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图形的投影——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·资阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·达州） 下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·长春模拟）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·滨州）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状.关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
5．（2025·西宁）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早. 如图1所示，鼓的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022·常德）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是　 　.
7．（2021·云南）如图是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为　 　．
8．（2020·金华·丽水）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　 　cm2.
9．（2026七上·罗湖月考）如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图.
10．（七上·红古期末）如图是由一些大小相同的小立方块搭成的几何体。
（1）请在方格纸中分别画出从左面和从上面看到的形状图；
（2）该几何体共有　 　个小立方块。
二、能力题
11．（2025·徐州）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的底面圆的周长为（　　）
A．6πcm B．9πcm C．12πcm D．16πcm
13．（2025·黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（　　）
A．7 B．8 C．6 D．5
14．（2024·白银）如图所示，该几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
15．（2024·德阳）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样.则在A、B、C处依次写上的字可以是(　　)
A．吉如意 B．意吉如 C．吉意如 D．意如吉
16．（2025·威海）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为　 　cm．
17．（2020·呼和浩特）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为　 　．
18．（2023·广东）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
（1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．
19．（2023·徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
三、拓展题
20．（2024·福建）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（　　）
图4
A． B．
C． D．
（3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如下表所示
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
21．（2018·宁夏）空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.
将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示.
若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1，2，6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2，3，4）.这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.
（1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，写出这种码放方式的有序数组，组成这个几何体的单位长方体的个数为多少个；
（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是哪些；（只写序号）
①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.
②有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数.
③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同.
④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同.
⑤有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数.
（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x，y，z），某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：
几何体 有序数组 单位长方体的个数 表面上面积为 的个数 表面上面积为 的个数 表面上面积为 的个数 表面积
(1，1，1) 1 2 2 2 2S1+2S2+2S3
(1，2，1) 2 4 2 4 4S1+2S2+4S3
(3，1，1) 3 2 6 6 2S1+6S2+6S3
(2，1，2) 4 4 8 4 4S1+8S2+4S3
(1，5，1) 5 10 2 10 10S1+2S2+10S3
(1，2，3) 6 12 6 4 12S1+6S2+4S3
(1，1，7) 7 14 14 2 14S1+14S2+2S3
(2，2，2) 8 8 8 8 8S1+8S2+8S3
… … … … … …
根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x，y，z）；（用x、y、z、S1、S2、S3表示）
（4）当S1=2，S2=3，S3=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积.（缝隙不计）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从几何体的左面看，有两列左边两个小正方形，右边一个小正方形，有两行，第一行有1个正方形，第二行有2个小正方形，只有D符合题意.
故答案为：D.
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可得答案.
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 从正面看，底部是两个正方形，上层的右边是一个正方形
故答案为：B.
【分析】 从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；
D、主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，并结合各选项可判断求解．
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】
解：圆锥的主视图和左视图都是三角形，
∴ 主视图与左视图相同
故答案为：A
【分析】根据圆锥的三个试图：主视图和左视图都是三角形，俯视图是含圆心的圆，由此解答即可.
5．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据图片所示，鼓由上下两个圆柱和中间一个圆台，
所以可以确定主视图的样式为选项A.
故答案为： A.
【分析】根据立体图形的组成可确定其主视图.
6．【答案】月
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”.
故答案为：月.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
7．【答案】
【知识点】由三视图判断几何体；圆柱的体积
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体是圆柱，
该圆柱的底面直径为2，高为3，
∴这个几何体的体积为 = ，
故答案为： ．
【分析】由三视图可知：该几何体是圆柱，利用圆柱的体积公式计算即可.
8．【答案】20
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是一个长4，高为5的长方体，
∴主视图的面积为：4×5=20cm2.
故答案为：20.
【分析】主视图：是从物体正面所看的的平面图形，根据长方体的尺寸确定主视图的长，高，然后计算即可.
9．【答案】解：
【知识点】作图﹣三视图
【解析】【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
10．【答案】（1）解：如图即为所作。

（2）10
【知识点】作图﹣三视图；由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：（2）由题意可得：
底层有6个正方体，中层有3个正方体，顶层有1个正方体
∴共有正方体6+3+1=10个
【分析】（1）根据组合体的三视图即可求出答案.
（2）根据题意即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】由展开图判断几何体
【解析】【解答】解：由展开图可知四个有图案的面是相邻的，根据横线的方向可知，符合题意的选项只有B.
故答案为：B.
【分析】利用正方体展开图可得答案.
12．【答案】A
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：根据题意，得这个几何体的底面圆半径为：，
∴这个几何体的底面圆的周长为，
故答案为：A.
【分析】由三视图可知这个几何体为圆锥，从而得到这个几何体的底面圆半径，进而利用圆的周长公式得到答案.
13．【答案】A
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：由主视图可知：俯视图上的5个位置中，左侧一列的三个位置最少有一个位置是2个正方体，右侧一列的两个位置中，至少有一个位置是2个正方体，
所以 组成该几何体所需小正方体的个数最少是 ：5+2=7.
故答案为：A.
【分析】结合主视图可以分析得出俯视图中左右两列的位置上小正方体的最少个数，从而得出组成该几何体所需小正方体的最少个数。
14．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的图形是：，
故答案为：C.
【分析】根据从正面看得到的正投影就是主视图即可判断.
15．【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得展开图是四棱锥，
∴A、B、C处依次写上的字可以是吉、如、意；或如、吉、意.
故答案为：A.
【分析】观察几何体的展开图可求解.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：如图，设则
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方体的棱长为
故答案为：
故答案为：.
【分析】设表示AE和EB长，在Rt△EAB中根据勾股定理列方程求解即可.
17．【答案】3π+4
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为2，高为1，
故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，
故答案为：3π+4．
【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．
18．【答案】（1）解：
（2）证明：连接，
设小正方形边长为1，则，，
，
为等腰直角三角形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
故
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）图1∵AC2=12+22=5，BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
图2，∵正方形，
∴∠A1B1C1=45°，
∴∠ABC=∠A1B1C1.
【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证得△ABC是等腰直角三角形，可得到∠ABC的度数，再利用正方形的性质可得到∠A1B1C1的度数，即可得到这两个角的大小关系.
（2）利用勾股定理的逆定理可证得△ABC是等腰直角三角形，再利用正方形的性质去证明△A1B1C1是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质可证得结论.
19．【答案】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
∴它们的面积之比为；
故答案为；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可
由作图可知满足比例关系为的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【知识点】圆的综合题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；由三视图判断几何体；尺规作图-垂直平分线；圆环的面积
【解析】【分析】（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为π×(32-12)，环的“肉”的面积为π×(32-1.52)，求出相应的值，然后求比值即可；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB、AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作DE的平行线，交AB于点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解.
20．【答案】（1）解：2.
（2）C
（3）解：需要卡纸如表所示；理由如下：
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：
型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则10×2+2×3+1×1=27（个），
∴所用卡纸总费用为：20×2+5×3+3×1=58（元）.
【知识点】含图案的正方体的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：如图：
上述图形折叠后变成如图：
由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，
∵四边形EFNM是正方形，
∴EM=EF，即 AG=EF，
∴GH+AG=AE+FB+EF，即AH=AB，
∵AH=DH，
∴，
∴的值为2；
（2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故答案为：C.
【分析】（1）由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，根据正方形的四条边都相等可得EM=EF，推得AG=EF，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡 纸可制作1个正方体，即可求解.
21．【答案】（1）解：这种码放方式的有序数组为 ，3， ，组成这个几何体的单位长方体的个数为 个，
故答案为 ，3， ，12；
（2）解：正确的有①②⑤．
故答案为①②⑤；
（3）解：
（4）解：当 ， ， 时
欲使 的值最小，不难看出 、 、 应满足 、 、 为正整数）．
在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为 ，1， ， ，2， ， ，3， ， ，2， ．
而 ， ， ，
所以，由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为： ，2， ，
最小面积为 ．
【知识点】由三视图判断几何体；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）由简单几何体组合的三视图判断几何体，从主视图看共码放了3列2层，从左视图看码放了2排2层，从俯视图看每层有6个单位长方体，从而根据定义得出 这种码放方式的有序数组为 ，3， ，进而即可算出组成这个几何体的单位长方体的个数 ；
（2）根据有序数组的定义即可得出： 每一个有序数组（x，y，z）与一种几何体的码放方式一一对应， 有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数；故即使有序数组不同，码放的几何体的单位长方体个数也可能相同，整个几何体的体积也可能相同；根据长方体的表面积的计算方法即可得出 有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数；
（3）探寻图形规律的题，通过观察表格中各个有序数组及该几何体的表面积即可得出通用公式： ；
（4）该题就是求 的值最小，不难看出 、 、 应满足 、 、 为正整数） ，然后找出由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组 ，再根据表面积公式一一求出其表面积，再比较大小即可得出答案。
1 / 1图形的投影——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·资阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从几何体的左面看，有两列左边两个小正方形，右边一个小正方形，有两行，第一行有1个正方形，第二行有2个小正方形，只有D符合题意.
故答案为：D.
【分析】左视图就是从几何体的左面所看到的平面图形，据此可得答案.
2．（2025·达州） 下图是大竹“东汉醪糟”包装盒组成的立体图形，其主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 从正面看，底部是两个正方形，上层的右边是一个正方形
故答案为：B.
【分析】 从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可.
3．（2025·长春模拟）下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、主视图、俯视图都是正方形，故A不符合题意；
B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；
C、主视图是三角形、俯视图是圆形，故C符合题意；
D、主视图、俯视图都是圆，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，并结合各选项可判断求解．
4．（2025·滨州）如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状.关于该圆锥的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】
解：圆锥的主视图和左视图都是三角形，
∴ 主视图与左视图相同
故答案为：A
【分析】根据圆锥的三个试图：主视图和左视图都是三角形，俯视图是含圆心的圆，由此解答即可.
5．（2025·西宁）在中国，鼓是精神的象征，舞是力量的表现，先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早. 如图1所示，鼓的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：根据图片所示，鼓由上下两个圆柱和中间一个圆台，
所以可以确定主视图的样式为选项A.
故答案为： A.
【分析】根据立体图形的组成可确定其主视图.
6．（2022·常德）如图是一个正方体的展开图，将它拼成正方体后，“神”字对面的字是　 　.
【答案】月
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由正方体的展开图特点可得：“神”字对面的字是“月”.
故答案为：月.
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答.
7．（2021·云南）如图是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图）．已知主视图和左视图是两个全等的矩形．若主视图的相邻两边长分别为2和3，俯视图是直径等于2的圆，则这个几何体的体积为　 　．
【答案】
【知识点】由三视图判断几何体；圆柱的体积
【解析】【解答】解：由三视图可知：该几何体是圆柱，
该圆柱的底面直径为2，高为3，
∴这个几何体的体积为 = ，
故答案为： ．
【分析】由三视图可知：该几何体是圆柱，利用圆柱的体积公式计算即可.
8．（2020·金华·丽水）如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为　 　cm2.
【答案】20
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：主视图是一个长4，高为5的长方体，
∴主视图的面积为：4×5=20cm2.
故答案为：20.
【分析】主视图：是从物体正面所看的的平面图形，根据长方体的尺寸确定主视图的长，高，然后计算即可.
9．（2026七上·罗湖月考）如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图.
【答案】解：
【知识点】作图﹣三视图
【解析】【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
10．（七上·红古期末）如图是由一些大小相同的小立方块搭成的几何体。
（1）请在方格纸中分别画出从左面和从上面看到的形状图；
（2）该几何体共有　 　个小立方块。
【答案】（1）解：如图即为所作。

（2）10
【知识点】作图﹣三视图；由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：（2）由题意可得：
底层有6个正方体，中层有3个正方体，顶层有1个正方体
∴共有正方体6+3+1=10个
【分析】（1）根据组合体的三视图即可求出答案.
（2）根据题意即可求出答案.
二、能力题
11．（2025·徐州）如图为一个正方体的展开图，将其折成一个正方体，所得图形可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】由展开图判断几何体
【解析】【解答】解：由展开图可知四个有图案的面是相邻的，根据横线的方向可知，符合题意的选项只有B.
故答案为：B.
【分析】利用正方体展开图可得答案.
12．（2025·南通）如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的底面圆的周长为（　　）
A．6πcm B．9πcm C．12πcm D．16πcm
【答案】A
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：根据题意，得这个几何体的底面圆半径为：，
∴这个几何体的底面圆的周长为，
故答案为：A.
【分析】由三视图可知这个几何体为圆锥，从而得到这个几何体的底面圆半径，进而利用圆的周长公式得到答案.
13．（2025·黑龙江）一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（　　）
A．7 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：由主视图可知：俯视图上的5个位置中，左侧一列的三个位置最少有一个位置是2个正方体，右侧一列的两个位置中，至少有一个位置是2个正方体，
所以 组成该几何体所需小正方体的个数最少是 ：5+2=7.
故答案为：A.
【分析】结合主视图可以分析得出俯视图中左右两列的位置上小正方体的最少个数，从而得出组成该几何体所需小正方体的最少个数。
14．（2024·白银）如图所示，该几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的图形是：，
故答案为：C.
【分析】根据从正面看得到的正投影就是主视图即可判断.
15．（2024·德阳）走马灯，又称仙音烛，据史料记载，走马灯的历史起源于隋唐时期，盛行于宋代，是中国特色工艺品，常见于除夕、元宵、中秋等节日，在一次综合实践活动中，一同学用如图所示的纸片，沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”，正方形做底，侧面有一个三角形面上写了“祥”字，当灯旋转时，正好看到“吉祥如意”的字样.则在A、B、C处依次写上的字可以是(　　)
A．吉如意 B．意吉如 C．吉意如 D．意如吉
【答案】A
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：由题意可得展开图是四棱锥，
∴A、B、C处依次写上的字可以是吉、如、意；或如、吉、意.
故答案为：A.
【分析】观察几何体的展开图可求解.
16．（2025·威海）如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12cm，则折成立方体的棱长为　 　cm．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：如图，设则
在 中，由勾股定理得，
即
解得 或 = - 4(舍去)，
所以正方体的棱长为
故答案为：
故答案为：.
【分析】设表示AE和EB长，在Rt△EAB中根据勾股定理列方程求解即可.
17．（2020·呼和浩特）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为　 　．
【答案】3π+4
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，
半圆柱的直径为2，高为1，
故其表面积为：π×12+（π+2）×2=3π+4，
故答案为：3π+4．
【分析】首先根据三视图判断几何体的形状，然后计算其表面积即可．
18．（2023·广东）综合与实践
主题：制作无盖正方体形纸盒
素材：一张正方形纸板．
步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；
步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．
猜想与证明：
（1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系；
（2）证明（1）中你发现的结论．
【答案】（1）解：
（2）证明：连接，
设小正方形边长为1，则，，
，
为等腰直角三角形，
∵，
∴为等腰直角三角形，
，
故
【知识点】几何体的展开图；勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）图1∵AC2=12+22=5，BC2=12+22=5，AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
图2，∵正方形，
∴∠A1B1C1=45°，
∴∠ABC=∠A1B1C1.
【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可证得△ABC是等腰直角三角形，可得到∠ABC的度数，再利用正方形的性质可得到∠A1B1C1的度数，即可得到这两个角的大小关系.
（2）利用勾股定理的逆定理可证得△ABC是等腰直角三角形，再利用正方形的性质去证明△A1B1C1是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质可证得结论.
19．（2023·徐州）两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．
（1）若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；
（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）．
①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？
②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．
【答案】（1）解：由图1可知：璧的“肉”的面积为；环的“肉”的面积为，
∴它们的面积之比为；
故答案为；
（2）解：①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可
由作图可知满足比例关系为的关系；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接，然后分别过点C、D作的平行线，交于点F、G，进而以为直径画圆，则问题得解；如图所示：
【知识点】圆的综合题；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；由三视图判断几何体；尺规作图-垂直平分线；圆环的面积
【解析】【分析】（1）由图1可知：璧的“肉”的面积为π×(32-12)，环的“肉”的面积为π×(32-1.52)，求出相应的值，然后求比值即可；
（2）①在该圆环任意画两条相交的线，且交点在外圆的圆上，且与外圆的交点分别为A、B、C，则分别以A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，交于两点，连接这两点，同理可画出线段AC的垂直平分线，线段AB、AC的垂直平分线的交点即为圆心O，过圆心O画一条直径，以O为圆心，内圆半径为半径画弧，看是否满足“肉好若一”的比例关系即可；
②按照①中作出圆的圆心O，过圆心画一条直径AB，过点A作一条射线，然后以A为圆心，适当长为半径画弧，把射线三等分，交点分别为C、D、E，连接BE，然后分别过点C、D作DE的平行线，交AB于点F、G，进而以FG为直径画圆，则问题得解.
三、拓展题
20．（2024·福建）在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（　　）
图4
A． B．
C． D．
（3）今有三种不同型号的矩形卡纸，其规格、单价如下表所示
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元） 3 5 20
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
【答案】（1）解：2.
（2）C
（3）解：需要卡纸如表所示；理由如下：
卡纸型号 型号Ⅰ 型号Ⅱ 型号Ⅲ
需卡纸的数量（单位：张） 1 3 2
所用卡纸总费用（单位：元） 58
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为5cm，则要制作一个边长为10cm的正方体的展开图形为：
型号Ⅰ卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
型号Ⅱ卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
∴型号Ⅲ卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
∴可选择型号Ⅲ卡纸2张，型号Ⅱ卡纸3张，型号Ⅰ卡纸1张，则10×2+2×3+1×1=27（个），
∴所用卡纸总费用为：20×2+5×3+3×1=58（元）.
【知识点】含图案的正方体的展开图；已知展开图进行几何体的相关的计算
【解析】【解答】解：如图：
上述图形折叠后变成如图：
由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，
∵四边形EFNM是正方形，
∴EM=EF，即 AG=EF，
∴GH+AG=AE+FB+EF，即AH=AB，
∵AH=DH，
∴，
∴的值为2；
（2）根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故答案为：C.
【分析】（1）由折叠和题意可知，GH=AE+FB，AH=DH，根据正方形的四条边都相等可得EM=EF，推得AG=EF，即可求解；
（2）根据几何体的展开图即可求解；
（3）由题意可得，每张型号Ⅲ卡纸可制作10个正方体，每张型号Ⅱ卡纸可制作2个正方体，每张型号Ⅰ卡 纸可制作1个正方体，即可求解.
21．（2018·宁夏）空间任意选定一点O，以点O为端点，作三条互相垂直的射线ox、oy、oz.这三条互相垂直的射线分别称作x轴、y轴、z轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为ox（水平向前）、oy（水平向右）、oz（竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系.
将相邻三个面的面积记为S1、S2、S3，且S1＜S2＜S3的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体S1所在的面与x轴垂直，S2所在的面与y轴垂直，S3所在的面与z轴垂直，如图1所示.
若将x轴方向表示的量称为几何体码放的排数，y轴方向表示的量称为几何体码放的列数，z轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作（1，2，6），如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作（2，3，4）.这样我们就可用每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.
（1）如图是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，写出这种码放方式的有序数组，组成这个几何体的单位长方体的个数为多少个；
（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是哪些；（只写序号）
①每一个有序数组（x，y，z）表示一种几何体的码放方式.
②有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数.
③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同.
④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同.
⑤有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数.
（3）为了进一步探究有序数组（x，y，z）的几何体的表面积公式S（x，y，z），某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：
几何体 有序数组 单位长方体的个数 表面上面积为 的个数 表面上面积为 的个数 表面上面积为 的个数 表面积
(1，1，1) 1 2 2 2 2S1+2S2+2S3
(1，2，1) 2 4 2 4 4S1+2S2+4S3
(3，1，1) 3 2 6 6 2S1+6S2+6S3
(2，1，2) 4 4 8 4 4S1+8S2+4S3
(1，5，1) 5 10 2 10 10S1+2S2+10S3
(1，2，3) 6 12 6 4 12S1+6S2+4S3
(1，1，7) 7 14 14 2 14S1+14S2+2S3
(2，2，2) 8 8 8 8 8S1+8S2+8S3
… … … … … …
根据以上规律，请写出有序数组（x，y，z）的几何体表面积计算公式S（x，y，z）；（用x、y、z、S1、S2、S3表示）
（4）当S1=2，S2=3，S3=4时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积.（缝隙不计）
【答案】（1）解：这种码放方式的有序数组为 ，3， ，组成这个几何体的单位长方体的个数为 个，
故答案为 ，3， ，12；
（2）解：正确的有①②⑤．
故答案为①②⑤；
（3）解：
（4）解：当 ， ， 时
欲使 的值最小，不难看出 、 、 应满足 、 、 为正整数）．
在由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组为 ，1， ， ，2， ， ，3， ， ，2， ．
而 ， ， ，
所以，由12个单位长方体码放的几何体表面积最小的有序数组为： ，2， ，
最小面积为 ．
【知识点】由三视图判断几何体；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）由简单几何体组合的三视图判断几何体，从主视图看共码放了3列2层，从左视图看码放了2排2层，从俯视图看每层有6个单位长方体，从而根据定义得出 这种码放方式的有序数组为 ，3， ，进而即可算出组成这个几何体的单位长方体的个数 ；
（2）根据有序数组的定义即可得出： 每一个有序数组（x，y，z）与一种几何体的码放方式一一对应， 有序数组中x、y、z的乘积就表示几何体中单位长方体的个数；故即使有序数组不同，码放的几何体的单位长方体个数也可能相同，整个几何体的体积也可能相同；根据长方体的表面积的计算方法即可得出 有序数组中x、y、z每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上S1、S2、S3的个数；
（3）探寻图形规律的题，通过观察表格中各个有序数组及该几何体的表面积即可得出通用公式： ；
（4）该题就是求 的值最小，不难看出 、 、 应满足 、 、 为正整数） ，然后找出由12个单位长方体码放的几何体中，满足条件的有序数组 ，再根据表面积公式一一求出其表面积，再比较大小即可得出答案。
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