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平行四边形——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·无锡）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝4，则BC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，如图所示，
∵D、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：D．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
2．（2025·上虞二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，若，，则（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD//BC，
∵AD=AE=BE，
∴BC=AE=BE
∴∠EAB=∠EBA，∠BCE=∠BEC，
∴∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，
∴∠BCE=2∠BAE.
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCE=2∠BAE，∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=105°，
∴∠DAB=75°，
∴ 3∠BAE=75°
∴ ∠BAE =25°，
∴ ∠ACB=∠DAC=2∠BAE=50°
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质推出BC=AD，AD//BC，得到BC=AE=BE，推出∠EAB=∠EBA，∠BCE=∠BEC，由三角形的外角性质得到∠BCE=2∠BAE，由平行线的性质推出∠DAC=∠BCE=2∠BAE，∠D+∠DAB=180°，得到∠DAB=75°，即可求出∠BAE=25°，进而即可得出结论.
3．（2025·湖北） 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵行四边形的对角线交点在原点．若
∴点的坐标是
故答案为：C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
4．（2025·攀枝花） 如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设AC交BD于点O，EF交BD于点M，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，
∴EF∥GH，EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
故答案为： A.
【分析】根据三角形中位线定理可得EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，进而得出四边形EFGH是平行四边形，再结合AC与BD互相垂直即可得出结论.
5．（2025·广东） 如图， 点D， E， F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°， 则∠EDF=（　　）
A．20° B．40° C．70° D．110°
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E为BC，AB的中点
∴DE为三角形的中线
由三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）得DE∥CA
同理得DF∥AB
∵DE∥CA，DF∥AB
∴四边形AEDF为平行四边形
∵平行四边形对角相等
∴∠A＝∠EDF
故答案为：C.
【分析】：可根据三角形中位线定理和平行四边形的判定及性质来求解∠EDF的度数
6．（2025·贵州）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以 ，与是同位角，所以 .
故答案为：B .
【分析】利用平行四边形“对边平行”的性质，结合同位角相等的定理，得出与的关系 .
7．（2025·山西） 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，；
∴OE是ACD的中位线，
∴OE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴ OE=AB，
故答案为：C.
【分析】由三角形中位线的性质得OE=CD，进而由平行四边形的性质得OE=AB，解答即可.
8．（2025·内蒙古自治区）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是一个矩形 ，
∴点O是AC的中点，
∵是边的中点，
∴OH是的中位线，
∴AB=2OH=40m，
∴ 该草坪的面积为 ：AD×AB=30×40=1200（m2）
故答案为：C.
【分析】首先根据举行的性质得出点O是AC的中点，然后根据三角形中位线定理得出AB=2OH=40m，进一步即可得出草坪的面积。
9．（2025·青海） 如图， 在菱形ABCD中， ， E， F分别为AB， BC的中点， 且. 则菱形 ABCD的面积为　 　.
【答案】12
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别为AB、BC中点
∴EF=
∵EF=2
∴AC=4
∴
故填：12.
【分析】由中位线定理知AC的长，即可得菱形的面积.
10．（2024·长沙）如图，在中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE.若，则AB的长为　 　.
【答案】24
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴DE=，
∴AB=2DE=24.
故答案为：24.
【分析】根据三角形中位线等于第三边的一半即可得出答案.
11．（2025·济南）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：．
【答案】证明：平行四边形中，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质得出，可得出，再根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，可得出，得出，进而即可得出结论。
12．（2024·泸州）如图，在中，E，F是对角线BD上的点，且．求证：．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠1=∠2.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠ADE=∠CBF，从而由SAS判断出∠ADE=∠CBF，由全等三角形的对应角相等得∠1=∠2.
二、能力题
13．（2025·德州）如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）， OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（　　）
A． B． C．（5，1） D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AFD=90°
即△AFD是直角三角形
∵矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）
∴OA=BC=3，AB=OC=2
∴矩形OABC的周长为2(OA+AB)=10，面积为
∵四边形OADE是平行四边形
∴AD=DE，DE=OA=3
∴平行四边形OADE的周长为2(OA+AD)=2(3+AD)，面积为
∵ OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，
∴2(3+AD)=10，
∴AD=2，DF=1
∴
∴
∴点D的坐标为
故答案为：A
【分析】过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AFD=90°，即△AFD是直角三角形，根据两点间距离可得OA=BC=3，AB=OC=2，求出矩形OABC的周长与面积，根据平行四边形性质可得AD=DE，DE=OA=3，再求出平行四边形OADE的周长与面积，根据题意建立等式，可得AD=2，DF=1，再根据勾股定理可得AF，再根据边之间的关系可得OF，再根据点的坐标即可求出答案.
14．（2025·宿迁）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 点、、分别是边、、的中点
四边形是平行四边形
不可能平分
故正确答案为：C
【分析】A、由三角形的中位线定理可得；
B、同理可得，则两直线平行同位角相等；
C、若，则由等腰三角形三线合一知，显然与题设产生矛盾；
D、由中位线定理可证四边形ADFE是平行四边形，则对角线互相平分.
15．（2025·广元）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵点E是DP的中点，
∴OE是△DPB的中位线，
∴OE=PB，
∵点P是的中点，
∴PB=AB=4，
∴OE=2.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质可证得OB=OD，结合已知条件可证得OE是△DPB的中位线，利用三角形的中位线定理可证得OE=PB，然后利用中点的定义可求出PB的长，即可得到OE的长.
16．（2025·淮安）如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若，则　 　．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵点E为BC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵点F为CD的中点，
故答案为：4.
【分析】根据斜边上的中线，得到BC=2AE=8，根据平行四边形的性质，推出OF是 的中位线，进而得到 即可得出结果.
17．（2025·无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为　 　 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的边长为2，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先证明为等边三角形，进而得到，根据三线合一求出的长，进而得到哦啊四边形为平行四边形，即可得到得到，推出，再根据勾股定理进行求解即可．
18．（2025·泰安）如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90°， AB=6， BC=8.点P 为边 AC上异于 A的一点，以PA，PB 为邻边作 PAOB，则线段PQ的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，
∵∠ABC=90°， AB=6， BC=8，
∴AC=
∵S△ABC= 10BD=
∴BD=，
∵四边形PAQB是平行四边形，
∴EP=EQ=PQ，EA=EB，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴EF=BD=
∵
∴，
∴
∴ 线段PQ的最小值是.
故答案为：.
【分析】设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，由∠ABC=90°， AB=6，BC=8，求得AC=10，由面积公式求得BD，由平行四边形的性质得EP=EQ=PQ，EA=EB，则EF=BD=
由EP≥EF得，即可求得线段PQ的最小值，解答即可.
19．（2025·徐州）已知：如图，在 ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证：
（1）△AGF≌△CGE；
（2）四边形AECF是菱形．
【答案】（1）证明：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵点E是BC的中点，
∴AE=BE=EC，
∵EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AG=CG
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FAG=∠ECG，
在△AGF和△CGE中
∴△AGF≌△CGE（ASA）
（2）证明：∵△AGF≌△CGE，
∴AF=CE，
∵AF∥CE
∴四边形AECF是平行四边形
∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得AE=BE=EC，利用垂直平分线的定义可证得AG=CG，利用平行四边形的性质和平行线的性质可推出∠FAG=∠ECG，利用ASA可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AF=CE，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证得结论.
20．（2025·潍坊）如图，在△ABC中，点分别是边的中点，与相交于点，连接．证明：
（1）；
（2）△ADF≌△CFE．
【答案】（1）证明：因为点分别是边的中点，
所以是的中位线，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）证明：连接，
因为点分别是边的中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为为中点，
所以，
所以，
所以，
所以.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得， 再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得， 则， 即可求出答案.
（2）连接，根据三角形中位线定理可得， 根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则， 再根据边之间关系可得， 根据等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
21．（2025·青海）如图， 在 中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作 交DO的延长线于点 E， 连接AD， BE.
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB=AC， 试判断四边形AEBD的形状；并证明.
【答案】（1）证明：情况①∵点O为AB的中点
∴OA=OB
∵ AE∥BC
∴∠EAO=∠OBD
∠AEO=∠BDO
在△AEO和△BDO中
∴△AEO≌△BDO(AAS)
∴AE=BD
∵AE∥BD
∴四边形AEBD 是平行四边形
情况②∵点O为AB 的中点
∴OA=OB
∵AE∥BC
∴∠AEO=∠BDO
在△AEO和△BDO中
∴△AEO≌△BDO(AAS)
∴OE=OD
∵OA=OB
∴四边形AEBD是平行四边形
情况③点O，D分别是边AB，BC的中点
∴OD∥AC
∵AE∥BC
∴四边形AEDC是平行四边形
∴AE=DC
∵点D 是边 BC的中点
∴BD=CD
∴AE=BD
且AE∥BC
∴四边形AEBD 是平行四边形
（2）证明： 当AB=AC时， 四边形AEBD是矩形
理由如下：
情况①∵AB=AC， 点D是BC边上的中点
∴AD⊥BC 即∠ADB=90°
∵由(1)得四边形 AEBD 是平行四边形
∴四边形AEBD是矩形
情况②∵点D，O分别是边BC，AB的中点
∴OD∥AC即DE∥AC
∵AE∥BC
∴四边形 AEDC是平行四边形
∴AC=DE
∵AB=AC
∴AB=DE
∵由 (1)得四边形AEBD是平行四边形
∴四边形AEBD 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【分析】(1)由中点和平行可证△AEO≌△BDO即可证明平行四边形；
(2)由AB=AC结合等腰三角形的性质可得∠ADB=90°，即可证矩形.
三、拓展题
22．（2025·吉林）【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
（1）【探究发现】如图①，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
（2）【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
（3）【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．
【答案】（1）解：四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，
∴DE＝GE，DF＝GF，
∵DF＝DE，
∴GE＝DE＝DF＝GF，
∴四边形DEGF是菱形；
（2）证明：如图：
∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，
∴BN＝HN，BM＝HM，
∵BN＝BM，
∴HN＝BN＝BM＝HM，
∴四边形BMHN是菱形，
∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，
∴DEAD，BMBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DE＝FG，FG∥AD，
∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形；
（3）解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，如图：
∵∠A＝60°，
∴∠AET＝30°，
∴ATAE，
设AT＝x，则AE＝2x，
∴ETx＝GK，
∵E为AD中点，
∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，
∵四边形DEGF是菱形，
∴EG＝DE＝2x＝TK，
∵四边形GFHN是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴KNGKx＝3x，
∵BN＝BMBCAD＝2x，
∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，
∴；
当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：
设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NHy，
∵四边形GFHN是菱形，
∴GF＝FH＝NH＝GNy，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°，
∴AW＝EGy，GW＝AEy，
∴GW＝GN，
∴△GWN是等边三角形，
∴WN＝GWy，
∴AB＝AW+WN+BNyyyy，
∴；
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，的值为或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】【探究发现】由将△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE =GE， DF=GF， 而DF =DE， 故GE=DE=DF=GF， 从而四边形DEGF是菱形；
【探究证明】同【探究发现】可知四边形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E为边AD的中点，M为边BC的中点，四边形ABCD是平行四边形，即可得DE =BM，AD∥NH，又DE=FG，FG∥AD，故FG=DE=BM=HN，FGIINH， 从而四边形GFHN是平行四边形；
【探究提升】若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时， 过G作GK⊥AB于K， 过E作ET⊥AB于T， 设AT =x， 则AE =2x， 可得AD=2AE =4x， DE =AE =2x， 求出AB=AT+TK+KN+BN =x+2x+3x+2x=8x，即可得到比值；当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W， 设AD= y， 求出 ，即可得到比值.
23．（2025·威海）如图
（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）如图②，已知 ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：结论：四边形EFGH是矩形．
理由：通过折叠的性质可知∠AFE＝∠EFK，∠BFG＝∠KFG，
∵∠AFB＝180°，
∴2∠EFK+2∠KFG＝180°，
∴∠EFK+∠KFG＝90°，即∠EFG＝90°，
同法可证∠FGH＝∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：如图，即为题目所求

【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)结论：四边形EFGH是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可；
(2)分别以点D、C为圆心，大于 为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与DC交于点Q，同理作出AB的垂直平分线交于点N，连接NQ、AC， 交于点O， 以点O为中心， OQ长为半径作弧交AD于点M，点M即为所作.连接MO于点P， 连接MN、PQ、PN、MQ即为题目所求.
1 / 1平行四边形——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·无锡）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点．若DE＝4，则BC的长为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2025·上虞二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在对角线AC上，若，，则（　　）.
A． B． C． D．
3．（2025·湖北） 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·攀枝花） 如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，两条对角线AC与BD互相垂直，则四边形EFGH一定是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形
5．（2025·广东） 如图， 点D， E， F分别是△ABC各边上的中点，∠A=70°， 则∠EDF=（　　）
A．20° B．40° C．70° D．110°
6．（2025·贵州）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·山西） 如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·内蒙古自治区）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·青海） 如图， 在菱形ABCD中， ， E， F分别为AB， BC的中点， 且. 则菱形 ABCD的面积为　 　.
10．（2024·长沙）如图，在中，点D，E分别是AC，BC的中点，连接DE.若，则AB的长为　 　.
11．（2025·济南）已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且．求证：．
12．（2024·泸州）如图，在中，E，F是对角线BD上的点，且．求证：．
二、能力题
13．（2025·德州）如图，矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）， OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，则点D的坐标为（　　）
A． B． C．（5，1） D．
14．（2025·宿迁）如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
15．（2025·广元）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
16．（2025·淮安）如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，点E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、OF，若，则　 　．
17．（2025·无锡）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点M．过点D作AC的平行线交BC的延长线于点N，连接MN．则MN的长为　 　 ．
18．（2025·泰安）如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ABC=90°， AB=6， BC=8.点P 为边 AC上异于 A的一点，以PA，PB 为邻边作 PAOB，则线段PQ的最小值是　 　.
19．（2025·徐州）已知：如图，在 ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF．求证：
（1）△AGF≌△CGE；
（2）四边形AECF是菱形．
20．（2025·潍坊）如图，在△ABC中，点分别是边的中点，与相交于点，连接．证明：
（1）；
（2）△ADF≌△CFE．
21．（2025·青海）如图， 在 中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作 交DO的延长线于点 E， 连接AD， BE.
（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；
（2）若AB=AC， 试判断四边形AEBD的形状；并证明.
三、拓展题
22．（2025·吉林）【问题背景】在学行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为60°的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下：
（1）【探究发现】如图①，在 ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，E为边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DE，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形DEGF是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．
（2）【探究证明】取图①中的边BC的中点M，点N在边AB上，且BN＝BM，连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△HMN，点B的对称点为点H，连接FH，GN，如图②，求证：四边形GFHN是平行四边形．
（3）【探究提升】在图②中，四边形GFHN能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由．
23．（2025·威海）如图
（1）如图①，将平行四边形纸片ABCD的四个角向内折叠，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形EFGH．判断四边形EFGH的形状，并说明理由；
（2）如图②，已知 ABCD能按照图①的方式对折成一个无缝隙、无重叠的四边形MNPQ，其中，点M在AD上，点N在AB上，点P在BC上，点Q在CD上．请用直尺和圆规确定点M的位置．（不写作法，保留作图痕迹）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，如图所示，
∵D、E分别为的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：D．
【分析】根据三角形中位线定理解答即可．
2．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，AD//BC，
∵AD=AE=BE，
∴BC=AE=BE
∴∠EAB=∠EBA，∠BCE=∠BEC，
∴∠BEC=∠EAB+∠EBA=2∠EAB，
∴∠BCE=2∠BAE.
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCE=2∠BAE，∠D+∠DAB=180°，
∵∠D=105°，
∴∠DAB=75°，
∴ 3∠BAE=75°
∴ ∠BAE =25°，
∴ ∠ACB=∠DAC=2∠BAE=50°
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质推出BC=AD，AD//BC，得到BC=AE=BE，推出∠EAB=∠EBA，∠BCE=∠BEC，由三角形的外角性质得到∠BCE=2∠BAE，由平行线的性质推出∠DAC=∠BCE=2∠BAE，∠D+∠DAB=180°，得到∠DAB=75°，即可求出∠BAE=25°，进而即可得出结论.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵行四边形的对角线交点在原点．若
∴点的坐标是
故答案为：C
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：设AC交BD于点O，EF交BD于点M，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，
∴EF∥GH，EH∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴∠FEH=∠FPD=∠CQD=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
故答案为： A.
【分析】根据三角形中位线定理可得EF∥AC且EF=AC，GH∥AC且GH=AC， EH∥BD且EH=BD，GF∥BD且GF=BD，进而得出四边形EFGH是平行四边形，再结合AC与BD互相垂直即可得出结论.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E为BC，AB的中点
∴DE为三角形的中线
由三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半）得DE∥CA
同理得DF∥AB
∵DE∥CA，DF∥AB
∴四边形AEDF为平行四边形
∵平行四边形对角相等
∴∠A＝∠EDF
故答案为：C.
【分析】：可根据三角形中位线定理和平行四边形的判定及性质来求解∠EDF的度数
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以 ，与是同位角，所以 .
故答案为：B .
【分析】利用平行四边形“对边平行”的性质，结合同位角相等的定理，得出与的关系 .
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点O是对角线AC的中点，点E是边AD的中点，；
∴OE是ACD的中位线，
∴OE=CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴ OE=AB，
故答案为：C.
【分析】由三角形中位线的性质得OE=CD，进而由平行四边形的性质得OE=AB，解答即可.
8．【答案】C
【知识点】矩形的性质；平行四边形的面积；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是一个矩形 ，
∴点O是AC的中点，
∵是边的中点，
∴OH是的中位线，
∴AB=2OH=40m，
∴ 该草坪的面积为 ：AD×AB=30×40=1200（m2）
故答案为：C.
【分析】首先根据举行的性质得出点O是AC的中点，然后根据三角形中位线定理得出AB=2OH=40m，进一步即可得出草坪的面积。
9．【答案】12
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别为AB、BC中点
∴EF=
∵EF=2
∴AC=4
∴
故填：12.
【分析】由中位线定理知AC的长，即可得菱形的面积.
10．【答案】24
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是的中位线，
∴DE=，
∴AB=2DE=24.
故答案为：24.
【分析】根据三角形中位线等于第三边的一半即可得出答案.
11．【答案】证明：平行四边形中，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】首先根据平行四边形的性质得出，可得出，再根据平行四边形的判定得出四边形是平行四边形，可得出，得出，进而即可得出结论。
12．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠1=∠2.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由平行四边形的对边平行且相等得AD=BC，AD∥BC，由二直线平行，内错角相等，得∠ADE=∠CBF，从而由SAS判断出∠ADE=∠CBF，由全等三角形的对应角相等得∠1=∠2.
13．【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质；矩形的性质；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AFD=90°
即△AFD是直角三角形
∵矩形OABC的顶点O，A，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（0，2）
∴OA=BC=3，AB=OC=2
∴矩形OABC的周长为2(OA+AB)=10，面积为
∵四边形OADE是平行四边形
∴AD=DE，DE=OA=3
∴平行四边形OADE的周长为2(OA+AD)=2(3+AD)，面积为
∵ OADE与矩形OABC周长相等， OADE的面积是矩形OABC面积的一半，
∴2(3+AD)=10，
∴AD=2，DF=1
∴
∴
∴点D的坐标为
故答案为：A
【分析】过点D作DF⊥x轴于点F，则∠AFD=90°，即△AFD是直角三角形，根据两点间距离可得OA=BC=3，AB=OC=2，求出矩形OABC的周长与面积，根据平行四边形性质可得AD=DE，DE=OA=3，再求出平行四边形OADE的周长与面积，根据题意建立等式，可得AD=2，DF=1，再根据勾股定理可得AF，再根据边之间的关系可得OF，再根据点的坐标即可求出答案.
14．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解： 点、、分别是边、、的中点
四边形是平行四边形
不可能平分
故正确答案为：C
【分析】A、由三角形的中位线定理可得；
B、同理可得，则两直线平行同位角相等；
C、若，则由等腰三角形三线合一知，显然与题设产生矛盾；
D、由中位线定理可证四边形ADFE是平行四边形，则对角线互相平分.
15．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∵点E是DP的中点，
∴OE是△DPB的中位线，
∴OE=PB，
∵点P是的中点，
∴PB=AB=4，
∴OE=2.
故答案为：C.
【分析】利用平行四边形的性质可证得OB=OD，结合已知条件可证得OE是△DPB的中位线，利用三角形的中位线定理可证得OE=PB，然后利用中点的定义可求出PB的长，即可得到OE的长.
16．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：
∵点E为BC的中点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
又∵点F为CD的中点，
故答案为：4.
【分析】根据斜边上的中线，得到BC=2AE=8，根据平行四边形的性质，推出OF是 的中位线，进而得到 即可得出结果.
17．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的边长为2，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为平行四边形，，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】先证明为等边三角形，进而得到，根据三线合一求出的长，进而得到哦啊四边形为平行四边形，即可得到得到，推出，再根据勾股定理进行求解即可．
18．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，
∵∠ABC=90°， AB=6， BC=8，
∴AC=
∵S△ABC= 10BD=
∴BD=，
∵四边形PAQB是平行四边形，
∴EP=EQ=PQ，EA=EB，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴EF=BD=
∵
∴，
∴
∴ 线段PQ的最小值是.
故答案为：.
【分析】设PQ交AB于点E，作BD⊥AC于点D，取AD的中点F，连接EF，由∠ABC=90°， AB=6，BC=8，求得AC=10，由面积公式求得BD，由平行四边形的性质得EP=EQ=PQ，EA=EB，则EF=BD=
由EP≥EF得，即可求得线段PQ的最小值，解答即可.
19．【答案】（1）证明：∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵点E是BC的中点，
∴AE=BE=EC，
∵EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AG=CG
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠FAG=∠ECG，
在△AGF和△CGE中
∴△AGF≌△CGE（ASA）
（2）证明：∵△AGF≌△CGE，
∴AF=CE，
∵AF∥CE
∴四边形AECF是平行四边形
∵AE=CE，
∴四边形AECF是菱形
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证得AE=BE=EC，利用垂直平分线的定义可证得AG=CG，利用平行四边形的性质和平行线的性质可推出∠FAG=∠ECG，利用ASA可证得结论.
（2）利用全等三角形的性质可证得AF=CE，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF是平行四边形，再利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证得结论.
20．【答案】（1）证明：因为点分别是边的中点，
所以是的中位线，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
（2）证明：连接，
因为点分别是边的中点，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为为中点，
所以，
所以，
所以，
所以.
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得， 再根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得， 则， 即可求出答案.
（2）连接，根据三角形中位线定理可得， 根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，则， 再根据边之间关系可得， 根据等边对等角可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：情况①∵点O为AB的中点
∴OA=OB
∵ AE∥BC
∴∠EAO=∠OBD
∠AEO=∠BDO
在△AEO和△BDO中
∴△AEO≌△BDO(AAS)
∴AE=BD
∵AE∥BD
∴四边形AEBD 是平行四边形
情况②∵点O为AB 的中点
∴OA=OB
∵AE∥BC
∴∠AEO=∠BDO
在△AEO和△BDO中
∴△AEO≌△BDO(AAS)
∴OE=OD
∵OA=OB
∴四边形AEBD是平行四边形
情况③点O，D分别是边AB，BC的中点
∴OD∥AC
∵AE∥BC
∴四边形AEDC是平行四边形
∴AE=DC
∵点D 是边 BC的中点
∴BD=CD
∴AE=BD
且AE∥BC
∴四边形AEBD 是平行四边形
（2）证明： 当AB=AC时， 四边形AEBD是矩形
理由如下：
情况①∵AB=AC， 点D是BC边上的中点
∴AD⊥BC 即∠ADB=90°
∵由(1)得四边形 AEBD 是平行四边形
∴四边形AEBD是矩形
情况②∵点D，O分别是边BC，AB的中点
∴OD∥AC即DE∥AC
∵AE∥BC
∴四边形 AEDC是平行四边形
∴AC=DE
∵AB=AC
∴AB=DE
∵由 (1)得四边形AEBD是平行四边形
∴四边形AEBD 是矩形
【知识点】平行四边形的判定与性质；平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形之间的关系
【解析】【分析】(1)由中点和平行可证△AEO≌△BDO即可证明平行四边形；
(2)由AB=AC结合等腰三角形的性质可得∠ADB=90°，即可证矩形.
22．【答案】（1）解：四边形DEGF是菱形，理由如下：
∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，
∴DE＝GE，DF＝GF，
∵DF＝DE，
∴GE＝DE＝DF＝GF，
∴四边形DEGF是菱形；
（2）证明：如图：
∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，
∴BN＝HN，BM＝HM，
∵BN＝BM，
∴HN＝BN＝BM＝HM，
∴四边形BMHN是菱形，
∴NH∥BC，
∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，
∴DEAD，BMBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴DE＝BM，AD∥NH，
∵四边形DEGF是菱形，
∴DE＝FG，FG∥AD，
∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，
∴四边形GFHN是平行四边形；
（3）解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：
由【探究证明】知，四边形GFHN是平行四边形，若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，
当四边形GFHN是矩形时，过G作GK⊥AB于K，过E作ET⊥AB于T，如图：
∵∠A＝60°，
∴∠AET＝30°，
∴ATAE，
设AT＝x，则AE＝2x，
∴ETx＝GK，
∵E为AD中点，
∴AD＝2AE＝4x，DE＝AE＝2x，
∵四边形DEGF是菱形，
∴EG＝DE＝2x＝TK，
∵四边形GFHN是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴KNGKx＝3x，
∵BN＝BMBCAD＝2x，
∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+2x＝8x，
∴；
当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W，如图：
设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NHy，
∵四边形GFHN是菱形，
∴GF＝FH＝NH＝GNy，
∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，
∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°，
∴AW＝EGy，GW＝AEy，
∴GW＝GN，
∴△GWN是等边三角形，
∴WN＝GWy，
∴AB＝AW+WN+BNyyyy，
∴；
综上所述，四边形GFHN为轴对称图形时，的值为或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】【探究发现】由将△DEF沿EF翻折得到△GEF，即知DE =GE， DF=GF， 而DF =DE， 故GE=DE=DF=GF， 从而四边形DEGF是菱形；
【探究证明】同【探究发现】可知四边形BMHN是菱形，有NH∥BC，而E为边AD的中点，M为边BC的中点，四边形ABCD是平行四边形，即可得DE =BM，AD∥NH，又DE=FG，FG∥AD，故FG=DE=BM=HN，FGIINH， 从而四边形GFHN是平行四边形；
【探究提升】若四边形GFHN为轴对称图形，则四边形GFHN是矩形或菱形，当四边形GFHN是矩形时， 过G作GK⊥AB于K， 过E作ET⊥AB于T， 设AT =x， 则AE =2x， 可得AD=2AE =4x， DE =AE =2x， 求出AB=AT+TK+KN+BN =x+2x+3x+2x=8x，即可得到比值；当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W， 设AD= y， 求出 ，即可得到比值.
23．【答案】（1）解：结论：四边形EFGH是矩形．
理由：通过折叠的性质可知∠AFE＝∠EFK，∠BFG＝∠KFG，
∵∠AFB＝180°，
∴2∠EFK+2∠KFG＝180°，
∴∠EFK+∠KFG＝90°，即∠EFG＝90°，
同法可证∠FGH＝∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：如图，即为题目所求

【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】(1)结论：四边形EFGH是矩形，根据四个角是直角的四边形是矩形证明即可；
(2)分别以点D、C为圆心，大于 为半径作弧，连接两个交点，即为DC的垂直平分线，与DC交于点Q，同理作出AB的垂直平分线交于点N，连接NQ、AC， 交于点O， 以点O为中心， OQ长为半径作弧交AD于点M，点M即为所作.连接MO于点P， 连接MN、PQ、PN、MQ即为题目所求.
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