资源简介

锐角三角函数——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·天津市）的值等于（　　）
A．0 B．1 C． D．
2．（2024·长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　）
A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米
3．（2024·云南） 在中，，已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026九上·龙岗期末）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则sin∠ABC的大小是（　　）
A． B．2 C． D．
5．（2026九上·长春期末）如图，中，，，点D在延长线上，且，连接，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．
6．（2025·山西）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为　 　.
7．（2025·广东） 计算 的结果是　 　.
8．（2026九上·龙岗期末）深圳某科技园区试点无人机外卖配送。无人机从外卖柜正上方A 点，垂直上升至距地面30米的P 点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点。若地面引导员在 C 点测得无人机悬停点 P 的仰角为 （参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75) ， 则无人机从 P 点水平飞抵 B 点距离PB约为　 　米.
9．（2026九上·龙岗期末）计算：
10．（2026九上·深圳期末）计算：.
11．（2026九上·海曙期末）如图，A点、B点分别表示小岛和海岸码头的位置，离B 点正东方向的 7km 处有海岸瞭望塔C，现测得A 点分别在B点的北偏东53°、在C点的东北方向处，求小岛A到海岸线BC的距离.(参考数据：
12．（2026九上·长春期末）如图，小李在森林公园瞭望塔的点处，测算塔下方的一棵树的高度．观测到点处到地面的距离为米，树顶处的俯角为，塔底到这棵树的距离为米．求这棵树的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，）
二、能力题
13．（2025·南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．5
14．（2025·宁夏回族自治区） 老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（　　）
A．的长，的度数 B．的长，的度数
C．的长，的度数 D．的长，的度数
15．（2025·长春）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
16．（2025·盐城）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH＝　 　 m．
17．（2026九上·深圳期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为　 　．
18．（2025·武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为 45°B处的俯角为 22°，则A，B之间的距离是　 　m.(tan22°取0.4)
19．（2025·大庆） 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为　 　．
20．（2025·扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ．
21．（2025·资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，CD⊥BD.(点A，B，C，D在同一竖直平面内）.
（1）求平台BN的高度；
（2）求建筑物的高度（即CD的长)
22．（2025·攀枝花） 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA=，求cosA的值．
三、拓展题
23．（2025·青海） 数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成( °夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8米，插入地下的部分为 0.3米，竹竿与地面接触点间距为 0.6米且与地面所形成的夹角均为
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F， 求 OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：
【模型求解】
【问题总结】交叉点O 距顶端A的长度即 OA为 m时，支架与地面形成( 夹角，这样更贴合作物的生长规律.
24．（2025·兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43''，∠BAP＝89°22'38.09''．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25'37.43''≈100.00，10089°22'38.09''≈92.00，sin89°25'37.43''≈040.99995，sin89°22'38.09''≈0.99994，cos89°25'37.43''≈0.00999，cos89°22'38.09''≈0.01087）
25．（2025·自贡）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，．在边上取两点，使，量得，，，则　 　，　 　，　 　（结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=1-1
=0
故答案为：A
【分析】根据特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】正弦的概念
【解析】【解答】解：由题意得：
∴千米.
故答案为：A.
【分析】根据锐角的正弦函数的定义即可求解.
3．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：C
【分析】根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正弦值
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴AC2+AB2=BC2
∴∠BAC=90°
∴
故答案为：D
【分析】根据勾股定理可得AC，BC，AB，再根据勾股定理逆定理可得∠BAC=90°，再根据正弦定义即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设BD=a，
∵，
∴AB=2BD=2a，
在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在Rt△ACD中，
∴tan∠DAC的值为.
故答案为：A.
【分析】设BD=a，则AB=2BD=2a，在Rt△ABC中，根据∠ABC=30°得，由勾股定理得，进而得，在Rt△ACD中，根据余切函数的定义即可得出tan∠DAC的值.
6．【答案】（，）
【知识点】点的坐标；图形的旋转；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到OA1，过A1作A1B⊥x轴于点B，则∠A1BO=90°，
∵点A的坐标为(6，0).
∴OA =6，
由题意得，OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，
∴ OB =OA cos45°=3，A1B =OA1 sin45° =3，
∴点A对应点的坐标为（，） .
故答案为：（，）.
【分析】先画出旋转后的图形，根据旋转的性质可得OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，即可解45°的直角三角形得到 OB，A1B的值，解答即可.
7．【答案】0
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：任何非零数的0次幂都等于1，即a0=1（a≠0）；
∵2≠0；
∴20=1；
∵sin30°=；
∴20-2sin30°=0.
故答案为：0 .
【分析】 通过零指数幂的运算法则（任何非零数的0次幂都等于1）以及特殊角的三角函数值来计算。
8．【答案】42
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：
PB∥AC，BC=30，BC⊥PB
∴∠P=∠ACP=37°
∴
∴PB=42
故答案为：42
【分析】由题意可得PB∥AC，BC=30，BC⊥PB，根据直线平行性质可得∠P=∠ACP=37°，解直角三角形即可求出答案.
9．【答案】解：原式=
=3
【知识点】求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】根据有理数的乘方，二次根式，绝对值性质，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
10．【答案】解：原式=
=3-1+8+1
=11
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】根据二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
11．【答案】解：过点A作AD⊥BC， 垂足为D，AD 即点A到 BC 的距离，
设AD=x，
∴CD=AD=x.
由 得
x≈21
∴小岛与BC的距离大约为21千米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】构造直角三角形，利用公共边AD表示出BD，CD的长度，建立方程求解。
12．【答案】解：如图，作于，则四边形为矩形，
米，
在中， ，
则，
米，
答：这棵树的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先求出CE，再利用∠ACE的正切求出AE，然后计算出BE，从而得到CD的长.
13．【答案】C
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据正切的定义即可求解.
14．【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5
在Rt△ECH中，∠AHC=90°，
∴
在Rt△AEH中，∠AHE=90°，
∴
∵CD=DH-CH
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5，根据正切定义可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵依题意， 在. 中， 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合图形，中，根据 计算得到结果.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】
解：由题意，作于，于，
．
，
．
．
，
．
．
，
．
．
．
，
四边形是矩形．
．
在中，
，
．
故答案为：．
【分析】作于，于，则，然后求出，故，证明四边形是矩形，即可得哦大，再在中，根据计算解答．
17．【答案】
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D
由图可得：AD=3，BD=4
∴
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由图可得：AD=3，BD=4，再根据正切定义即可求出答案.
18．【答案】180
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图
由题意可得：PD∥BC
∴∠PAC=∠DPA=45°，∠DPB=∠PBC=22°
在Rt△PAC中，
在Rt△PBC中，
∴AB=BC-AC=180
故答案为：180
【分析】由题意可得：PD∥BC，根据直线平行性质可得∠PAC=∠DPA=45°，∠DPB=∠PBC=22°，再根据正切定义可得AC，BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：作DGAC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，
由题意可知：AD平分BAC，
∵
∴DG=DB，
中，，，
∴
∵AB=2
∴
∴DG=DB=
故答案为：.
【分析】作DGAC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，由题意可知AD平分BAC，再根据角平分线的性质得到DG=DB，再利用30 角的正切计算即可解答.
20．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得： ，
设 则
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为 xcm的长方体的体积的一半之和，
解得
即
故答案为：.
【分析】延长AN，交直线BC于点E， 设. 则 先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得 然后根据正切的定义计算即可得.
21．【答案】（1）解：过点 B 作 于点 E.在 中，.
设BE=x (米)， 则AE=3x (米)，
则x +(3x)2 = (10)2.
解得x=10（米）.
即平台的高度为10米
（2）解：延长 CD交AM于点F.
可知四边形BEFD为矩形，则DF =BE=10米，
由(1)可知，AE=30米.
设CD=h(米)，
在中，，则，所以.
则米，米.
在中，，
所以.
解得（米）.
所以，建筑物的高度CD为米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点 B 作 于点 E，利用坡度的概念可得到BE与AE的比值，设BE=x ，可表示出AE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
（2）延长 CD交AM于点F，易证四边形BEFD为矩形，利用矩形的性质可得到DF的长，设CD=h，利用解直角三角形可表示出EF的长，可得到CF、AF的长，在中，利用解直角三角形可得到关于h的方程，解方程求出h的值.
22．【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A＝（）2+（）21；
（2）解：∵sin2A+cos2A＝1，
∴+cos2A＝1，
∴cos2A=，
∴cosA=或cosA=（舍去），
即cosA的值为．
【知识点】计算器—三角函数；已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，由锐角三角函数可知：sinA=，cosA=，然后进行计算即可；
（2）根据（1）的结论进行计算即可.
23．【答案】问题1：过点O作OH⊥EF于点H
AEF=CFE=65
EH=FH=EF=0.3m
在RtOEH中，
即有，解得OE=0.7m
问题2：0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：问题2：由问题1知OE=0.71m，而AB=1.8m，故此时OA=AB-BE-OE=1.8-0.3-0.7=0.8m
【分析】作OH⊥EF于点H，利用余弦可得OE的长，进而可得OA的长.
24．【答案】解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43''，
∴BH，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09''，
∴AH，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】分析题意设PH＝x万千米，在Rt△PHB中利用正切的定义表示出BH；在Rt△PHA中利用正切的定义表示出AH；再利用AH+BH＝AB≈0.8建立方程，计算即可解答.
25．【答案】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，
∴∠H=90°，
∵QM//HK，
∴∠IQM=∠H=90°
又∵OG//HI ，
∴∠MOG=∠IQM=90°
∴OG⊥QM
（2）0.09；0.16；0.26
（3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°，
∴四边形DPEF为矩形，
∴DP=EF，DF=PE，
由题意可得：DP=(25-15)×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，
设EU=x米，则FU=EF-EU=(30-x)米，
∵，，
∴，，
∴
解得：x=10.8，
∴FU=30-10.8=19.2米，米，
∵，
∴TF=31.2米，
∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米，
即该塔高度为50米.
（4）解：使用高精度测量工具：为提高测量精度，应使用激光测距仪、高精度全站仪等高精度测量工具进行距离和角度的测量．
多次测量取平均值：在同一位置进行多次测量，并计算平均值，以减少偶然误差的影响．
考虑大气折射等因素：在远距离测量时，应考虑大气折射等因素对测量结果的影响，并进行相应的校正．
建立更精确的数学模型：结合楼层高度、角度测量值等数据，建立更精确的数学模型来计算塔高．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：(2)在Rt△VWY中，∠W=90°，∠YVW=5.1°，VW=10.0cm，YW=0.91cm，
∴tan5.1°=tan∠YVW=YW=0.91≈0.09，
∵∠XVY=4.0°，∠YVW=5.1°，XY=0.70cm，YW=0.91cm
∴∠XVW=∠XVY+∠YVW=9.1°，XW=XY+YW=1.61cm，
∵在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°，VW=10.0cm，XW=1.61cm，
∴
∵YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm ，
∴ZW=ZX+XY+YW=2.55cm
∵在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW=14.5°，VW=10.0cm，ZW=2.55cm，
∴，
故答案为：0.09，0.16，0.26.
【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
(2)根据正切的定义计算即可得解；
(3)延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP=EF，DF=PE，由题意可得DP=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，设EU=x米，则FU=(30-x)米，解直角三角形得出，求出FU=19.2米，PE=DF=120米，再解直角三角形得出TF=31.2米，即可得解；
(4)结合题意提出合理的建议即可.
1 / 1锐角三角函数——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·天津市）的值等于（　　）
A．0 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【解答】解：
=
=1-1
=0
故答案为：A
【分析】根据特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
2．（2024·长春）2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点A时，位于海平面R处的雷达测得点R到点A的距离为a千米，仰角为θ，则此时火箭距海平面的高度AL为（　　）
A．asinθ千米 B．千米 C．acosθ千米 D．千米
【答案】A
【知识点】正弦的概念
【解析】【解答】解：由题意得：
∴千米.
故答案为：A.
【分析】根据锐角的正弦函数的定义即可求解.
3．（2024·云南） 在中，，已知，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵，，
∴=，
故答案为：C
【分析】根据锐角三角函数的定义结合题意即可求解。
4．（2026九上·龙岗期末）如图所示的正方形网格中，A、B、C三点均在正方形格点上，则sin∠ABC的大小是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正弦值
【解析】【解答】解：由题意可得：
∴AC2+AB2=BC2
∴∠BAC=90°
∴
故答案为：D
【分析】根据勾股定理可得AC，BC，AB，再根据勾股定理逆定理可得∠BAC=90°，再根据正弦定义即可求出答案.
5．（2026九上·长春期末）如图，中，，，点D在延长线上，且，连接，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设BD=a，
∵，
∴AB=2BD=2a，
在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在Rt△ACD中，
∴tan∠DAC的值为.
故答案为：A.
【分析】设BD=a，则AB=2BD=2a，在Rt△ABC中，根据∠ABC=30°得，由勾股定理得，进而得，在Rt△ACD中，根据余切函数的定义即可得出tan∠DAC的值.
6．（2025·山西）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为　 　.
【答案】（，）
【知识点】点的坐标；图形的旋转；旋转的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到OA1，过A1作A1B⊥x轴于点B，则∠A1BO=90°，
∵点A的坐标为(6，0).
∴OA =6，
由题意得，OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，
∴ OB =OA cos45°=3，A1B =OA1 sin45° =3，
∴点A对应点的坐标为（，） .
故答案为：（，）.
【分析】先画出旋转后的图形，根据旋转的性质可得OA=OA1=6，∠AOA1 =45°，即可解45°的直角三角形得到 OB，A1B的值，解答即可.
7．（2025·广东） 计算 的结果是　 　.
【答案】0
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：任何非零数的0次幂都等于1，即a0=1（a≠0）；
∵2≠0；
∴20=1；
∵sin30°=；
∴20-2sin30°=0.
故答案为：0 .
【分析】 通过零指数幂的运算法则（任何非零数的0次幂都等于1）以及特殊角的三角函数值来计算。
8．（2026九上·龙岗期末）深圳某科技园区试点无人机外卖配送。无人机从外卖柜正上方A 点，垂直上升至距地面30米的P 点悬停，然后沿水平方向飞往客户阳台B点。若地面引导员在 C 点测得无人机悬停点 P 的仰角为 （参考数据：sin37°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75) ， 则无人机从 P 点水平飞抵 B 点距离PB约为　 　米.
【答案】42
【知识点】平行线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：由题意可得：
PB∥AC，BC=30，BC⊥PB
∴∠P=∠ACP=37°
∴
∴PB=42
故答案为：42
【分析】由题意可得PB∥AC，BC=30，BC⊥PB，根据直线平行性质可得∠P=∠ACP=37°，解直角三角形即可求出答案.
9．（2026九上·龙岗期末）计算：
【答案】解：原式=
=3
【知识点】求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；实数的绝对值
【解析】【分析】根据有理数的乘方，二次根式，绝对值性质，特殊角的三角函数值化简，再计算加减即可求出答案.
10．（2026九上·深圳期末）计算：.
【答案】解：原式=
=3-1+8+1
=11
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】根据二次根式，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
11．（2026九上·海曙期末）如图，A点、B点分别表示小岛和海岸码头的位置，离B 点正东方向的 7km 处有海岸瞭望塔C，现测得A 点分别在B点的北偏东53°、在C点的东北方向处，求小岛A到海岸线BC的距离.(参考数据：
【答案】解：过点A作AD⊥BC， 垂足为D，AD 即点A到 BC 的距离，
设AD=x，
∴CD=AD=x.
由 得
x≈21
∴小岛与BC的距离大约为21千米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】构造直角三角形，利用公共边AD表示出BD，CD的长度，建立方程求解。
12．（2026九上·长春期末）如图，小李在森林公园瞭望塔的点处，测算塔下方的一棵树的高度．观测到点处到地面的距离为米，树顶处的俯角为，塔底到这棵树的距离为米．求这棵树的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，）
【答案】解：如图，作于，则四边形为矩形，
米，
在中， ，
则，
米，
答：这棵树的高度约为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点C作CE⊥AB，利用矩形的性质和判定先求出CE，再利用∠ACE的正切求出AE，然后计算出BE，从而得到CD的长.
二、能力题
13．（2025·南通）在△ABC中，∠C＝90°，tanA，AC＝2，则BC的长为（　　）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
【知识点】已知正切值求边长
【解析】【解答】解：如图，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：C.
【分析】根据正切的定义即可求解.
14．（2025·宁夏回族自治区） 老师带领数学小组仅用测角仪和皮尺测量某桥外侧拱顶离水面的高度．如图，拱顶离水面的高度为，点，是水平地面上两点，且与点，均在同一竖直平面内．已知水平地面离水面的高度为2米，测角仪支架高度为1.5米，为达成目的，还需测量的数据是（　　）
A．的长，的度数 B．的长，的度数
C．的长，的度数 D．的长，的度数
【答案】D
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5
在Rt△ECH中，∠AHC=90°，
∴
在Rt△AEH中，∠AHE=90°，
∴
∵CD=DH-CH
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】由题意可得：CD=AB，FH=1.5+2=3.5，根据正切定义可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．（2025·长春）如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵依题意， 在. 中， 米，
故答案为：B.
【分析】根据题意，结合图形，中，根据 计算得到结果.
16．（2025·盐城）一种遮阳伞如图，遮阳伞支架AB垂直于地面BC，点D在AB上，AD＝0.6m，D，E，F三点共线，DF＝3DE＝3AE．当太阳光线与DF垂直时，它与地面的夹角正好为60°，则DF落在地面上的投影GH＝　 　 m．
【答案】
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】
解：由题意，作于，于，
．
，
．
．
，
．
．
，
．
．
．
，
四边形是矩形．
．
在中，
，
．
故答案为：．
【分析】作于，于，则，然后求出，故，证明四边形是矩形，即可得哦大，再在中，根据计算解答．
17．（2026九上·深圳期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为　 　．
【答案】
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D
由图可得：AD=3，BD=4
∴
故答案为：
【分析】过点B作BD⊥AC于点D，由图可得：AD=3，BD=4，再根据正切定义即可求出答案.
18．（2025·武汉）某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A，B的距离，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水面120m的P处，测得A处的俯角为 45°B处的俯角为 22°，则A，B之间的距离是　 　m.(tan22°取0.4)
【答案】180
【知识点】平行线的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图
由题意可得：PD∥BC
∴∠PAC=∠DPA=45°，∠DPB=∠PBC=22°
在Rt△PAC中，
在Rt△PBC中，
∴AB=BC-AC=180
故答案为：180
【分析】由题意可得：PD∥BC，根据直线平行性质可得∠PAC=∠DPA=45°，∠DPB=∠PBC=22°，再根据正切定义可得AC，BC，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2025·大庆） 如图，中，，，．在和上分别截取，，使．分别以M，N为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F．作射线交于点D，则点D到的距离为　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-作角的平分线；已知正切值求边长
【解析】【解答】解：作DGAC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，
由题意可知：AD平分BAC，
∵
∴DG=DB，
中，，，
∴
∵AB=2
∴
∴DG=DB=
故答案为：.
【分析】作DGAC于点G，则点D到AC的距离为DG的长，由题意可知AD平分BAC，再根据角平分线的性质得到DG=DB，再利用30 角的正切计算即可解答.
20．（2025·扬州）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，其中水面高度BM＝7cm．将此正方体放在坡角为α的斜坡上，此时水面MN恰好与点A齐平，其主视图如图2所示，则tanα＝ 　 　 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
如图，延长AN，交直线BC于点E，
由题意得： ，
设 则
∵密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为α的斜坡上，容器里水的体积不变；且放在坡角为α的斜坡上时，水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为 的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为 xcm的长方体的体积的一半之和，
解得
即
故答案为：.
【分析】延长AN，交直线BC于点E， 设. 则 先根据水的体积不变建立方程，解方程可得x的值，再根据平行线的性质可得 然后根据正切的定义计算即可得.
21．（2025·资阳）如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i=1：3，AB=10米，CD⊥BD.(点A，B，C，D在同一竖直平面内）.
（1）求平台BN的高度；
（2）求建筑物的高度（即CD的长)
【答案】（1）解：过点 B 作 于点 E.在 中，.
设BE=x (米)， 则AE=3x (米)，
则x +(3x)2 = (10)2.
解得x=10（米）.
即平台的高度为10米
（2）解：延长 CD交AM于点F.
可知四边形BEFD为矩形，则DF =BE=10米，
由(1)可知，AE=30米.
设CD=h(米)，
在中，，则，所以.
则米，米.
在中，，
所以.
解得（米）.
所以，建筑物的高度CD为米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）过点 B 作 于点 E，利用坡度的概念可得到BE与AE的比值，设BE=x ，可表示出AE的长，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值即可.
（2）延长 CD交AM于点F，易证四边形BEFD为矩形，利用矩形的性质可得到DF的长，设CD=h，利用解直角三角形可表示出EF的长，可得到CF、AF的长，在中，利用解直角三角形可得到关于h的方程，解方程求出h的值.
22．（2025·攀枝花） 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．
（1）根据锐角三角函数的定义，证明：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA=，求cosA的值．
【答案】（1）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，sinA=，cosA=，
∴sin2A+cos2A＝（）2+（）21；
（2）解：∵sin2A+cos2A＝1，
∴+cos2A＝1，
∴cos2A=，
∴cosA=或cosA=（舍去），
即cosA的值为．
【知识点】计算器—三角函数；已知某个三角函数值求其他三角函数值
【解析】【分析】（1）由勾股定理可得，由锐角三角函数可知：sinA=，cosA=，然后进行计算即可；
（2）根据（1）的结论进行计算即可.
三、拓展题
23．（2025·青海） 数学实践
【问题背景】中国传统农业智慧遇上现代数学模型.“豇豆不上架，产量少一半”的农谚流传至今，现代科学揭示了其秘密：当支架与地面形成( °夹角时，既能在早春聚热防冻害，又能在盛夏分散强光，就像给豇豆装了智能遮阳篷.
【问题呈现】用两根竹竿交叉，斜插入地面，交叉点在何处会使支架与地面形成65°夹角
【模型建立】环节一：数据收集
两根竹竿长度均为 1.8米，插入地下的部分为 0.3米，竹竿与地面接触点间距为 0.6米且与地面所形成的夹角均为
环节二：数学抽象
如图：已知线段AB与CD交于点O，AB，CD与直线l分别交于点E，F， 求 OE的长度.(结果精确到0.1，参考数据：
【模型求解】
【问题总结】交叉点O 距顶端A的长度即 OA为 m时，支架与地面形成( 夹角，这样更贴合作物的生长规律.
【答案】问题1：过点O作OH⊥EF于点H
AEF=CFE=65
EH=FH=EF=0.3m
在RtOEH中，
即有，解得OE=0.7m
问题2：0.8
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：问题2：由问题1知OE=0.71m，而AB=1.8m，故此时OA=AB-BE-OE=1.8-0.3-0.7=0.8m
【分析】作OH⊥EF于点H，利用余弦可得OE的长，进而可得OA的长.
24．（2025·兰州）天文学家运用三角函数解决了曾困扰古人数百年的难题．某天文研究小组探究用三角函数知识计算月球与地球之间距离的方法，通过查阅资料、实际观测、获得数据和计算数据，得出月球与地球之间的近似距离．具体研究方法与过程如表：
问题 月球与地球之间的距离约为多少？
工具 天文望远镜、天文经纬仪等
月球、地球的实物图与平面示意图
说明 为了便于观测月球，在地球上先确定两个观测点A，B，以线段AB作为基准线，再借助天文经纬仪从A，B两点同时观测月球P（将月球抽象为一个点），并测得∠ABP和∠BAP的度数，根据实际问题画出平面示意图（如图），过点P作PH⊥AB于点H，连接AP，BP．
数据 AB≈0.8万千米，∠ABP＝89°25'37.43''，∠BAP＝89°22'38.09''．
根据以上信息，求月球与地球之间的近似距离PH．（结果精确到1万千米）
（参考数据：tan89°25'37.43''≈100.00，10089°22'38.09''≈92.00，sin89°25'37.43''≈040.99995，sin89°22'38.09''≈0.99994，cos89°25'37.43''≈0.00999，cos89°22'38.09''≈0.01087）
【答案】解：设PH＝x万千米，
∵在Rt△PHB中，∠PHB＝90°，∠ABP＝89°25'37.43''，
∴BH，
∵在Rt△PHA中，∠PHA＝90°，∠BAP＝89°22'38.09''，
∴AH，
∵AH+BH＝AB≈0.8（万千米），
∴，
解得x≈38，
即PH≈38（万千米），
答：月球与地球之间的近似距离PH约为38万千米．
【知识点】解一元一次方程；解直角三角形；正切的概念
【解析】【分析】分析题意设PH＝x万千米，在Rt△PHB中利用正切的定义表示出BH；在Rt△PHA中利用正切的定义表示出AH；再利用AH+BH＝AB≈0.8建立方程，计算即可解答.
25．（2025·自贡）如图1，自贡彩灯公园内矗立着一座高塔，它见证过自贡灯会的辉煌历史．小蕊参加了测量该塔高度的课外实践活动，小组同学研讨完测量方案后，活动如下．
（1）制作工具
如图2，在矩形木板上点处钉上一颗小铁钉，系上细绳，绳的另一端系小重物，过点画射线．测量时竖放木板，当重垂线时，将等腰直角三角尺的直角顶点紧靠铁钉，绕点转动三角尺，通过边瞄准目标，测量可得仰角度数．采用同样方式，可测俯角度数．
测量时，是否水平呢？小蕊产生了疑问．组长对她说：“因为始终垂直于水平面，满足就行．”求证：．
（2）获取数据
如图3，同学们利用制作的测量工具，在该塔对面高楼上进行了测量．已知该楼每层高3米，小蕊在15楼阳台处测得塔底的仰角为，在25楼对应位置处测得塔底的俯角为，塔顶的仰角为．
如图4，为得到仰角与俯角的正切值，小蕊在练习本上画了一个，．在边上取两点，使，量得，，，则　 　，　 　，　 　（结果保留小数点后两位）．
（3）计算塔高
请根据小蕊的数据，计算该塔高度（结果取整数）．
（4）反思改进
小蕊的测量结果与该塔实际高度存在2米的误差．为减小误差，小组同学想出了许多办法．请你也帮小蕊提出两条合理的改进建议（总字数少于50字）．
【答案】（1）证明：∵四边形HIJK为矩形，
∴∠H=90°，
∵QM//HK，
∴∠IQM=∠H=90°
又∵OG//HI ，
∴∠MOG=∠IQM=90°
∴OG⊥QM
（2）0.09；0.16；0.26
（3）解：如图，延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，
则∠DFE=∠PEF=∠DFT=∠DPE=90°，
∴四边形DPEF为矩形，
∴DP=EF，DF=PE，
由题意可得：DP=(25-15)×3=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，
设EU=x米，则FU=EF-EU=(30-x)米，
∵，，
∴，，
∴
解得：x=10.8，
∴FU=30-10.8=19.2米，米，
∵，
∴TF=31.2米，
∴TU=TF+UF=19.2+31.2≈50米，
即该塔高度为50米.
（4）解：使用高精度测量工具：为提高测量精度，应使用激光测距仪、高精度全站仪等高精度测量工具进行距离和角度的测量．
多次测量取平均值：在同一位置进行多次测量，并计算平均值，以减少偶然误差的影响．
考虑大气折射等因素：在远距离测量时，应考虑大气折射等因素对测量结果的影响，并进行相应的校正．
建立更精确的数学模型：结合楼层高度、角度测量值等数据，建立更精确的数学模型来计算塔高．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：(2)在Rt△VWY中，∠W=90°，∠YVW=5.1°，VW=10.0cm，YW=0.91cm，
∴tan5.1°=tan∠YVW=YW=0.91≈0.09，
∵∠XVY=4.0°，∠YVW=5.1°，XY=0.70cm，YW=0.91cm
∴∠XVW=∠XVY+∠YVW=9.1°，XW=XY+YW=1.61cm，
∵在Rt△VWX中，∠W=90°，∠XVW=9.1°，VW=10.0cm，XW=1.61cm，
∴
∵YW=0.91cm，XY=0.70cm，ZX=0.94cm ，
∴ZW=ZX+XY+YW=2.55cm
∵在Rt△VWZ中，∠W=90°，∠ZVW=14.5°，VW=10.0cm，ZW=2.55cm，
∴，
故答案为：0.09，0.16，0.26.
【分析】(1)根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；
(2)根据正切的定义计算即可得解；
(3)延长DR交TU于F，延长PS交TU于E，则四边形DPEF为矩形，由矩形的性质可得DP=EF，DF=PE，由题意可得DP=30米，∠EPU=5.1°，∠FDU=9.1°，∠TDF=14.5°，设EU=x米，则FU=(30-x)米，解直角三角形得出，求出FU=19.2米，PE=DF=120米，再解直角三角形得出TF=31.2米，即可得解；
(4)结合题意提出合理的建议即可.
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