资源简介

圆的基本性质——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·甘孜）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠O＝64°，则∠A＝（　　）
A．16° B．32° C．48° D．64°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
故正确答案为：B
【分析】同弧所得对圆周角等于其所对的圆心角度数的一半.
2．（2025·巴中）如图，A、B、C是上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使，连接CD．则为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】∵BC是圆的直径
∴
∵
∴△ACD是等腰直角三角形
∴
故选：C。
【分析】利用直径所对的圆周角是直角得出，又不难证明△ACD是等腰直角三角形，故。
3．（2025·白银）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（　　）
A．20° B．35° C．55° D．70°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补得，由圆周角定理得，据此即可求的度数.
4．（2025·重庆市）如图，点A，B，C在上，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理求出即可作答.
5．（2025·宜宾）如图，是的弦，半径于点．若．则的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】
解：∵ OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=x8=4，
又∵OA=OC=5，
∴在RtOAD中，OD= ，
故答案为：A.
【分析】由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理计算即可解答.
6．（2025·滨州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为　 　.
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】
解： ∵OC⊥AB
∴
∵ ∠AOC=60°
∴
∴sin∠BDC=
故答案为：
【分析】先根据垂径定理得到，再利用圆周角定理得到，从而计算特殊角的正弦，解答即可.
7．（2025·长沙） 如图， AB为⊙O的弦， OC⊥AB于点C， 连接OA， OB，若AB=OA， AC=3， 则OA的长为　 　.
【答案】6
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：解：∵ OC⊥AB ，
∴AB=2AC=6，
∴OA=AB=6，
故答案为：6.
【分析】根据垂径定理得到AB=2AC=6，然后根据等量代换解答即可.
8．（2025·内江） 如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是　 　．
【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC=5，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=4，∠ADO=90°，
∴OD=，
∴CD=OC-OD=2.
故答案为：2 .
【分析】由同圆的半径相等得OA=OC=5，由垂直弦的直线平分弦得AD=AB=4，进而利用勾股定理算出OD，最后根据CD=OC-OD列式计算即可.
9．（2025·云南）已知⊙O的半径为5cm.若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　 　cm.
【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在☉O上，
∴点P到圆心O的距离为5cm，
故答案为：5.
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系.
10．（2026九上·椒江期末） 如图， OB 是⊙O的半径， 弦CD⊥OB， 垂足为E， AB∥CD， OC 延长线交AB 于点A.
（1）求证： AB 是⊙O 的切线；
（2）若BE=2， CD=6， 求OB的长.
【答案】（1）证明：，
．
，
．
是的半径，
是的切线．
（2）解：
．
设，
在中，

【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）证明，再根据是的半径即可证明是的切线；
（2）根据垂径定理得到，再根据勾股定理进行解答即可．
二、能力题
11．（2025·西藏）如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　）
A．6π B．4π C．2π D．π
【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC，
∵直径.AB=6，
故答案为： C.
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到再用弧长公式计算即可.
12．（2025·长沙） 如图， AC， BC为⊙O的弦， 连接OA， OB， OC.若∠AOB=40°， ∠OCA=30°，则∠BCO的度数为(　　)
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACB=，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=20°+30°=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=50°，
故答案为：C.
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB=20°，然后求出∠OCB的度数，然后根据等边对等角解答即可.
13．（2025·青海） 如图， AB是⊙O的直径， ∠CAB=40°， 则∠ADC的度数是(　　)
A．80° B．50° C．40° D．25°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ADC=50°
故选：B.
【分析】根据直径所对圆周角为直角可得∠ABC的度数，再由同弧所对圆周角相等即可得∠ADC的度数.
14．（2025·广元）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
15．（2025·武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，. 若 AB=6，CD=，则⊙O的半径是（　　）
A． B． C． D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点E，连接OA，AE
则
∵
∴
∴
∴
设圆的半径为r
在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2
即
解得：r=
故答案为：A
【分析】过点O作OE⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点E，连接OA，AE，根据垂径定理可得，根据题意可得，则，再根据勾股定理可得EF，设圆的半径为r，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2025·广州）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆的对称性
【解析】【解答】解：作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD
∵C为中点
∴CC'⊥AB
∴C的对称点为C'
∴此时△PCD的面积最小
∵
∴
∵OC=OD
∴△COD是等边三角形
∴
∵CC'是圆的直径
∴∠CDC'=90°
∴
∵C和C'关于AB对称
∴PC'=PC
∴△PCD的周长=CD+PC+PD=CD+PC'+PD=CD+DC'=
故答案为：B
【分析】作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD，根据题意可得C的对称点为C'，此时△PCD的面积最小，求出，再根据等边三角形判定定理可得△COD是等边三角形，则，根据圆周角定理可得∠CDC'=90°，再根据勾股定理可得CD，根据轴对称性质可得PC'=PC，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
17．（2025·陕西） 如图，为的直径，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵
∴∠CAB=∠CDB=24°
∵为的直径
∴AB⊥CD
∴∠ACD=90°-∠CAB=66°
故答案为：66°
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB=24°，根据垂径定理可得AB⊥CD，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
18．（2025·常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦若∠DCB=45°，AD=1，则AB=　 　.
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根军圆周角定理得到，得到，利用勾股定理求解即可．
19．（2025·东营）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；求余弦值
【解析】【解答】解：解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
由题意：AB=8，HC=2，
设OA=x，则OC=x，
∴OH =x-2，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH = BH =AB
在Rt OAH中，由勾股定理得AH2+OH2=OA2，
∴42+(x-2）2=x2，
解得x=5，
∴OA=5，
∴cos∠OAB=，
故答案为：.
【分析】如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理得AH=BH=4，再用勾股定理构构建方程组求出OA，OH，再利用余弦函数定义即可解答.
20．（2025·广安） 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，⊙O的半径为6，则BD的长为　 　.
【答案】
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB、OD，过点O作OH⊥BD于点H，
∴BD=2BH，BH=DH，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∵，
∴∠BOD=2∠A=120°，
∵OB=OD，
∴∠BOH=∠BOD=60°，
在Rt△BOH中，
∴
∴.
故答案为： .
【分析】连接OB、OD，过点O作OH⊥BD于点H，利用垂径定理可证得BD=2BH，BH=DH，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A的度数；再利用等腰三角形的性质可求出∠BOH的度数，在Rt△BOH中，利用解直角三角形求出BH的长，可得到BD的长.
21．如图，在△ABC中，CA=CB，E为AB上一点，作EF∥BC，与AC交于点F，经过点A，E，F的⊙O与BC相切于点D，连接AD.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AE=10，BE=8，求AC的长.
【答案】（1）证明：连接OD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴OD⊥EF，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：连接DE，
∵EF∥BC，
∴∠BDE=∠DEF，
又∵∠BAD=∠CAD=∠DEF，
∴∠BDE=∠BAD，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BDE∽△BAD，
(8+10)=144，
∴BD=12，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠C，
又∵∠AFE=∠ADE，
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD，
∵AC=CB，
∴CD=24，
【知识点】垂径定理；切线的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接OD，⊙O与BC相切于点D，推出OD⊥BC，已知EF∥BC，得到OD⊥EF，推出进而得到∠BAD=∠CAD，得证AD平分∠BAC；
(2)连接DE，已知EF∥BC，根据两角对应相等得到△BDE∽△BAD，可求得BD=12，得到进一步证明△ADE∽△ACD，根据对应边成比例得到解答即可.
22．（2025·无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AB＝3，cos∠ABE＝，求AD的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
又，
垂直平分，
；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
由（1）得，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到垂直平分，根据垂直平分线的性质证明即可；
（2）连接，根据余弦的定义可得，进而求出DE长，再根据勾股定理计算即可．
23．（2025·眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D，过点B作，交⊙O于点E，连接AE、AC．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为2，求AC的长．
【答案】（1）证明：连接OC交BE于点F，
∵CD是 ⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
又∵BE∥CD，
∴∠OFB=90°，
∴
（2）解：∵AB是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠EAB=60°，
∴∠EBA=30°，
又∵CD∥BE，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=AB=4，
∴，
又∵，
∴∠CAD=∠EAC=30°=∠D，
∴AC=CD=
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OC交BE于点F，即可根据切线得到∠OCD=90°，然后根据平行得到∠OFB=90°，再根据垂径定理得到结论即可；
（2）根据直径可得∠AEB=90°，即可得到∠EBA=30°，由平行线得到∠D=30°，进而求出CD长，然后根据等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠D，再根据等角对等边解答即可.
三、拓展题
24．（2025·吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
【答案】（1）解：如图①中，点D即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，点E即为所求（答案不唯一）．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）取优弧AC上的格点D，然后连接DA，DB，根据同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）取优弧AC上的格点，连接EA，EC，根据圆内接四边形的内角互补即可得到点E即为所作.
25．（2025·武威）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】解：
如图即为月洞门的设计图．
【知识点】圆的相关概念；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据尺规作图先以A，B为端点大于的长度为半径画弧，作出线段AB的垂直平分线MN ； 在射线DM上截取 ，同理作线段AC的垂直平分线， 再以点O为圆心，OC的长为半径作 ；依次作图即可解答
1 / 1圆的基本性质——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·甘孜）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠O＝64°，则∠A＝（　　）
A．16° B．32° C．48° D．64°
2．（2025·巴中）如图，A、B、C是上的点，BC是圆的直径，在BA延长线上取一点D，使，连接CD．则为　　
A． B． C． D．
3．（2025·白银）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，连接BD，若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为（　　）
A．20° B．35° C．55° D．70°
4．（2025·重庆市）如图，点A，B，C在上，，的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·宜宾）如图，是的弦，半径于点．若．则的长是（　　）
A．3 B．2 C．6 D．
6．（2025·滨州）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OC⊥AB，∠AOC=60°，则sin∠BDC的值为　 　.
7．（2025·长沙） 如图， AB为⊙O的弦， OC⊥AB于点C， 连接OA， OB，若AB=OA， AC=3， 则OA的长为　 　.
8．（2025·内江） 如图，是的弦．半径于点D，且．则的长是　 　．
9．（2025·云南）已知⊙O的半径为5cm.若点P在⊙O上，则点P到圆心O的距离为　 　cm.
10．（2026九上·椒江期末） 如图， OB 是⊙O的半径， 弦CD⊥OB， 垂足为E， AB∥CD， OC 延长线交AB 于点A.
（1）求证： AB 是⊙O 的切线；
（2）若BE=2， CD=6， 求OB的长.
二、能力题
11．（2025·西藏）如图，在⊙O中，直径AB＝6，BC是⊙O的弦，若∠B＝60°，则的长为（　　）
A．6π B．4π C．2π D．π
12．（2025·长沙） 如图， AC， BC为⊙O的弦， 连接OA， OB， OC.若∠AOB=40°， ∠OCA=30°，则∠BCO的度数为(　　)
A．40° B．45° C．50° D．55°
13．（2025·青海） 如图， AB是⊙O的直径， ∠CAB=40°， 则∠ADC的度数是(　　)
A．80° B．50° C．40° D．25°
14．（2025·广元）如图，是的弦，过圆心O作于点H，交于点A，，点M是上异于C，D的一点，连接，，则的值是（　　）
A． B． C． D．
15．（2025·武汉）如图，四边形ABCD内接于⊙O，. 若 AB=6，CD=，则⊙O的半径是（　　）
A． B． C． D．5
16．（2025·广州）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（　　）
A． B． C． D．
17．（2025·陕西） 如图，为的直径，，，则的度数为　 　．
18．（2025·常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦若∠DCB=45°，AD=1，则AB=　 　.
19．（2025·东营）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为　 　．
20．（2025·广安） 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，，⊙O的半径为6，则BD的长为　 　.
21．如图，在△ABC中，CA=CB，E为AB上一点，作EF∥BC，与AC交于点F，经过点A，E，F的⊙O与BC相切于点D，连接AD.
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AE=10，BE=8，求AC的长.
22．（2025·无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AB＝BD；
（2）若AB＝3，cos∠ABE＝，求AD的长．
23．（2025·眉山）如图，AB为⊙O的直径，点C为圆上一点，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点D，过点B作，交⊙O于点E，连接AE、AC．
（1）求证：；
（2）若，⊙O的半径为2，求AC的长．
三、拓展题
24．（2025·吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB．
（2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．
25．（2025·武威）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一．如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点O是所在圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞门的拱高．现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．如图3，已知月洞门的横跨为AB，拱高的长度为a．作法如下：
①作线段AB的垂直平分线MN，垂足为D；
②在射线DM上截取；
③连接AC，作线段AC的垂直平分线交CD于点O；
④以点O为圆心，OC的长为半径作．
则就是所要作的圆弧．
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】
故正确答案为：B
【分析】同弧所得对圆周角等于其所对的圆心角度数的一半.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】∵BC是圆的直径
∴
∵
∴△ACD是等腰直角三角形
∴
故选：C。
【分析】利用直径所对的圆周角是直角得出，又不难证明△ACD是等腰直角三角形，故。
3．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】根据圆内接四边形对角互补得，由圆周角定理得，据此即可求的度数.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
．
故答案为：B．
【分析】根据圆周角定理求出即可作答.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】
解：∵ OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=x8=4，
又∵OA=OC=5，
∴在RtOAD中，OD= ，
故答案为：A.
【分析】由垂径定理得到AD的长，再由勾股定理计算即可解答.
6．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】
解： ∵OC⊥AB
∴
∵ ∠AOC=60°
∴
∴sin∠BDC=
故答案为：
【分析】先根据垂径定理得到，再利用圆周角定理得到，从而计算特殊角的正弦，解答即可.
7．【答案】6
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：解：∵ OC⊥AB ，
∴AB=2AC=6，
∴OA=AB=6，
故答案为：6.
【分析】根据垂径定理得到AB=2AC=6，然后根据等量代换解答即可.
8．【答案】2
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：∵OC=5，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AD=AB=4，∠ADO=90°，
∴OD=，
∴CD=OC-OD=2.
故答案为：2 .
【分析】由同圆的半径相等得OA=OC=5，由垂直弦的直线平分弦得AD=AB=4，进而利用勾股定理算出OD，最后根据CD=OC-OD列式计算即可.
9．【答案】5
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P在☉O上，
∴点P到圆心O的距离为5cm，
故答案为：5.
【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系.
10．【答案】（1）证明：，
．
，
．
是的半径，
是的切线．
（2）解：
．
设，
在中，

【知识点】勾股定理；垂径定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）证明，再根据是的半径即可证明是的切线；
（2）根据垂径定理得到，再根据勾股定理进行解答即可．
11．【答案】C
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC，
∵直径.AB=6，
故答案为： C.
【分析】连接OC，根据圆周角定理得到再用弧长公式计算即可.
12．【答案】C
【知识点】圆周角定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵∠ACB=，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=20°+30°=50°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=50°，
故答案为：C.
【分析】先根据圆周角定理求出∠ACB=20°，然后求出∠OCB的度数，然后根据等边对等角解答即可.
13．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB为直径
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=90°-∠CAB=90°-40°=50°
∵∠ADC=∠ABC
∴∠ADC=50°
故选：B.
【分析】根据直径所对圆周角为直角可得∠ABC的度数，再由同弧所对圆周角相等即可得∠ADC的度数.
14．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；求正弦值
【解析】【解答】解：∵OA⊥CD，OA是半径，
∴，∠CHO=90°，
∴∠CMD=∠COH，
∵OH：HA=3：2，
设OH=3x，HA=2x，
∴OC=OA=OH+HA=5x，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】利用垂直的定义及垂径定理可证得，∠CHO=90°，利用圆周角定理可推出∠CMD=∠COH，利用已知条件设OH=3x，HA=2x，可表示出OC的长，利用勾股定理表示出CH的长，然后利用正弦的定义可求出sin∠CMD的值.
15．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点E，连接OA，AE
则
∵
∴
∴
∴
设圆的半径为r
在Rt△AOF中，OA2=OF2+AF2
即
解得：r=
故答案为：A
【分析】过点O作OE⊥AB，垂足为点F，交⊙O于点E，连接OA，AE，根据垂径定理可得，根据题意可得，则，再根据勾股定理可得EF，设圆的半径为r，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；圆的对称性
【解析】【解答】解：作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD
∵C为中点
∴CC'⊥AB
∴C的对称点为C'
∴此时△PCD的面积最小
∵
∴
∵OC=OD
∴△COD是等边三角形
∴
∵CC'是圆的直径
∴∠CDC'=90°
∴
∵C和C'关于AB对称
∴PC'=PC
∴△PCD的周长=CD+PC+PD=CD+PC'+PD=CD+DC'=
故答案为：B
【分析】作直径CC'，连接DC'交AB于点P，连接PC，OD，根据题意可得C的对称点为C'，此时△PCD的面积最小，求出，再根据等边三角形判定定理可得△COD是等边三角形，则，根据圆周角定理可得∠CDC'=90°，再根据勾股定理可得CD，根据轴对称性质可得PC'=PC，再根据三角形周长进行边之间的转换即可求出答案.
17．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵
∴∠CAB=∠CDB=24°
∵为的直径
∴AB⊥CD
∴∠ACD=90°-∠CAB=66°
故答案为：66°
【分析】根据同弧所对的圆周角相等可得∠CAB=∠CDB=24°，根据垂径定理可得AB⊥CD，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
18．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵是的直径，
，
∵与对应同一段弧，
，
，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，根军圆周角定理得到，得到，利用勾股定理求解即可．
19．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理；求余弦值
【解析】【解答】解：解：如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，
由题意：AB=8，HC=2，
设OA=x，则OC=x，
∴OH =x-2，
∵OH⊥AB，OC为半径，
∴AH = BH =AB
在Rt OAH中，由勾股定理得AH2+OH2=OA2，
∴42+(x-2）2=x2，
解得x=5，
∴OA=5，
∴cos∠OAB=，
故答案为：.
【分析】如图，作OH⊥AB交AB于H，交圆弧于C，利用垂径定理得AH=BH=4，再用勾股定理构构建方程组求出OA，OH，再利用余弦函数定义即可解答.
20．【答案】
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB、OD，过点O作OH⊥BD于点H，
∴BD=2BH，BH=DH，
∵ 四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，
∵，
∴∠BOD=2∠A=120°，
∵OB=OD，
∴∠BOH=∠BOD=60°，
在Rt△BOH中，
∴
∴.
故答案为： .
【分析】连接OB、OD，过点O作OH⊥BD于点H，利用垂径定理可证得BD=2BH，BH=DH，利用圆内接四边形的对角互补，可求出∠A的度数；再利用等腰三角形的性质可求出∠BOH的度数，在Rt△BOH中，利用解直角三角形求出BH的长，可得到BD的长.
21．【答案】（1）证明：连接OD，
∵⊙O与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∵EF∥BC，
∴OD⊥EF，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：连接DE，
∵EF∥BC，
∴∠BDE=∠DEF，
又∵∠BAD=∠CAD=∠DEF，
∴∠BDE=∠BAD，
又∵∠DBE=∠ABD，
∴△BDE∽△BAD，
(8+10)=144，
∴BD=12，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠C，
又∵∠AFE=∠ADE，
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD，
∵AC=CB，
∴CD=24，
【知识点】垂径定理；切线的性质；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接OD，⊙O与BC相切于点D，推出OD⊥BC，已知EF∥BC，得到OD⊥EF，推出进而得到∠BAD=∠CAD，得证AD平分∠BAC；
(2)连接DE，已知EF∥BC，根据两角对应相等得到△BDE∽△BAD，可求得BD=12，得到进一步证明△ADE∽△ACD，根据对应边成比例得到解答即可.
22．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
，
又，
垂直平分，
；
（2）解：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
，
由（1）得，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到垂直平分，根据垂直平分线的性质证明即可；
（2）连接，根据余弦的定义可得，进而求出DE长，再根据勾股定理计算即可．
23．【答案】（1）证明：连接OC交BE于点F，
∵CD是 ⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
又∵BE∥CD，
∴∠OFB=90°，
∴
（2）解：∵AB是 ⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠EAB=60°，
∴∠EBA=30°，
又∵CD∥BE，
∴∠D=30°，
∴OD=2OC=AB=4，
∴，
又∵，
∴∠CAD=∠EAC=30°=∠D，
∴AC=CD=
【知识点】垂径定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连接OC交BE于点F，即可根据切线得到∠OCD=90°，然后根据平行得到∠OFB=90°，再根据垂径定理得到结论即可；
（2）根据直径可得∠AEB=90°，即可得到∠EBA=30°，由平行线得到∠D=30°，进而求出CD长，然后根据等弧所对的圆周角相等得到∠CAD=∠D，再根据等角对等边解答即可.
24．【答案】（1）解：如图①中，点D即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图②中，点E即为所求（答案不唯一）．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】（1）取优弧AC上的格点D，然后连接DA，DB，根据同弧所对的圆周角相等即可解答；
（2）取优弧AC上的格点，连接EA，EC，根据圆内接四边形的内角互补即可得到点E即为所作.
25．【答案】解：
如图即为月洞门的设计图．
【知识点】圆的相关概念；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据尺规作图先以A，B为端点大于的长度为半径画弧，作出线段AB的垂直平分线MN ； 在射线DM上截取 ，同理作线段AC的垂直平分线， 再以点O为圆心，OC的长为半径作 ；依次作图即可解答
1 / 1

展开更多......

收起↑