板的一边恰好平分，求证：平分；
（3）联系拓广
将图1中的三角板按每秒的速度绕点逆时针旋转一周，在旋转过程中，第秒时，该三角板的一边恰好与直线平行，求此时的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数是无限不循环小数，是无限不循环小数。
故答案为：A.
【分析】本题考查无理数的认识.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：四个选项中，只有C选项对应的图形是轴对称图形，其余四个选项对应的图形均不是轴对称图形。
故答案为：C．
【分析】一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。本题根据轴对称图形的定义逐个图形进行分析即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：平面直角坐标系中，位于第四象限，
故答案为：．
【分析】利用四个象限点坐标的符号特点（①第一象限（+，+）；②第二象限（-，+）；③第三象限（-，-）；④第四象限（+，-））求解即可.
4．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；函数值
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：B．
【分析】本题将代入，然后列式计算即可得出答案。
5．【答案】C
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
将，代入方程，得，
解得．
故答案为：C．
【分析】本题条件中“是方程的解 ”，因此将，将方程的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，此时求出的值即可．
6．【答案】B
【知识点】对顶角及其性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题先根据“两直线平行、同位角相等”得出；然后根据对顶角相等得到．
7．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：综合成绩=（分）．
故答案为：B．
【分析】本题结合条件“ 综合成绩按投球技能占，控球技能占来计分 ”，然后结合表中数据，并运用加权平均数的计算方法列式即可求出综合成绩．
8．【答案】D
【知识点】等式的基本性质；勾股定理；同位角的概念；真命题与假命题；立方根的性质
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是同位角，同位角也不一定相等，故原命题是假命题；
B、只有直角三角形两条直角边的平方和等于第三边的平方，故原命题是假命题；
C、立方根等于本身的数有0，1和，故原命题是假命题；
D、如果，那么，是真命题；
故答案为：D．
【分析】本题结合同位角定义可以判断A选项；勾股定理判断B选项；立方根性质判断C选项；等式的传递性判断D选项，进而选出真命题即可．
9．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数的图象经过二、三、四象限，
∴且。
四个选项中，只有D选项符合条件，
故答案为：D．
【分析】一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限。本题中因为一次函数经过二、三、四象限，从而对应得出且，最后从选项中找出满足条件的即可。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵长方形沿折叠，使点D与点B重合，
，
，
∵，
，即，
解得，
故答案为：A．
【分析】本题先依据折叠的性质并结合图中信息，得出，然后利长方形的性质得出，最后放到Rt△AEB中，利用勾股定理列式计算即可．
11．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：结合条件，小亮去图书馆的过程中离图书馆的距离（千米）与所用时间（分）之间的关系的图象是：
故答案为：C．
【分析】本题结合条件“ 骑行5分钟后遇到同学，停留聊天10分钟 ”，则中间5到15分钟的函数图象是平行于t轴的线段；“ 继续骑行5分钟到达图书馆 ”，即最终在第20分钟的时候，对应s是2千米，由此得出关于s和t的图象，即可得出答案。
12．【答案】C
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：，
设点到直线的距离为，
则，
而
解得；
故答案为：C．
【分析】本题先依据勾股定理列式求出=，然后利用割补法求出的面积为，再利用三角面积计算公式列出，此时即可求出h，即点到直线的距离．
13．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
14．【答案】乙
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即乙队身高更为整齐．
故答案为：乙．
【分析】数据中，方差越小，数据波动越小。题中分析得出，乙队员身高的方差小于甲队员身高的方差，因此乙队身高越整齐．
15．【答案】
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；求二次根式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得，
∴；
故答案为：．
【分析】本题先利用绝对值和平方的非负性，求出m=2、n=6，然后代入中计算并化简即可．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；三角形-动点问题；探索规律-点的坐标规律；已知正弦值求边长；已知余弦值求边长
【解析】【解答】解：∵等边的顶点的坐标是，
∴，
∵点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动，
∴每经过秒，点回到原点，
∵，
2×3=6，OA+=4+2=6，
∴第2025秒时点的坐标与第3秒时点的坐标相同，此时点运动到的中点处，
设的中点为，作轴，如图，
∵，
∴
∴，
∴，
即；
∴第2025秒时点的坐标是；
故答案为：．
【分析】本题结合等边三角形的性质和条件“ 点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动 ”，计算得出点每6秒回到原点，然后计算出第2025秒时点所在的位置为AB中点，此时结合图中信息做辅助线，并放到Rt△ACD中，利用三角函数计算得出AD=1、CD=，最后作差得出OD=3，此时即可得出C点坐标，即为第2025秒时点的坐标。
17．【答案】（1）解：；
（2）解：
将①代入②得，，
解得，
将代入①得，，
∴原方程组的解为．
【知识点】零指数幂；代入消元法解二元一次方程组；化简含绝对值有理数；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）分别计算绝对值，立方根，零指数幂，最后再计算加减即可；
（2）利用代入消元法先求出x=4，最后将x=4代入①中求出y即可．
18．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2），
（3）解：如图，点即为所求；
．
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；尺规作图-作三角形；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】（2）解：∵B（2，6），
∴；
故答案为：（2）；
【分析】（1）现在平面直角坐标系中描出点A、B、C，连线即可画出；
（2）先找到点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，连接A1、B1、C1即可画出，然后可以结合图中信息写出点的坐标，也可以依据“关于y轴对称的点，纵坐标不变、横坐标互为相反数”写出即可；
（3）作点关于轴的对称点，连接，得到，得到当点在线段上时，，此时最小，然后利用勾股定理列式求解即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；；
（3）解：如图，点即为所求；
．
19．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即是直角三角形．
（2）解：由（1）知，而，
∴，
（元），
∴改造这块土地需要1800元。
【知识点】三角形的面积；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）先放到直角三角形ABD中，利用勾股定理求出，再利用列式得出，此时利用勾股定理的逆定理即可得出答案；
（2）结合（1）的证明结果，将四边形分割成两个直角三角形，分别列式求出面积后求和，最后计算费用即可．
（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，则（舍负）
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）解：由（1）知，而
∴，
∴费用为：（元）
20．【答案】（1）解：把，代入，
得：，解得，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴或；
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；三角形-动点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将，代入，得到关于k和b的方程组，最后求出k和b即可得出函数解析式；
（2）设，因为C点在x轴上，此时可以利用两点距离公式和绝对值的性质，计算得出；然后利用三角形面积和“的面积是面积的2倍”，列出关于c的方程，求解即可．
（1）解：把，代入，得：
，解得，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴或；
∴或．
21．【答案】（1）证明：∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）先由角平分线的性质以及条件，得出，再由“内错角相等，两直线平行”即可得出证明结果；
（2）根据三角形内角和为，计算得出=54°，再由“两直线平行，同位角相等”即可求解的度数．
（1）证明：∵为的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴．
22．【答案】（1）60，90
（2）解：八（1）班成绩从低到高排序后为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
∴；
∵60，70，70，80，89的中位数为；91，92，96，98，100中位数为，
∴，；
补全八（1）班成绩的箱线图，如图所示：
（3）解：∵两个班级中位数都是90，
∴两个班中间水平的学生的成绩相当，
而从箱线图可得八（2）班的成绩更稳定等．
【知识点】中位数；箱线图；四分位数
【解析】【解答】（1）解：两个班级成绩从低到高排序后为：
八（1）班：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
八（2）班：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96．
∴，，
故答案为：（1）60，90；
【分析】（1）将两个班级成绩排序，首先可以找出八（1）班最小值a=60，然后结合四分位数的定义即可求出b的值；
（2）根据下四分位数、中位数以及上四分位数的定义，分别列式计算得出、，，然后补全箱线图；
（3）结合中位线和箱线图进行分析即可．
（1）解：两个班级成绩排序后为：
八（1）班：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
八（2）班：70，75，80，82，88，92，92，93，95，96．
∴，，
故答案为：60，90；
（2）解：八（1）班成绩排序后：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100；
∴；
而60，70，70，80，89的中位数为；而91，92，96，98，100中位数为，
故；；
补全八（1）班成绩的箱线图，如图所示：
（3）解：两个班级中位数相同，说明中间水平的学生的成绩相当，从箱线图可得八（2）班的成绩更稳定等．
23．【答案】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据题意可得：
，解得：，
∴1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨.
（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，依题意得：
20m+15n=190，即，
又∵m，n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种运输方案，
方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；
方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；
方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．
方案1所需费用：5008+4002=4800(元)；
方案2所需费用：5005+4006=4900(元)；
方案3所需费用：5002+40010=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，
∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“已知条件列方程组，解出即可.
（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆，根据已知条件列出二元一次方程20m+15n=190，解出，再根据m，n均为正整数，解出即可得各运输方案，再根据方案计算比较得出费用最小的数据．
24．【答案】（1），；
（2）解：，
∴．
∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的乘除混合运算；加减消元法解二元一次方程组；利用开平方求未知数
【解析】【解答】（1）解：，
其“对偶式”；
；
故答案为：（1），．
【分析】（1）根据题目中对偶式的定义，结合条件可以直接写出，再根据材料中的计算步骤，利用平方差公式计算即可得出的值；
（2）先构造已知方程左边的对偶式，此时可以利用平方差公式求出两个式子的乘积为5；然后结合原方程的值为5得到对偶式的式子的值为1，再通过加减消元计算求解，最后检验即可。
（1）解：根据“对偶式”的定义，，
其“对偶式”；
；
故答案为：，．
（2）解：，
∴．
又∵①，
∴②，
得：，即，
两边同时平方得：，解得；
检验：将代入原方程检验，可得是原方程的解．
25．【答案】（1），
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平分。
（3）解：当在上方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度为，
∴；
当在直线的下方时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度为，
∴；
综上：或．
【知识点】旋转的性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：（1），；
【分析】（1）先依据“两直线平行、同位角相等”得到，然后结合平角的定义求出=30°，最后依据“内错角相等，两直线平行”得到；
（2）依据角平分线的定义求出=30°，然后结合平角的定义求出=120°，并计算出=60°，从而得出，从而得证；
（3）分在上方和在下方两种情况，结合平行线的判断性质以及旋转的性质计算求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：，；
（2）证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：当在上方时，如图：
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度为，
∴；
当在直线的下方时，如图，
∵，
∴，
∴，
∴旋转角度为，
∴；
综上：或．
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