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与圆相关的计算——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2024九上·荔湾月考）一个扇形的弧长是，面积为，则其半径为（　　）
A．6 B．36 C．12 D．144
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵，弧长是，面积为，
∴，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据扇形的面积公式，结合题意代入数值即可求出半径。
2．（2025九上·新兴期末）如图，正六边形内接于，若的半径为3，则正六边形的周长为（　　）
A．18 B．9 C．12 D．36
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，，
∵正六边形内接于，
∴是等边三角形，
∴正六边形的周长，
故选：A．
【分析】本题考查正多边形与圆的关系及等边三角形的判定与性质，核心是利用正六边形内接于圆时的边长特征计算周长。正六边形内接于圆时，从圆心连接正六边形的任意两个相邻顶点，可得到一个等腰三角形，且该等腰三角形的顶角（中心角）为。由于圆心到正六边形顶点的距离都是圆的半径，即，因此为等边三角形，等边三角形的三边相等，故正六边形的边长。正六边形的周长为边长的6倍，因此周长为。
3．（2025八上·增城期末）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等，则外角个数为
即这个正多边形的边数5．
故选：B．
【分析】多边形的外角和是，再根据正多边形的每个外角相等，多边形的边数就是外角的个数，利用外角和除以外角的度数就得到外角的个数，即可求解．
4．（2024八下·罗定月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．4π C．8π D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB2＝AC2+BC2＝20，
∴阴影部分的面积＝＝＝4，
故答案为：A．
【分析】本题阴影部分面积可以看做是“两个扇形面积与直角三角形ABC的面积之和减去空白部分的扇形面积”，因此可以先根据勾股定理得到AB2的值，然后根据扇形面积公式与直角三角形面积公式代入计算即可．
5．（2025·福田模拟）如图，在矩形中，边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，若，则点A旋转到点E的路径长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】】解：在矩形中，，
∵边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A旋转到点E的路径长为，
故选：B．
【分析】本题主要对旋转的性质、弧长公式、锐角三角函数，正方形的性质进行考查．根据旋转的性质与正方形的性质可得到，再根据弧长公式有=．
6．（2026七上·深圳月考）半径为4cm的扇形，它的圆心角为50°，则该扇形的面积为 　 　cm2.(结果保留π)
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】S===.
【分析】由圆的面积公式可以求出圆的面积， 再由圆心角为50°，求出扇形面积占圆面积的百分比，即可求出扇形面积.
7．（2025八上·东莞期中）正六边形的每一个外角都是　 　°．
【答案】60
【知识点】正多边形的性质；多边形的概念与分类；多边形的外角和公式
【解析】【解答】
解： ∵正六边形的每一个外角都相等且和为360
∴ 每一个外角
故答案为：60
【分析】根据正六边形得性质，和外角和为360，计算即可解答.
8．（2025·揭西期末） 一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是　 　．
【答案】五边形
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解： ∵ 一个多边形的每个内角都是108°，
∴这个多边形的每个外角都是180-108=72°，
∴ 这个多边形 的边数是：.
故答案为：五边形。
【分析】首先根据邻补关系求出这个多边形的外角，进而根据多边形的外角和，即可求得多边形的边数。
9．（2018九下·湛江月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以 AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积．
【答案】解：∵∠C=90°，CA=CB=4，∴ AC=2，S△ABC= ×4×4=8，∵三条弧所对的圆心角的和为180°，三个扇形的面积和= =2π，∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【分析】阴影部分的面积=Rt△ABC的面积-三个扇形的面积，由题意可知三条弧所对的圆心角的和为180°，半径都为AC.
二、能力题
10．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何概率；圆的面积
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
11．（2025·盐城）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则的长是（　　）
A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】
解：依题意，，
∴是等边三角形．
∴．
∴的长为．
故选：D．
【分析】根据已知可得，即是等边三角形，然后根据弧长公式计算即可．
12．（2025·山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-8
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵∠BAC=90，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∵ BC=4，
∴AB= AC= BC=2，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB =45°，即可由勾股定理算出AB= AC=2，再根据，计算即可解答.
13．（2025·浙江）如图，在 Rt中，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是斜边AB上的中线、
故选：B.
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC=DA=1，再由等边对等角得，再由三角形的外角性质可得，又由尺规作图得CD=CE，则，再由三角形内角和得，最后再应用弧长公式直接计算即可.
14．（2024·日照）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到．
，
，
在菱形中，点O是对角线的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
故选：A．
【分析】
连接，则由菱形的性质知，、，则，取CD中点D`，则是等边三角形，则，又已知，则，则可证，即推出，则，下来分别求出扇形EOF和等边的面积即可．
15．（2025·资阳）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AD，
∵正六边形ABCDEF，
∴DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，∠ADC=∠ADE=∠CDE=60°，
∴∠BAC=∠ACB=（180°-∠B）=（180°-120°）=30°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，
∴，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴S△ACD=S△AED，
∴S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，
∴S阴影部分=
故答案为：.
【分析】连接AD，利用正六边形的性质可证得DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，同时可证得∠ADC=∠ADE=60°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，即可证得∠ACD=90°，利用解直角三角形求出AC的长，再利用SAS可证得△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可推出S△ACD=S△AED，然后根据S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，利用三角形和扇形的面积公式进行计算.
16．（2025·攀枝花） 类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2， ，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积．
请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，DE＝4，则图中阴影部分面积是 　 　 ．
【答案】20
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形OEF的半径为R，扇形ODG的半径为r，
∵DE=4，
∴R-r=4，即R=r+4，
∵两扇形的圆心角相同，
∴，
∴r=3，R=7，
根据题意，图中阴影部分面积=S扇形OEF-S扇形ODG=×7×7-×3×3=20，
故答案为：20 .
【分析】根据类比圆面积公式的推导扇形面积，通过“大扇形-小扇形”计算阴影部分的面积即可.
17．（2025·青岛）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：如图，过点A作AH⊥OD于点H，
∵∠AOB=30°， 0A=2
∴AH=OA=，
∵OC=AC， .
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACB=30°+30°=60° ，
∴∠CAH=30° ，
∴AC=2CH，
设CH=x，则AC=2x，
在△ACH中，由勾股定理得，
x2+ ()2= (2x)2，
解得x=1 (取正值) ，
即CH=1，AC=2，
∴CD=CA=OC=2，
∴S阴影部分=，
，
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥OD于点H，先根据30 直角三角形的性质得到AH的值，推导出AC=2CH，设CH=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出x的值，再根据S阴影部分=， 计算即可解答.
18．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点，连接，连接OE交AB于点．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：与相切
四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得等于的4倍即，由于半径都相等，可判定是等边三角形，即AO=AB=4，，再解求出OF，则扇形AOB和的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.
19．（2025·烟台）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；正多边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作AB的垂线段OG，连接OA、OB、OE.
六边形ABCDEF是正六边形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】由于正六边形的中心角是，因此是等边三角形，过点O作AB的垂线段OG，则解可得，则正六边形ABCD的面积为；观察图形得阴影部分面积等于扇形面积减去五边形ANOMF的面积，此时连接OA、OE，可利用ASA证明，则五边形ANOMF的面积可转化为四边形AOEF的面积，显然四边形AOEF的面积等于正六边形ABCDEF的面积的，即阴影部分面积可得.
20．（2025·淮安）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，．
（1）求证：BC是的切线；
（2）连接OD，若，，求扇形OBD的面积．
【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB =90°，
∵∠CBD=∠CAB，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠CAB=90°，
∵OB是⊙O的半径， 且BC⊥OB，
∴ BC是⊙O的切线.
（2）解：连接OD，
∵∠CAB=30°， AB=4，
∴∠DOB=2∠CAB=60°， OD=OB
∴扇形OBD的面积为
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)根据AB是⊙O的直径， 即可得到以∠ADB=90°，而∠CBD=∠CAB， 则∠ABC =∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠CAB=90°， 即可证明BC是⊙O的切线.
(2)连接OD， 由∠CAB=30°， AB=4， 得∠ =2，由扇形的面积公式解答即可
21．（2025·江西）如图，点A，B，C在上，，以BA，BC为边作．
（1）当BC经过圆心时（如图1），求的度数；
（2）当AD与相切时（如图2），若的半径为6，求的长．
【答案】（1）解：经过圆心，
．
，
四边形ABCD是平行四边形，
（2）方法一
如图2，连接OA，OC，
与相切，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
方法二
如图2，连接OA，OC，
与相切，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
．
，
，
，
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC=90°，即可根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B的度数，然后根据平行四边形的对角相等解答即可；
（2）方法一：连接OA，OC，根据切线的性质得到OA⊥AD，根据平行线可得∠CAD=∠ACB，然后根据三角形的内角和和等边对等角求出∠OCA的度数，进而求出∠AOC的度数，根据弧长公式计算解答即可；方法二：连接OA，OC，根据等弧所对的圆周角相等得到∠B=∠ACB=35°，然后根据圆周角定理求出∠AOC的度数，然后根据弧长公式计算解答即可.
22．（2025·徐州）如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切，
理由：连接OC，OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠A=60°，
∵
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-120°）=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=60°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=30°+60°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴ 直线CD与⊙O的位置关系是相切
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E，
∴∠OEB=90°，BC=2BE，
在Rt△OBE中，OE=OB=1，BE=OBcos∠OBE=2×cos30°=，
∴，
∴S阴影部分=S扇形BOC-S△BOC=
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OC，OB，利用等边三角形的性质可求出∠ABC、∠A的度数，利用圆周角定理可求出∠BOC的度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理可求出∠OBC和∠OCB的度数，由此可求出∠OCD的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）过点O作OE⊥BC于点E，利用垂径定理可证得BC=2BE，在Rt△OBE中，利用解直角三角形分别求出OE、BE的值，可得到BC的长，然后根据S阴影部分=S扇形BOC-S△BOC，利用扇形和三角形的面积公式进行计算即可.
23．（2025·南通）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．
（1）连接OB，求证：OB⊥PB；
（2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得，然后证明，得，即可得证结论；
（2）连接，先求出，从而得，进而证明为等边三角形，于是得，然后由（1）中的全等三角形得到，则，即可证明，得到，接下来解直角三角形求出，利用扇形面积公式得到的值.
三、拓展题
24．（2025·广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
【答案】（1）解：以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点
是正方形
（2）解：原点，为圆心、以为半径作圆
两个圆是等圆
叶瓣①的周长为：；
（3）解：叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到．
【知识点】点的坐标；正方形的判定与性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据正方形判定定理可得是正方形，则，即，即可求出答案.
（2）由题意可得两个圆是等圆，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
25．（2024·广东）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如1图所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸：
步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留)
【答案】（1）解：漏斗形成的圆锥形展开侧面图为扇形，
其圆心角度数==180°，
滤纸折叠后圆心角度数为360°÷2=180°，
此时，滤纸所对展开图圆心角与漏斗展开图圆心角相等，故滤纸能紧贴此漏斗内壁.
（2）解：∵滤纸折叠后所对圆心角为180°，此时形成的底面圆形周长为：
，
即圆锥底面半径r=，
又∵滤纸母线长为5 cm，
此时由勾股定理得，圆锥高h=，
∴圆锥体积.
答：滤纸围成的圆锥形体积为.
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；圆锥的体积
【解析】【分析】（1）将圆锥是否能贴紧内壁问题转化为求圆锥侧面展开图圆心角是否相等，代入公式计算并比较得出结果；
（2）为求圆锥体积，进一步转换利用勾股定理求出圆锥的高，代入公式即可.
1 / 1与圆相关的计算——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2024九上·荔湾月考）一个扇形的弧长是，面积为，则其半径为（　　）
A．6 B．36 C．12 D．144
2．（2025九上·新兴期末）如图，正六边形内接于，若的半径为3，则正六边形的周长为（　　）
A．18 B．9 C．12 D．36
3．（2025八上·增城期末）若正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024八下·罗定月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（　　）
A．4 B．4π C．8π D．8
5．（2025·福田模拟）如图，在矩形中，边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，若，则点A旋转到点E的路径长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026七上·深圳月考）半径为4cm的扇形，它的圆心角为50°，则该扇形的面积为 　 　cm2.(结果保留π)
7．（2025八上·东莞期中）正六边形的每一个外角都是　 　°．
8．（2025·揭西期末） 一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是　 　．
9．（2018九下·湛江月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以 AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积．
二、能力题
10．（2025·广东）如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·盐城）如图1是博物馆屋顶的图片，屋顶由图2中的瓦片构成，瓦片横截面如图3所示，是以点O为圆心，18cm为半径的弧，弦AB的长为18cm，则的长是（　　）
A．24πcm B．12πcm C．10πcm D．6πcm
12．（2025·山西）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-8
13．（2025·浙江）如图，在 Rt中，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
14．（2024·日照）如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．无法确定
15．（2025·资阳）如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是　 　.
16．（2025·攀枝花） 类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l1，l2， ，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为．即扇形面积．
请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为3和7，DE＝4，则图中阴影部分面积是 　 　 ．
17．（2025·青岛）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
18．（2025·河南）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点，连接，连接OE交AB于点．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
19．（2025·烟台）如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　 　.
20．（2025·淮安）如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，．
（1）求证：BC是的切线；
（2）连接OD，若，，求扇形OBD的面积．
21．（2025·江西）如图，点A，B，C在上，，以BA，BC为边作．
（1）当BC经过圆心时（如图1），求的度数；
（2）当AD与相切时（如图2），若的半径为6，求的长．
22．（2025·徐州）如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
23．（2025·南通）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．
（1）连接OB，求证：OB⊥PB；
（2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积．
三、拓展题
24．（2025·广西）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
25．（2024·广东）综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如1图所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸：
步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留)
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】∵，弧长是，面积为，
∴，
解得，
故答案为：C．
【分析】根据扇形的面积公式，结合题意代入数值即可求出半径。
2．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接，，
∵正六边形内接于，
∴是等边三角形，
∴正六边形的周长，
故选：A．
【分析】本题考查正多边形与圆的关系及等边三角形的判定与性质，核心是利用正六边形内接于圆时的边长特征计算周长。正六边形内接于圆时，从圆心连接正六边形的任意两个相邻顶点，可得到一个等腰三角形，且该等腰三角形的顶角（中心角）为。由于圆心到正六边形顶点的距离都是圆的半径，即，因此为等边三角形，等边三角形的三边相等，故正六边形的边长。正六边形的周长为边长的6倍，因此周长为。
3．【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等，则外角个数为
即这个正多边形的边数5．
故选：B．
【分析】多边形的外角和是，再根据正多边形的每个外角相等，多边形的边数就是外角的个数，利用外角和除以外角的度数就得到外角的个数，即可求解．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵AB2＝AC2+BC2＝20，
∴阴影部分的面积＝＝＝4，
故答案为：A．
【分析】本题阴影部分面积可以看做是“两个扇形面积与直角三角形ABC的面积之和减去空白部分的扇形面积”，因此可以先根据勾股定理得到AB2的值，然后根据扇形面积公式与直角三角形面积公式代入计算即可．
5．【答案】B
【知识点】正方形的性质；弧长的计算；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】】解：在矩形中，，
∵边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A旋转到点E的路径长为，
故选：B．
【分析】本题主要对旋转的性质、弧长公式、锐角三角函数，正方形的性质进行考查．根据旋转的性质与正方形的性质可得到，再根据弧长公式有=．
6．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】S===.
【分析】由圆的面积公式可以求出圆的面积， 再由圆心角为50°，求出扇形面积占圆面积的百分比，即可求出扇形面积.
7．【答案】60
【知识点】正多边形的性质；多边形的概念与分类；多边形的外角和公式
【解析】【解答】
解： ∵正六边形的每一个外角都相等且和为360
∴ 每一个外角
故答案为：60
【分析】根据正六边形得性质，和外角和为360，计算即可解答.
8．【答案】五边形
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解： ∵ 一个多边形的每个内角都是108°，
∴这个多边形的每个外角都是180-108=72°，
∴ 这个多边形 的边数是：.
故答案为：五边形。
【分析】首先根据邻补关系求出这个多边形的外角，进而根据多边形的外角和，即可求得多边形的边数。
9．【答案】解：∵∠C=90°，CA=CB=4，∴ AC=2，S△ABC= ×4×4=8，∵三条弧所对的圆心角的和为180°，三个扇形的面积和= =2π，∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC﹣三个扇形的面积和=8﹣2π
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【分析】阴影部分的面积=Rt△ABC的面积-三个扇形的面积，由题意可知三条弧所对的圆心角的和为180°，半径都为AC.
10．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；几何概率；圆的面积
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
11．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】
解：依题意，，
∴是等边三角形．
∴．
∴的长为．
故选：D．
【分析】根据已知可得，即是等边三角形，然后根据弧长公式计算即可．
12．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：
∵∠BAC=90，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∵ BC=4，
∴AB= AC= BC=2，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB =45°，即可由勾股定理算出AB= AC=2，再根据，计算即可解答.
13．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是斜边AB上的中线、
故选：B.
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC=DA=1，再由等边对等角得，再由三角形的外角性质可得，又由尺规作图得CD=CE，则，再由三角形内角和得，最后再应用弧长公式直接计算即可.
14．【答案】A
【知识点】菱形的性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到．
，
，
在菱形中，点O是对角线的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
故选：A．
【分析】
连接，则由菱形的性质知，、，则，取CD中点D`，则是等边三角形，则，又已知，则，则可证，即推出，则，下来分别求出扇形EOF和等边的面积即可．
15．【答案】
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：连接AD，
∵正六边形ABCDEF，
∴DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，∠ADC=∠ADE=∠CDE=60°，
∴∠BAC=∠ACB=（180°-∠B）=（180°-120°）=30°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，
∴，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴S△ACD=S△AED，
∴S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，
∴S阴影部分=
故答案为：.
【分析】连接AD，利用正六边形的性质可证得DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，同时可证得∠ADC=∠ADE=60°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，即可证得∠ACD=90°，利用解直角三角形求出AC的长，再利用SAS可证得△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可推出S△ACD=S△AED，然后根据S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，利用三角形和扇形的面积公式进行计算.
16．【答案】20
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形OEF的半径为R，扇形ODG的半径为r，
∵DE=4，
∴R-r=4，即R=r+4，
∵两扇形的圆心角相同，
∴，
∴r=3，R=7，
根据题意，图中阴影部分面积=S扇形OEF-S扇形ODG=×7×7-×3×3=20，
故答案为：20 .
【分析】根据类比圆面积公式的推导扇形面积，通过“大扇形-小扇形”计算阴影部分的面积即可.
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】
解：如图，过点A作AH⊥OD于点H，
∵∠AOB=30°， 0A=2
∴AH=OA=，
∵OC=AC， .
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACB=30°+30°=60° ，
∴∠CAH=30° ，
∴AC=2CH，
设CH=x，则AC=2x，
在△ACH中，由勾股定理得，
x2+ ()2= (2x)2，
解得x=1 (取正值) ，
即CH=1，AC=2，
∴CD=CA=OC=2，
∴S阴影部分=，
，
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥OD于点H，先根据30 直角三角形的性质得到AH的值，推导出AC=2CH，设CH=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出x的值，再根据S阴影部分=， 计算即可解答.
18．【答案】
【知识点】矩形的性质；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：与相切
四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得等于的4倍即，由于半径都相等，可判定是等边三角形，即AO=AB=4，，再解求出OF，则扇形AOB和的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.
19．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；扇形面积的计算；正多边形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作AB的垂线段OG，连接OA、OB、OE.
六边形ABCDEF是正六边形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】由于正六边形的中心角是，因此是等边三角形，过点O作AB的垂线段OG，则解可得，则正六边形ABCD的面积为；观察图形得阴影部分面积等于扇形面积减去五边形ANOMF的面积，此时连接OA、OE，可利用ASA证明，则五边形ANOMF的面积可转化为四边形AOEF的面积，显然四边形AOEF的面积等于正六边形ABCDEF的面积的，即阴影部分面积可得.
20．【答案】（1）证明： ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB =90°，
∵∠CBD=∠CAB，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠CAB=90°，
∵OB是⊙O的半径， 且BC⊥OB，
∴ BC是⊙O的切线.
（2）解：连接OD，
∵∠CAB=30°， AB=4，
∴∠DOB=2∠CAB=60°， OD=OB
∴扇形OBD的面积为
【知识点】圆周角定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】(1)根据AB是⊙O的直径， 即可得到以∠ADB=90°，而∠CBD=∠CAB， 则∠ABC =∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠CAB=90°， 即可证明BC是⊙O的切线.
(2)连接OD， 由∠CAB=30°， AB=4， 得∠ =2，由扇形的面积公式解答即可
21．【答案】（1）解：经过圆心，
．
，
四边形ABCD是平行四边形，
（2）方法一
如图2，连接OA，OC，
与相切，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
方法二
如图2，连接OA，OC，
与相切，
．
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
．
，
，
，
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠BAC=90°，即可根据直角三角形的两个锐角互余求出∠B的度数，然后根据平行四边形的对角相等解答即可；
（2）方法一：连接OA，OC，根据切线的性质得到OA⊥AD，根据平行线可得∠CAD=∠ACB，然后根据三角形的内角和和等边对等角求出∠OCA的度数，进而求出∠AOC的度数，根据弧长公式计算解答即可；方法二：连接OA，OC，根据等弧所对的圆周角相等得到∠B=∠ACB=35°，然后根据圆周角定理求出∠AOC的度数，然后根据弧长公式计算解答即可.
22．【答案】（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切，
理由：连接OC，OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠A=60°，
∵
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-120°）=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=60°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=30°+60°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴ 直线CD与⊙O的位置关系是相切
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E，
∴∠OEB=90°，BC=2BE，
在Rt△OBE中，OE=OB=1，BE=OBcos∠OBE=2×cos30°=，
∴，
∴S阴影部分=S扇形BOC-S△BOC=
【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接OC，OB，利用等边三角形的性质可求出∠ABC、∠A的度数，利用圆周角定理可求出∠BOC的度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理可求出∠OBC和∠OCB的度数，由此可求出∠OCD的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）过点O作OE⊥BC于点E，利用垂径定理可证得BC=2BE，在Rt△OBE中，利用解直角三角形分别求出OE、BE的值，可得到BC的长，然后根据S阴影部分=S扇形BOC-S△BOC，利用扇形和三角形的面积公式进行计算即可.
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
【知识点】等边三角形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得，然后证明，得，即可得证结论；
（2）连接，先求出，从而得，进而证明为等边三角形，于是得，然后由（1）中的全等三角形得到，则，即可证明，得到，接下来解直角三角形求出，利用扇形面积公式得到的值.
24．【答案】（1）解：以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点
是正方形
（2）解：原点，为圆心、以为半径作圆
两个圆是等圆
叶瓣①的周长为：；
（3）解：叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到．
【知识点】点的坐标；正方形的判定与性质；弧长的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据正方形判定定理可得是正方形，则，即，即可求出答案.
（2）由题意可得两个圆是等圆，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
25．【答案】（1）解：漏斗形成的圆锥形展开侧面图为扇形，
其圆心角度数==180°，
滤纸折叠后圆心角度数为360°÷2=180°，
此时，滤纸所对展开图圆心角与漏斗展开图圆心角相等，故滤纸能紧贴此漏斗内壁.
（2）解：∵滤纸折叠后所对圆心角为180°，此时形成的底面圆形周长为：
，
即圆锥底面半径r=，
又∵滤纸母线长为5 cm，
此时由勾股定理得，圆锥高h=，
∴圆锥体积.
答：滤纸围成的圆锥形体积为.
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算；圆锥的体积
【解析】【分析】（1）将圆锥是否能贴紧内壁问题转化为求圆锥侧面展开图圆心角是否相等，代入公式计算并比较得出结果；
（2）为求圆锥体积，进一步转换利用勾股定理求出圆锥的高，代入公式即可.
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