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直线与圆的关系——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·自贡）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（　　）
A．50° B．100°
C．130° D．或-
【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB：，
∵PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，
∴∠PAO=90°=∠PBO，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=360°-2×90°-80°=100°
∴，∠C'=180°-50°=130°
故答案为：D.
【分析】连接OA，OB，求解∠AOB=360°-2×90°-80°=100°，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
2．（2023·哈尔滨）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的切线，且A为切点，
∴AB⊥OA，
又∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD=∠B=65°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=65°，
∴∠DOC=180°-∠OCD-∠ODC=50°.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得AB⊥OA，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥OC，由二直线平行，同位角相等得∠OCD=∠B=65°，由等边对等角得∠OCD=∠ODC=65°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DOC的度数.
3．（2022·岳阳）下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；三角形的内切圆与内心；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A选项符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B选项不符合题意；
C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C选项不符合题意；
D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质可判断A；根据平行四边形的性质可判断B；根据内心的概念可判断C；根据全等三角形的判定定理可判断D.
4．（2022·长沙）如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB是的切线，
∴，
，
，
则.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°，然后结合四边形内角和为360°进行计算.
5．（2025·西宁） 如图，四边形ABCD是的外切四边形，，.则四边形ABCD的周长为　 　.
【答案】48
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据题意进行标注如下图：
因为四边形ABCD是的外切四边形，
所以AH=AG，BH=BE，CE=CF，DG=DF，
所以四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=AH+BH+BE+CE+CF+DF+DG+AG=2(AB+CD)
=2×(9+15)=48，
故答案为：48 .
【分析】先根据题意标注字母，然后根据切线长定理得到线段相等，然后将四边形ABCD的周长等量代换即可确定.
6．（2024·哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝　 　度．
【答案】50
【知识点】切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的切线，点A为切点，
∴∠OAB=90°，
∵ ∠OBA＝40°，
∴ ∠AOB＝ 90°-40°=50°。
故答案为：50
【分析】首先根据切线的性质得出∠OAB=90°，进而根据直角三角形两锐角互余，即可得出答案。
7．（2023·青海）如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是　 　．
【答案】53°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵MN是圆O的切线，且M为切点，
∴∠M=90°，
又∵∠N=37°，
∴∠MON=90°-37°=53°.
故答案为：53°.
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径，可得∠M=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可求出∠MON的度数.
8．（2023·黑龙江）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则　 　．
【答案】34
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠B=56°，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=34°.
故答案为：34.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=56°，由切线的性质得∠PAO=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可算出∠P的度数.
9．（2025九上·花都期末）如图，为的直径，点在上，，直线与直径的延长线交于点．求证：是的切线．
【答案】证明：连接
是的切线
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】连接，格努等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠COD，再根据三角形内角和定理可得∠OCD，再根据切线判定定理即可求出答案.
10．（2025·光明模拟）如图，在中，，过AB的中点C.
（1） 求证：AB为的切线；
（2） 若的直径为8cm，，求OA的长.
【答案】（1）证明：
经过点C
是的切线.
（2）解：的直径为8cm
在 中，由勾股定理可得
【知识点】勾股定理；切线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得出OC⊥AB，根据切线的判定定理，即可得出结论；
（2）首先根据直径的长度得出半径OC的长度，进而根据勾股定理即可得出OA的长度。
二、能力题
11．（2025·山东）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；几何图形的面积计算-割补法；内切圆与外接圆的综合运用
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD、OC、OE
与相切
故答案为：D.
【分析】由于圆内接正方形的中心角是直角，则由切线的性质知内切圆半径OE垂直CD，再由垂径定理知OE平分CD，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=4，再由勾股定理可得OD的平方等于8，则阴影部分面积等于外接圆面积与内切圆面积的差.
12．（2025·福建）如图， PA与⊙O 相切于点A， PO 的延长线交⊙O 于点 C. AB∥PC，且交⊙O 于点 B.若 则 的大小为（　　）
A．30° B． C．60° D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解： 如图，连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠AOP=90°-∠P=90°-30°=60°，
∵AB∥PC，
∴∠OAB=∠AOP=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BCP=60°，
故答案为：C.
【分析】 连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边三角形的判定和性质解答即可.
13．（2025·海南）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AB＝1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵BC与半圆O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝90° 30°＝60°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝120°，
∴的长为：＝，
故答案为：C．
【分析】连接OD，先利用切线的性质求出∠ABC＝90°，再利用三角形的内角和求出∠A的度数，再利用圆周角的性质可得∠BOD＝2∠A＝120°，最后利用弧长公式求解即可.
14．（2025·淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OE
∵AC是圆O的切线
∴OE⊥AC
设圆半径为r
∴OE=OD=r
∴AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x
在Tt△AEO中，由勾股定理可得：AO2=AE2+OE2
∴(5+r)2=102+r2
∴r=7.5
∴AO=12.5，AB=20
∵
∴
解得：BC=12
故答案为：B
【分析】设圆心为O，连接OE，根据切线性质可得OE⊥AC，设圆半径为r，则OE=OD=r，根据边之间的关系可得AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AO=12.5，AB=20，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
15．（2025·无锡）如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为　 　 ．
【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质证明，根据对应边成比例求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
16．（2025·宁夏回族自治区） 如图，⊙是的内切圆，，则　 　．
【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙是的内切圆
∴
∵∠A=54°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=126°
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-2(∠ABC+∠ACB)
=117°
故答案为：117
【分析】根据三角形内切圆性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
17．（2025·黑龙江）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，，　 　
【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，
∴∠CAP=90°，PA=PB，
∵，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
∴∠P=180°-55°×2=70°。
故答案为：70°.
【分析】首先根据切线的性质定理得出∠CAP=90°，根据且切线长定理得出PA=PB，进而得出∠PAB=∠PBA=55°，再根据三角形内角和定理得出∠P的度数即可。
18．（2025·资阳）如图，是的外接圆，AB是的直径，的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.
（1）求证：DE是的切线；
（2）若，，求的半径.
【答案】（1）证明：方法1连接OD.
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°.
∵ DE //BC、
∴∠E=90°.
∴∠EAD+∠ADE=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAB.
∵OA =OD，
∴∠DAB=∠ADO.
∴∠EAD=∠ADO.
∴∠ADO+∠ADE=90°，即OD⊥DE.
∴ DE 是⊙O 的切线
（2）解：由（1）可得，四边形DECF为矩形.
∴DF=CE=.
∵，，
∴.
在Rt△BOF中，OB=2OF.
设OB=x，则OF=x-.
∴，解得.
即⊙O的半径为
【知识点】矩形的判定与性质；切线的判定；解直角三角形—含30°角直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）方法1连接OD，利用圆周角定理的推论及平行线的性质可推出∠EAD+∠ADE=90°；再利用角平分线的概念及等腰三角形的性质可推出∠EAD=∠ADO，即可证得OD⊥DE，据此可证得结论.
（2）由（1）可得，四边形DECF为矩形，利用矩形的性质可求出DF的长；再证明∠ABC=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可证得OB=2OF，设OB=x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆O的半径.
19．（2025·陕西） 如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵以为半径的⊙与相切于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设的半径为，
∴，，而，，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；切线的性质；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，即，根据直线平行判定定理可得，则，根据等边对等角可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）设的半径为，则，，根据正弦定义建立方程，解方程可得r=3，根据勾股定理可得AD，DF，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
20．（2025·乐山）如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC＝∠DEB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若BE∥CD，tanC，CD＝5，求OF的长．
【答案】（1）证明：∵直径AB垂直于弦DE，
∴AB⊥DE，EF＝DF，
∴BE＝DB，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠CBD＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BC∥DE，
∴AB⊥BC，
∴BC为⊙O的切线
（2）解：∵BC∥DE，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BE＝CD＝BD＝5，∠E＝∠C，
∵tanC＝tanE，
∴设BF＝3x，EF＝4x，
∴BE5x＝5，
∴x＝1，
∴EF＝4，BF＝3，
连接OE，
在Rt△OEF中，∵OE2＝OF2+EF2，
∴OE2＝（OE﹣3）2+42，
∴OE，
∴OF3
【知识点】平行四边形的判定与性质；切线的判定；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）先由垂径定理推出，于是可知BE=BD，故，而，所以有，从而可知，又已知AB⊥DE，故AB⊥BC，即BC为 ⊙O 切线；
（2）易证四边形BCDE为平行四边形，故，在Rt△BFE中，按比设参，结合勾股定理可求BF=3，EF=4，在Rt△OEF中，再次利用勾股定理求得OE，故OF。
21．（2025·济南）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图，连接交于点D，
，
，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
是的直径，
， ，
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）如图，连接，根据SAS可证明≌，从而得出，进而根据切线的判定定理得出结论；
（2）根据≌，可得出垂直平分，根据勾股定理可求得BP的长度，进而根据面积法可得出BD的长，进而得出BC的长，再根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ACB=90°，进而根据勾股定理即可得出AC的长。
22．（2025·达州） 如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，试求与半径的数量关系．
【答案】（1）解：PB是⊙O的切线，
理由如下：
如图，连接OA， OB，∴OA=OB，
又∵PA=PB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OAP=∠OBP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°=∠OBP，
且OB为圆O的半径，
∴PB是⊙O的切线.
（2）解：∵∠P=60°， PA=PB， ∴△ABP是等边三角形，
∵∠DCE=60°， ∴∠BCE+∠ACD=120°.
∵∠ADC+∠ACD=120°，
∴∠ADC=∠BCE，
∴△ADC∽△BCE，
如图， 连接OA， OB， 过点O作OF⊥AB于点F，则
∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO=90°，
∴∠OAF=90°-60°=30°.
∴cos∠OAF==，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，求证△OAP≌△OBP，根据PA是⊙O的切线，可得∠PAO=90°，进而得出∠PBO=90°，即可得证；
（2）根据一线三等角证明△ADC∽△BCE，得出相似比为1：2，进而得出4AD+BE=2BC+2AC=2AB，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=0.5AB，根据含30度角的直角三角形的性质，求得AF，进而得出2AB=2，即可得证．
三、拓展题
23．（2025·潍坊）图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为10米，地面上的观察点到点的距离为80米，平面示意图如图2所示．
（1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．
（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，
【答案】（1）解：连接，作，垂足为，
根据题意可知，（米）.
在中，米，，
所以（米），
因为，
所以，
因为与相切，
所以，
所以，
因为米，
所以，
所以（米），
所以，
在Rt中，（米），
所以，点处的座舱到地面的距离约为79.6米.
（2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接．
不妨设米，
因为，
所以，
所以（米），
因为米，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以最佳观赏风景的时间为（分钟）.
且的长（米）
所以，座舱经过的的长约为104.7米
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，作，垂足为，根据边之间的关系可得OC，根据勾股定理可得OD，再根据正切定义可得， 再根据切线性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据余弦定义可得，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点作，交于点．延长，交于点，连接，设米，根据边之间的关系可得OH，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据弧长公式即可求出答案.
24．（2025·扬州）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而　 　 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
1 / 1直线与圆的关系——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·自贡）分别与相切于两点．点在上，不与点重合．若，则的度数为（　　）
A．50° B．100°
C．130° D．或-
2．（2023·哈尔滨）如图，是的切线，A为切点，连接﹐点C在上，，连接并延长，交于点D，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
3．（2022·岳阳）下列命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．平行四边形的对角线互相垂直
C．三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点
D．三角分别相等的两个三角形是全等三角形
4．（2022·长沙）如图，PA，PB是的切线，A、B为切点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·西宁） 如图，四边形ABCD是的外切四边形，，.则四边形ABCD的周长为　 　.
6．（2024·哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，点A为切点，连接OA，OB，若∠OBA＝40°，则∠AOB＝　 　度．
7．（2023·青海）如图，是的切线，是切点，连接，．若，则的度数是　 　．
8．（2023·黑龙江）如图，是的直径，切于点A，交于点，连接，若，则　 　．
9．（2025九上·花都期末）如图，为的直径，点在上，，直线与直径的延长线交于点．求证：是的切线．
10．（2025·光明模拟）如图，在中，，过AB的中点C.
（1） 求证：AB为的切线；
（2） 若的直径为8cm，，求OA的长.
二、能力题
11．（2025·山东）在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·福建）如图， PA与⊙O 相切于点A， PO 的延长线交⊙O 于点 C. AB∥PC，且交⊙O 于点 B.若 则 的大小为（　　）
A．30° B． C．60° D．
13．（2025·海南）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AB＝1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则的长为（　　）
A． B． C． D．
14．（2025·淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　）
A．10 B．12 C．13 D．15
15．（2025·无锡）如图，AB与⊙O相切于点B，连接BO，过点O作BO的垂线OC，交⊙O于点C，连接AC，交线段OB于点D．若AB＝3，OC＝2，则tanA的值为　 　 ．
16．（2025·宁夏回族自治区） 如图，⊙是的内切圆，，则　 　．
17．（2025·黑龙江）如图，PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，，　 　
18．（2025·资阳）如图，是的外接圆，AB是的直径，的平分线交于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.
（1）求证：DE是的切线；
（2）若，，求的半径.
19．（2025·陕西） 如图，点在的边上，以为半径的⊙与相切于点，与相交于点，为⊙的直径，与相交于点，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
20．（2025·乐山）如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC＝∠DEB．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）若BE∥CD，tanC，CD＝5，求OF的长．
21．（2025·济南）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接．
（1）求证：与相切；
（2）若，，求的长．
22．（2025·达州） 如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，试求与半径的数量关系．
三、拓展题
23．（2025·潍坊）图1是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的，其上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为10米，地面上的观察点到点的距离为80米，平面示意图如图2所示．
（1）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．
（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长，并求这段时间内该座舱经过的圆弧的长．
（以上结果均保留小数点后一位数字，参考数据：，
24．（2025·扬州）材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡．“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性．疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质．
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述．材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点（点M或点N）所作的气﹣液界线的切线与固﹣液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角．
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角；（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
（2）材料的疏水性随着接触角的变大而　 　 （选填“变强”“不变”“变弱”）．
（3）【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC（BC⊥AC），求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数（如图3）．
请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系（用等式表示），并说明理由．
（4）【创新思考】
材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述，请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接OA，OB：，
∵PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，
∴∠PAO=90°=∠PBO，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=360°-2×90°-80°=100°
∴，∠C'=180°-50°=130°
故答案为：D.
【分析】连接OA，OB，求解∠AOB=360°-2×90°-80°=100°，再根据C的位置结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是圆O的切线，且A为切点，
∴AB⊥OA，
又∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD=∠B=65°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=65°，
∴∠DOC=180°-∠OCD-∠ODC=50°.
故答案为：B.
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得AB⊥OA，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得AB∥OC，由二直线平行，同位角相等得∠OCD=∠B=65°，由等边对等角得∠OCD=∠ODC=65°，进而根据三角形的内角和定理可算出∠DOC的度数.
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质；三角形的内切圆与内心；对顶角及其性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、对顶角相等是一个正确的命题，是真命题，故A选项符合题意；
B、菱形的对角线互相垂直，非菱形的平行四边形的对角线不垂直，所以平行四边形的对角线互相垂直是一个假命题，故B选项不符合题意；
C、三角形的内心是三角形内角平分线的交点，不一定是三边的垂直平分线的交点，则三角形的内心是它的三条边的垂直平分线的交点是一个假命题，故C选项不符合题意；
D、三角分别相等的两个三角形不一定全等，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据对顶角的性质可判断A；根据平行四边形的性质可判断B；根据内心的概念可判断C；根据全等三角形的判定定理可判断D.
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵PA，PB是的切线，
∴，
，
，
则.
故答案为：B.
【分析】根据切线的性质可得OA⊥PA，OB⊥PB，根据垂直的概念可得∠PAO=∠PBO=90°，然后结合四边形内角和为360°进行计算.
5．【答案】48
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：根据题意进行标注如下图：
因为四边形ABCD是的外切四边形，
所以AH=AG，BH=BE，CE=CF，DG=DF，
所以四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=AH+BH+BE+CE+CF+DF+DG+AG=2(AB+CD)
=2×(9+15)=48，
故答案为：48 .
【分析】先根据题意标注字母，然后根据切线长定理得到线段相等，然后将四边形ABCD的周长等量代换即可确定.
6．【答案】50
【知识点】切线的性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ AB是⊙O的切线，点A为切点，
∴∠OAB=90°，
∵ ∠OBA＝40°，
∴ ∠AOB＝ 90°-40°=50°。
故答案为：50
【分析】首先根据切线的性质得出∠OAB=90°，进而根据直角三角形两锐角互余，即可得出答案。
7．【答案】53°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵MN是圆O的切线，且M为切点，
∴∠M=90°，
又∵∠N=37°，
∴∠MON=90°-37°=53°.
故答案为：53°.
【分析】根据圆的切线垂直于经过切点的半径，可得∠M=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可求出∠MON的度数.
8．【答案】34
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：∵弧AC=弧AC，
∴∠AOC=2∠B=56°，
∵PA是圆O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠P=90°-∠AOP=34°.
故答案为：34.
【分析】由同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=2∠B=56°，由切线的性质得∠PAO=90°，进而根据直角三角形的两锐角互余可算出∠P的度数.
9．【答案】证明：连接
是的切线
【知识点】三角形内角和定理；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】连接，格努等边对等角可得，根据角之间的关系可得∠COD，再根据三角形内角和定理可得∠OCD，再根据切线判定定理即可求出答案.
10．【答案】（1）证明：
经过点C
是的切线.
（2）解：的直径为8cm
在 中，由勾股定理可得
【知识点】勾股定理；切线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）首先根据等腰三角形三线合一的性质得出OC⊥AB，根据切线的判定定理，即可得出结论；
（2）首先根据直径的长度得出半径OC的长度，进而根据勾股定理即可得出OA的长度。
11．【答案】D
【知识点】垂径定理；几何图形的面积计算-割补法；内切圆与外接圆的综合运用
【解析】【解答】解：如图所示，连接OD、OC、OE
与相切
故答案为：D.
【分析】由于圆内接正方形的中心角是直角，则由切线的性质知内切圆半径OE垂直CD，再由垂径定理知OE平分CD，由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=4，再由勾股定理可得OD的平方等于8，则阴影部分面积等于外接圆面积与内切圆面积的差.
12．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解： 如图，连接OA、OB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∴∠AOP=90°-∠P=90°-30°=60°，
∵AB∥PC，
∴∠OAB=∠AOP=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOC=180°-∠AOP-∠AOB=60°，
∵OB=OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠BCP=60°，
故答案为：C.
【分析】 连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边三角形的判定和性质解答即可.
13．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OD，
∵BC与半圆O相切于点B，
∴∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴∠A＝90° 30°＝60°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝120°，
∴的长为：＝，
故答案为：C．
【分析】连接OD，先利用切线的性质求出∠ABC＝90°，再利用三角形的内角和求出∠A的度数，再利用圆周角的性质可得∠BOD＝2∠A＝120°，最后利用弧长公式求解即可.
14．【答案】B
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：设圆心为O，连接OE
∵AC是圆O的切线
∴OE⊥AC
设圆半径为r
∴OE=OD=r
∴AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x
在Tt△AEO中，由勾股定理可得：AO2=AE2+OE2
∴(5+r)2=102+r2
∴r=7.5
∴AO=12.5，AB=20
∵
∴
解得：BC=12
故答案为：B
【分析】设圆心为O，连接OE，根据切线性质可得OE⊥AC，设圆半径为r，则OE=OD=r，根据边之间的关系可得AO=AD+OD=5+r，AB=AD+BD=5+2x，再根据勾股定理建立方程，解方程可得AO=12.5，AB=20，再根据正弦定义建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵与相切于点B，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案为：．
【分析】利用平行线的性质证明，根据对应边成比例求得，再利用直角三角形的边角关系解答即可．
16．【答案】117
【知识点】三角形内角和定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙是的内切圆
∴
∵∠A=54°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=126°
∴∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)
=180°-2(∠ABC+∠ACB)
=117°
故答案为：117
【分析】根据三角形内切圆性质可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
17．【答案】70°
【知识点】三角形内角和定理；切线的性质；切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA、PB是圆O的切线，A、B为切点，AC是直径，
∴∠CAP=90°，PA=PB，
∵，
∴∠PAB=∠PBA=55°，
∴∠P=180°-55°×2=70°。
故答案为：70°.
【分析】首先根据切线的性质定理得出∠CAP=90°，根据且切线长定理得出PA=PB，进而得出∠PAB=∠PBA=55°，再根据三角形内角和定理得出∠P的度数即可。
18．【答案】（1）证明：方法1连接OD.
∵AB是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°.
∵ DE //BC、
∴∠E=90°.
∴∠EAD+∠ADE=90°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠DAB.
∵OA =OD，
∴∠DAB=∠ADO.
∴∠EAD=∠ADO.
∴∠ADO+∠ADE=90°，即OD⊥DE.
∴ DE 是⊙O 的切线
（2）解：由（1）可得，四边形DECF为矩形.
∴DF=CE=.
∵，，
∴.
在Rt△BOF中，OB=2OF.
设OB=x，则OF=x-.
∴，解得.
即⊙O的半径为
【知识点】矩形的判定与性质；切线的判定；解直角三角形—含30°角直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）方法1连接OD，利用圆周角定理的推论及平行线的性质可推出∠EAD+∠ADE=90°；再利用角平分线的概念及等腰三角形的性质可推出∠EAD=∠ADO，即可证得OD⊥DE，据此可证得结论.
（2）由（1）可得，四边形DECF为矩形，利用矩形的性质可求出DF的长；再证明∠ABC=30°，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可证得OB=2OF，设OB=x，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆O的半径.
19．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵以为半径的⊙与相切于点，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
设的半径为，
∴，，而，，
∴，
解得：，
∴，，，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】平行线的判定与性质；切线的性质；已知正弦值求边长；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，即，根据直线平行判定定理可得，则，根据等边对等角可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）设的半径为，则，，根据正弦定义建立方程，解方程可得r=3，根据勾股定理可得AD，DF，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：∵直径AB垂直于弦DE，
∴AB⊥DE，EF＝DF，
∴BE＝DB，
∴∠BED＝∠BDE，
∵∠CBD＝∠DEB，
∴∠BDE＝∠CBD，
∴BC∥DE，
∴AB⊥BC，
∴BC为⊙O的切线
（2）解：∵BC∥DE，BE∥CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴BE＝CD＝BD＝5，∠E＝∠C，
∵tanC＝tanE，
∴设BF＝3x，EF＝4x，
∴BE5x＝5，
∴x＝1，
∴EF＝4，BF＝3，
连接OE，
在Rt△OEF中，∵OE2＝OF2+EF2，
∴OE2＝（OE﹣3）2+42，
∴OE，
∴OF3
【知识点】平行四边形的判定与性质；切线的判定；等角代换法求锐角三角函数值
【解析】【分析】（1）先由垂径定理推出，于是可知BE=BD，故，而，所以有，从而可知，又已知AB⊥DE，故AB⊥BC，即BC为 ⊙O 切线；
（2）易证四边形BCDE为平行四边形，故，在Rt△BFE中，按比设参，结合勾股定理可求BF=3，EF=4，在Rt△OEF中，再次利用勾股定理求得OE，故OF。
21．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
与相切；
（2）解：如图，连接交于点D，
，
，，
垂直平分，
，，，
，
，
，
，
是的直径，
， ，
【知识点】三角形全等及其性质；切线的判定；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）如图，连接，根据SAS可证明≌，从而得出，进而根据切线的判定定理得出结论；
（2）根据≌，可得出垂直平分，根据勾股定理可求得BP的长度，进而根据面积法可得出BD的长，进而得出BC的长，再根据直径所对的圆周角是直角，可得出∠ACB=90°，进而根据勾股定理即可得出AC的长。
22．【答案】（1）解：PB是⊙O的切线，
理由如下：
如图，连接OA， OB，∴OA=OB，
又∵PA=PB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP，
∴∠OAP=∠OBP，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°=∠OBP，
且OB为圆O的半径，
∴PB是⊙O的切线.
（2）解：∵∠P=60°， PA=PB， ∴△ABP是等边三角形，
∵∠DCE=60°， ∴∠BCE+∠ACD=120°.
∵∠ADC+∠ACD=120°，
∴∠ADC=∠BCE，
∴△ADC∽△BCE，
如图， 连接OA， OB， 过点O作OF⊥AB于点F，则
∵PA是⊙O的切线， ∴∠PAO=90°，
∴∠OAF=90°-60°=30°.
∴cos∠OAF==，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OA，OB，求证△OAP≌△OBP，根据PA是⊙O的切线，可得∠PAO=90°，进而得出∠PBO=90°，即可得证；
（2）根据一线三等角证明△ADC∽△BCE，得出相似比为1：2，进而得出4AD+BE=2BC+2AC=2AB，过点O作OF⊥AB于点F，则AF=0.5AB，根据含30度角的直角三角形的性质，求得AF，进而得出2AB=2，即可得证．
23．【答案】（1）解：连接，作，垂足为，
根据题意可知，（米）.
在中，米，，
所以（米），
因为，
所以，
因为与相切，
所以，
所以，
因为米，
所以，
所以（米），
所以，
在Rt中，（米），
所以，点处的座舱到地面的距离约为79.6米.
（2）解：过点作，交于点．延长，交于点，连接．
不妨设米，
因为，
所以，
所以（米），
因为米，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以最佳观赏风景的时间为（分钟）.
且的长（米）
所以，座舱经过的的长约为104.7米
【知识点】勾股定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【分析】（1）连接，作，垂足为，根据边之间的关系可得OC，根据勾股定理可得OD，再根据正切定义可得， 再根据切线性质可得，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据余弦定义可得，根据角之间的关系可得∠ADE，再根据正弦定义即可求出答案.
（2）过点作，交于点．延长，交于点，连接，设米，根据边之间的关系可得OH，再根据余弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据弧长公式即可求出答案.
24．【答案】（1）解：①圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的中垂线，交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为圆O的切线，故∠PMN即为所求；
（2）变强
（3）解：∠CAD＝2∠BAC，理由如下：
连接OA，则：OA＝OB，
∴∠ABC＝∠OAB，
∵AD为切线，
∴OA⊥AD，
∴∠OAB+∠BAD＝90°，
∵BC⊥AC，
∴∠ABC+∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD+∠BAC＝2∠BAC；
（4）解：∵水滴弧的长度为：，
∴，
∴可以根据的大小，进行判断，越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强（答案不唯一）．
【知识点】切线的性质；弧长的计算；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】(2)由题意和图，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强，
故答案为：变强；
【分析】(1)圆弧上取一点C，交界面与圆弧的交点为M，N， 连接MC， NC， 分别作MC， NC的中垂线， 交于点O，则点O为圆弧的圆心，连接OM，过点M作 则PM为圆O的切线， 即为所求；
(2)根据题意，可知，接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强，进行作答即可；
(3)连接OA，等边对等角，得到 ，切线的性质，结合等角的余角相等，得到进而得到即可；
(4)可以根据 进行判断，根据 越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强进行作答即可.
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