资源简介

菱形——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
2．（2024·自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
4．（2022·贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
5．（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件　 　，使平行四边形ABCD为菱形。
6．（2025·西宁） 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，垂足为E，连接OE. 若，，则菱形ABCD的面积是　 　.
7．（2025·云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若.则菱形ABCD的面积是　 　.
8．（2025·泸州）如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
9．（2024·济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE．
二、能力题
10．（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
11．（2025·常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
12．（2025·广州）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（　　）
A． B．5 C．4 D．8
13．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，，点在边BC上，连接AE，将沿AE折叠，若点 落在BC延长线上的点处，则CF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
14．（2024·攀枝花）如图，在菱形ABCD中， ∠C=120°，DC=4， 点E为AB的中点， 在对角线BD上有一动点P，则PA+PE的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．2 D．2
15．（2025·巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点，，，于点H，DH的长为　 　 ．
16．（2025·辽宁）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为　 　．
17．（2025·兰州） 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若，则AF＝ 　 　 ．
18．（2025·内蒙古自治区）如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为　 　．
19．（2025·凉山州）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是边的中点，过点作于点，于点，若，，则的长为 　 　 ．
20．（2025·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E是BC的中点，且AC平分∠DAE．
（1） 求证：四边形ADCE是菱形；
（2） 已知AB＝3，AE＝2，求线段AC的长．
21．（2025·宁夏回族自治区） 如图，点在直线外．
①在直线上任取一点，连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；
③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；
④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
⑤连接．
（1）由②得与的数量关系是　 　；由③得到的结论是　 　．
（2）求证：四边形是菱形．
三、拓展题
22．（2025·达州） 归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
①　 　；
②　 　；
③　 　．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：依题意，AM=AN=BM=BN，
∴四边形AMNB是菱形，
∴∠MBN=∠A=40°，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图痕迹可判断为菱形，利用菱形的性质得出结果.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确，
不能得出，故C选项不正确.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质：菱形四边都相等、两条对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角，可得AB=AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，据此判断.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵纸片是菱形
∴对边平行且相等
∴（两直线平行，内错角相等）
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质可得对边平行，由两直线平行，内错角相等可得∠1的度数.
5．【答案】AC⊥BD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：根据菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，可添加AC⊥BD；根据菱形的定义邻边相等的平行四边形是菱形可添加，即AB=BC(答案不唯一）。
故答案为：AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）.
【分析】根据菱形不同的判定方法，可添加不同的条件AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）。
6．【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据菱形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且平分，
所以，且O是AC的中点。
因为 ，
所以△AEC是直角三角形；
又O为AC中点，
所以AC = 2OE =，
所以，
综上，菱形ABCD的面积是，
故答案为： .
【分析】利用菱形对角线互相平分和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出对角线AC的长度，再用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积即可.
7．【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，
∴菱形ABCD的面积是，
故答案为：15.
【分析】根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可.
8．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据菱形的四边相等得到AB=BC，再由线段的和差关系及等量减去等量差相等得出BE=BF，进而利用SAS判断出△ABF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得AF=CE.
9．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE⊥CD，CF⊥AD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣DE，
∴AF＝CE．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的四边相等得AD=CD，由垂直的定义得∠AED＝∠CFD＝90°，从而用AAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的对应边相等得DE＝DF，最后根据线段的和差及等式的性质可得结论.
10．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：互相平分
四边形ABCD是平行四边形
是菱形
四边形ABCD的周长
故答案为：C.
【分析】由于对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而菱形的四条边相等，即四边形ABCD的周长等于边长AB的4倍.
11．【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得， ，利用含角的直角三角形的性质求得的长，从而得到结果．
12．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，BD
∵四边形ABCD为菱形，且面积为10
∴
∵E，F分别为AB，BC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴
同理可得：
∴EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG
∴四边形EFGH为矩形
∴
故答案为：B
【分析】 连接AC，BD，根据菱形性质可得，再根据三角形中位线定理可得，同理可得：，则EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG，根据矩形判定定理可得四边形EFGH为矩形，再根据矩形面积即可求出答案.
13．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
由折叠知，
四边形ABCD是菱形
故答案为：D.
【分析】由于B、C、F在同一条直线上，由折叠的性质知，则可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，再由菱形的四条边相等，即，则CF可求.
14．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AC，CE交BD于点P，连接AP
∵菱形ABCD是轴对称图形，
∴点A、C关于线段BD对称，DC∥AB，AB=BC=CD=4，
∴AP=CP，
∴PA+PE=PC+PE=CE，
∵两点之间线段最短及垂线段最短
∴此时PA+PE的最小值就是CE的长；
∵DC∥AB，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∴△ACB是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，BE=AB=2，
∴∠CEB=90°，
∴，
∴ PA+PE的最小值为
故答案为：C .
【分析】连接AC，CE交BD于点P，连接AP，利用菱形的性质可证得点A、C关于线段BD对称，DC∥AB，AB=BC=CD=4，利用轴对称的性质可得到AP=CP，可推出PA+PE=CE，利用两点之间线段最短及垂线段最短可知此时PA+PE的最小值就是CE的长；再证明△ACB是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠CEB=90°，同时求出BE的长；然后利用勾股定理求出CE的长，即可求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD是菱形
∴，AB=2AO=8，BD=2BO=6
在Rt△AOB中，由勾股定理得
∵
∴
∴DH=
故填：
【分析】首先利用菱形的性质求出它的边长为5，两条对角线长分别为8和6，再利用菱形的面积的两种求法建立方程即可求出DH的长度。
16．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取OE中点H，连接GH，
在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，
AC⊥BD，
∵AE=2，
∴OE=OA-AE=4-2=2，
∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，
∴GH是三角形EBO的中位线，
GH∥OB，
∴∠GHE=∠BOA=90°，
∵OF=1，
，
∴，
故答案为：.
【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得出AC⊥BD，取OE中点H，连接GH，可得GH=OB，GH∥OB，再用勾股定理解Rt△GHF即可．
17．【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC= AB=4，
∴ABC是等边三角形，
∴∠ABC =60° ，
∴∠BAE= ∠FBC =30° ，
∵BE=AB=×4=2，
∴AE=BE=×2=6，EF
∴AF=AE-EF=6-2=4.
故答案为：4.
【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出ABC是等边三角形，就可以得知∠BAE= ∠FBC =30°，利用30°角的三角形性质，即可求出AE，EF的长，进而可得AF的值，解答即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=， AC⊥BD，
在Rt中：AO=，
∵是的中点，EH∥AC，
∴EH=，OH=，
∵BF=3，
∴FO=BO-BF=8-3=5，
∴FH=5+4=9，
∴
故答案为：.
【分析】连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BO=DO=， AC⊥BD，然后根据勾股定理求得AO的长度，进一步根据三角形中位线定理，可求得EH的长度，再结合题中已知条件求得FH的长，最后根据勾股定理求得EF的长度。
19．【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接OE
四边形ABCD是菱形
、
四边形OFEG是矩形
是中点
故答案为：5.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得，同时借助AC与BD的长应用勾股定理可得边长CD=10，又因为、可得四边形OFEG是矩形，则对角线FG=OE，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
20．【答案】（1）证明： ∵AD∥BC， 点E是BC的中点，
BC，
∵BC=2AD，
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠EAC =∠ECA，
∴AE=CE，
∴四边形ADCE是菱形.
（2）解：∵AE=CE=BE=2，
∴∠EAB=∠B， BC=2BE =4，
∵∠EAC=∠ECA， ，
∴ AC的长为
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1)由AD//BC， 点E是BC的中点， 得AD//CE， 由BC=2AD， 得AD= 则AD=CE，所 以四边形ADCE是平行四边形， 由∠DAC=∠ECA， ∠DAC =∠EAC， 推导出∠EAC =∠ECA， 则AE=CE， 即可证明四边形ADCE是菱形.
(2)因为AE=CE=BE=2， 所以∠EAB=∠B， BC=2BE=4， 而∠EAC =∠ECA， 即可得到求得∠BAC=90°， 然后根据勾股定理解答即可.
21．【答案】（1）；射线平分
（2）证明：由作图可知PA=AB=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
由作图可知AQ平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PCA=∠CAB，
∴PC∥AB，
∵PC=AB，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵AP=AB，
∴四边形ABCP是菱形．
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图即可求出答案.
（2）由作图可知PA=AB=PC，根据等边对等角可得∠PAC=∠PCA，由作图可知AQ平分∠PAB，根据角平分线定义可得∠PAC=∠CAB，则∠PCA=∠CAB，根据直线平行判定定理可得PC∥AB，再根据菱形判定定理即可求出答案.
22．【答案】（1）∠A+∠B=90°；a2+b2=c2；c＞a(c>b)
（2）解：四边形ADBE是菱形，理由如下：
∵BE∥AC， AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC=90°， 点D是AC的中点，
∴四边形ADBE是菱形.
【知识点】菱形的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】 （1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．
1 / 1菱形——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·泸州）矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角相等
【答案】A
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；
B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；
C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；
D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.
2．（2024·自贡）如图，以点A为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点M，N，再分别以M、N为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点B，连接．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：依题意，AM=AN=BM=BN，
∴四边形AMNB是菱形，
∴∠MBN=∠A=40°，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图痕迹可判断为菱形，利用菱形的性质得出结果.
3．（2022·河池）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是（　　）
A．AB＝AD B．AC⊥BD
C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，故A、B、D选项正确，
不能得出，故C选项不正确.
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质：菱形四边都相等、两条对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角，可得AB=AD，AC⊥BD，∠DAC＝∠BAC，据此判断.
4．（2022·贵阳）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵纸片是菱形
∴对边平行且相等
∴（两直线平行，内错角相等）
故答案为：C.
【分析】根据菱形的性质可得对边平行，由两直线平行，内错角相等可得∠1的度数.
5．（2025·黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件　 　，使平行四边形ABCD为菱形。
【答案】AC⊥BD
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：根据菱形的判定定理：对角线垂直的平行四边形是菱形，可添加AC⊥BD；根据菱形的定义邻边相等的平行四边形是菱形可添加，即AB=BC(答案不唯一）。
故答案为：AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）.
【分析】根据菱形不同的判定方法，可添加不同的条件AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一）。
6．（2025·西宁） 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，垂足为E，连接OE. 若，，则菱形ABCD的面积是　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据菱形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且平分，
所以，且O是AC的中点。
因为 ，
所以△AEC是直角三角形；
又O为AC中点，
所以AC = 2OE =，
所以，
综上，菱形ABCD的面积是，
故答案为： .
【分析】利用菱形对角线互相平分和直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，求出对角线AC的长度，再用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积即可.
7．（2025·云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若.则菱形ABCD的面积是　 　.
【答案】15
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=5，
∴菱形ABCD的面积是，
故答案为：15.
【分析】根据菱形面积等于对角线积的一半进行计算即可.
8．（2025·泸州）如图，在菱形中，分别是边上的点，且．
求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先根据菱形的四边相等得到AB=BC，再由线段的和差关系及等量减去等量差相等得出BE=BF，进而利用SAS判断出△ABF≌△CBE，由全等三角形的对应边相等得AF=CE.
9．（2024·济南）如图，在菱形ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，CF⊥AD，垂足为F．求证：AF＝CE．
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∵AE⊥CD，CF⊥AD，
∴∠AED＝∠CFD＝90°，
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
∴AD﹣DF＝CD﹣DE，
∴AF＝CE．
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质
【解析】【分析】由菱形的四边相等得AD=CD，由垂直的定义得∠AED＝∠CFD＝90°，从而用AAS判断出△AED≌△CFD，由全等三角形的对应边相等得DE＝DF，最后根据线段的和差及等式的性质可得结论.
二、能力题
10．（2025·湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：互相平分
四边形ABCD是平行四边形
是菱形
四边形ABCD的周长
故答案为：C.
【分析】由于对角线互相垂直平分的四边形是菱形，而菱形的四条边相等，即四边形ABCD的周长等于边长AB的4倍.
11．（2025·常州）如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=5.若∠ABD=30°，则AC的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形是菱形，
∴， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得， ，利用含角的直角三角形的性质求得的长，从而得到结果．
12．（2025·广州）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（　　）
A． B．5 C．4 D．8
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，BD
∵四边形ABCD为菱形，且面积为10
∴
∵E，F分别为AB，BC的中点
∴EF是△ABC的中位线
∴
同理可得：
∴EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG
∴四边形EFGH为矩形
∴
故答案为：B
【分析】 连接AC，BD，根据菱形性质可得，再根据三角形中位线定理可得，同理可得：，则EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG，根据矩形判定定理可得四边形EFGH为矩形，再根据矩形面积即可求出答案.
13．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，，点在边BC上，连接AE，将沿AE折叠，若点 落在BC延长线上的点处，则CF的长为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：如图所示，
由折叠知，
四边形ABCD是菱形
故答案为：D.
【分析】由于B、C、F在同一条直线上，由折叠的性质知，则可得是等腰直角三角形，由勾股定理可得，再由菱形的四条边相等，即，则CF可求.
14．（2024·攀枝花）如图，在菱形ABCD中， ∠C=120°，DC=4， 点E为AB的中点， 在对角线BD上有一动点P，则PA+PE的最小值为(　　)
A．4 B．2 C．2 D．2
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接AC，CE交BD于点P，连接AP
∵菱形ABCD是轴对称图形，
∴点A、C关于线段BD对称，DC∥AB，AB=BC=CD=4，
∴AP=CP，
∴PA+PE=PC+PE=CE，
∵两点之间线段最短及垂线段最短
∴此时PA+PE的最小值就是CE的长；
∵DC∥AB，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∴△ACB是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴CE⊥AB，BE=AB=2，
∴∠CEB=90°，
∴，
∴ PA+PE的最小值为
故答案为：C .
【分析】连接AC，CE交BD于点P，连接AP，利用菱形的性质可证得点A、C关于线段BD对称，DC∥AB，AB=BC=CD=4，利用轴对称的性质可得到AP=CP，可推出PA+PE=CE，利用两点之间线段最短及垂线段最短可知此时PA+PE的最小值就是CE的长；再证明△ACB是等边三角形，利用等边三角形的性质可证得∠CEB=90°，同时求出BE的长；然后利用勾股定理求出CE的长，即可求解.
15．（2025·巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点，，，于点H，DH的长为　 　 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD是菱形
∴，AB=2AO=8，BD=2BO=6
在Rt△AOB中，由勾股定理得
∵
∴
∴DH=
故填：
【分析】首先利用菱形的性质求出它的边长为5，两条对角线长分别为8和6，再利用菱形的面积的两种求法建立方程即可求出DH的长度。
16．（2025·辽宁）如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取OE中点H，连接GH，
在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，
AC⊥BD，
∵AE=2，
∴OE=OA-AE=4-2=2，
∵点G为BE的中点，点H为OE的中点，
∴GH是三角形EBO的中位线，
GH∥OB，
∴∠GHE=∠BOA=90°，
∵OF=1，
，
∴，
故答案为：.
【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得出AC⊥BD，取OE中点H，连接GH，可得GH=OB，GH∥OB，再用勾股定理解Rt△GHF即可．
17．（2025·兰州） 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若，则AF＝ 　 　 ．
【答案】4
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，CF，
∵AE⊥BC，BE=CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BC= AB=4，
∴ABC是等边三角形，
∴∠ABC =60° ，
∴∠BAE= ∠FBC =30° ，
∵BE=AB=×4=2，
∴AE=BE=×2=6，EF
∴AF=AE-EF=6-2=4.
故答案为：4.
【分析】根据菱形的性质，得BC=AB，又结合AE⊥BC，BE=CE，得出ABC是等边三角形，就可以得知∠BAE= ∠FBC =30°，利用30°角的三角形性质，即可求出AE，EF的长，进而可得AF的值，解答即可.
18．（2025·内蒙古自治区）如图，在菱形中，，对角线的长为，是的中点，是上一点，连接．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO=， AC⊥BD，
在Rt中：AO=，
∵是的中点，EH∥AC，
∴EH=，OH=，
∵BF=3，
∴FO=BO-BF=8-3=5，
∴FH=5+4=9，
∴
故答案为：.
【分析】连接AC，交BD于点O，过点E作EH∥AC交BD于点H，首先根据菱形的对角线互相垂直平分，可得出BO=DO=， AC⊥BD，然后根据勾股定理求得AO的长度，进一步根据三角形中位线定理，可求得EH的长度，再结合题中已知条件求得FH的长，最后根据勾股定理求得EF的长度。
19．（2025·凉山州）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，是边的中点，过点作于点，于点，若，，则的长为 　 　 ．
【答案】5
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接OE
四边形ABCD是菱形
、
四边形OFEG是矩形
是中点
故答案为：5.
【分析】由菱形的对角线互相垂直平分可得，同时借助AC与BD的长应用勾股定理可得边长CD=10，又因为、可得四边形OFEG是矩形，则对角线FG=OE，再借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
20．（2025·西藏）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，点E是BC的中点，且AC平分∠DAE．
（1） 求证：四边形ADCE是菱形；
（2） 已知AB＝3，AE＝2，求线段AC的长．
【答案】（1）证明： ∵AD∥BC， 点E是BC的中点，
BC，
∵BC=2AD，
∴AD=CE，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAC，
∴∠EAC =∠ECA，
∴AE=CE，
∴四边形ADCE是菱形.
（2）解：∵AE=CE=BE=2，
∴∠EAB=∠B， BC=2BE =4，
∵∠EAC=∠ECA， ，
∴ AC的长为
【知识点】菱形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】(1)由AD//BC， 点E是BC的中点， 得AD//CE， 由BC=2AD， 得AD= 则AD=CE，所 以四边形ADCE是平行四边形， 由∠DAC=∠ECA， ∠DAC =∠EAC， 推导出∠EAC =∠ECA， 则AE=CE， 即可证明四边形ADCE是菱形.
(2)因为AE=CE=BE=2， 所以∠EAB=∠B， BC=2BE=4， 而∠EAC =∠ECA， 即可得到求得∠BAC=90°， 然后根据勾股定理解答即可.
21．（2025·宁夏回族自治区） 如图，点在直线外．
①在直线上任取一点，连接；
②以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；
③分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点，作射线；
④以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点；
⑤连接．
（1）由②得与的数量关系是　 　；由③得到的结论是　 　．
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）；射线平分
（2）证明：由作图可知PA=AB=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
由作图可知AQ平分∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PCA=∠CAB，
∴PC∥AB，
∵PC=AB，
∴四边形ABCP是平行四边形，
∵AP=AB，
∴四边形ABCP是菱形．
【知识点】平行线的判定；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图即可求出答案.
（2）由作图可知PA=AB=PC，根据等边对等角可得∠PAC=∠PCA，由作图可知AQ平分∠PAB，根据角平分线定义可得∠PAC=∠CAB，则∠PCA=∠CAB，根据直线平行判定定理可得PC∥AB，再根据菱形判定定理即可求出答案.
三、拓展题
22．（2025·达州） 归纳与应用
归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形对边平行且相等；从角的角度，平行四边形对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形对角线互相平分；从对称性的角度，平行四边形是中心对称图形通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙：
（1）尝试归纳：请你根据图2，写出3条直角三角形的性质
①　 　；
②　 　；
③　 　．
（2）实践应用：小明同学在思考直角三角形的性质时，作出如图3，，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）∠A+∠B=90°；a2+b2=c2；c＞a(c>b)
（2）解：四边形ADBE是菱形，理由如下：
∵BE∥AC， AE∥BD，∴四边形ADBE是平行四边形，
∵∠ABC=90°， 点D是AC的中点，
∴四边形ADBE是菱形.
【知识点】菱形的判定；直角三角形的性质
【解析】【分析】 （1）根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的判定和性质以及菱形的判定定理即可得到结论．
1 / 1

展开更多......

收起↑