资源简介

统计与概率——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·湖南）下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某班同学的跳远成绩
B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况
D．了解某批次汽车的抗撞击能力
2．（2025·武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是(　　)
A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1
C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数
3．（2025·苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 则红球的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·福建）在分别写有-1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·广西）在第个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为：，，，，，，则这组数据的众数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（2025·成都）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为　 　．
8．（2025·山西）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是　 　.
9．（2025·甘孜）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 　 　 ．
10．（2025·陕西） 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为　 　；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
11．（2025·攀枝花） 中国在2024年巴黎奥运会上再次刷新了境外参赛的金牌数纪录，显示出中国体育竞技水平的持续提升．以下是我国体育健儿在近六届奥运会中获得的金牌数条形统计图．
（1）根据图中数据将近六届奥运会中国获得的金牌数整理成一个统计表；
（2）近六届奥运会中国获得的金牌数的众数、中位数分别是多少？
12．（2025·甘孜）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解决下列问题：
（1）①此次调查一共抽取了 ▲ 名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为 ▲ 度；
（2）若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．
13．（2024·攀枝花）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如表：
项目 应聘者
甲 乙 丙 丁
学历 7 7 9 8
能力 8 9 8 9
经验 8 7 7 7
如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按1：2：1的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是 (　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、能力题
14．（2025·重庆市）不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是　 　．
15．（2025·湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（　　）
A． B． C． D．
16．（2025·无锡）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　）
A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15
17．（2025·广元）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是（　　）
A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1
18．（2025·浙江）某书店某一天图书的销售情况如图所示.
根据以上信息，下列选项错误的是（　　）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
19．（2025·烟台）求一组数据方差的算式为：.由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
20．（2025·辽宁）甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：cm）的平均数和方差如下表：
运动员 平均数 方差
甲 601 95.4
乙 601 243.4
则这两名运动员测试成绩更稳定的是　 　（填“甲”或“乙”）．
21．（2024九上·南宁期中）甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是　 　．
22．（2024·宁夏）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是　 　(结果精确到0.1).
23．（2025·绵阳）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用x表示，单位：次），将其分成以下五组：60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180，180≤x＜210，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在90≤x＜120中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是　 　 次，中位数是　 　 次；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
24．（2025·资阳）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项，为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根
据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 ▲ 名学生，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；
（3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率。
25．（2025·陕西） 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为　 　分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为　 　，本次被抽取的所有成绩的中位数为　 　分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
26．（2025·滨州） 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛，以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程.
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本.
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别 分数 频数 百分比
第1组 51≤x<61 a 5%
第2组 61≤x<71 10 m
第3组 71≤x<81 15 15%
第4组 81≤x<91 40 40%
第5组 91≤x<101 b #
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图.
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
（1） ▲ ， ▲ ；请将频数分布直方图补充完整；
（2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第　 　组的分数段内；
（3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数.
三、拓展题
27．（2023·安徽）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
28．（2023·武陟模拟）统计学规定：某次测量得到n个结果x1，x2，…，xn.当函数取最小值时，对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”.若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8.则这次测量的“最佳近似值”为　 　.
29．（2025·深圳模拟）【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
（1）任务1：
①同理可得，的取值范围是 ▲ ，的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
（2）任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
（3）任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、适合全面调查；
B、由于市场了冰激凌的数量太大且全面调查具有破坏性，故适合抽查；
C、由于全面中学生的数量太大难以操作，故适合抽查；
D、由于全面调查具有破坏性，故适合抽查；
故答案为：A.
【分析】当样本容量太大难以操作且调查具有破坏性时不适宜进行全面调查.
2．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：由题意可得：
A：向上两面的数字和为5为随机事件，不符合题意；
B：向上两面的数字和大于1为必然事件，符合题意；
C：向上两面的数字和大于12为不可能事件，不符合题意；
D：向上两面的数字和为偶数为随机事件，不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球的个数为个，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴红球的个数为2个，
故答案为：B.
【分析】设红球的个数为个，根据”一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ”可列出关于的分式方程，解分式方程即可求解.
4．【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为
∴出现数字3的概率为
∴只能有一个面标有“3”
∴该木块不可能是选项A
故答案为：A
【分析】根据题意求出出现数字3的概率，再结合题意即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解： 画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，
∴概率为
故答案为：B.
【分析】 画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意可得：
9出现的次数最多为3次
∴众数为9
故答案为： C
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
8．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2，
则回到格子A的概率为P=；
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数4及事件发生的可能结果数2，利用概率公式即可求解.
9．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】列表如下：
　 红 绿 黄
红 红红 红绿 红黄
绿 红绿 绿绿 黄绿
黄 红黄 黄绿 黄黄
因为共有9种等可能结果，符合要求的共有3种可能结果
所以：
故正确答案为：.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角栏目上是否填写数据.
10．【答案】（1）
（2）解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，
∴这两个小组研究方向不同的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可得
从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中这两个小组研究方向不同的等可能结果，再根据概率公式即可求出答案.
11．【答案】（1）解：列表如下：
第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 第33届
32块 51块 38块 26块 38块 40块
（2）解：这组数据中38出现2次，所以众数为38块；
这组数据的第3、4个数据分别为38、38，
所以这组数据的中位数为=38（块）．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据题意列表即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可.
12．【答案】（1）解：①40；
②喜欢数字艺术的人数为：40﹣14﹣16＝10（名），
补全条形统计图如下：
③90；
（2）解：800280（人），
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：①此次调查一共随机抽取了学生：16÷40%＝40（名）；
故答案为：40；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为360°90°；
答：扇形统计图中皮影对应扇形圆心角的度数为54°；
故答案为：90；
【分析】
（1） ① 观察条形统计图和扇形统计图，可利用“科创实践小组”人数除以其占比可得参与调查的总人数；
②再利用总人数分别减去“计算思维小组”和“科创实践小组”的人数可得“数学艺术小组”人数，再补全条形统计图即可；
③用360度乘以“数学艺术小组”人数在总人数中的占比即可；
（2）用全校参与总人数乘以“计算思维小组”在参与调查总人数中的占比即可.
13．【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：甲的成绩为分
乙的成绩为分
丙的成绩为分；
丁的成绩为分；
7.75＜8＜8.25，
∴丁将被录取.
故答案为：D .
【分析】利用加权平均数公式分别求出四个人的平均成绩，再比较大小即可.
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子里一共有（个）球，红球有1个，
∴摸出红球的概率。
故答案为：．
【分析】根据题意先求出袋子里一共有4个球，红球有1个，再根据概率公式计算求解即可.
15．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】简单事件的概率直接利用概率公式计算即可.
16．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：平均数为：，
5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14，
故选：A．
【分析】根据平均数和众数的定义进行计算即可．
17．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵5出现了3次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是5，故A不符合题意；
B、这组数据的平均数是，故B不符合题意；
C、将此组数据从小到大排列，处于最中间的两个数是4和4
∴这组数据的中位数是4，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一组数据中出现次数最多的数是众数，可对A作出判断；利用平均数公式可求出这组数据的平均数，可对B作出判断；利用求中位数的方法求出这组数据的中位数，可对C作出判断；利用方差公式进行计算，可对D作出判断
18．【答案】D
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：由题意知：
科技类书箱数；文艺类书籍数
文艺类占比
其他类占比
故选： D.
【分析】观察条形统计图和扇形统计图可利用教育类总数去除以教育类的占比可得出某天的销售总量，再用销售总量分别减去科技类、教育类、其他类的书箱量可得到文艺类，再分别求出各种图书的占比即可.
19．【答案】C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：
、众数为6和8
、
即
故答案为：C.
【分析】由方差计算公式可得这组数据分别为6、8、8、6、7，即数据总个数为5，由平均数计算公式得，众数为6和8，由于平均值为7，则增加两个数据后，各数据与平均值差的完全平方和不变，但数据个数变大，则方差变小.
20．【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵甲、乙两运动员的平均数成绩相等，甲的方差95.4＜乙的方差243.4，
∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲，
故答案为：甲.
【分析】根据方差越小，成绩越稳定，据此可得答案．
21．【答案】丙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵他们一周测试成绩的平均数相同，且，，．
∴，
∴成绩最稳定的学生是丙，
故答案为：丙．
【分析】方差是反映一组数据稳定性的量，方差越小，数据稳定性越好；反之，数据稳定越差．
22．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵频率逐步稳定在0.900，
∴ 这种幼苗移植成活的概率是 0.900≈0.9.
故答案为：0.9.
【分析】用频率去估计概率可得出答案。
23．【答案】（1）105；110
（2）解：1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数为50﹣5﹣15﹣8﹣2＝20，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：800480（人），
答：估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480人
【知识点】用样本估计总体；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是105次，中位数是110次；
故答案为：105，110；
【分析】（1）根据众数、中位数的概念即可得出答案；
（2）求出1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计总体即可得出答案.
24．【答案】（1）80；
解：C项目的人数为：80-32-28-4=16人
补全条形统计图如图
（2）解：C所在扇形的圆心角的度数为×360°=72°.
（3）解：树状图与列表法分别如下：
所以，抽到性别相同的学生的概率P=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1） 本次调查共抽取的学生人数为：人.
故答案为：80.
【分析】（1）利用扇形统计图和条形统计图，可求出抽取的人数，最求出C项目的人数，然后补全条形统计图即可.
（2）C所在扇形的圆心角的度数等于360°×C项目的人数所占的百分比，列式计算即可.
（3）此事件是抽取不放回，列出树状图，可得到所有等可能的结果数及抽到两名性别相同的学生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
25．【答案】（1）84
（2）50；80
（3）解：500×24%=120人
答：本次竞赛的获奖人数为120人
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）B组15个成绩的平均数为
故答案为：84
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为15÷30%=50
∴A组人数为50×24%=12
将50个成绩按从小到大的顺序排列，在最中间的两个数分别为80，80
∴本次被抽取的所有成绩的中位数为
故答案为：50；80
【分析】（1）根据平均数的定义即可求出答案.
（2）根据B组的成绩个数与占比可得本次被抽取的所有成绩的个数，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据500乘以A组的占比即可求出答案.
26．【答案】（1）解：10％；30％；
因为a=100=5人，b=100-5-10-15-40=30人，
补全直方图如图所示：
（2）4
（3）解：由(1)得，n=30%.
由此估计全校91分以上的同学占比约为30%.
故全校91分以上的同学约有3000×30%=900(人).
答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人.
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）本次抽样调查的学生共有15 15%= 100(名) .
m=10
n=1-5%-10%-15%-40%=30%
故答案为：10%，30%
（2）有100人，中位数落在49号至50号人之间：即再第4组
故答案为：4
【分析】
(1)用表格中分数段为61< x < 71的频数15除以所占百分比15%可得本次抽样调查的学生人数，
用本次抽样调查的学生人数乘以表格中分数段为51≤x< 6 1所占百分比5￥可得a的值；用总得百分比减去其余得百分比可得n的值，再用100减去其余组的人数，得到b的值，补全的图形即可解答.
(2)根据偶数个数的中位数排在最中间两位数的平均数，刚好在第4组，解答即可；
(3)根据用样本估计总体，用3000乘以表格中91≤x< 101所占百分比30%，计算即可解答.
27．【答案】C
【知识点】概率公式；定义新运算
【解析】【解答】解：用1、2、3随机组成的无重复数字的三位数有：123，132 ，213，231，312，321共6个，其中"平稳数"有：123和321共2个，所以恰好是平稳数的概率为：。
故答案为：C。
【分析】先写出所有的用1、2、3随机组成的无重复数字的三位数，再找出其中的平稳数，根据概率计算公式，求出概率即可。
28．【答案】10.1
【知识点】定义新运算；平均数及其计算
【解析】【解答】解：x=（9.8+10.1+10.5+10.3+9.8）÷5=10.1.
故答案为：10.1.
【分析】根据平均数的计算方法求出5个结果的平均数，进而可得“最佳近似值”.
29．【答案】（1）①，；
②证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵
∴
∴
（2）解：设，，
∵，，
∴，，
作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF
则△DEF内部即为所求范围
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；几何概率
【解析】【解答】（1）①∵x+y+z=1
∴y+z=1-x
∵y+z>x
∴1-x>x，解得：
∴
∵x+y+z=1
∴x+z=1-y
∵x+z>y
∴1-y>y，解得：
∴
故答案为：，
（3）∵△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是
故答案为：
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据等边三角形性质及三角形面积即可求出答案.
（2）设，，，由（1）①可得，，，作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，则△DEF内部即为所求范围.
（3）根据几何概率即可求出答案.
1 / 1统计与概率——初中数学中考一轮分层训练
一、基础题
1．（2025·湖南）下列调查中，适合采用全面调查的是（　　）
A．了解某班同学的跳远成绩
B．了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C．了解全国中学生的身高状况
D．了解某批次汽车的抗撞击能力
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、适合全面调查；
B、由于市场了冰激凌的数量太大且全面调查具有破坏性，故适合抽查；
C、由于全面中学生的数量太大难以操作，故适合抽查；
D、由于全面调查具有破坏性，故适合抽查；
故答案为：A.
【分析】当样本容量太大难以操作且调查具有破坏性时不适宜进行全面调查.
2．（2025·武汉）掷两个质地均匀的小正方体，小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是(　　)
A．向上两面的数字和为5 B．向上两面的数字和大于1
C．向上两面的数字和大于12 D．向上两面的数字和为偶数
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：由题意可得：
A：向上两面的数字和为5为随机事件，不符合题意；
B：向上两面的数字和大于1为必然事件，符合题意；
C：向上两面的数字和大于12为不可能事件，不符合题意；
D：向上两面的数字和为偶数为随机事件，不符合题意.
故答案为：B
【分析】根据事件的分类逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025·苏州）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 则红球的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：设红球的个数为个，
根据题意，得，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴红球的个数为2个，
故答案为：B.
【分析】设红球的个数为个，根据”一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为 ”可列出关于的分式方程，解分式方程即可求解.
4．（2025·河北）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为
∴出现数字3的概率为
∴只能有一个面标有“3”
∴该木块不可能是选项A
故答案为：A
【分析】根据题意求出出现数字3的概率，再结合题意即可求出答案.
5．（2025·福建）在分别写有-1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等可能事件的概率；判断两个数互为相反数
【解析】【解答】解： 画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，
∴概率为
故答案为：B.
【分析】 画树状图，共有6种等可能的结果，其中这两张卡片上的数恰好互为相反数的结果有2种，再由概率公式求解即可.
6．（2025·广西）在第个全国“爱眼日”来临之际，某校组织各班围绕“关注普遍的眼健康”开展了手抄报评比，其中九年级6个班得分为：，，，，，，则这组数据的众数为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：由题意可得：
9出现的次数最多为3次
∴众数为9
故答案为： C
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
7．（2025·成都）从，1，2这三个数中任取两个数分别作为a，b的值，则关于x的一元二次方程有实数根的概率为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；概率公式
【解析】【解答】解：∵ 关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
当a=-1，b=1时，，方程有解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=1，b=-1时，，方程无解；
当a=-1，b=2时，，方程有解；
当a=2，b=-1时，，方程无解；
当a=2，b=1时，，方程无解；
故方程有实数根的概率为
故答案为：.
【分析】列举所有a和b的值的情况，得到方程有实数根的结果数，然后利用概率公式计算解题.
8．（2025·山西）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子.当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是　 　.
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：画出树状图如下：
由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2，
则回到格子A的概率为P=；
故答案为：.
【分析】根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数4及事件发生的可能结果数2，利用概率公式即可求解.
9．（2025·甘孜）如图，将一个可以自由转动的转盘分成3个大小相同的扇形，并分别标为红、黄、绿三种颜色，指针位置固定．转动转盘，停止后，其中的某个扇形恰好停在指针所指的位置（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）．转动转盘两次，指针指向颜色相同的扇形的概率为 　 　 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】列表如下：
　 红 绿 黄
红 红红 红绿 红黄
绿 红绿 绿绿 黄绿
黄 红黄 黄绿 黄黄
因为共有9种等可能结果，符合要求的共有3种可能结果
所以：
故正确答案为：.
【分析】两步试验可通过画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角栏目上是否填写数据.
10．（2025·陕西） 某班开展主题为“我爱陕西”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”“科技”（分别记作，，，，）共五个研究方向，并采取小组合作的研究方式．同学们在五张完全相同的不透明卡片的正面绘制了如图所示的图案，卡片背面保持完全相同．
（1）将这五张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为　 　；
（2）各小组从这五张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究方向．将这五张卡片背面朝上洗匀后，小秦代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果，放回，背面朝上洗匀后，小博代表第二小组从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究方向不同的概率．
【答案】（1）
（2）解：依题意，画树状图如下所示：
∴一共有种等可能的结果，其中这两个小组研究方向不同的等可能结果有种，
∴这两个小组研究方向不同的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由题意可得
从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“科技”的概率为
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出其中这两个小组研究方向不同的等可能结果，再根据概率公式即可求出答案.
11．（2025·攀枝花） 中国在2024年巴黎奥运会上再次刷新了境外参赛的金牌数纪录，显示出中国体育竞技水平的持续提升．以下是我国体育健儿在近六届奥运会中获得的金牌数条形统计图．
（1）根据图中数据将近六届奥运会中国获得的金牌数整理成一个统计表；
（2）近六届奥运会中国获得的金牌数的众数、中位数分别是多少？
【答案】（1）解：列表如下：
第28届 第29届 第30届 第31届 第32届 第33届
32块 51块 38块 26块 38块 40块
（2）解：这组数据中38出现2次，所以众数为38块；
这组数据的第3、4个数据分别为38、38，
所以这组数据的中位数为=38（块）．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；众数
【解析】【分析】（1）根据题意列表即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可.
12．（2025·甘孜）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“加法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受时间限制，每位学生只能参加一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解决下列问题：
（1）①此次调查一共抽取了 ▲ 名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为 ▲ 度；
（2）若该校共有800名学生参加这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．
【答案】（1）解：①40；
②喜欢数字艺术的人数为：40﹣14﹣16＝10（名），
补全条形统计图如下：
③90；
（2）解：800280（人），
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：①此次调查一共随机抽取了学生：16÷40%＝40（名）；
故答案为：40；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为360°90°；
答：扇形统计图中皮影对应扇形圆心角的度数为54°；
故答案为：90；
【分析】
（1） ① 观察条形统计图和扇形统计图，可利用“科创实践小组”人数除以其占比可得参与调查的总人数；
②再利用总人数分别减去“计算思维小组”和“科创实践小组”的人数可得“数学艺术小组”人数，再补全条形统计图即可；
③用360度乘以“数学艺术小组”人数在总人数中的占比即可；
（2）用全校参与总人数乘以“计算思维小组”在参与调查总人数中的占比即可.
13．（2024·攀枝花）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力、经验三个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了测试，测试成绩如表：
项目 应聘者
甲 乙 丙 丁
学历 7 7 9 8
能力 8 9 8 9
经验 8 7 7 7
如果这家公司比较看重员工的能力，将学历、能力、经验三项得分按1：2：1的比例加权平均确定每人的最终得分，录用得分最高者，那么将被录用的是 (　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：甲的成绩为分
乙的成绩为分
丙的成绩为分；
丁的成绩为分；
7.75＜8＜8.25，
∴丁将被录取.
故答案为：D .
【分析】利用加权平均数公式分别求出四个人的平均成绩，再比较大小即可.
二、能力题
14．（2025·重庆市）不透明袋子中有1个红球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出红球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵袋子里一共有（个）球，红球有1个，
∴摸出红球的概率。
故答案为：．
【分析】根据题意先求出袋子里一共有4个球，红球有1个，再根据概率公式计算求解即可.
15．（2025·湖南）某校开展了五类社团活动：舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧，现从中随机抽取一类社团活动进行展示，则抽中戏剧类社团活动的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】简单事件的概率直接利用概率公式计算即可.
16．（2025·无锡）一组数据：13，14，14，16，18，这组数据的平均数和众数分别是（　　）
A．15，14 B．14，15 C．14，14 D．15，15
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：平均数为：，
5个数据中，14出现了2次，出现的次数最多，因此众数为：14，
故选：A．
【分析】根据平均数和众数的定义进行计算即可．
17．（2025·广元）为用好红色资源，讲好红色故事，李老师安排了10名学生收集红色文化书籍，他们收集到的红色文化书籍本数如下表：
书籍本数 2 3 4 5 6
人数 2 2 2 3 1
下列关于书籍本数的描述正确的是（　　）
A．众数是3 B．平均数是3 C．中位数是4 D．方差是1
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵5出现了3次，是出现次数最多的数，
∴这组数据的众数是5，故A不符合题意；
B、这组数据的平均数是，故B不符合题意；
C、将此组数据从小到大排列，处于最中间的两个数是4和4
∴这组数据的中位数是4，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用一组数据中出现次数最多的数是众数，可对A作出判断；利用平均数公式可求出这组数据的平均数，可对B作出判断；利用求中位数的方法求出这组数据的中位数，可对C作出判断；利用方差公式进行计算，可对D作出判断
18．（2025·浙江）某书店某一天图书的销售情况如图所示.
根据以上信息，下列选项错误的是（　　）
A．科技类图书销售了60册 B．文艺类图书销售了120册
C．文艺类图书销售占比 D．其他类图书销售占比
【答案】D
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：由题意知：
科技类书箱数；文艺类书籍数
文艺类占比
其他类占比
故选： D.
【分析】观察条形统计图和扇形统计图可利用教育类总数去除以教育类的占比可得出某天的销售总量，再用销售总量分别减去科技类、教育类、其他类的书箱量可得到文艺类，再分别求出各种图书的占比即可.
19．（2025·烟台）求一组数据方差的算式为：.由算式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
【答案】C
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：
、众数为6和8
、
即
故答案为：C.
【分析】由方差计算公式可得这组数据分别为6、8、8、6、7，即数据总个数为5，由平均数计算公式得，众数为6和8，由于平均值为7，则增加两个数据后，各数据与平均值差的完全平方和不变，但数据个数变大，则方差变小.
20．（2025·辽宁）甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：cm）的平均数和方差如下表：
运动员 平均数 方差
甲 601 95.4
乙 601 243.4
则这两名运动员测试成绩更稳定的是　 　（填“甲”或“乙”）．
【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵甲、乙两运动员的平均数成绩相等，甲的方差95.4＜乙的方差243.4，
∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲，
故答案为：甲.
【分析】根据方差越小，成绩越稳定，据此可得答案．
21．（2024九上·南宁期中）甲、乙、丙三名学生参加仰卧起坐体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是　 　．
【答案】丙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵他们一周测试成绩的平均数相同，且，，．
∴，
∴成绩最稳定的学生是丙，
故答案为：丙．
【分析】方差是反映一组数据稳定性的量，方差越小，数据稳定性越好；反之，数据稳定越差．
22．（2024·宁夏）为考察一种枸杞幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示：
移植总数 40 150 300 500 700 1000 1500
成活数 35 134 271 451 631 899 1350
成活的频率 0.875 0.893 0.903 0.902 0.901 0.899 0.900
估计这种幼苗移植成活的概率是　 　(结果精确到0.1).
【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵频率逐步稳定在0.900，
∴ 这种幼苗移植成活的概率是 0.900≈0.9.
故答案为：0.9.
【分析】用频率去估计概率可得出答案。
23．（2025·绵阳）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1分钟跳绳的情况，随机抽取了50名学生1分钟的跳绳次数（次数用x表示，单位：次），将其分成以下五组：60≤x＜90，90≤x＜120，120≤x＜150，150≤x＜180，180≤x＜210，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1分钟的跳绳次数在90≤x＜120中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是　 　 次，中位数是　 　 次；
（2）补全频数分布直方图；
（3）请估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数．
【答案】（1）105；110
（2）解：1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数为50﹣5﹣15﹣8﹣2＝20，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：800480（人），
答：估计该校学生1分钟的跳绳次数不低于120次的人数为480人
【知识点】用样本估计总体；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）1分钟的跳绳次数在90≤x＜120范围内的众数是105次，中位数是110次；
故答案为：105，110；
【分析】（1）根据众数、中位数的概念即可得出答案；
（2）求出1分钟的跳绳次数在120≤x＜150中的人数即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计总体即可得出答案.
24．（2025·资阳）为丰富学生课外锻炼活动，某学校增设了A（足球）、B（篮球）、C（体操）、D（田径）四个锻炼项目，每名学生只能选择其中的一项，为了解学生的选择情况，随机抽取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根
据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 ▲ 名学生，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，求项目C对应的圆心角度数；
（3）已知选择项目D的学生是2名男生和2名女生，现从这4名学生中随机抽取2名参加比赛，用画树状图或列表法求抽到两名性别相同的学生的概率。
【答案】（1）80；
解：C项目的人数为：80-32-28-4=16人
补全条形统计图如图
（2）解：C所在扇形的圆心角的度数为×360°=72°.
（3）解：树状图与列表法分别如下：
所以，抽到性别相同的学生的概率P=
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1） 本次调查共抽取的学生人数为：人.
故答案为：80.
【分析】（1）利用扇形统计图和条形统计图，可求出抽取的人数，最求出C项目的人数，然后补全条形统计图即可.
（2）C所在扇形的圆心角的度数等于360°×C项目的人数所占的百分比，列式计算即可.
（3）此事件是抽取不放回，列出树状图，可得到所有等可能的结果数及抽到两名性别相同的学生的情况数，然后利用概率公式进行计算.
25．（2025·陕西） 为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分 满分100分 均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图：
其中B组共有15个成绩，从高到低分别为：89，88，88，86，85，85，85，85，84，83，81，81，80，80，80．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）B组15个成绩的平均数为　 　分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为　 　，本次被抽取的所有成绩的中位数为　 　分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有500名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
【答案】（1）84
（2）50；80
（3）解：500×24%=120人
答：本次竞赛的获奖人数为120人
【知识点】扇形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）B组15个成绩的平均数为
故答案为：84
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为15÷30%=50
∴A组人数为50×24%=12
将50个成绩按从小到大的顺序排列，在最中间的两个数分别为80，80
∴本次被抽取的所有成绩的中位数为
故答案为：50；80
【分析】（1）根据平均数的定义即可求出答案.
（2）根据B组的成绩个数与占比可得本次被抽取的所有成绩的个数，再根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据500乘以A组的占比即可求出答案.
26．（2025·滨州） 2025年6月6日是第30个全国“爱眼日”，为了增强学生的护眼意识，某校组织了一次全员护眼知识竞赛，以下是本次护眼知识竞赛成绩抽样与数据分析过程.
【收集数据】随机抽取了部分学生的竞赛成绩组成一个样本.
【整理数据】整理发现样本数据的最低分为51分，最高分为满分100分，对样本数据分成5组进行统计整理，绘制出如下不完整的统计表：
组别 分数 频数 百分比
第1组 51≤x<61 a 5%
第2组 61≤x<71 10 m
第3组 71≤x<81 15 15%
第4组 81≤x<91 40 40%
第5组 91≤x<101 b #
【描述数据】根据样本数据的统计表绘制如下不完整的频数分布直方图.
【分析数据】请根据以上信息，解答下列问题：
（1） ▲ ， ▲ ；请将频数分布直方图补充完整；
（2）所抽取学生竞赛成绩的中位数处于第　 　组的分数段内；
（3）计划将竞赛成绩不低于91分的学生评为“护眼知识达人”，请估计全校3000名学生中获得“护眼知识达人”的人数.
【答案】（1）解：10％；30％；
因为a=100=5人，b=100-5-10-15-40=30人，
补全直方图如图所示：
（2）4
（3）解：由(1)得，n=30%.
由此估计全校91分以上的同学占比约为30%.
故全校91分以上的同学约有3000×30%=900(人).
答：全校获得“护眼知识达人”的同学约有900人.
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
解：（1）本次抽样调查的学生共有15 15%= 100(名) .
m=10
n=1-5%-10%-15%-40%=30%
故答案为：10%，30%
（2）有100人，中位数落在49号至50号人之间：即再第4组
故答案为：4
【分析】
(1)用表格中分数段为61< x < 71的频数15除以所占百分比15%可得本次抽样调查的学生人数，
用本次抽样调查的学生人数乘以表格中分数段为51≤x< 6 1所占百分比5￥可得a的值；用总得百分比减去其余得百分比可得n的值，再用100减去其余组的人数，得到b的值，补全的图形即可解答.
(2)根据偶数个数的中位数排在最中间两位数的平均数，刚好在第4组，解答即可；
(3)根据用样本估计总体，用3000乘以表格中91≤x< 101所占百分比30%，计算即可解答.
三、拓展题
27．（2023·安徽）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用，，这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】概率公式；定义新运算
【解析】【解答】解：用1、2、3随机组成的无重复数字的三位数有：123，132 ，213，231，312，321共6个，其中"平稳数"有：123和321共2个，所以恰好是平稳数的概率为：。
故答案为：C。
【分析】先写出所有的用1、2、3随机组成的无重复数字的三位数，再找出其中的平稳数，根据概率计算公式，求出概率即可。
28．（2023·武陟模拟）统计学规定：某次测量得到n个结果x1，x2，…，xn.当函数取最小值时，对应x的值称为这次测量的“最佳近似值”.若某次测量得到5个结果9.8，10.1，10.5，10.3，9.8.则这次测量的“最佳近似值”为　 　.
【答案】10.1
【知识点】定义新运算；平均数及其计算
【解析】【解答】解：x=（9.8+10.1+10.5+10.3+9.8）÷5=10.1.
故答案为：10.1.
【分析】根据平均数的计算方法求出5个结果的平均数，进而可得“最佳近似值”.
29．（2025·深圳模拟）【项目式学习】
问题背景：数学学习中，常常会将新研究的问题转化为以前研究过的熟悉的问题，转化是解决数学问题的一种重要策略．接下来，我们用转化来解决一个有意思的问题．
问题提出：一根绳子，随机分成三段，它们能构成三角形的概率是多少？
理解问题：三条线段构成三角形的条件是什么？两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．假设绳子长度为1，方程的三段分别是，，．根据三角形的相关知识，需要符合以下条件：，，，等等．严格来说这是一个多元的不等式组，我们并没学过．但是这里有等式，可以通过“代入消元”的办法得到一些范围．如，将，代入，这就是一个一元一次不等式，可以得到的取值范围是．
解决问题：
（1）任务1：
①同理可得，的取值范围是 ▲ ，的取值范围是 ▲ ．
②如图1，是一个高为1的等边三角形．在等边三角形内任意取一点，连接，，，把等边三角形分成了三个小三角形，如图2，可以发现，，，与存在数量关系：，请给出证明．
（2）任务2：根据以上构造，设，，，则，，，只需要满足以上的不等式即可．请在图3的中，用阴影部分标记出，，满足上述条件的区域．（作出必要的说明或标识）
（3）任务3：阴影部分的面积与面积之比即为所求的概率，则一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是 ▲ ．
【答案】（1）①，；
②证明：∵△ABC为等边三角形
∴AB=BC=AC
∵
∴
∴
（2）解：设，，
∵，，
∴，，
作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF
则△DEF内部即为所求范围
（3）
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；几何概率
【解析】【解答】（1）①∵x+y+z=1
∴y+z=1-x
∵y+z>x
∴1-x>x，解得：
∴
∵x+y+z=1
∴x+z=1-y
∵x+z>y
∴1-y>y，解得：
∴
故答案为：，
（3）∵△ABC为等边三角形，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点
∴
∴一根绳子，随机分成三段，能构成三角形的概率是
故答案为：
【分析】（1）①根据题意即可求出答案.
②根据等边三角形性质及三角形面积即可求出答案.
（2）设，，，由（1）①可得，，，作三角形三边中点D，E，F，连接DF，DE，EF，则△DEF内部即为所求范围.
（3）根据几何概率即可求出答案.
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