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图形的相似——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·绥化）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　）
A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm
2．（2025·哈尔滨）如图，AB∥CD∥EF，若BC=5，CE=8，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·兰州） 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O．已知BC：B'C'＝1：2，则B（2，0）的对应点B'的坐标是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0）
4．（2025·河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　）
A． B．1 C． D．
5．（2025·内江） 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·广东） 如图， 把△AOB放大后得到△COD ， 则△AOB与△COD的相似比是　 　.
7．（2025·广州）如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　．
8．（2024·滨州） 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是　 　．（写出一种情况即可）
9．（2026九上·海曙期末） 如图， △ABC中∠ACB=90°， CD⊥AB于D， AE平分∠CAB， 分别交CB、CD于点E和点F.
（1） 求证： △ACF ∽ △ABE；
（2） 若 求BC的长.
10．（2025九上·深圳月考）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F．
（1）求证：；
（2）若的面积为4，，求的面积．
11．（2024九上·古冶期末）如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若；求的长．
二、能力题
12．（2025·连云港）如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·威海）如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（　　）
A．S△DEFS△BCF B．S△ADES四边形BCED
C．S△DBFS△BCF D．S△ADC＝S△AEB
14．（2025·眉山）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（　　）
A． B． C． D．
15．（2025·南充） 已知 则 的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
16．（2025·德州）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，，分别以AB，BC为直角边，以B为直角顶点向△ABC外部作Rt△ABD和Rt△CBE，且∠DAB＝∠E，M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若，则MN的长度为 　 　 ．
17．（2025·常州）如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F若AB=2，则AF=　 　.
18．（2025·东营）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 　 　时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
19．（2025九下·东坡月考）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为　 　．
20．（2025·吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）AC的长为 　 　 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
21．（2025·福建）如图，矩形ABCD中，
（1）求作正方形EFGH，使得点 E，G分别落在边AD， BC上，点 F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若 ，求（1）中所作的正方形的边长.
三、拓展题
22．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
23．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
24．（2025·广元）综合与实践
（1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数；
（2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值；
（3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似比；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，
∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，
∴x： (48-x) =6： 10，
解得x=18，
即较小三角形的周长为18cm.
故答案为：B.
【分析】设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，根据相似三角形的性质得到x： (48-x) =6：10，然后利用比例的性质求出x即可解答.
2．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，若BC=5，CE=8
∴
故答案为：D
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】点的坐标；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O ， BC：B'C'＝1：2，
∴BO：B'O＝1：2，
∵B（2，0），
∴ B'（4，0）
故答案为：B .
【分析】根据位似图形的性质：以原点为位似中心时，若原图形上某点坐标为(x，y)，位似比为k，则对应点坐标同向缩放为(kx，ky)（适用于k>0）；由此计算即可解答.
4．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】先由平行线分线段成比例定理得，即DE为的中位线，则DE等于BC的一半.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B，∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
又∵OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
∴
∴AC=60cm.
故答案为：B .
【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOC∽△BOD，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AC的长.
6．【答案】1：3
【知识点】坐标与图形性质；相似比
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中， △AOB 与 △COD ，OB和OD是对应边；
由图可知OB = 2，OD = 6；
相似比为对应边的比，即△AOB与△COD的相似比===.
故答案为：1：3 .
【分析】通过坐标系确定 △AOB 与 △COD 对应边OB、OD的长度，计算其比值得到相似比。
7．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵
∴△ADE∽△ABC
∴
故答案为：
【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
8．【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠A=∠A，
当时，或或
.
故答案为：或或 .（答案不唯一）
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加符合题意的条件即可.
9．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠EAB
∴△ACF∽△ABE
（2）解：∵△ACF∽△ABE
∴AB=10
【知识点】勾股定理；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据等角的余角相等以及角平分线的定义即可证明 △ACF ∽ △ABE；
(2)利用相似三角形的性质可求AB，再由勾股定理求解。
10．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
。
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）本题首先根据平行四边形的性质得出，然后结合平行线的性质得出，最后利用AA即可证明三角形相似；
（2）首先结合平行四边形的性质以及平行关系，即可得出，从而得出对应边成比例；然后依据相似三角形面积比与相似比的平方关系，可以得出，最后将代入计算即可。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴，
，
，
．
11．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：由（1），
，即，
即，
．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；相似三角形的判定；补角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，根据三角形内角和定理可得，根据补角可得，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，即，代值计算即可求出答案.
（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
又，
．
（2）由（1），
，即，
即，
．
12．【答案】A
【知识点】解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：延长BE，AC交于点F，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵，
∴；
∵BE⊥AD，
∴∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，
∴点A，C，E，B四点共圆，
∵，
∴∠CAD=∠CBF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∠F=90°-∠CAD，∠ABF=90°-∠BAD，
∴∠F=∠ABF，
∴AF=AB，
∵AE⊥BF，
∴BE=EF即BF=2BE；
∵∠BCF=∠ACD，
∴△ACD∽△BCF，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】延长BE，AC交于点F，在Rt△ABC中，可求出∠ABC的度数，利用解直角三角形可得到AC与BC的数量关系，再证明∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，可证得点A，C，E，B四点共圆，利用圆周角定理可证得∠CAD=∠CBF，利用角平分线的概念可推出∠CAD=∠BAD，同时可证得∠F=∠ABF，利用等角对等边可证得AF=AB，利用等腰三角形的性质可得到BF=2BE；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACD∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出结果.
13．【答案】B
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由题知，
因为BE， CD为 的中线，
所以点F为 的重心，
所以
所以
所以
所以
故A选项不符合题意.
因为
所以
所以
所以 四边形BCED.
故B选项符合题意.
因为点F为 的重心，
所以
所以
故C选项不符合题意.
因为DE∥BC，
所以，
所以，
故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据重心的性质，结合相似三角形的判定与性质，对所给选项依次进行判断即可.
14．【答案】B
【知识点】A字型相似模型；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 将以点O为位似中心放大后得到，
∴△OBA∽△ODC且OD=2OB，
∴ 则与的周长之比是1：2，
故答案为：B.
【分析】根据位似三角形的周长比等于对应边的比解答即可.
15．【答案】D
【知识点】比例的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，
∴===6.
故答案为：D.
【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P
∵AB＝3，，∠ABD=90°
∴
∵M，N分别时AD，CE的中点，∠ABD=∠CBE=90°
∴
∴∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN
∵∠DAB=∠E，∠CBE=∠E+∠BCE=90°
∴∠CBN+∠ABM=90°
∵∠ABC=30°
∴∠MBN=30°+90°=120°
∴∠PBN=60°
∵∠P=90°
∴∠PMB=30°
∴
∴
∵∠ABD=∠CBE=90°，∠DAB=∠E
∴△ABD∽△EBC
∴，即
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P，根据勾股定理可得BD，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据等边对等角可得∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN，再根据角之间的关系可得∠PMB=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得PB，根据勾股定理可得PM，再根据相似三角形判定定理可得△ABD∽△EBC，则，代值计算可得CE，再根据边之间的关系可得NP，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用平行四边形的性质得，，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可．
18．【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解： ∵点D为中点，，
∴AD=2，
∵与以点A、D、E为顶点的三角形相似：
①当时，
∵，
∴，
∴，
②当时，
∵，
∴，
∴，
综上可知AE=3或，
故答案为：3或.
【分析】先由中点的定义得到AD=2，由题干与以点A、D、E为顶点的三角形相似，分和两种情况，利用相似三角形的性质计算即可解答.
19．【答案】96
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
∴，
∴，
∵菱形的边长为10，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
【分析】过点作交于点，可得，由相似三角形对应边成比例性质得，然后根据菱形的性质得，，，，从而可求出，接下来再证明，求得，结合菱形以及三角形外角的性质推出，进而根据等腰三角形的判定得，利用勾股定理求得的长，于是有，，最后利用菱形的面积公式求解即可.
20．【答案】（1）7
（2）解：当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3），
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，
如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP'BP，
∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，
∴，
∴，
解得：，
∴y＝S△APD+S梯形PP'FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）'
∴；
（3）解：当正方形APDE的对称中心与点B重合时，
∴，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：（1）当 B，D重合时，如下图：
∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （负的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
∴，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案为：7；
【分析】（1）根据勾股定理求出AP长，进而求出PC 的值解答即可；
（2）分为点D在线段AB上运动和D在线段AB的延长线上运动两种情况，利用相似三角形的判定和性质表示面积即可；
（3）画出图形，根据勾股定理解答即可.
21．【答案】（1）解：如图，四边形EFGH 就是所求作的正方形.

（2）解：连接EG交 BD 于点 O.
∵四边形 EFGH是正方形，
∴OE=OG.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC.
∴OB=OD.
在Rt△ABD中，AB=2，AD=4，
∵四边形 EFGH是正方形，
∴EG⊥FH，
∴∠DOE=∠DAB=90°.
又∵∠ODE=∠ADB，
∴△EOD ∽△BAD，
即
在Rt△EOH中，OE=OH，
即正方形EFGH的边长为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 （1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可；
（2）利用勾股定理求出BD，OD，再根据△EOD ∽△BAD，利用边的比例关系求解即可.
22．【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
23．【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
24．【答案】（1）解：∵
∴，即．
．
∴（两边对应成比例且夹角相等）．
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，即，
∴
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动，
∴到的最大距离为
（3）解：∵梯形中，，，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵点E是线段的中点，
∴，
如图，取，作矩形，则，，连接，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用已知可证得∠CAB=∠DAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求出∠E的度数.
（2）利用已知可证得，利用矩形的性质可求出AD的长，同时可证得∠FAD=∠BAE，由此可证得△ABE∽△AFD，利用相似三角形的性质可证得∠AFD=90°，可证得在以为直径的圆上运动，可求出点F到BC的最大距离就是的长，代入计算即可求解.
（3）利用已知条件可求出△EFG的面积，从而可得到GE与EF的积的值，利用线段中点可求出BE的长，取，作矩形，则，，连接，可推出，利用SAS可证得△PEG∽△FEB，利用相似三角形的性质可求出∠PGE=90°，可推出在为直径的圆上，当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，即可求出EG的长.
1 / 1图形的相似——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·绥化）两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，并且它们的周长之和为48cm，那么较小三角形的周长是（　　）
A．14cm B．18cm C．30cm D．34cm
【答案】B
【知识点】相似比；相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，
∵两个相似三角形的最长边分别是10cm和6cm，
∴x： (48-x) =6： 10，
解得x=18，
即较小三角形的周长为18cm.
故答案为：B.
【分析】设较小三角形的周长为x cm，则较大三角形的周长为(48-x) cm，根据相似三角形的性质得到x： (48-x) =6：10，然后利用比例的性质求出x即可解答.
2．（2025·哈尔滨）如图，AB∥CD∥EF，若BC=5，CE=8，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF，若BC=5，CE=8
∴
故答案为：D
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求出答案.
3．（2025·兰州） 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O．已知BC：B'C'＝1：2，则B（2，0）的对应点B'的坐标是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0）
【答案】B
【知识点】点的坐标；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O ， BC：B'C'＝1：2，
∴BO：B'O＝1：2，
∵B（2，0），
∴ B'（4，0）
故答案为：B .
【分析】根据位似图形的性质：以原点为位似中心时，若原图形上某点坐标为(x，y)，位似比为k，则对应点坐标同向缩放为(kx，ky)（适用于k>0）；由此计算即可解答.
4．（2025·河南）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】先由平行线分线段成比例定理得，即DE为的中位线，则DE等于BC的一半.
5．（2025·内江） 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵∠A=∠B，∠AOC=∠BOD，
∴△AOC∽△BOD，
∴，
又∵OA=150cm，OB=50cm，BD=20cm，
∴
∴AC=60cm.
故答案为：B .
【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOC∽△BOD，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，可求出AC的长.
6．（2025·广东） 如图， 把△AOB放大后得到△COD ， 则△AOB与△COD的相似比是　 　.
【答案】1：3
【知识点】坐标与图形性质；相似比
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中， △AOB 与 △COD ，OB和OD是对应边；
由图可知OB = 2，OD = 6；
相似比为对应边的比，即△AOB与△COD的相似比===.
故答案为：1：3 .
【分析】通过坐标系确定 △AOB 与 △COD 对应边OB、OD的长度，计算其比值得到相似比。
7．（2025·广州）如图，在中，点，分别在，上，，若，则　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵
∴△ADE∽△ABC
∴
故答案为：
【分析】根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
8．（2024·滨州） 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是　 　．（写出一种情况即可）
【答案】或或
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∠A=∠A，
当时，或或
.
故答案为：或或 .（答案不唯一）
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，添加符合题意的条件即可.
9．（2026九上·海曙期末） 如图， △ABC中∠ACB=90°， CD⊥AB于D， AE平分∠CAB， 分别交CB、CD于点E和点F.
（1） 求证： △ACF ∽ △ABE；
（2） 若 求BC的长.
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠EAB
∴△ACF∽△ABE
（2）解：∵△ACF∽△ABE
∴AB=10
【知识点】勾股定理；角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据等角的余角相等以及角平分线的定义即可证明 △ACF ∽ △ABE；
(2)利用相似三角形的性质可求AB，再由勾股定理求解。
10．（2025九上·深圳月考）如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F．
（1）求证：；
（2）若的面积为4，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
。
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应面积；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）本题首先根据平行四边形的性质得出，然后结合平行线的性质得出，最后利用AA即可证明三角形相似；
（2）首先结合平行四边形的性质以及平行关系，即可得出，从而得出对应边成比例；然后依据相似三角形面积比与相似比的平方关系，可以得出，最后将代入计算即可。
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
∴，
，
，
．
11．（2024九上·古冶期末）如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若；求的长．
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：由（1），
，即，
即，
．
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；相似三角形的判定；补角；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，根据三角形内角和定理可得，根据补角可得，则，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，即，代值计算即可求出答案.
（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
又，
．
（2）由（1），
，即，
即，
．
二、能力题
12．（2025·连云港）如图，在中，，，AD平分，，E为垂足，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形—边角关系；四点共圆模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：延长BE，AC交于点F，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∵，
∴；
∵BE⊥AD，
∴∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，
∴点A，C，E，B四点共圆，
∵，
∴∠CAD=∠CBF，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∠F=90°-∠CAD，∠ABF=90°-∠BAD，
∴∠F=∠ABF，
∴AF=AB，
∵AE⊥BF，
∴BE=EF即BF=2BE；
∵∠BCF=∠ACD，
∴△ACD∽△BCF，
∴，
∴，
∴.
故答案为：A.
【分析】延长BE，AC交于点F，在Rt△ABC中，可求出∠ABC的度数，利用解直角三角形可得到AC与BC的数量关系，再证明∠ACB=∠AEB=∠AEF=90°，可证得点A，C，E，B四点共圆，利用圆周角定理可证得∠CAD=∠CBF，利用角平分线的概念可推出∠CAD=∠BAD，同时可证得∠F=∠ABF，利用等角对等边可证得AF=AB，利用等腰三角形的性质可得到BF=2BE；然后利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACD∽△BCF，利用相似三角形的性质可求出结果.
13．（2025·威海）如图，△ABC的中线BE，CD交于点F，连接DE．下列结论错误的是（　　）
A．S△DEFS△BCF B．S△ADES四边形BCED
C．S△DBFS△BCF D．S△ADC＝S△AEB
【答案】B
【知识点】A字型相似模型；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由题知，
因为BE， CD为 的中线，
所以点F为 的重心，
所以
所以
所以
所以
故A选项不符合题意.
因为
所以
所以
所以 四边形BCED.
故B选项符合题意.
因为点F为 的重心，
所以
所以
故C选项不符合题意.
因为DE∥BC，
所以，
所以，
故D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据重心的性质，结合相似三角形的判定与性质，对所给选项依次进行判断即可.
14．（2025·眉山）如图，在的方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将以点O为位似中心放大后得到，则与的周长之比是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】A字型相似模型；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 将以点O为位似中心放大后得到，
∴△OBA∽△ODC且OD=2OB，
∴ 则与的周长之比是1：2，
故答案为：B.
【分析】根据位似三角形的周长比等于对应边的比解答即可.
15．（2025·南充） 已知 则 的值是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】比例的性质；分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，
∴===6.
故答案为：D.
【分析】由已知的等式和比例的性质可得a2=2abc，b2=2abc，c2=2abc，然后整体代换即可求解.
16．（2025·德州）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，，分别以AB，BC为直角边，以B为直角顶点向△ABC外部作Rt△ABD和Rt△CBE，且∠DAB＝∠E，M，N分别是AD，CE的中点，连接MN．若，则MN的长度为 　 　 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P
∵AB＝3，，∠ABD=90°
∴
∵M，N分别时AD，CE的中点，∠ABD=∠CBE=90°
∴
∴∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN
∵∠DAB=∠E，∠CBE=∠E+∠BCE=90°
∴∠CBN+∠ABM=90°
∵∠ABC=30°
∴∠MBN=30°+90°=120°
∴∠PBN=60°
∵∠P=90°
∴∠PMB=30°
∴
∴
∵∠ABD=∠CBE=90°，∠DAB=∠E
∴△ABD∽△EBC
∴，即
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】连接BM，BN，过点M作MP⊥NB于点P，根据勾股定理可得BD，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据等边对等角可得∠ABM=∠BAM，∠CBN=∠BCN，再根据角之间的关系可得∠PMB=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得PB，根据勾股定理可得PM，再根据相似三角形判定定理可得△ABD∽△EBC，则，代值计算可得CE，再根据边之间的关系可得NP，再根据勾股定理即可求出答案.
17．（2025·常州）如图，在□ABCD中，E是AD上一点，DE=2AE，CE、BA的延长线相交于点F若AB=2，则AF=　 　.
【答案】1
【知识点】平行四边形的性质；8字型相似模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用平行四边形的性质得，，然后推理得到，根据对应边成比例解答即可．
18．（2025·东营）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 　 　时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
【答案】3或
【知识点】相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【解答】解： ∵点D为中点，，
∴AD=2，
∵与以点A、D、E为顶点的三角形相似：
①当时，
∵，
∴，
∴，
②当时，
∵，
∴，
∴，
综上可知AE=3或，
故答案为：3或.
【分析】先由中点的定义得到AD=2，由题干与以点A、D、E为顶点的三角形相似，分和两种情况，利用相似三角形的性质计算即可解答.
19．（2025九下·东坡月考）如图，在边长为10的菱形中，对角线，相交与点，点在延长线上，与相交与点．若，，则菱形的面积为　 　．
【答案】96
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，
∴，
∴，
∵菱形的边长为10，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：96．
【分析】过点作交于点，可得，由相似三角形对应边成比例性质得，然后根据菱形的性质得，，，，从而可求出，接下来再证明，求得，结合菱形以及三角形外角的性质推出，进而根据等腰三角形的判定得，利用勾股定理求得的长，于是有，，最后利用菱形的面积公式求解即可.
20．（2025·吉林）如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5，∠BAC＝45°．动点P从点A出发，沿边AC以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以AP为边作正方形APDE，使点D和点B始终在边AC同侧．设点P的运动时间为x（s）（x＞0），正方形APDE与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位）．
（1）AC的长为 　 　 ．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出可变量x的取值范围．
（3）当正方形APDE的对称中心与点B重合时，直接写出x的值．
【答案】（1）7
（2）解：当D在线段AB上运动时，（0＜x≤3），
当D在线段AB的延长线上运动时，即点P在线段PC上运动，
如下图：AP＝x，PP＝x﹣3，CP＝7﹣x，CP＝4，BP＝3，
∵FP'BP，
∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，
∴△CFP∽△CBP，
∴，
∴，
解得：，
∴y＝S△APD+S梯形PP'FBx2（x﹣3）（x﹣7）2+10.5，（3＜x≤7）'
∴；
（3）解：当正方形APDE的对称中心与点B重合时，
∴，
∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD2，
即2AP2＝72，
解得：AP＝6，
∴x＝6．
【知识点】勾股定理；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：（1）当 B，D重合时，如下图：
∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，
∴△APD是等腰直角三角形，AP＝BP，，即18＝2AP2，
解得：AP＝3 （负的舍去），
∵BC＝5，∠DPC＝90°，
∴，
∴AC＝AP+PC＝3+4＝7，
故答案为：7；
【分析】（1）根据勾股定理求出AP长，进而求出PC 的值解答即可；
（2）分为点D在线段AB上运动和D在线段AB的延长线上运动两种情况，利用相似三角形的判定和性质表示面积即可；
（3）画出图形，根据勾股定理解答即可.
21．（2025·福建）如图，矩形ABCD中，
（1）求作正方形EFGH，使得点 E，G分别落在边AD， BC上，点 F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）若 ，求（1）中所作的正方形的边长.
【答案】（1）解：如图，四边形EFGH 就是所求作的正方形.

（2）解：连接EG交 BD 于点 O.
∵四边形 EFGH是正方形，
∴OE=OG.
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠A=90°，AD∥BC.
∴OB=OD.
在Rt△ABD中，AB=2，AD=4，
∵四边形 EFGH是正方形，
∴EG⊥FH，
∴∠DOE=∠DAB=90°.
又∵∠ODE=∠ADB，
∴△EOD ∽△BAD，
即
在Rt△EOH中，OE=OH，
即正方形EFGH的边长为
【知识点】勾股定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 （1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可；
（2）利用勾股定理求出BD，OD，再根据△EOD ∽△BAD，利用边的比例关系求解即可.
三、拓展题
22．（2025·无锡）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动．
【活动主题】测量物体的高度
【测量工具】卷尺、标杆
【活动过程】
活动1：测量校内旗杆的高度
该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上．已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF＝2.8m，PQ＝1.4m，QF＝2m，FN＝16m．
（1）求旗杆MN的高度．
（2）活动2：测量南禅寺妙光塔的高度
南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆EF，直立在点Q处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上．小军沿FQ的方向走到点Q'处，此时标杆E'F'竖立于F'处，从点P'处看到标杆顶E'、塔顶A在同一条直线上．已知AB、EF、PQ、E'F'和P'Q'在同一平面内，点B、F、Q、F'、Q'在同一条直线上，EF＝E'F'＝2.8m，PQ＝P'Q'＝1.4m，FQ＝1.2m，F'Q'＝2.2m，QQ'＝30m．
求妙光塔AB的高度．
【答案】（1）解：如图，于点H，交于点G，
则四边形，均为矩形，
，，，
，
由题意知，
，，
，
，即，
解得，
，
即旗杆的高度为．
（2）解：如图，于点H，交于点M，交于点，
，
点P在线段上，四边形，，，均为矩形，
，，， ，
，
由题意知，
，，
，
，
同理可得，
，
，
，，
，
解得，
，
代入，得：，
解得，
即妙光塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）于点H，交于点G，得矩形，，推理得到，根据对应边成比例得，代入数据求解即可；
（2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解．
23．（2025·乐山）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点．
（1）【问题初探】
如图1，已知点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），求黄金比．
解：设AB＝1，AC＝x，则CB＝1﹣x．
∵，
∴
请补全以上解题过程；
（2）【问题再探】
如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，请作出AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（3）【知识迁移】
如图3，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），分别以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD，连结BD、BE．求证：△EAB∽△BCD；
（4）【延伸拓展】
如图4，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点M．求证：点M是AD的黄金分割点．
【答案】（1）解：设AC＝x，则BC＝1﹣x．
∵C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）．
∴，
即，
解得x（负值舍去）．
即黄金比为
（2）解：如图所示；点E即为AC的黄金分割点；
（3）证明：∵四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形，
∴∠EAB＝∠BCD＝90°，AC＝CD＝AE＝DE＝BF，BC＝DF，
∵点C为线段AB的黄金分割点，
∴，
∴，
∴△EAB∽△BCD
（4）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，AB＝AE＝DE，
∴∠ABE＝∠AEM＝∠DAE＝∠ADE＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∵∠DAE＝∠DAE，∠ADE＝∠AEM＝36°，
∴△AME∽△AED，
∴AE：AD＝AM：AE，
∴AE2＝AD AM，
∵AE＝DE＝DM，
∴DM2＝AD AM，
∴点M是AD的黄金分割点
【知识点】正方形的性质；黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的判定-SAS
【解析】【分析】（1）用含x的式子分别表示出AC，BC，再根据黄金分割的定义列出方程，求解即可；
（2）AC的长度为2，要找它的黄金分割点就是在它上面截出一条长度为的线段，斜边AB的长为，BC的长为1，可以以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点D，则，再以点A为圆心，AD为半径画弧，交AC于点E，则，故点E是AC的黄金分割点；
（3）由点C是AB的黄金分割点可知，而四边形ACDE为正方形，可知AC=CD=AE，所以，又，故△EAB∽△BCD；
（4）易求正五边形的每个内角为108°，进一步可知，而，从而证明△AME∽△AED，所以，在中，易求，可知DM=DE=AE，故，所以点M是AD的黄金分割点。
24．（2025·广元）综合与实践
（1）【初步感知】如图①，和中，，，，求的度数；
（2）【深入探究】如图②，在矩形中，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，请证明，并直接写出点F到的距离的最大值；
（3）【学以致用】如图③，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，求的长．
【答案】（1）解：∵
∴，即．
．
∴（两边对应成比例且夹角相等）．
∵，
∴
（2）证明：∵，
∴，即，
∴
∵四边形是矩形，，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴在以为直径的圆上运动，
∴到的最大距离为
（3）解：∵梯形中，，，，，
∴，
∵，
∴，即，
∵点E是线段的中点，
∴，
如图，取，作矩形，则，，连接，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，
∴
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-SAS；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）利用已知可证得∠CAB=∠DAE，利用有两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求出∠E的度数.
（2）利用已知可证得，利用矩形的性质可求出AD的长，同时可证得∠FAD=∠BAE，由此可证得△ABE∽△AFD，利用相似三角形的性质可证得∠AFD=90°，可证得在以为直径的圆上运动，可求出点F到BC的最大距离就是的长，代入计算即可求解.
（3）利用已知条件可求出△EFG的面积，从而可得到GE与EF的积的值，利用线段中点可求出BE的长，取，作矩形，则，，连接，可推出，利用SAS可证得△PEG∽△FEB，利用相似三角形的性质可求出∠PGE=90°，可推出在为直径的圆上，当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形，即可求出EG的长.
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