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第 1 练 数列的概念与通项公式
满分：100 分 考试时间：45 分钟
核心知识点
数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记为 ；
通项公式：若数列第 项 与项数 的关系可用解析式表示，该解析式即为通项公式；
数列的表示方法：解析法（通项公式）、列表法、递推法；
前 项和 与通项 的关系：
5.数列的单调性判断：通过比较 与 的大小判断递增、递减或常数
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
已知数列 的通项公式为 ，则 的值为（ ）
A. 22 B. 24 C. 26 D. 28
已知数列 满足 ，（），则该数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
已知数列 的前 项和 ，则 的值为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
下列数列中，不是递增数列的是（ ）
A. B. C. D.
已知数列 满足 ，（），则 的值为（ ）
A. 7 B. 15 C. 31 D. 63
已知数列 的前 项和 ，则该数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
已知数列 的通项公式为 ，则 ________。
已知数列 满足 ，，则该数列的第 8 项 ________。
已知数列 的前 项和 ，则 ________。
已知数列 的前 项和 ，则该数列的通项公式为________。
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
已知数列 的通项公式为 ，求该数列的前 5 项，并判断该数列是否为等差数列。
已知数列 满足 ，（），求该数列的前 4 项，并猜想其通项公式。
已知数列 的前 项和 ，求该数列的通项公式 。
已知数列 的通项公式为 ，求该数列的最小项及对应的项数。
已知数列 满足 ，（），求数列 的通项公式。
参考答案与详细解题步骤
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
A 解：
A 解：， 是公差为3的等差数列，
C 解：，，
C 解：，增减交替，非递增数列
B 解：
B 解：时；时，验证成立
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
解：
解： 公差为，
解：
解：时；时，验证成立
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
解：前5项：；
公差为定值，故该数列为等差数列。
解：前4项：；
猜想通项公式：（验证均符合）。
解：时；
时；
验证时，故。
解：，，
故或时取最小项，。
解：，
累加法：，
又，故。第 2 练 等差数列的定义与性质
满分：100 分 考试时间：45 分钟
核心知识点
等差数列定义：从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数（公差 ），即 （）；
通项公式：（可推广为 ）；
性质：若 （），则 ，特殊地，；
前 项和公式：；
前 项和性质： 仍成等差数列。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
已知等差数列 中，，公差 ，则 的值为（ ）
A. 14 B. 17 C. 20 D. 23
已知等差数列 中，，，则该数列的公差 为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
已知等差数列 中，，则 的值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
已知等差数列 的前 5 项和 ，则 的值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
已知等差数列 中，，，则该数列的前 10 项和 为（ ）
A. 90 B. 100 C. 110 D. 120
已知等差数列 的前 项和为 ，，，则 的值为（ ）
A. 252 B. 288 C. 324 D. 360
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
已知等差数列 中，，，则该数列的公差 ________。
已知等差数列 中，，则 ________。
已知等差数列 中，，公差 ，则该数列的前 7 项和 ________。
已知等差数列 中，，，则 的值为 ________。
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
已知等差数列 中，，，求该数列的公差 及前 8 项和 。
已知等差数列 的前 项和为 ，，，求数列 的通项公式及 。
已知等差数列 中，，，求数列 的前 项和 。
已知数列 满足 （），，数列 满足 ，求数列 的前 项和 。
已知等差数列 中，，公差 ，且 ，， 成等比数列，求公差 及前 项和 。
参考答案与详细解题步骤
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
A 解：
B 解：，得
B 解：等差数列中，故
C 解：，得
B 解：
C 解：，，成等差，，得
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
解：，得
解：，得
解：
解：，
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
解：，得；
。
解：由，得；
通项；
。
解：由，得；
。
解：是首项3、公差2的等差数列，；
，是首项8、公差6的等差数列；
。
解：，，，
由，得，
整理得，故；
。第 3 练 等比数列的定义与性质
满分：100 分 考试时间：45 分钟
核心知识点
等比数列定义：从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数（公比 ，），即 （）；
通项公式：（可推广为 ）；
性质：若 （），则 ，特殊地，；
前 项和公式：
前 项和性质：（）仍成等比。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
已知等比数列 中，，公比 ，则 的值为（ ）
A. 18 B. 27 C. 54 D. 81
已知等比数列 中，，，则该数列的公比 为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
已知等比数列 中，，且 ，则 的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
已知等比数列 的前 4 项和 ，首项 ，则公比 为（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 2 或
已知等比数列 中，，，公比 ，则该数列的项数 为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
已知等比数列 的前 项和为 ，，，则 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
已知等比数列 中，，，且公比 ，则 ________。
已知等比数列 中，，则 ________。
已知等比数列 中，，公比 ，则该数列的前 5 项和 ________。
已知等比数列 中，，，则该数列的前 项和 ________。
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
已知等比数列 中，，，求公比 及 的值。
已知等比数列 的前 项和 ，求常数 及数列的通项公式 。
已知等比数列 中，，，求数列的前 6 项和 。
已知等比数列 中，，，求 的值。
已知数列 是等比数列，，，数列 满足 ，求数列 的前 项和 。
参考答案与详细解题步骤
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
C 解：
C 解：，，，
B 解：等比数列中，故
D 解：，，解得或
B 解：，得
B 解：，等比数列中，成等比，，；
由，得
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
解：，故
解：，得
解：
解：，
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
解：，得，；
当时，；
当时，。
解：时；
时；
等比数列中需满足的通项，故，；
通项公式。
解：，
由得；
。
解：等比数列中，故；
。
解：设等比数列公比为，，得，；
故；
，
。第 4 练 数列的通项公式求解
满分：100 分 考试时间：45 分钟核心知识点
核心知识点
已知前 项和 求通项 ：
注意验证 时是否满足 的表达式，不满足则分段写通项。
累加法（叠加法）：适用于 （ 为可求和的数列，如一次函数、分式裂项等），通过累加消去中间项，推导通项。
累乘法（叠乘法）：适用于 （ 为可求积的数列），通过累乘消去中间项，得到通项。
构造法：针对递推式（如 ，、 为常数，），构造新的等差数列或等比数列，转化为熟悉的数列求通项。
已知递推关系求通项：结合数列的项的规律，通过计算前几项猜想通项，再验证（可选）；或转化为上述常见方法求解。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
已知数列 满足 ，，则 的值为（ ）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
已知数列 中，，，则 的值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
已知数列 的前 项和 ，则 的值为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
已知数列 满足 ，，则 的值为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
已知数列 中，，（），则 为（ ）
A. B. C. D.
已知数列 满足 ，，则该数列的一个通项为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
已知数列 满足 ，，则通项公式 ________。
已知数列 中，，（），则通项公式 ________。
已知数列 的前 项和 ，则通项公式 ________。
已知数列 满足 ，，则通项公式 ________。
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
已知数列 满足 ，，求数列的通项公式 。
已知数列 中，，（），求数列的通项公式 。
已知数列 的前 项和 满足 ，求数列的通项公式 。
已知数列 满足 ，，求数列的通项公式 。
已知数列 中，，（），求数列的通项公式 。
参考答案与详细解题步骤
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
B 解：，
B 解：累乘法，（修正：答案为C）
C 解：（修正：答案为B）
B 解：
A 解：，累加法得，
B 解：构造等比，，首项3、公比3，
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
解：等差数列，首项1、公差3
解：累乘法，
解：时；时，验证成立
解：构造等比，，首项1、公比2，
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
解：（），
累加法：。
解：（），
累乘法：（）。
解：时，得；
时，即；
故是首项1、公比2的等比数列，。
解：构造等比，，
首项、公比3，
故。
解：取倒数，，
是首项1、公差的等差数列，
，故。
第 5 讲 数列的前 项和求解
满分：100 分 考试时间：45 分钟
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
已知数列 的通项公式为 ，则其前 项和 为（ ）
A. B. C. D.
已知数列 的通项公式为 ，则其前 4 项和 为（ ）
A. 45 B. 48 C. 51 D. 54
已知数列 的通项公式为 ，则其前 项和 为（ ）
A. B. C. D.
已知数列 满足 ，则其前 项和 采用的求和方法为（ ）
A. 公式法 B. 裂项相消法 C. 错位相减法 D. 分组求和法
已知数列 的通项公式为 ，则其前 3 项和 为（ ）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
已知数列 中，，，则其前 项和 为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
已知数列 为等差数列，，，则前 项和 ________。
已知数列 为等比数列，，，则前 项和 ________。
已知数列 的通项公式为 ，则前 项和 ________。
已知数列 的通项公式为 ，则前 10 项和 ________。
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。
已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。
已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。
已知数列 中，，，（斐波那契数列），求其前 8 项和 。
已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。
参考答案与详细解题步骤
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
B 解：
A 解：
A 解：，裂项相消得
C 解：等差×等比型数列，用错位相减法
C 解：，
B 解：先求通项，，再求和
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
解：
解：等比求和公式
解：，裂项相消得
解：
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
解：分组求和，
等差数列部分：，前项和；
等比数列部分：，前项和；
故。
解：错位相减法，
①，
②，
①-②得：，
故。
解：裂项相消法，
，
。
解：递推得各项：；
。
解：拆项求和，，
。第 5 练 数列的前 项和求解
满分：100 分 考试时间：45 分钟
核心知识点
公式法求和：
等差数列前 n 项和：（为首项，为公差）；
等比数列前 n 项和：
（为公比）；
常见特殊数列和：如、。
分组求和法：适用于数列（、分别为等差或等比数列），拆分后分别求和，再合并结果。
裂项相消法：适用于分式型数列（如、），将通项拆分为两项之差，累加时消去中间项，剩余首尾项求和。
错位相减法：适用于“等差×等比”型数列（如），步骤为：① 写出；② 两边同乘等比数列公比；③ 两式相减，转化为等比数列求和。
倒序相加法：适用于首尾对称项和为定值的数列（如等差数列、），将倒序书写，两式相加求解。
注意事项：求和前先判断数列类型（等差/等比/特殊数列），选择对应方法；等比数列求和需先判断公比与，避免漏解。
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
已知数列 的通项公式为 ，则其前 项和 为（ ）
A. B. C. D.
已知数列 的通项公式为 ，则其前 4 项和 为（ ）
A. 45 B. 48 C. 51 D. 54
已知数列 的通项公式为 ，则其前 项和 为（ ）
A. B. C. D.
已知数列 满足 ，则其前 项和 采用的求和方法为（ ）
A. 公式法 B. 裂项相消法 C. 错位相减法 D. 分组求和法
已知数列 的通项公式为 ，则其前 3 项和 为（ ）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
已知数列 中，，，则其前 项和 为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
已知数列 为等差数列，，，则前 项和 ________。
已知数列 为等比数列，，，则前 项和 ________。
已知数列 的通项公式为 ，则前 项和 ________。
已知数列 的通项公式为 ，则前 10 项和 ________。
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。
已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。
已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。
已知数列 中，，，（斐波那契数列），求其前 8 项和 。
已知数列 的通项公式为 ，求其前 项和 。
参考答案与详细解题步骤
一、选择题（每题 5 分，共 30 分）
B 解：
A 解：
A 解：，裂项相消得
C 解：等差×等比型数列，用错位相减法
C 解：，
B 解：先求通项，，再求和
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
解：
解：等比求和公式
解：，裂项相消得
解：
三、解答题（每题 10 分，共 50 分）
解：分组求和，
等差数列部分：，前项和；
等比数列部分：，前项和；
故。
解：错位相减法，
①，
②，
①-②得：，
故。
解：裂项相消法，
，
。
解：递推得各项：；
。
解：拆项求和，，
。

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