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图形的对称——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·辽宁）数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·绵阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·哈尔滨）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵.下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022·河北）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（　　）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
5．（2020·黔南）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（　　）
A．30° B．45° C．74° D．75°
6．（2024七上·济宁期中）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为　 　．
7．（2023·台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为　 　．
8．（2019·烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)， 的度数是　 　.
9．（2026八上·泸县期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别是A(-4，2)，B(-3，5)，C(-1，1)
（1） 画出与关于x轴对称的，并写出点和点的坐标；
（2） 求的面积.
10．（2025·临安模拟）我们常常把一张纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张纸张（矩形），如图2，设折叠后边与边重叠的点为．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出纸（矩形）对角线的两个步骤．
二、能力题
11．（2024·眉山） 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）如图，边长为2的正方形的对角线与相父于点O.E是边上一点，F是上一点，连接，.若与关于直线对称，则的周长是(　　)
A． B． C． D．
13．（2025·深圳） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为(　　)
A． B． C． D．
14．（2025·武汉）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上.若∠A=34°，则∠ADE的大小是(　　)
A．35° B．37° C．39° D．41°
15．（2025·长春）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
16．（2024·河北）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．AC⊥PQ
C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD
17．（2025·济南）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则　 　．
18．（2025·宜宾）如图，在矩形中，点、分别在BC、CD上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上，M处．若A、、三点共线，则的值为　 　．
19．（2024·潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
20．（2024·长春）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上．
（1）在图①中，四边形ABCD面积为2；
（2）在图②中，四边形ABCD面积为3；
（3）在图③中，四边形ABCD面积为4．
三、拓展题
21．（2023·通辽）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．
（1）如图1，当点M在上时，　 　度；
（2）改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
22．（2026八上·观山湖期末） 2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节.在某校的校内选拔赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究.
（1）【初步感知】如图①，沿过点 B 的直线折叠正方形纸片，使得点C 的对应点点 E落在正方形的对角线BD上，且折痕与边DC交于点 F，则DE=　 　；（结果保留根号)
（2）【迁移运用】如图②，点G，F分别在AB，CD边上，沿直线GF 折叠正方形纸片，点B的对应点为点I，点C的对应点点E落在线段AD上（不与A，D重合)，EI交AB于点H；
①当点 E为AD中点时，求△DEF的面积；
②当点E为AD上任意一点时（如图③)，探究△AEH 的周长是否发生变化，若不变，请求出△AEH的周长；若改变，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是轴对称图形，它是中心对称图形，故A不符合；
既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合；
是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的意义，分别对四个图形作出分析，再作出判断即可.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意，
B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意，
C、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意，
D、此图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可得出答案.平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形即为轴对称图形；若一个图形绕某一点旋转180度后，旋转后的图形能与原图形完全重合即为中心对称图形.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
4．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵由折叠的性质可知 ，
∴AD是 的角平分线，
故答案为：D．
【分析】根据折叠的性质可得，从而得到答案。
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BGD'＝30°，
∴∠DEG＝180°﹣30°＝150°，
由折叠可得，∠α＝ ∠DEG＝ ×150°＝75°，
故答案为：D.
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质及平角的定义即可得出∠α的度数.
6．【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质，得，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，
解得，
∴CE=3.
故答案为：3．
【分析】由折叠性质得AE=BE，设，由线段的和差得，在Rt△BCE中，利用勾股定理建立方程求解可得x的值，从而即可得到CE的长度.
7．【答案】140°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
由折叠知∠3=∠1=20°，
∵a∥b，
∴∠1=∠4=20°，
∴∠5=180°-∠4-∠3=140°，
∴∠2=140°.
故答案为：140°.
【分析】由折叠知∠3=∠1=20°，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠4=20°，根据三角形的内角和定理算出∠5，最后根据对顶角相等，可求出∠2的度数.
8．【答案】45°
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，
故答案为：45°
【分析】根据图中折叠的特点，角是对称折叠，故∠AOB=45°。
9．【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
与 关于 x 轴对称，A(-4，2)，B(-3，5)，C(-3，-5).
，.
（2）解：由题意得，=.
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别找到A，B，C关于x轴对称的点，顺次连接即可；
(2)利用割补法求解。
10．【答案】（1）解：分别以A，C为圆心，AB，BC为半径作弧，两弧交于点B'，连接AB'，CB'，CB'交AD于点E，点E即为所求，如图所示：
（2）解：步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE'
步骤二：点E，点E'重合可以折出A4纸(矩形ABCD)对角线AC.
如图所示：
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；翻折全等-公共边模型
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质作图即可得出答案；
（2）根据折叠和矩形的性质，进行操作，即可得到答案．
（1）连结，作的垂直平分线，与的交点即为点．如下图：
；
（2）①将该纸张进行第一次折叠，使对角的顶点A与重叠，得到折痕，折痕与纸张两边的交点记为和；
②再将纸张进行第二次折叠，使，两点重合，得到折痕，则该折痕为矩形的对角线．
11．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC=8，∠B=∠D=90°
∵ 把沿折叠，点恰好落在边上的点处，
∴AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，
∴，
∴∠AFB+∠CFE=90°，∠CFE+∠CEF=90°，
∴∠AFB=∠CEF，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质可证得AD=BC=8，∠B=∠D=90°，利用折叠的性质可知AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，利用勾股定理求出BF的长；再利用余角的性质去证明∠AFB=∠CEF，然后利用余弦的定义可求出cos∠CEF的值.
12．【答案】A
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，BC=DC=2，∠DBC=45°，
∴，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DC=DF=2，EC=EF，
∴，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE=BF+BC=.
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质可证得∠BCD=90°，BC=DC=2，∠DBC=45°，利用解直角三角形求出BD的长；再利用轴对称的性质可知DC=DF=2，EC=EF，由此可求出BF的长；然后证明△BEF的周长为BF+BC，代入计算可求解.
13．【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
四边形ABCD为正方形
同理：EO=FO
四边形ABCD为菱形
又
四边形AEOF为正方形
又
故答案为： D.
【分析】由折叠的性质知，可得AEOF为正方形，可得AO=EF，即可得EF与GC的比值.
14．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=34°
∴
∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上
∴∠DEC=∠B=73°
∴∠ADE=∠DEC-∠A=39°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得∠DEC=∠B=73°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
15．【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，
故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴BC=2DE， DE=2MN，
∴BC =4MN，
∴BC=2DE=4MN， 故B正确， 不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC， 则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， 继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可.
16．【答案】A
【知识点】平行线的判定；轴对称的性质；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴A选项符合题意，
故答案为：A
【分析】先根据轴对称图形的性质得到，，进而根据平行线的判定结合图形即可求解。
17．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，
则∠FNA=∠FNE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，
∴四边形ABFN是矩形，
∴NF=AB=AD，
由折叠可知AG⊥EF，
∴∠GAE+∠AEF=∠NFE+∠AEF=90°
.∠GAE=∠NFE，
又∵∠FNE= ∠D = 90°，
∴ADG≌FNE(ASA).
∴AG=EF，
∴EF=
∴AG=EF=，
设正方形边长为x，则AB=AD= CD=x，
∵CG =4，
∴DG=CD-CG=x-4，
在RtADG中，AG2=DG2+AD2，
即（x-4)2+x2 =()2，
解得：x=2+或x=2-(不合题意舍去），
∴AB=2+.
故答案为：2+.
【分析】如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，首先根据ASA可证得ADG≌FNE，可得出AG=EF=，设正方形边长为x，在RtADG中，AG2=DG2+AD2，根据勾股定理可得：（x-4)2+x2 =()2，解方程即可得出x=2+或x=2-(不合题意舍去），即可得出AB=2+.
18．【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的比
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，FEM= ЕМВ ，
由翻折的性质可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
设BE=ME=x，则AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质再结合折叠的性质得到CE= BE= ME，再根据等角对等边推出AD= AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，计算即可解答.
19．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质，得到AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，再根据折叠可知：AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，依据等量代换可得：AH＝CG，再由两直线平行，内错角相等，可得：∠EAH＝∠FCG，因此可证明：△AEH≌△CFG（ASA）.
（2）由（1）可得：∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，故可得：EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以得证.
20．【答案】（1）解：如图①：
.
∴四边形ABCD的面积为2.
四边形即为所求.
（2）解：如图②：
四边形ABCD为轴对称图形，且AC⊥BC
∴四边形ABCD的面积为.
∴四边形即为所求.
（3）解：如图③：四边形即为所求.

【知识点】轴对称的性质；利用轴对称设计图案
【解析】【分析】（1）以AB为边画正方形ABCD即可．（2）结合轴对称图形的定义，使四边形ABCD的对角线相互垂直平分，且对角线的长分别为2和3即可.
（3）画长和宽分别为和的矩形即可.也可作上下底分别为和，高为的梯形.
21．【答案】（1）30
（2）解：结论：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，．
由折叠可得：，，
，．
又，
，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由折叠可得AE=BE=AB，∠AEM=∠BEM=90°，AB=BM，
∴BE=BM，
∴∠EMB=30°.
故答案为：30.
【分析】（1）由折叠可得AE=BE=AB，∠AEM=∠BEM=90°，AB=BM，则BE=BM，据此不难得到∠EMB的度数；
（2）根据正方形的性质可得AB=BC，∠BAD=∠C=90°，由折叠可得AB=BM，∠BAD=∠BMP=90°，则BM=BC，∠BMQ=∠C=90°，利用HL证明△BCQ≌△BMQ，据此解答.
22．【答案】（1）
（2）解：①设DF =x ， 则CF=8-x
由折叠性质得EF=CF=8-x
在Rt△DEF 中，由勾股定理得
解得 x=3
②点E为AD上任意一点时，△AEH 的周长未发生变化，△AEH 的周长为16.
理由如下：
连接EC、HC， 过点C作CM⊥EI， 交EI于点M， 由折叠性质得∠FEI=∠FCB=90°， EF=CF
∴ ∠FEI=∠CMI=90°， ∠FEC=∠DCE
∴EF∥MC
∴∠FEC=∠MCE
∴∠DCE=∠MCE
∵ 在△DCE和△MCE中
∴△DCE≌△MCE (AAS)
∴ CM =CD， DE=ME
∵ CB=CD
∴ CM =CB
∵ 在 Rt△CMH和Rt△CBH 中， 由勾股定理得
∴ MH=BH
=AH+AE+HM+EM
=(AH+HM)+(AE+EM)
=(AH+HB)+(AE+ED)
=AB+AD
=16
∴ 点E为AD上任意一点时，△AEH 的周长未发生变化，值为16
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为8
∴
由折叠性质可得BC=BE=8
∴
故答案为：
【分析】（1）根据勾股定理可BD，再根据折叠性质可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）①设DF =x ， 则CF=8-x，由折叠性质得EF=CF=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=3，再根据三角形面积即可求出答案.
②连接EC、HC， 过点C作CM⊥EI， 交EI于点M， 由折叠性质得∠FEI=∠FCB=90°， EF=CF，根据直线平行判定定理可得EF∥MC，则∠FEC=∠MCE，再根据全等三角形判定定理可得△DCE≌△MCE (AAS)，则CM =CD， DE=ME，根据勾股定理可得MH，BH，再根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
1 / 1图形的对称——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·辽宁）数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：不是轴对称图形，它是中心对称图形，故A不符合；
既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合；
是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合；
不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D不符合，
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形，中心对称图形的意义，分别对四个图形作出分析，再作出判断即可.
2．（2025·绵阳）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意，
B、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意，
C、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C符合题意，
D、此图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可得出答案.平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形即为轴对称图形；若一个图形绕某一点旋转180度后，旋转后的图形能与原图形完全重合即为中心对称图形.
3．（2025·哈尔滨）传统建筑中的窗格设计精巧、样式繁多，体现了我国建筑独特的艺术表现力和文化内涵.下列窗格图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
B既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C既不是轴对称图形又不是中心对称图形，不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形，将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
4．（2022·河北）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得到折痕l，则l是△ABC的（　　）
A．中线 B．中位线 C．高线 D．角平分线
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，
∵由折叠的性质可知 ，
∴AD是 的角平分线，
故答案为：D．
【分析】根据折叠的性质可得，从而得到答案。
5．（2020·黔南）如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（　　）
A．30° B．45° C．74° D．75°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵矩形纸条ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEG＝∠BGD'＝30°，
∴∠DEG＝180°﹣30°＝150°，
由折叠可得，∠α＝ ∠DEG＝ ×150°＝75°，
故答案为：D.
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠AEG的度数，再根据折叠的性质及平角的定义即可得出∠α的度数.
6．（2024七上·济宁期中）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质，得，
设，则，
由勾股定理，得，
∴，
解得，
∴CE=3.
故答案为：3．
【分析】由折叠性质得AE=BE，设，由线段的和差得，在Rt△BCE中，利用勾股定理建立方程求解可得x的值，从而即可得到CE的长度.
7．（2023·台州）用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为　 　．
【答案】140°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
由折叠知∠3=∠1=20°，
∵a∥b，
∴∠1=∠4=20°，
∴∠5=180°-∠4-∠3=140°，
∴∠2=140°.
故答案为：140°.
【分析】由折叠知∠3=∠1=20°，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠4=20°，根据三角形的内角和定理算出∠5，最后根据对顶角相等，可求出∠2的度数.
8．（2019·烟台）小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)， 的度数是　 　.
【答案】45°
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，
故答案为：45°
【分析】根据图中折叠的特点，角是对称折叠，故∠AOB=45°。
9．（2026八上·泸县期末）如图，已知的三个顶点的坐标分别是A(-4，2)，B(-3，5)，C(-1，1)
（1） 画出与关于x轴对称的，并写出点和点的坐标；
（2） 求的面积.
【答案】（1）解：如图所示， 即为所求；
与 关于 x 轴对称，A(-4，2)，B(-3，5)，C(-3，-5).
，.
（2）解：由题意得，=.
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】(1)关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别找到A，B，C关于x轴对称的点，顺次连接即可；
(2)利用割补法求解。
10．（2025·临安模拟）我们常常把一张纸通过折叠的方式得到它的对角线，如图1．折纸活动中，通过点与点重合或边与边重合，才能得到精准的折叠．现有一张纸张（矩形），如图2，设折叠后边与边重叠的点为．
（1）请用尺规作图的方式在图2中画出点．
（2）根据以上折纸活动的提示，描述折出纸（矩形）对角线的两个步骤．
【答案】（1）解：分别以A，C为圆心，AB，BC为半径作弧，两弧交于点B'，连接AB'，CB'，CB'交AD于点E，点E即为所求，如图所示：
（2）解：步骤一：点A，点C两点重合，得到折痕EE'
步骤二：点E，点E'重合可以折出A4纸(矩形ABCD)对角线AC.
如图所示：
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；翻折全等-公共边模型
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质作图即可得出答案；
（2）根据折叠和矩形的性质，进行操作，即可得到答案．
（1）连结，作的垂直平分线，与的交点即为点．如下图：
；
（2）①将该纸张进行第一次折叠，使对角的顶点A与重叠，得到折痕，折痕与纸张两边的交点记为和；
②再将纸张进行第二次折叠，使，两点重合，得到折痕，则该折痕为矩形的对角线．
二、能力题
11．（2024·眉山） 如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求余弦值
【解析】【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC=8，∠B=∠D=90°
∵ 把沿折叠，点恰好落在边上的点处，
∴AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，
∴，
∴∠AFB+∠CFE=90°，∠CFE+∠CEF=90°，
∴∠AFB=∠CEF，
∴.
故答案为：A.
【分析】利用矩形的性质可证得AD=BC=8，∠B=∠D=90°，利用折叠的性质可知AD=AF=8，∠AFE=∠D=90°，利用勾股定理求出BF的长；再利用余角的性质去证明∠AFB=∠CEF，然后利用余弦的定义可求出cos∠CEF的值.
12．（2024·兴安盟、呼伦贝尔）如图，边长为2的正方形的对角线与相父于点O.E是边上一点，F是上一点，连接，.若与关于直线对称，则的周长是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴∠BCD=90°，BC=DC=2，∠DBC=45°，
∴，
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，
∴DC=DF=2，EC=EF，
∴，
∴△BEF的周长为BF+EF+BE=BF+BC=.
故答案为：A.
【分析】利用正方形的性质可证得∠BCD=90°，BC=DC=2，∠DBC=45°，利用解直角三角形求出BD的长；再利用轴对称的性质可知DC=DF=2，EC=EF，由此可求出BF的长；然后证明△BEF的周长为BF+BC，代入计算可求解.
13．（2025·深圳） 如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
四边形ABCD为正方形
同理：EO=FO
四边形ABCD为菱形
又
四边形AEOF为正方形
又
故答案为： D.
【分析】由折叠的性质知，可得AEOF为正方形，可得AO=EF，即可得EF与GC的比值.
14．（2025·武汉）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边AB上的点，将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上.若∠A=34°，则∠ADE的大小是(　　)
A．35° B．37° C．39° D．41°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=34°
∴
∵将△BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上
∴∠DEC=∠B=73°
∴∠ADE=∠DEC-∠A=39°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据折叠性质可得∠DEC=∠B=73°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
15．（2025·长春）将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC，
故A正确，不符合题意；
∴△ADE∽△ACB∽△AMN，
∴BC=2DE， DE=2MN，
∴BC =4MN，
∴BC=2DE=4MN， 故B正确， 不符合题意；
∵MN∥PQ∥BC，
故C正确，不符合题意；
∵△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ，
故D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】由折叠可得： DE⊥AC， PQ⊥AC， MN⊥AC，AM=MD=DP=PC， 则MN∥DE∥PQ∥BC，那么△ADE∽△ACB∽△AMN∽△APQ， 继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可.
16．（2024·河北）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对称点分别是点C，D．下列不一定正确的是（　　）
A．AD⊥BC B．AC⊥PQ
C．△ABO≌△CDO D．AC∥BD
【答案】A
【知识点】平行线的判定；轴对称的性质；全等三角形的概念
【解析】【解答】解：由题意得，，
∴，
∴A选项符合题意，
故答案为：A
【分析】先根据轴对称图形的性质得到，，进而根据平行线的判定结合图形即可求解。
17．（2025·济南）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，
则∠FNA=∠FNE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ABC=∠D=90°，
∴四边形ABFN是矩形，
∴NF=AB=AD，
由折叠可知AG⊥EF，
∴∠GAE+∠AEF=∠NFE+∠AEF=90°
.∠GAE=∠NFE，
又∵∠FNE= ∠D = 90°，
∴ADG≌FNE(ASA).
∴AG=EF，
∴EF=
∴AG=EF=，
设正方形边长为x，则AB=AD= CD=x，
∵CG =4，
∴DG=CD-CG=x-4，
在RtADG中，AG2=DG2+AD2，
即（x-4)2+x2 =()2，
解得：x=2+或x=2-(不合题意舍去），
∴AB=2+.
故答案为：2+.
【分析】如图，连接AG，过点F作FN⊥AD，垂足为N，首先根据ASA可证得ADG≌FNE，可得出AG=EF=，设正方形边长为x，在RtADG中，AG2=DG2+AD2，根据勾股定理可得：（x-4)2+x2 =()2，解方程即可得出x=2+或x=2-(不合题意舍去），即可得出AB=2+.
18．（2025·宜宾）如图，在矩形中，点、分别在BC、CD上，且，把沿翻折，点恰好落在矩形对角线上，M处．若A、、三点共线，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；线段的比
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD= BC，AB=CD，АВC=90 ，
∵EF//BD，
∴CEF=CBA，FEM= ЕМВ ，
由翻折的性质可得：CEF=FEM ，MF=CF ，
∴EMB=EBM ，
∴CE= BE= ME，
∵ AD// BC，
∴ADM= AMD ，
∴AD=AM，
设BE=ME=x，则AD= AM=2x， AE=AM + EM = 3x，
AB= ，
∴，
AD=，
故答案为：.
【分析】根据矩形的性质及平行线的性质再结合折叠的性质得到CE= BE= ME，再根据等角对等边推出AD= AM，设BE=ME=x，则AD=AM=2x，利用勾股定理求出AB=2 ，计算即可解答.
19．（2024·潍坊）如图，在矩形ABCD中，AB＞2AD，点E，F分别在边AB，CD上．将△ADF沿AF折叠，点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将△CBE沿CE折叠，点B的对应点H恰好也落在对角线AC上．连接GE，FH．
求证：
（1）△AEH≌△CFG；
（2）四边形EGFH为平行四边形．
【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠EAH＝∠FCG，
由折叠可得，AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，
∴CH＝AG，∠AHE＝∠CGF＝90°，
∴AH＝CG，
在△AEH和△CFG中，
，
∴△AEH≌△CFG（ASA）；
（2）由（1）知∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，
∴EH∥FG，EH＝FG，
∴四边形EGFH为平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质，得到AD＝BC，∠B＝∠D＝90°，再根据折叠可知：AG＝AD，CH＝CB，∠CHE＝∠B＝90°，∠AGF＝∠D＝90°，依据等量代换可得：AH＝CG，再由两直线平行，内错角相等，可得：∠EAH＝∠FCG，因此可证明：△AEH≌△CFG（ASA）.
（2）由（1）可得：∠AHE＝∠CGF＝90°，△AEH≌△CFG，故可得：EH∥FG，EH＝FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以得证.
20．（2024·长春）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形ABCD，使其是轴对称图形且点C、D均在格点上．
（1）在图①中，四边形ABCD面积为2；
（2）在图②中，四边形ABCD面积为3；
（3）在图③中，四边形ABCD面积为4．
【答案】（1）解：如图①：
.
∴四边形ABCD的面积为2.
四边形即为所求.
（2）解：如图②：
四边形ABCD为轴对称图形，且AC⊥BC
∴四边形ABCD的面积为.
∴四边形即为所求.
（3）解：如图③：四边形即为所求.

【知识点】轴对称的性质；利用轴对称设计图案
【解析】【分析】（1）以AB为边画正方形ABCD即可．（2）结合轴对称图形的定义，使四边形ABCD的对角线相互垂直平分，且对角线的长分别为2和3即可.
（3）画长和宽分别为和的矩形即可.也可作上下底分别为和，高为的梯形.
三、拓展题
21．（2023·通辽）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接、，延长交于点Q，连接．
（1）如图1，当点M在上时，　 　度；
（2）改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）30
（2）解：结论：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，．
由折叠可得：，，
，．
又，
，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）由折叠可得AE=BE=AB，∠AEM=∠BEM=90°，AB=BM，
∴BE=BM，
∴∠EMB=30°.
故答案为：30.
【分析】（1）由折叠可得AE=BE=AB，∠AEM=∠BEM=90°，AB=BM，则BE=BM，据此不难得到∠EMB的度数；
（2）根据正方形的性质可得AB=BC，∠BAD=∠C=90°，由折叠可得AB=BM，∠BAD=∠BMP=90°，则BM=BC，∠BMQ=∠C=90°，利用HL证明△BCQ≌△BMQ，据此解答.
22．（2026八上·观山湖期末） 2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节.在某校的校内选拔赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究.
（1）【初步感知】如图①，沿过点 B 的直线折叠正方形纸片，使得点C 的对应点点 E落在正方形的对角线BD上，且折痕与边DC交于点 F，则DE=　 　；（结果保留根号)
（2）【迁移运用】如图②，点G，F分别在AB，CD边上，沿直线GF 折叠正方形纸片，点B的对应点为点I，点C的对应点点E落在线段AD上（不与A，D重合)，EI交AB于点H；
①当点 E为AD中点时，求△DEF的面积；
②当点E为AD上任意一点时（如图③)，探究△AEH 的周长是否发生变化，若不变，请求出△AEH的周长；若改变，请说明理由.
【答案】（1）
（2）解：①设DF =x ， 则CF=8-x
由折叠性质得EF=CF=8-x
在Rt△DEF 中，由勾股定理得
解得 x=3
②点E为AD上任意一点时，△AEH 的周长未发生变化，△AEH 的周长为16.
理由如下：
连接EC、HC， 过点C作CM⊥EI， 交EI于点M， 由折叠性质得∠FEI=∠FCB=90°， EF=CF
∴ ∠FEI=∠CMI=90°， ∠FEC=∠DCE
∴EF∥MC
∴∠FEC=∠MCE
∴∠DCE=∠MCE
∵ 在△DCE和△MCE中
∴△DCE≌△MCE (AAS)
∴ CM =CD， DE=ME
∵ CB=CD
∴ CM =CB
∵ 在 Rt△CMH和Rt△CBH 中， 由勾股定理得
∴ MH=BH
=AH+AE+HM+EM
=(AH+HM)+(AE+EM)
=(AH+HB)+(AE+ED)
=AB+AD
=16
∴ 点E为AD上任意一点时，△AEH 的周长未发生变化，值为16
【知识点】平行线的判定与性质；三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵正方形ABCD的边长为8
∴
由折叠性质可得BC=BE=8
∴
故答案为：
【分析】（1）根据勾股定理可BD，再根据折叠性质可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）①设DF =x ， 则CF=8-x，由折叠性质得EF=CF=8-x，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=3，再根据三角形面积即可求出答案.
②连接EC、HC， 过点C作CM⊥EI， 交EI于点M， 由折叠性质得∠FEI=∠FCB=90°， EF=CF，根据直线平行判定定理可得EF∥MC，则∠FEC=∠MCE，再根据全等三角形判定定理可得△DCE≌△MCE (AAS)，则CM =CD， DE=ME，根据勾股定理可得MH，BH，再根据三角形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
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