资源简介

正方形——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2022·无锡）下列命题中，是真命题的有（　　）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；
④四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理可判断①；根据菱形的判定定理可判断②④；根据正方形的判定定理可判断③.
2．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（　　）
A．（-3，5） B．（5，-3） C．（-2，5） D．（5，-2）
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形 A'B'C'D'.
∴AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5，A'B'在x轴上，A'B'//C'D'，
∵B(0，-2)，
∴B'(2，0)，C'(2，5)，
∴D'(-3，5)，
故答案为：A.
【分析】由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'//CD'，结合B(0，-2)，可得B'(2，0)，C'(2，5)，进一步可得答案.
3．（2025·乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是 　 　 （只需填一种组合即可）．
【答案】①③
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠ADC＝90°
∴四边形ABCD是矩形，OB=OD
∵ AC⊥BD
∴
在中，
∴
∴AB=AD
∴四边形ABCD是正方形
故答案填：①③
【分析】有一个角为直角的平行四边形是矩形，再通过证明得到对应边AB=AD，邻边相等的矩形就是正方形。
4．（2024·深圳） 如图所示， 四边形 均为正方形， 且 ，则正方形 的边长可以是　 　. （写出一个答案即可）
【答案】2(答案不唯一)
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴CD=，GH=1，
由图知1故可填写1~内的任一实数.
故填：2(答案不唯一)
【分析】先分别求出正方形ABCD和GHIJ的边长，即可得正方形EFGD的边长范围即可.
5．（2024·黑龙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件　 　，使得菱形ABCD为正方形．
【答案】AC＝BD
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：在菱形的基础上进行正方形的判定，常见的考虑有，
①有一个角为直角的菱形是正方形，如：∠ABC=90°；
②对角线相等的菱形是正方形，如：AC=BD，AO=BO等.
故答案为：AC=BD.
【分析】在菱形的基础上得出正方形的判定，可以从内角和对角线两个角度进行条件添加，言之有理即可.
6．（2023·滨州）一块面积为的正方形桌布，其边长为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得其边长为，
故答案为：
【分析】根据正方形的性质结合题意即可求解。
7．（2025九上·衢州月考） 如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接、，求证：．
【答案】证明：∵ABCD为正方形
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°
∵在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴AE=CE
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由正方形的性质知AD=CD，∠ADE=∠CDE，由此得△ADE≌△CDE(SAS)，即可得AE=CE.
8．（2025八下·韶关期中）如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连接、，与交于点，求证：
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明四边形为正方形，
，，
是边的中点，是边的中点，
，，
，
，
.
（2）证明：由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用中点的性质可得，，结合AB=BC，可得BE=FC，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得EC=DF；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而可得．
（1）证明四边形为正方形，
，，
是边的中点，是边的中点，
，，
，
，
；
（2）证明：由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
9．（2025·广州模拟）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接、求证：．
【答案】证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
∴
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据正方形的性质证明，，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可．
10．（2018·盐城）在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 、 满足 ，连接 、 、 、 ，如图所示.
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由.
【答案】（1）解：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，则∠ABE=∠ADF=135°，
又∵BE=DF，
∴△ABE △ADF。
（2）解：解：四边形AECF是菱形。理由如下：由（1）得∴△ABE △ADF，
∴AE=AF。
在正方形ABCD中，CB=CD，∠CBD=∠CDB=45°，则∠CBE=∠CDF=135°，
双∵BE=DF，
∴△CBE △CDF。
∴CE=CF。
∵BE=BE，∠CBE=∠ABE=135°，CB=AB，
∴△CBE △ABE。
∴CE=AE，
∴CE=AE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形。
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形ABCD的性质可得AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，由等角的补角相等可得∠ABE=∠ADF=135°，又由已知BE=DF，根据“SAS”可判定全等；（2）由（1）的全等可得AE=AF，则可猜测四边形AECF是菱形；由（1）的思路可证明△CBE △ABE，得到CE=AE；不难证明△CBE △ABE，可得CE=AE，则可根据“四条边相等的四边形是菱形”来判定即可。
二、能力题
11．（2025·深圳） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
四边形ABCD为正方形
同理：EO=FO
四边形ABCD为菱形
又
四边形AEOF为正方形
又
故答案为： D.
【分析】由折叠的性质知，可得AEOF为正方形，可得AO=EF，即可得EF与GC的比值.
12．（2025·滨州）如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】
解：设△GCH的内切圆圆心为点I，I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R，
∵四边形ABCD是正方形，AB= 17，EF= 13，
∴AD=CD=CB=AB=17，A=BCD= 90，
设AF=BG=CH=DE=m，则CG= AE= 17- m，
∴
∴GH= EF= 13，
解得m= 5或m= 12，
当m= 5时，则CH =5， CG= 12，
当m= 12时，则CH =12， CG= 5，
∴m= 5或m= 12时，△GCH的形状和大小相同
连接IP，IQ，IR，IC，IG，IH则，
设IP=IQ=IR=r，令CH=5，CG=12
∵
∴
解得r= 2，
∴△GCH的内切圆半径为2，
故答案为：B
【分析】
设△GCH的内切圆圆心为点I，I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R， 由正方形的性质得AD= CD= CB= AB= 17，A=BCD= 90，设AF=BG=CH=DE=m，则CG= AE= 17- m，利用勾股定理建立关于m的方程，计算求得m= 5或m= 12，从而证明△GCH的形状和大小相同， 连接IP，IQ，IR，IC，IG，IH则，设IP=IQ=IR=r，令CH=5，CG=12，利用面积法求得半径r，计算即可解答.
13．（2024·南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
①在Rt△ADF中，tan∠ADF=，
令AF=3x，DF=4x，则（3x)2+(4x)2=102，
解得：x1=2，x2=-2(舍去)，
∴DE=AF=6，DF=8.
∴EF=8-6=2，故此结论正确；
②∵Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，
∴，
∵BG=AF=AG-FG，
∴（AG-FG）·AG=3FG2，
整理可得：6FG2+FG·AG-AG2=0，
则6+-1=0，
解得：=，即点F是AG的三等分点，故此结论正确；
③由旋转可知：∠AG D=∠AGB=90°，
∴点G 在以AD为直径的圆上.M为圆心，如图，
在Rt△ABM中，BM=，
当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值，此时BG =+5，故此结论正确.
故答案为：D.
【分析】①根据∠ADF的正切值，并结合勾股定理可求得EF的值；
②根据Rt△ABG的面积和正方形EFGH的面积之间的关系可得关于的方程，解方程求出的值，于是可判断F是AG的三等分点；
③由题意易得点G 在以AD为直径的圆上，在Rt△ABM中，用勾股定理求出BM的值，然后根据当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值可求解.
14．（2024·宁夏）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则　 　°.
【答案】81
【知识点】正方形的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠BCD=，
∴∠BCH=108°-90°=18°，
∵BC=CD，CD=CH，
∴BC=CH，
∴∠BCH=
故答案为：81.
【分析】首先根据正多边形的性质以及多边形内角和定理得出∠BCD=108°，再根据正方形的性质得出∠HCD=90°，进而得出∠BCH=18°，再根据等腰三角形的性质即可得出∠BCH=81°。
15．（2025·威海）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为　 　cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：如图，设则
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方体的棱长为
故答案为：
故答案为：.
【分析】设表示AE和EB长，在Rt△EAB中根据勾股定理列方程求解即可.
16．（2024·吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAC=45°，
又∠FEO=45°，
∴∠FEO=∠DAC=45°，
∴EF∥AD，
∴△OEF∽△OAD，
∴，
∵点E是OA的中点，AD=BC，
∴.
故答案为：.
【分析】由正方形的性质得AD=BC，∠DAC=45°，然后由同位角相等两直线平行判断出EF∥AD，再根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OEF∽△OAD，由相似三角形对应边成比例可得，最后根据中点定义即可求出答案.
17．（2024·河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（-2，0），点E在边CD上.将沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为　 　.
【答案】
【知识点】正方形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：设OB=a，
∵四边形ABCD是正方形，△BEF是△BCE延BE折叠所得， A（-2，0），
∴BF=BC=AB=OB+AO=a+2，EF=CE，
又∵F （0，6） ，即OF=6，
在Rt△BOF中，有，
即，解得a=8，
又∵正方形AB的边在x轴上，
∴∠C=∠ABC=∠BOG=90°，
∴四边形OBCG是矩形，
∴CG=OB=8，OG=BC=10，
∴GF=OC-OF=10-6=4，
设EF=CE=b，则GE=8-b，
同理，则有，解得b=5，
∴GE=CG-CE=3.
∴E(3，10)
故答案为：(3，10).
【分析】由折叠问题与边存在的等量关系，先利用勾股定理解出△OBF，同理利用勾股定理解出△GEF，即得点E的坐标.
18．（2025·无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）
【答案】（1）解：如图，直线，点即为所求.
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵直线，即，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，然后作的角平分线交于点，据此作图即可.
（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解．
19．（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 在对角线 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 ，求＂机翼角＂ 的度数．
【答案】（1）证明：∵点E在对角线 BD上，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∵正方形A BCD，
在△ABE和△CBE中，
．
（2）解： ，且 ，
则 ．
又 ，
则 ．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于正方形的四条边相等，每条对角线平分一组对角，则可得利用SAS证明结论成立；
（2）由于等腰三角形DAE的顶角是45度，则底角可利用三角形内角和求得，由于正方形中是直角，再利用直角三角形两锐角互余即可.
20．（2023·潜江）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由翻折和正方形的性质可得∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB，则∠EMB=∠EBM，结合等角的余角相等可得∠BMP=∠MBC，根据正方形以及平行线的性质可得∠AMB=∠MBC，据此证明；
（2）延长MN、BC交于点Q，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DMP∽△CQP，由相似三角形的性质可得QC=2MD，QP=2MP，设MD=x，则QC=2x，BQ=3+2x，易得MQ=BQ=3+2x，则MP=MQ=，然后在Rt△DMP中，利用勾股定理计算即可.
三、拓展题
21．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
22．（2024·青海） 综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴、分别是和的中位线，
∴，（ ① ）
∴．
同理可得：．
∴中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据　 　.
（2）【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
（3）【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
②
从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是　 　．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
（5）【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
③ ④
结论：原四边形对角线　 　时，中点四边形是　 　．
【答案】（1）三角形中位线定理
（2）证明：方法一：
中点四边形EFGH是菱形
方法二：∵AC=BD
中点四边形EFGH是菱形；
（3）矩形
（4）证明：分别是和的中位线
四边形EMON是平行四边形
又
中点四边形EFGH是矩形.
（5）AC⊥BD且；正方形
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：（1）∵、分别是和的中位线，
∴，（三角形中位线定理 ）
故答案为：三角形中位线定理；
（3）如图，
原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形，
故答案为：矩形；
（5）AC⊥BD且时，中点四边形是正方形；
理由如下：如图，
∵AC⊥BD，由探究三可知四边形EFGH是矩形，
∵，由探究二可知四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形.
故答案为：AC⊥BD且；正方形.
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得出答案；
（2）根据四条边相等的四边形是菱形，或有一组邻边相等得平行四边形是菱形，即可得出结论；
（3）根据矩形的判定定理可得结论；
（4）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再根据一个内角是直角，即可得出四边形EFGH是矩形；
（5）根据（2），（3）即可得出AC⊥BD且AC=BD时，中点四边形是正方形.
1 / 1正方形——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2022·无锡）下列命题中，是真命题的有（　　）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形②对角线互相垂直的四边形是菱形③四边相等的四边形是正方形④四边相等的四边形是菱形
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
2．（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（　　）
A．（-3，5） B．（5，-3） C．（-2，5） D．（5，-2）
3．（2025·乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是 　 　 （只需填一种组合即可）．
4．（2024·深圳） 如图所示， 四边形 均为正方形， 且 ，则正方形 的边长可以是　 　. （写出一个答案即可）
5．（2024·黑龙江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件　 　，使得菱形ABCD为正方形．
6．（2023·滨州）一块面积为的正方形桌布，其边长为　 　．
7．（2025九上·衢州月考） 如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接、，求证：．
8．（2025八下·韶关期中）如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连接、，与交于点，求证：
（1）；
（2）．
9．（2025·广州模拟）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接、求证：．
10．（2018·盐城）在正方形 中，对角线 所在的直线上有两点 、 满足 ，连接 、 、 、 ，如图所示.
（1）求证： ；
（2）试判断四边形 的形状，并说明理由.
二、能力题
11．（2025·深圳） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为(　　)
A． B． C． D．
12．（2025·滨州）如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则△GCH的内切圆半径为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2024·南充）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形ABCD中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形EFGH面积的3倍，则点F是AG的三等分点；③将绕点A逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
14．（2024·宁夏）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则　 　°.
15．（2025·威海）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为　 　cm．
16．（2024·吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点，连接EF．若∠FEO＝45°，则的值为　 　．
17．（2024·河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（-2，0），点E在边CD上.将沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为　 　.
18．（2025·无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线．
（1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）
（2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）
19．（2025·浙江）【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 在对角线 上．
【数学理解】
（1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 的证明过程．
（2）若裁剪过程中满足 ，求＂机翼角＂ 的度数．
20．（2023·潜江）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
三、拓展题
21．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
22．（2024·青海） 综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
【探究一】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点．
求证：中点四边形是平行四边形．
证明：∵E、F、G、H分别是、、、的中点，
∴、分别是和的中位线，
∴，（ ① ）
∴．
同理可得：．
∴中点四边形是平行四边形．
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形．
（1）请你补全上述过程中的证明依据　 　.
（2）【探究二】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
菱形
从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形．
下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
（3）【探究三】
原四边形对角线关系 中点四边形形状
不相等、不垂直 平行四边形
②
从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是　 　．
（4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程．
（5）【归纳总结】
请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
③ ④
结论：原四边形对角线　 　时，中点四边形是　 　．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确，故该命题是真命题；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题；
④四边相等的四边形是菱形，正确，故该命题是真命题.
故答案为：B.
【分析】根据矩形的判定定理可判断①；根据菱形的判定定理可判断②④；根据正方形的判定定理可判断③.
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形 A'B'C'D'.
∴AB=BC=A'B'=B'C'=C'D'=5，A'B'在x轴上，A'B'//C'D'，
∵B(0，-2)，
∴B'(2，0)，C'(2，5)，
∴D'(-3，5)，
故答案为：A.
【分析】由正方形与旋转可得A'B'在x轴上，A'B'//CD'，结合B(0，-2)，可得B'(2，0)，C'(2，5)，进一步可得答案.
3．【答案】①③
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠ADC＝90°
∴四边形ABCD是矩形，OB=OD
∵ AC⊥BD
∴
在中，
∴
∴AB=AD
∴四边形ABCD是正方形
故答案填：①③
【分析】有一个角为直角的平行四边形是矩形，再通过证明得到对应边AB=AD，邻边相等的矩形就是正方形。
4．【答案】2(答案不唯一)
【知识点】无理数的估值；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵
∴CD=，GH=1，
由图知1故可填写1~内的任一实数.
故填：2(答案不唯一)
【分析】先分别求出正方形ABCD和GHIJ的边长，即可得正方形EFGD的边长范围即可.
5．【答案】AC＝BD
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：在菱形的基础上进行正方形的判定，常见的考虑有，
①有一个角为直角的菱形是正方形，如：∠ABC=90°；
②对角线相等的菱形是正方形，如：AC=BD，AO=BO等.
故答案为：AC=BD.
【分析】在菱形的基础上得出正方形的判定，可以从内角和对角线两个角度进行条件添加，言之有理即可.
6．【答案】
【知识点】正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意得其边长为，
故答案为：
【分析】根据正方形的性质结合题意即可求解。
7．【答案】证明：∵ABCD为正方形
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°
∵在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE(SAS)
∴AE=CE
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由正方形的性质知AD=CD，∠ADE=∠CDE，由此得△ADE≌△CDE(SAS)，即可得AE=CE.
8．【答案】（1）证明四边形为正方形，
，，
是边的中点，是边的中点，
，，
，
，
.
（2）证明：由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用中点的性质可得，，结合AB=BC，可得BE=FC，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得EC=DF；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，从而可得．
（1）证明四边形为正方形，
，，
是边的中点，是边的中点，
，，
，
，
；
（2）证明：由（1）得：，
，
，
，
，
，
．
9．【答案】证明：四边形为正方形，
，，
在和中，
，
∴
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据正方形的性质证明，，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可．
10．【答案】（1）解：证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，则∠ABE=∠ADF=135°，
又∵BE=DF，
∴△ABE △ADF。
（2）解：解：四边形AECF是菱形。理由如下：由（1）得∴△ABE △ADF，
∴AE=AF。
在正方形ABCD中，CB=CD，∠CBD=∠CDB=45°，则∠CBE=∠CDF=135°，
双∵BE=DF，
∴△CBE △CDF。
∴CE=CF。
∵BE=BE，∠CBE=∠ABE=135°，CB=AB，
∴△CBE △ABE。
∴CE=AE，
∴CE=AE=AF=CF，
∴四边形AECF是菱形。
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定；正方形的性质
【解析】【分析】（1）由正方形ABCD的性质可得AB=AD，∠ABD=∠ADB=45°，由等角的补角相等可得∠ABE=∠ADF=135°，又由已知BE=DF，根据“SAS”可判定全等；（2）由（1）的全等可得AE=AF，则可猜测四边形AECF是菱形；由（1）的思路可证明△CBE △ABE，得到CE=AE；不难证明△CBE △ABE，可得CE=AE，则可根据“四条边相等的四边形是菱形”来判定即可。
11．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
四边形ABCD为正方形
同理：EO=FO
四边形ABCD为菱形
又
四边形AEOF为正方形
又
故答案为： D.
【分析】由折叠的性质知，可得AEOF为正方形，可得AO=EF，即可得EF与GC的比值.
12．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】
解：设△GCH的内切圆圆心为点I，I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R，
∵四边形ABCD是正方形，AB= 17，EF= 13，
∴AD=CD=CB=AB=17，A=BCD= 90，
设AF=BG=CH=DE=m，则CG= AE= 17- m，
∴
∴GH= EF= 13，
解得m= 5或m= 12，
当m= 5时，则CH =5， CG= 12，
当m= 12时，则CH =12， CG= 5，
∴m= 5或m= 12时，△GCH的形状和大小相同
连接IP，IQ，IR，IC，IG，IH则，
设IP=IQ=IR=r，令CH=5，CG=12
∵
∴
解得r= 2，
∴△GCH的内切圆半径为2，
故答案为：B
【分析】
设△GCH的内切圆圆心为点I，I与CG、CH、GH分别相切于点P、Q、R， 由正方形的性质得AD= CD= CB= AB= 17，A=BCD= 90，设AF=BG=CH=DE=m，则CG= AE= 17- m，利用勾股定理建立关于m的方程，计算求得m= 5或m= 12，从而证明△GCH的形状和大小相同， 连接IP，IQ，IR，IC，IG，IH则，设IP=IQ=IR=r，令CH=5，CG=12，利用面积法求得半径r，计算即可解答.
13．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；求正切值
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=10，
①在Rt△ADF中，tan∠ADF=，
令AF=3x，DF=4x，则（3x)2+(4x)2=102，
解得：x1=2，x2=-2(舍去)，
∴DE=AF=6，DF=8.
∴EF=8-6=2，故此结论正确；
②∵Rt△ABG的面积是正方形EFGH面积的3倍，
∴，
∵BG=AF=AG-FG，
∴（AG-FG）·AG=3FG2，
整理可得：6FG2+FG·AG-AG2=0，
则6+-1=0，
解得：=，即点F是AG的三等分点，故此结论正确；
③由旋转可知：∠AG D=∠AGB=90°，
∴点G 在以AD为直径的圆上.M为圆心，如图，
在Rt△ABM中，BM=，
当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值，此时BG =+5，故此结论正确.
故答案为：D.
【分析】①根据∠ADF的正切值，并结合勾股定理可求得EF的值；
②根据Rt△ABG的面积和正方形EFGH的面积之间的关系可得关于的方程，解方程求出的值，于是可判断F是AG的三等分点；
③由题意易得点G 在以AD为直径的圆上，在Rt△ABM中，用勾股定理求出BM的值，然后根据当点B、M、G 共线时，BG 取得最大值可求解.
14．【答案】81
【知识点】正方形的性质；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE 是正五边形，
∴∠BCD=，
∴∠BCH=108°-90°=18°，
∵BC=CD，CD=CH，
∴BC=CH，
∴∠BCH=
故答案为：81.
【分析】首先根据正多边形的性质以及多边形内角和定理得出∠BCD=108°，再根据正方形的性质得出∠HCD=90°，进而得出∠BCH=18°，再根据等腰三角形的性质即可得出∠BCH=81°。
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：如图，设则
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方体的棱长为
故答案为：
故答案为：.
【分析】设表示AE和EB长，在Rt△EAB中根据勾股定理列方程求解即可.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAC=45°，
又∠FEO=45°，
∴∠FEO=∠DAC=45°，
∴EF∥AD，
∴△OEF∽△OAD，
∴，
∵点E是OA的中点，AD=BC，
∴.
故答案为：.
【分析】由正方形的性质得AD=BC，∠DAC=45°，然后由同位角相等两直线平行判断出EF∥AD，再根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△OEF∽△OAD，由相似三角形对应边成比例可得，最后根据中点定义即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】正方形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：设OB=a，
∵四边形ABCD是正方形，△BEF是△BCE延BE折叠所得， A（-2，0），
∴BF=BC=AB=OB+AO=a+2，EF=CE，
又∵F （0，6） ，即OF=6，
在Rt△BOF中，有，
即，解得a=8，
又∵正方形AB的边在x轴上，
∴∠C=∠ABC=∠BOG=90°，
∴四边形OBCG是矩形，
∴CG=OB=8，OG=BC=10，
∴GF=OC-OF=10-6=4，
设EF=CE=b，则GE=8-b，
同理，则有，解得b=5，
∴GE=CG-CE=3.
∴E(3，10)
故答案为：(3，10).
【分析】由折叠问题与边存在的等量关系，先利用勾股定理解出△OBF，同理利用勾股定理解出△GEF，即得点E的坐标.
18．【答案】（1）解：如图，直线，点即为所求.
（2）解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，，
∵平分，
∴，
∵直线，即，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；正方形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线，然后作的角平分线交于点，据此作图即可.
（2）根据正方形的性质和角平分线的定义求得，然后由和，得到，即可求解．
19．【答案】（1）证明：∵点E在对角线 BD上，
∴∠ABE=∠CBE=45°，
∵正方形A BCD，
在△ABE和△CBE中，
．
（2）解： ，且 ，
则 ．
又 ，
则 ．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；余角；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由于正方形的四条边相等，每条对角线平分一组对角，则可得利用SAS证明结论成立；
（2）由于等腰三角形DAE的顶角是45度，则底角可利用三角形内角和求得，由于正方形中是直角，再利用直角三角形两锐角互余即可.
20．【答案】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，．
∴．
∴，即，
∵四边形是正方形，
∴．
∴．
∴．
（2）解：如图，延长交于点．
∵，
∴．
又∵，正方形边长为3，
∴
∴，
∴，，
设，则，
∴．
∵，即，
∴．
∴．
在中，，
∴．
解得：（舍），．
∴．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由翻折和正方形的性质可得∠EMP=∠EBC=90°，EM=EB，则∠EMB=∠EBM，结合等角的余角相等可得∠BMP=∠MBC，根据正方形以及平行线的性质可得∠AMB=∠MBC，据此证明；
（2）延长MN、BC交于点Q，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△DMP∽△CQP，由相似三角形的性质可得QC=2MD，QP=2MP，设MD=x，则QC=2x，BQ=3+2x，易得MQ=BQ=3+2x，则MP=MQ=，然后在Rt△DMP中，利用勾股定理计算即可.
21．【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
22．【答案】（1）三角形中位线定理
（2）证明：方法一：
中点四边形EFGH是菱形
方法二：∵AC=BD
中点四边形EFGH是菱形；
（3）矩形
（4）证明：分别是和的中位线
四边形EMON是平行四边形
又
中点四边形EFGH是矩形.
（5）AC⊥BD且；正方形
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；中点四边形模型
【解析】【解答】解：（1）∵、分别是和的中位线，
∴，（三角形中位线定理 ）
故答案为：三角形中位线定理；
（3）如图，
原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形，
故答案为：矩形；
（5）AC⊥BD且时，中点四边形是正方形；
理由如下：如图，
∵AC⊥BD，由探究三可知四边形EFGH是矩形，
∵，由探究二可知四边形EFGH是菱形，
∴四边形EFGH是正方形.
故答案为：AC⊥BD且；正方形.
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得出答案；
（2）根据四条边相等的四边形是菱形，或有一组邻边相等得平行四边形是菱形，即可得出结论；
（3）根据矩形的判定定理可得结论；
（4）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再根据一个内角是直角，即可得出四边形EFGH是矩形；
（5）根据（2），（3）即可得出AC⊥BD且AC=BD时，中点四边形是正方形.
1 / 1

展开更多......

收起↑