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矩形——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是 （　　）
A．AB∥CD B．AB=BC C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A：AB∥CD是平行四边形的性质，故不能得到ABCD是矩形，不符合题意；
B：添加AB=BC，四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C：添加∠B=∠D，四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D：添加AC=BD，四边形ABCD是矩形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理解答即可.
2．（2024·泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
又∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
A、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
A、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，可判断A选项；又平行四边形对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补及已知可推出∠B=∠C=90°，从而有一个角为直角的平行四边形是矩形，可判断B选项；由对角线相等得平行四边形是矩形可判断C选项；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断D选项.
3．（2024·武威）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，则AC的长为 （　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AO=BO=CO=DO，
∠ABD=60°，
是等边三角形，
AO=AB=2，
AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等得到AO=BO=CO=DO，再证△ABO是等边三角形，得出AO=AB=2，进而可得AC=4.
4．（2024·南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　）
A．41° B．51° C．49° D．59°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作EF∥a，
∵a∥b，
∴EF∥b，
∴∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠2=41°，
∴∠1=∠ABC-∠2=90°-41°=49°，
故答案为：C.
【分析】过点B作EF∥a，根据平行线的传递性得EF∥b，然后根据平行线的性质得∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，接下来由矩形的性质得∠ABC=90°，即可求出∠1=∠ABC-∠2的值.
5．（2025·甘孜）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则AC的长为 　 　 ．
【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】
解：四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故正确答案为：8
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得，再结合已知可判定是等边三角形，则，即AC等于AB的2倍.
6．（2022·十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡 ， 分别架在墙体的点 ， 处，且 ，侧面四边形 为矩形，若测得 ，则 　 　 .
【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】 解： 四边形BDEC为矩形
，
故答案为：110.
【分析】由矩形的性质可得∠DBC=90°，利用平角的定义可求出∠ABC=35°，由AB=AC可得∠ACB=
∠ABC=35°，利用三角形的内角和即可求出∠A的度数.
7．（2025·上海市）已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵E关于直线AD的对称点为F，
∴DF=DE，
设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，
∵四边形AFEB是菱形，
∴AB=AF=EF=2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC =90°，
∴∠ADF=180°-∠ADC=90°
∴，
∴
故答案为：.
【分析】由轴对称的性质可得DF=DE，设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，由菱形的性质得到AB=AF=EF=2m，证明∠ADF=90°，利用勾股定理可得，据此可得答案.
8．（2024八下·下陆期中）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形．
．
（2）证明：，平分，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1） 在中，，，得到，由角平分线的定义可得，则，得到四边形是平行四边形，即可求证；
（2）根据，平分得到，即可求证．
9．（2024九上·天桥期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：．
【答案】证明：四边形是矩形，
．
，，
．
，
，
．
【知识点】垂线的概念；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
根据矩形的性质求出，根据垂线的定义得到，再根据推出即可解答．
二、能力题
10．（2025·滨州）如图，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上.
（1）只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短.（保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，在BC边上找一点M，使得MA+MD最小，最小值为　 　.
【答案】（1）解：如图
（2）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
解：(2)如图，找出A关于直线BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点M，连接MA，
此时MA + MD= MA'+ MD= A'D为最小值，
A'D=
MA + MD的最小值为，
故答案为：
【分析】
（1）先根据格点计算得AB=BC=5，再由点B到AC最短，则时，BD最短，根据等腰三角形的性质得到此时点D为线段AC的中点，因而利用矩形的对角线特征找到网格的对角线交点即为点D，画出图形即可解答；
（2）先利用对称性作出图形，再由两点之间线段最短得到此时MA + MD= MA'+ MD= A'D为最小值，再用勾股定理计算即可解答.
11．（2025·辽宁）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　）
A．1 B．5 C．2 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AE=4，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
∴，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出BE的长，再得到BC的长，推出AD的长，接着利用线段差求得DE的长，再利用勾股定理求得CE.
12．（2025·大庆） 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（　　）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次方程；矩形的性质；矩形的判定；四边形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：作QEAB于点E，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形BCQE是矩形，
∴CQ=BE，
由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，
∴PH=20-AP-BH=20-3t，
∵QP=QH， QE⊥AB，
∴PE=HE=PH=10-
∴BE=AB-AP-PE=20-t-(10-)=10+
∵CQ=BE，
∴4t=10+
解得
故答案为：D.
【分析】由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，求得PH=20-3t，根据等腰三角形的性质得到PE=10-，再由线段的和差运算得到BE的值，再利用CQ=BE，列式计算即可解答.
13．（2025·绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（　　）
A．25 B．25 C．25 D．50
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；补角
【解析】【解答】解：已知两条对角线的一个交角为60°，不妨设∠AOB= 60°，
在△AOB中，AO=BO=5，∠AOB= 60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=5，
另一对角线夹角为180°-60°=120°(邻补角)，
在△AOD中，AO=DO=5，∠AOD= 120°，
由勾股定理计算得AD=
∴矩形面积为ABxAD=5x 5= 25.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，设对角线交点为O，则AO=BO=CO=DO= 5，利用勾股定理计算AD=，再利用面积公式，即可解答.
14．（2025·河北）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠ADB=∠1
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠ADB=∠A'DB
∴∠1=∠A'DB
∵∠DEC=90°-，即2∠1=90°-
∴，A错误
∵∠BDE≠∠CDE
∴∠1≠，B错误
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠C'ED=∠CED
，C错误，D正确
故答案为：D
【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，则∠ADB=∠1，再根据折叠性质可得∠ADB=∠A'DB，则∠1=∠A'DB，再根据角之间的关系逐项进行判断即可求出答案.
15．（2025·甘孜）一块三角形材料的形状如图所示，AC＝BC＝8，∠C＝90°．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上，则可剪出矩形CDEF的最大面积为 　 　 ．
【答案】16
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：设.
中，
四边形CDEF是矩形
即：是关于x的二次函数，且二次项系数为负，则当时有最大值，最大值为16.
故正确答案为：16
【分析】由于等腰直角三角形的每一个内角都是45度，又矩形的对边平行且相等，则可判定也是等腰直角三角形，即AF＝EF，为便于计算，可设EF为x，则AF为x、CF为8-x，再利用矩形的面积公式可得是关于x的二次函数，且二次项系数为负，则化二次函数的解析式为顶点式，则当时有最大值，最大值为16.
16．（2025·天津市）如图，在矩形ABCD中，，点在边BC上，且．
（I）线段AE的长为　 　；
（II）为CD的中点，为AF的中点，为EF上一点，若，则线段MN的长为　 　．
【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=BE+CE=BE+2BE=3
∴BE=1
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABE=90°
∴
故答案为：
（2）过点M作MH⊥EF于点H
∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°
∵F为CD的中点
∴
∴CF=BE
∵CE=2BE=2=AB
∴△ABE≌△ECF(SAS)
∴EF=EA，∠BAE=∠CEF
∴∠BEA+∠CEF=∠BEA+∠BAE=90°
∴∠AEF=90°
∴∠EAF=∠EFA=45°
∴∠MNF=180°-∠NFM-∠NMF=60°
∴
∵M为AF的中点
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据边之间的关系可得BE=1，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点M作MH⊥EF于点H，根据矩形性质可得CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°，根据线段中点可得，再根据边之间的关系可得CE=2BE=2=AB，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ECF(SAS)，则EF=EA，∠BAE=∠CEF，再根据角之间的关系可得∠EAF=∠EFA=45°，根据三角形内角和定理可得∠MNF，根据勾股定理可得AF，则，再解直角三角形即可求出答案.
17．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为　 　．
【答案】(-1.5，5)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，
∵B(1，0)，F(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折叠得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴点E(-1.5，5).
故答案为：(-1.5，5) .
【分析】设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，由B、F的坐标可得OB=1，OF=3，由正方形四边相等、四个内角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根据线段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折叠得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而可求出GF的长，设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.
18．（2025·内江） 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是　 　．
【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD=，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴BF=2GH，
∴当BF最大时，GH最大，
∵点F是CD上的动点，
∴当点F与点D重合时，BF最大为10，
∴GH的最大值为5.
故答案为：5 .
【分析】连接BF、BD，由矩形性质得∠A=90°，由勾股定理算出BD=10，根据三角形的中位线等于第三边的一半得出BF=2GH，故当BF最大时，GH最大，而当点F与点D重合时，BF最大为10，据此即可求出答案.
19．（2025·淮安）已知：如图，矩形ABCD．
（1）尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长．
【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：设(CE=x.
∵四边形ABCD是矩形，
∵将 沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
D-CE=3-x.
在 中，由勾股定理得：
在 中，由勾股定理得：
即
解得
故CE的长为
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线；矩形翻折模型
【解析】【分析】(1)以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分 交CD于点E即可；
(2)设CE=x，根据矩形的性质，可得.AD=B 再结合折叠的性质，可得.BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x；接下来在 中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度，然后在 根据勾股定理，列出关于x的方程，解方程即可得到答案.
20．（2025·北京） 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为 F，点G在DE的延长线上，DG = FC.
（1） 求证：四边形 DFCG是矩形；
（2） 若∠B =45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长.
【答案】（1）证明：∵D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF， 即DG∥CF ，
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF ⊥ BC，
∴平行四边形DFCG 是矩形；
（2）解：∵DG=5，
∴CF =DG=5；
∵DF ⊥ BC，
∴∠DFB=90°，
在Rt△BDF中， ∠B=45°， DF=3，
∴
∴BC=BF+CF=8；
∵点D为AB的中点，
∴
如图所示， 过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，
∴CH=BC-BH=2，
在Rt△AHC中， 由勾股定理得
【知识点】勾股定理；矩形的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥CF， 即DG∥CF ，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BD，BF，再根据边之间的关系可得BC，根据线段中点可得AB，过点A作AH⊥BC于H，解直角三角形可得AH，BH，再根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
21．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明结论即可；
（2）根据全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
22．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，的中线BD，CE交于点，点F，G分别是OB，OC的中点.
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD=CE时，求证：是矩形.
【答案】（1）∵BD为△ABC中线
∴E、D为AB、AC中点
∴
∵F、G为OB、OC中点
∴
∴
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）证明：的中线，交于点，
点是的重心，
，．
又点，分别是，的中点，
，，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据中线得到E、D为AB、AC中点，进而根据中位线得到，，等量代换得到，再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据三角形的重心得到，，再根据中点得到，，从而得到，再根据矩形的判定结合题意即可求解。
三、拓展题
23．（2025·红花岗模拟）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到．
【探究发现】
（1）如图①，当点落在上，连接，则___________．
【深入探究】
（2）如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值．
【拓展应用】
（3）如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长．
【答案】(1)；
(2)解：如图，作于点，作于点，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
，
在中，，
．
(3)或1或4
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；求正弦值
【解析】【解答】（1）解：四边形是矩形，
，
，
由旋转的性质得，，，，
，，
．
故答案为：；
（3）解：①若，连接，如图，
由旋转的性质得，，
点，分别为，中点，
，，
，，
，
三点共线，
，
又，
，
，
；
②若且在的下方，连接，如图，
点，分别为，中点，
，，
，
，
三点共线，
由旋转的性质得，，
，
；
③若且在的上方，连接，如图，
点，分别为，中点，
，，
，
，
三点共线，
由旋转的性质得，，
，
；
综上所述，的长为或1或4．
【分析】（1）利用矩形的性质求出，再根据旋转的性质求出，，，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据相似三角形的判定方法求出，再利用勾股定理求出AQ的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据题意，分①；②且在的下方；③且在的上方三种情况讨论，利用相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理等计算求解即可.
1 / 1矩形——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·德阳）如图，要使平行四边形ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是 （　　）
A．AB∥CD B．AB=BC C． D．
2．（2024·泸州）已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·武威）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点，则AC的长为 （　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．（2024·南通）如图，直线a∥b，矩形ABCD的顶点A在直线b上，若∠2＝41°，则∠1的度数为（　　）
A．41° B．51° C．49° D．59°
5．（2025·甘孜）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则AC的长为 　 　 ．
6．（2022·十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡 ， 分别架在墙体的点 ， 处，且 ，侧面四边形 为矩形，若测得 ，则 　 　 .
7．（2025·上海市）已知矩形ABCD中，点E在边CD上，F是点E关于直线AD的对称点，联结EF、AF、BE，若四边形ABEF是菱形，那么的值为　 　．
8．（2024八下·下陆期中）如图，在中，平分，交于点，平分，交于点．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是矩形．
9．（2024九上·天桥期中）如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：．
二、能力题
10．（2025·滨州）如图，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上.
（1）只用无刻度的直尺在AC上找一点D，使得BD最短.（保留作图痕迹）
（2）在（1）的基础上，在BC边上找一点M，使得MA+MD最小，最小值为　 　.
11．（2025·辽宁）如图，在矩形中，点在边上，，连接，若，，则的长为（　　）
A．1 B．5 C．2 D．
12．（2025·大庆） 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（　　）
A． B．4 C． D．
13．（2025·绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°.则这个矩形的面积是（　　）
A．25 B．25 C．25 D．50
14．（2025·河北）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点．将沿折叠，点落在内的处，下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
15．（2025·甘孜）一块三角形材料的形状如图所示，AC＝BC＝8，∠C＝90°．用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上，则可剪出矩形CDEF的最大面积为 　 　 ．
16．（2025·天津市）如图，在矩形ABCD中，，点在边BC上，且．
（I）线段AE的长为　 　；
（II）为CD的中点，为AF的中点，为EF上一点，若，则线段MN的长为　 　．
17．（2025·内江） 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为．点E在边上．将沿折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为．则点E的坐标为　 　．
18．（2025·内江） 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是　 　．
19．（2025·淮安）已知：如图，矩形ABCD．
（1）尺规作图：在CD边上找一点E，将矩形ABCD沿BE折叠，使点C落在边AD上；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作图形中，若，，求CE的长．
20．（2025·北京） 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为 F，点G在DE的延长线上，DG = FC.
（1） 求证：四边形 DFCG是矩形；
（2） 若∠B =45°，DF=3，DG=5，求BC和AC的长.
21．（2025·吉林）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．
（1）求证：△ABE≌△DCF．
（2）当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．
22．（2024·新疆维吾尔自治区）如图，的中线BD，CE交于点，点F，G分别是OB，OC的中点.
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）当BD=CE时，求证：是矩形.
三、拓展题
23．（2025·红花岗模拟）数学课上，同学们对矩形进行探究，已知，，将绕点旋转得到．
【探究发现】
（1）如图①，当点落在上，连接，则___________．
【深入探究】
（2）如图，旋转到如图②的位置，连接与相交于点，若时，求的值．
【拓展应用】
（3）如图③，在旋转过程中，当点，分别为，中点时，连接，当以为直角边的直角三角形时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A：AB∥CD是平行四边形的性质，故不能得到ABCD是矩形，不符合题意；
B：添加AB=BC，四边形ABCD是菱形，不符合题意；
C：添加∠B=∠D，四边形ABCD是平行四边形，不符合题意；
D：添加AC=BD，四边形ABCD是矩形，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据矩形的判定定理解答即可.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
又∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
A、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故此选项不符合题意；
A、∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据有一个角为直角的平行四边形是矩形，可判断A选项；又平行四边形对边平行得AB∥CD，由二直线平行，同旁内角互补及已知可推出∠B=∠C=90°，从而有一个角为直角的平行四边形是矩形，可判断B选项；由对角线相等得平行四边形是矩形可判断C选项；由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断D选项.
3．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，
AO=BO=CO=DO，
∠ABD=60°，
是等边三角形，
AO=AB=2，
AC=2AO=4.
故答案为：C.
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等得到AO=BO=CO=DO，再证△ABO是等边三角形，得出AO=AB=2，进而可得AC=4.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点B作EF∥a，
∵a∥b，
∴EF∥b，
∴∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠2=41°，
∴∠1=∠ABC-∠2=90°-41°=49°，
故答案为：C.
【分析】过点B作EF∥a，根据平行线的传递性得EF∥b，然后根据平行线的性质得∠2=∠CBE，∠1=∠ABE，接下来由矩形的性质得∠ABC=90°，即可求出∠1=∠ABC-∠2的值.
5．【答案】8
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】
解：四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故正确答案为：8
【分析】由矩形的对角线互相平分且相等得，再结合已知可判定是等边三角形，则，即AC等于AB的2倍.
6．【答案】110
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】 解： 四边形BDEC为矩形
，
故答案为：110.
【分析】由矩形的性质可得∠DBC=90°，利用平角的定义可求出∠ABC=35°，由AB=AC可得∠ACB=
∠ABC=35°，利用三角形的内角和即可求出∠A的度数.
7．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵E关于直线AD的对称点为F，
∴DF=DE，
设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，
∵四边形AFEB是菱形，
∴AB=AF=EF=2m，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC =90°，
∴∠ADF=180°-∠ADC=90°
∴，
∴
故答案为：.
【分析】由轴对称的性质可得DF=DE，设DF=DE=m，则EF=DE+DF=2m，由菱形的性质得到AB=AF=EF=2m，证明∠ADF=90°，利用勾股定理可得，据此可得答案.
8．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，平分，
，，
，
∴，
又，
四边形是平行四边形．
．
（2）证明：，平分，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】（1） 在中，，，得到，由角平分线的定义可得，则，得到四边形是平行四边形，即可求证；
（2）根据，平分得到，即可求证．
9．【答案】证明：四边形是矩形，
．
，，
．
，
，
．
【知识点】垂线的概念；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
根据矩形的性质求出，根据垂线的定义得到，再根据推出即可解答．
10．【答案】（1）解：如图
（2）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等腰三角形的性质-三线合一；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】
解：(2)如图，找出A关于直线BC的对称点A'，连接A'D，交BC于点M，连接MA，
此时MA + MD= MA'+ MD= A'D为最小值，
A'D=
MA + MD的最小值为，
故答案为：
【分析】
（1）先根据格点计算得AB=BC=5，再由点B到AC最短，则时，BD最短，根据等腰三角形的性质得到此时点D为线段AC的中点，因而利用矩形的对角线特征找到网格的对角线交点即为点D，画出图形即可解答；
（2）先利用对称性作出图形，再由两点之间线段最短得到此时MA + MD= MA'+ MD= A'D为最小值，再用勾股定理计算即可解答.
11．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵在矩形ABCD中，AB=3，AE=4，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC，CD=AB=3，
∴，
∴BC=BE=5，
∴AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∴
故答案为：D.
【分析】先利用勾股定理求出BE的长，再得到BC的长，推出AD的长，接着利用线段差求得DE的长，再利用勾股定理求得CE.
12．【答案】D
【知识点】解一元一次方程；矩形的性质；矩形的判定；四边形-动点问题；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】
解：作QEAB于点E，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形BCQE是矩形，
∴CQ=BE，
由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，
∴PH=20-AP-BH=20-3t，
∵QP=QH， QE⊥AB，
∴PE=HE=PH=10-
∴BE=AB-AP-PE=20-t-(10-)=10+
∵CQ=BE，
∴4t=10+
解得
故答案为：D.
【分析】由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t，求得PH=20-3t，根据等腰三角形的性质得到PE=10-，再由线段的和差运算得到BE的值，再利用CQ=BE，列式计算即可解答.
13．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；补角
【解析】【解答】解：已知两条对角线的一个交角为60°，不妨设∠AOB= 60°，
在△AOB中，AO=BO=5，∠AOB= 60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AB=AO=5，
另一对角线夹角为180°-60°=120°(邻补角)，
在△AOD中，AO=DO=5，∠AOD= 120°，
由勾股定理计算得AD=
∴矩形面积为ABxAD=5x 5= 25.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，设对角线交点为O，则AO=BO=CO=DO= 5，利用勾股定理计算AD=，再利用面积公式，即可解答.
14．【答案】D
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠ADB=∠1
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠ADB=∠A'DB
∴∠1=∠A'DB
∵∠DEC=90°-，即2∠1=90°-
∴，A错误
∵∠BDE≠∠CDE
∴∠1≠，B错误
∵将矩形沿对角线折叠
∴∠C'ED=∠CED
，C错误，D正确
故答案为：D
【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，则∠ADB=∠1，再根据折叠性质可得∠ADB=∠A'DB，则∠1=∠A'DB，再根据角之间的关系逐项进行判断即可求出答案.
15．【答案】16
【知识点】二次函数的最值；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边；二次函数-面积问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：设.
中，
四边形CDEF是矩形
即：是关于x的二次函数，且二次项系数为负，则当时有最大值，最大值为16.
故正确答案为：16
【分析】由于等腰直角三角形的每一个内角都是45度，又矩形的对边平行且相等，则可判定也是等腰直角三角形，即AF＝EF，为便于计算，可设EF为x，则AF为x、CF为8-x，再利用矩形的面积公式可得是关于x的二次函数，且二次项系数为负，则化二次函数的解析式为顶点式，则当时有最大值，最大值为16.
16．【答案】；
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴BC=BE+CE=BE+2BE=3
∴BE=1
∵四边形ABCD是矩形
∴∠ABE=90°
∴
故答案为：
（2）过点M作MH⊥EF于点H
∵四边形ABCD是矩形
∴CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°
∵F为CD的中点
∴
∴CF=BE
∵CE=2BE=2=AB
∴△ABE≌△ECF(SAS)
∴EF=EA，∠BAE=∠CEF
∴∠BEA+∠CEF=∠BEA+∠BAE=90°
∴∠AEF=90°
∴∠EAF=∠EFA=45°
∴∠MNF=180°-∠NFM-∠NMF=60°
∴
∵M为AF的中点
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】（1）根据边之间的关系可得BE=1，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）过点M作MH⊥EF于点H，根据矩形性质可得CD=AB=2，AD=BC=3，∠B=∠D=∠C=90°，根据线段中点可得，再根据边之间的关系可得CE=2BE=2=AB，根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ECF(SAS)，则EF=EA，∠BAE=∠CEF，再根据角之间的关系可得∠EAF=∠EFA=45°，根据三角形内角和定理可得∠MNF，根据勾股定理可得AF，则，再解直角三角形即可求出答案.
17．【答案】(-1.5，5)
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的判定与性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，
∵B(1，0)，F(0，3)，
∴OB=1，OF=3，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，
∴四边形OBCG是矩形，
∴OG=BC=a，CG=OB=1，
∴OA=AB-OB=a-1，GF=OG-OF=a-3，
由折叠得AF=AD=a，DE=EF，
在Rt△AOF中，∵OA2+OF2=AF2，
∴(a-1)2+32=a2，
解得a=5，
∴GF=5-3=2，
设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，
在Rt△EFG中，∵EG2+GF2=EF2，
∴x2+22=(4-x)2
解得x=1.5，即EG=1.5，
∴点E(-1.5，5).
故答案为：(-1.5，5) .
【分析】设CD交y轴于点G，正方形ABCD的边长为a，由B、F的坐标可得OB=1，OF=3，由正方形四边相等、四个内角都是直角得∠D=∠C=∠B=∠BOG=∠AOG=90°，AB=AD=CD=BC=a，从而由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形OBCG是矩形，由矩形的对边相等得OG=BC=a，CG=OB=1，然后根据线段和差可得OA=a-1，GF=a-3，由折叠得AF=AD=a，DE=EF，在Rt△AOF中，由勾股定理建立方程可求出a的值，从而可求出GF的长，设EG=x，则DE=EF=5-x-1=4-x，在Rt△EFG中，由勾股定理建立方程求出x得到EG的长，进而根据点的坐标与图形性质可得到点E的坐标.
18．【答案】5
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∵AB=8，AD=6，
∴BD=，
∵点G为BE的中点，点H为EF的中点，
∴GH是△BEF的中位线，
∴BF=2GH，
∴当BF最大时，GH最大，
∵点F是CD上的动点，
∴当点F与点D重合时，BF最大为10，
∴GH的最大值为5.
故答案为：5 .
【分析】连接BF、BD，由矩形性质得∠A=90°，由勾股定理算出BD=10，根据三角形的中位线等于第三边的一半得出BF=2GH，故当BF最大时，GH最大，而当点F与点D重合时，BF最大为10，据此即可求出答案.
19．【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：设(CE=x.
∵四边形ABCD是矩形，
∵将 沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，
D-CE=3-x.
在 中，由勾股定理得：
在 中，由勾股定理得：
即
解得
故CE的长为
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-作角的平分线；矩形翻折模型
【解析】【分析】(1)以B为圆心，BC为半径作弧交AD于点F，作BE平分 交CD于点E即可；
(2)设CE=x，根据矩形的性质，可得.AD=B 再结合折叠的性质，可得.BF=BC=5，EF=CE=x，DE=CD-CE=3-x；接下来在 中利用勾股定理求出AF的长度，进而求出DF的长度，然后在 根据勾股定理，列出关于x的方程，解方程即可得到答案.
20．【答案】（1）证明：∵D， E分别为AB， AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CF， 即DG∥CF ，
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形，
又∵DF ⊥ BC，
∴平行四边形DFCG 是矩形；
（2）解：∵DG=5，
∴CF =DG=5；
∵DF ⊥ BC，
∴∠DFB=90°，
在Rt△BDF中， ∠B=45°， DF=3，
∴
∴BC=BF+CF=8；
∵点D为AB的中点，
∴
如图所示， 过点A作AH⊥BC于H，
在Rt△ABH中，
∴CH=BC-BH=2，
在Rt△AHC中， 由勾股定理得
【知识点】勾股定理；矩形的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥CF， 即DG∥CF ，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）解直角三角形可得BD，BF，再根据边之间的关系可得BC，根据线段中点可得AB，过点A作AH⊥BC于H，解直角三角形可得AH，BH，再根据边之间的关系可得CH，再根据勾股定理即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（ASA）；
（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13，
∵AB＝12，
∴BE5．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，利用ASA证明结论即可；
（2）根据全等可得AE＝DF＝13，然后利用勾股定理解答即可.
22．【答案】（1）∵BD为△ABC中线
∴E、D为AB、AC中点
∴
∵F、G为OB、OC中点
∴
∴
∴四边形DEFG是平行四边形
（2）证明：的中线，交于点，
点是的重心，
，．
又点，分别是，的中点，
，，
．
，
．
又四边形是平行四边形，
平行四边形是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形的重心及应用；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）先根据中线得到E、D为AB、AC中点，进而根据中位线得到，，等量代换得到，再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据三角形的重心得到，，再根据中点得到，，从而得到，再根据矩形的判定结合题意即可求解。
23．【答案】(1)；
(2)解：如图，作于点，作于点，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，，
，，，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，（舍去负值），
，
在中，，
．
(3)或1或4
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定；旋转的性质；三角形的中位线定理；求正弦值
【解析】【解答】（1）解：四边形是矩形，
，
，
由旋转的性质得，，，，
，，
．
故答案为：；
（3）解：①若，连接，如图，
由旋转的性质得，，
点，分别为，中点，
，，
，，
，
三点共线，
，
又，
，
，
；
②若且在的下方，连接，如图，
点，分别为，中点，
，，
，
，
三点共线，
由旋转的性质得，，
，
；
③若且在的上方，连接，如图，
点，分别为，中点，
，，
，
，
三点共线，
由旋转的性质得，，
，
；
综上所述，的长为或1或4．
【分析】（1）利用矩形的性质求出，再根据旋转的性质求出，，，最后利用勾股定理计算求解即可；
（2）根据相似三角形的判定方法求出，再利用勾股定理求出AQ的值，最后利用锐角三角函数计算求解即可；
（3）根据题意，分①；②且在的下方；③且在的上方三种情况讨论，利用相似三角形的性质与判定、三角形的中位线定理等计算求解即可.
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