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河北省石家庄市、张家口市等2地2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题
1．（2025高二上·石家庄月考）直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二上·石家庄月考）直三棱柱中，点为的中点，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025高二上·石家庄月考）已知点，圆，则经过点且被圆截得的弦长最短时直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二上·石家庄月考）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（　　）
A．8 B．4 C． D．
5．（2025高二上·石家庄月考）设，则“”是“直线与直线平行”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025高二上·石家庄月考）已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为6，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二上·石家庄月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二上·石家庄月考）正方体棱长为2，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱，相交于点，，则截面面积的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
9．（2025高二上·石家庄月考）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025高二上·石家庄月考）已知圆与圆，则下列说法正确的是（　　）
A．圆的圆心恒在直线上
B．当时，圆与圆有4条公切线
C．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程为
D．当时，圆与圆的公共弦长为
11．（2025高二上·石家庄月考）双曲线的左、右焦点分别为，，圆，过作圆的切线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率可能为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025高二上·石家庄月考）若，，三点共线，则　 　.
13．（2025高二上·石家庄月考）已知在抛物线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为　 　.
14．（2025高二上·石家庄月考）椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为　 　.
15．（2025高二上·石家庄月考）已知直线，直线过点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程.
16．（2025高二上·石家庄月考）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，求的面积.
17．（2025高二上·石家庄月考）已知四棱锥中，平面，，底面是边长为2的菱形，，是的中点，点在上，且满足.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
18．（2025高二上·石家庄月考）已知双曲线过点，焦点到渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）已知直线与双曲线相切于，过与直线垂直的直线与轴，轴分别交于，两点，设的中点为，求点的轨迹方程.
19．（2025高二上·石家庄月考）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切.
（1）求圆的方程；
（2）设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）.
①求四边形面积的最大值；
②证明：直线与的交点在定直线上.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：由直线，可得，所以直线的斜率为.
故答案为：D.
【分析】本题的核心是将直线的一般式方程转化为斜截式y=kx+b，从而直接得到斜率k。
2．【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：∵在直三棱柱中，点为的中点，
，，，
∴
，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题的核心是利用空间向量的线性运算法则，将分解为已知基底向量的线性组合。
3．【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：令过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线，则.
由题意得，，∴一定存在，且，所以，
所以，即.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是：圆内一点P被圆截得的弦长最短时，该弦所在的直线与圆心C和P的连线CP垂直，通过这个性质求出直线斜率，再用点斜式写出直线方程。
4．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线的方程可知，焦点，
因为，所以直线的斜率，
因此直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，，
解得，，由图可知点的横坐标为，.
故答案为：C.
【分析】本题的核心是利用抛物线的定义（抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离），结合直线方程与抛物线方程联立求解。
5．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：直线与直线平行的充要条件为且，
即，解得或，又因为两直线不重合，得，故得.
所以“”是“直线与直线平行”的充要条件，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题的核心是利用两直线平行的充要条件，先求出使两直线平行的a值，再判断“a=1”与“两直线平行”之间的逻辑关系。
6．【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可得，所以，
当且仅当时等号成立.
由题可知，椭圆的半焦距，所以离心率.
故答案为：B
【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求出长半轴a，再结合焦距求出离心率。
7．【答案】D
【知识点】直线的斜率；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线可转化为，所以直线过定点，斜率为，
又曲线可转化为：，.
画出直线与曲线图象如图所示.
数形结合可得直线在，处产生临界条件，
设直线，的斜率分别为，.
点，则，设直线的方程为，
即，圆心到直线的距离为，解得，
所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则.
故答案为：D.
【分析】本题的核心是先把曲线和直线的方程转化为几何图形，再通过数形结合找到直线与曲线有两个交点时斜率m的临界值，从而确定m的取值范围。
8．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；共面向量定理；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，则，，
设，，，，.
由题意，，，四点共面，所以，
所以，
解得，，，
由，，得.
因为平面平面，平面，平面，
所以，同理，
所以截面为平行四边形，所以截面的面积.
设点到直线的距离为，
则，
因为，所以截面的面积.
故答案为：C.
【分析】本题的核心是先通过空间向量共面条件确定E，F坐标的关系，再利用平行四边形面积公式将问题转化为求点到直线距离的最小值，从而求出截面面积的最小值。
9．【答案】A,C,D
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为，
由题可得，所以或，
解得或，所以直线方程为或，故A，C正确；
当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题的核心是分截距为0和截距不为0两种情况，结合“截距绝对值相等”的条件，求出直线方程。
10．【答案】B,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆与圆的标准方程分别为和，
所以圆的圆心为，恒在直线上，故A错误；
当时，圆，圆心为，半径为3，圆圆心为，半径为2，
此时圆与圆的圆心距，
所以圆与圆外离，圆与圆有4条公切线，故B正确；
当时，圆，圆心为，半径为1，
此时圆与圆的圆心距，，所以两圆相交，
两个圆的方程作差得公共弦方程为，故C正确；
当时，圆的圆心到公共弦的距离，
所以圆与圆的公共弦长为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】本题的核心是将圆的一般方程化为标准方程，再通过圆心距与半径的关系判断圆与圆的位置关系，结合两圆方程相减求公共弦方程，并用垂径定理求弦长。
11．【答案】B,C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：情况一：如图（1），当时，点在双曲线的左支上，
设过作圆的切线，切点为，连接，则，过作，垂足为，
由题可知，，
则，
因为，且点为中点，
则，，
由，则，，
由双曲线定义得，即，
所以，所以，B正确；
情况二：当时，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上，
过作圆的切线，切点为，连接，则，过作，
垂足为，
同情况一，，，，，，
由，则，，
由双曲线定义得，
，所以，所以，C正确.
故答案为：BC.
【分析】本题的核心是分两种情况讨论：点M，N都在双曲线左支，或分别在左、右支，利用圆的切线性质、双曲线定义和三角函数关系，求出a，b的关系，进而计算离心率。
12．【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
若，，三点共线，则向量与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，
故答案为：.
【分析】本题的核心是利用三点共线等价于向量共线的性质，通过向量的坐标对应成比例来求解参数 t。
13．【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，，关于直线对称，
设的直线方程，
与抛物线方程联立，消去得，，
由韦达定理可得，，则，即.
设中点为，则，，
因为中点在直线上，所以，即，
所以，解得或，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】我们先设出直线的方程，它与对称轴 垂直，斜率为 ，然后将其与抛物线联立，利用判别式保证有两个交点，再结合中点在对称轴上的条件，建立不等式求解的范围。
14．【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，过点作轴，因为垂直于轴，
将代入椭圆方程，得，所以，
又因为，所以，，
所以，，即，代入椭圆方程得，
即，因为，所以，.
故答案为：.
【分析】先根据轴确定点的坐标，再利用向量关系求出点的坐标，最后将代入椭圆方程，结合求出离心率。
15．【答案】（1）解：设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以
由题意可知，所以
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）解：设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，，
的面积，符合题意；
②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为
令，则，即点坐标为，
的面积，解得，
则直线的方程为
综上，直线的方程为或.
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】(1)两直线垂直时斜率乘积为 ，先求出 的斜率，再得到 的斜率，最后用点斜式写出 的方程。
(2)先求 与 轴的交点 ，再分斜率存在和不存在两种情况讨论：斜率不存在时， 为垂直于 轴的直线，直接计算面积验证。斜率存在时，设斜率为 ，写出 的方程，求出与 轴的交点 ，用面积公式列方程求解k 。
（1）设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以
由题意可知，所以
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，，
的面积，符合题意；
②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为
令，则，即点坐标为，
的面积，解得，
则直线的方程为
综上，直线的方程为或.
16．【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，且过点，可得
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）解：因为椭圆右焦点，直线斜率，所以直线的方程为，
设，，联立消去得
则，
方法一：的面积
方法二：
点到直线的距离
所以的面积.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)利用椭圆的离心率公式和点在椭圆上的条件，联立方程组求解 、，从而得到椭圆方程。
(2)先求出椭圆右焦点坐标，写出倾斜角为 的直线方程；再联立直线与椭圆方程，用韦达定理求出弦长 ；最后计算点 到直线的距离，用面积公式 求出面积，也可利用 计算。
（1）由椭圆的离心率为，且过点，可得
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆右焦点，直线斜率，所以直线的方程为，
设，，联立消去得
则，
方法一：的面积
方法二：
点到直线的距离
所以的面积.
17．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
∴，在中，，∴，
又∵平面，平面，∴平面
（2）解：设的中点为，因为，，所以，，以为坐标原点，，与分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
，，，，
则，，
设平面的法向量为
则，，令，则，可取，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)连接 交 于 ，利用相似三角形得到线段比例关系，再结合已知 ，在 中证明 ，从而由线面平行判定定理得 平面 。
(2)以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，再用向量点积公式计算两平面夹角的余弦值。
（1）证明：连接交于点，连接，∴，
在中，，∴，
又∵平面，平面，∴平面
（2）设的中点为，因为，，所以，，以为坐标原点，，与分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
，，，，
则，，
设平面的法向量为
则，，令，则，可取，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：设焦点，，
到渐近线的距离，
又因为双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的方程为
（2）解：由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与双曲线方程，有，整理得，
因为直线与双曲线相切于，则，即，
所以 ，
解得点坐标为，
于是过与直线垂直的直线为，可得，
设，则，于是，，
则.即点的轨迹方程为
【知识点】轨迹方程；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用焦点到渐近线的距离等于 ，直接得到 ；再将点 代入双曲线方程，求出 ，从而得到双曲线方程。
(2)设切线方程并联立双曲线，由判别式为0得到 ，求出切点 的坐标；再写出过 且与切线垂直的直线方程，求出与坐标轴的交点 ；最后由中点坐标公式得到 的坐标，消去参数得到轨迹方程。
（1）设焦点，，
到渐近线的距离，
又因为双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的方程为
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与双曲线方程，有，整理得，
因为直线与双曲线相切于，则，即，
所以 ，
解得点坐标为，
于是过与直线垂直的直线为，可得，
设，则，于是，，
则.即点的轨迹方程为
19．【答案】（1）解：设圆心为，，则圆的方程为，
圆心到直线的距离，解得或（舍去），
所以圆的方程为.
（2）解：由（1）可知，，设的方程为，，，
联立，消去并整理得，
则，，
①四边形的面积，
令，则，所以，
易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，
此时面积取到最大值，故.
②证明：直线的方程为，直线的方程为，
消去得：，
由韦达定理可知，将此式代入上式得，，
即，解得，
即直线与的交点在定直线上.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】(1)设圆心为（），利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出，进而得到圆的方程。
(2)①设直线方程并联立圆的方程，用韦达定理求出弦长，结合的长度表示四边形面积，再用换元法和函数单调性求最大值。
②写出直线与的方程，联立后消去参数，证明交点坐标满足某条定直线方程。
（1）设圆心为，，则圆的方程为，
圆心到直线的距离，解得或（舍去），
所以圆的方程为.
（2）由（1）可知，，设的方程为，，，
联立，消去并整理得，
则，，
①四边形的面积，
令，则，所以，
易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，此时面积取到最大值，故.
②证明：直线的方程为，直线的方程为，
消去得：，
由韦达定理可知，将此式代入上式得，，
即，解得，
即直线与的交点在定直线上.
1 / 1河北省石家庄市、张家口市等2地2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题
1．（2025高二上·石家庄月考）直线的斜率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的斜率
【解析】【解答】解：由直线，可得，所以直线的斜率为.
故答案为：D.
【分析】本题的核心是将直线的一般式方程转化为斜截式y=kx+b，从而直接得到斜率k。
2．（2025高二上·石家庄月考）直三棱柱中，点为的中点，若，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的线性运算；空间向量基本定理
【解析】【解答】解：∵在直三棱柱中，点为的中点，
，，，
∴
，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题的核心是利用空间向量的线性运算法则，将分解为已知基底向量的线性组合。
3．（2025高二上·石家庄月考）已知点，圆，则经过点且被圆截得的弦长最短时直线的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：令过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线，则.
由题意得，，∴一定存在，且，所以，
所以，即.
故答案为：B.
【分析】本题的核心是：圆内一点P被圆截得的弦长最短时，该弦所在的直线与圆心C和P的连线CP垂直，通过这个性质求出直线斜率，再用点斜式写出直线方程。
4．（2025高二上·石家庄月考）如图，是抛物线上一点，是抛物线的焦点，，则（　　）
A．8 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线的方程可知，焦点，
因为，所以直线的斜率，
因此直线的方程为，与抛物线方程联立，消去得，，
解得，，由图可知点的横坐标为，.
故答案为：C.
【分析】本题的核心是利用抛物线的定义（抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离），结合直线方程与抛物线方程联立求解。
5．（2025高二上·石家庄月考）设，则“”是“直线与直线平行”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；两条直线平行的判定
【解析】【解答】解：直线与直线平行的充要条件为且，
即，解得或，又因为两直线不重合，得，故得.
所以“”是“直线与直线平行”的充要条件，C正确.
故答案为：C.
【分析】本题的核心是利用两直线平行的充要条件，先求出使两直线平行的a值，再判断“a=1”与“两直线平行”之间的逻辑关系。
6．（2025高二上·石家庄月考）已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为6，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：由椭圆的定义可得，所以，
当且仅当时等号成立.
由题可知，椭圆的半焦距，所以离心率.
故答案为：B
【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求出长半轴a，再结合焦距求出离心率。
7．（2025高二上·石家庄月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的斜率；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：直线可转化为，所以直线过定点，斜率为，
又曲线可转化为：，.
画出直线与曲线图象如图所示.
数形结合可得直线在，处产生临界条件，
设直线，的斜率分别为，.
点，则，设直线的方程为，
即，圆心到直线的距离为，解得，
所以要使直线和曲线有两个不同的交点，则.
故答案为：D.
【分析】本题的核心是先把曲线和直线的方程转化为几何图形，再通过数形结合找到直线与曲线有两个交点时斜率m的临界值，从而确定m的取值范围。
8．（2025高二上·石家庄月考）正方体棱长为2，为棱的中点，过直线的平面分别与侧棱，相交于点，，则截面面积的最小值为（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；共面向量定理；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，则，，
设，，，，.
由题意，，，四点共面，所以，
所以，
解得，，，
由，，得.
因为平面平面，平面，平面，
所以，同理，
所以截面为平行四边形，所以截面的面积.
设点到直线的距离为，
则，
因为，所以截面的面积.
故答案为：C.
【分析】本题的核心是先通过空间向量共面条件确定E，F坐标的关系，再利用平行四边形面积公式将问题转化为求点到直线距离的最小值，从而求出截面面积的最小值。
9．（2025高二上·石家庄月考）过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为，
由题可得，所以或，
解得或，所以直线方程为或，故A，C正确；
当直线的截距为0时，设直线方程为，由题可知，故直线方程为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】本题的核心是分截距为0和截距不为0两种情况，结合“截距绝对值相等”的条件，求出直线方程。
10．（2025高二上·石家庄月考）已知圆与圆，则下列说法正确的是（　　）
A．圆的圆心恒在直线上
B．当时，圆与圆有4条公切线
C．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程为
D．当时，圆与圆的公共弦长为
【答案】B,C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：圆与圆的标准方程分别为和，
所以圆的圆心为，恒在直线上，故A错误；
当时，圆，圆心为，半径为3，圆圆心为，半径为2，
此时圆与圆的圆心距，
所以圆与圆外离，圆与圆有4条公切线，故B正确；
当时，圆，圆心为，半径为1，
此时圆与圆的圆心距，，所以两圆相交，
两个圆的方程作差得公共弦方程为，故C正确；
当时，圆的圆心到公共弦的距离，
所以圆与圆的公共弦长为，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】本题的核心是将圆的一般方程化为标准方程，再通过圆心距与半径的关系判断圆与圆的位置关系，结合两圆方程相减求公共弦方程，并用垂径定理求弦长。
11．（2025高二上·石家庄月考）双曲线的左、右焦点分别为，，圆，过作圆的切线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：情况一：如图（1），当时，点在双曲线的左支上，
设过作圆的切线，切点为，连接，则，过作，垂足为，
由题可知，，
则，
因为，且点为中点，
则，，
由，则，，
由双曲线定义得，即，
所以，所以，B正确；
情况二：当时，点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上，
过作圆的切线，切点为，连接，则，过作，
垂足为，
同情况一，，，，，，
由，则，，
由双曲线定义得，
，所以，所以，C正确.
故答案为：BC.
【分析】本题的核心是分两种情况讨论：点M，N都在双曲线左支，或分别在左、右支，利用圆的切线性质、双曲线定义和三角函数关系，求出a，b的关系，进而计算离心率。
12．（2025高二上·石家庄月考）若，，三点共线，则　 　.
【答案】
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：，，
若，，三点共线，则向量与共线，
所以存在实数使得，
所以，解得，
故答案为：.
【分析】本题的核心是利用三点共线等价于向量共线的性质，通过向量的坐标对应成比例来求解参数 t。
13．（2025高二上·石家庄月考）已知在抛物线上存在两个点关于直线对称，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，，关于直线对称，
设的直线方程，
与抛物线方程联立，消去得，，
由韦达定理可得，，则，即.
设中点为，则，，
因为中点在直线上，所以，即，
所以，解得或，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】我们先设出直线的方程，它与对称轴 垂直，斜率为 ，然后将其与抛物线联立，利用判别式保证有两个交点，再结合中点在对称轴上的条件，建立不等式求解的范围。
14．（2025高二上·石家庄月考）椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点（在轴上方），垂直于轴，连接并延长交椭圆于另一点，设，则椭圆的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设，，过点作轴，因为垂直于轴，
将代入椭圆方程，得，所以，
又因为，所以，，
所以，，即，代入椭圆方程得，
即，因为，所以，.
故答案为：.
【分析】先根据轴确定点的坐标，再利用向量关系求出点的坐标，最后将代入椭圆方程，结合求出离心率。
15．（2025高二上·石家庄月考）已知直线，直线过点.
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线与轴和直线围成的三角形的面积为4，求直线的方程.
【答案】（1）解：设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以
由题意可知，所以
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）解：设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，，
的面积，符合题意；
②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为
令，则，即点坐标为，
的面积，解得，
则直线的方程为
综上，直线的方程为或.
【知识点】直线的斜率；直线的点斜式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系
【解析】【分析】(1)两直线垂直时斜率乘积为 ，先求出 的斜率，再得到 的斜率，最后用点斜式写出 的方程。
(2)先求 与 轴的交点 ，再分斜率存在和不存在两种情况讨论：斜率不存在时， 为垂直于 轴的直线，直接计算面积验证。斜率存在时，设斜率为 ，写出 的方程，求出与 轴的交点 ，用面积公式列方程求解k 。
（1）设直线的斜率为，直线的斜率为.因为，所以
由题意可知，所以
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
（2）设直线与轴交点为，直线与轴交点为，则
①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，，
的面积，符合题意；
②若直线的斜率存在，设直线的斜率为，，则直线的方程为
令，则，即点坐标为，
的面积，解得，
则直线的方程为
综上，直线的方程为或.
16．（2025高二上·石家庄月考）已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，求的面积.
【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，且过点，可得
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）解：因为椭圆右焦点，直线斜率，所以直线的方程为，
设，，联立消去得
则，
方法一：的面积
方法二：
点到直线的距离
所以的面积.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】(1)利用椭圆的离心率公式和点在椭圆上的条件，联立方程组求解 、，从而得到椭圆方程。
(2)先求出椭圆右焦点坐标，写出倾斜角为 的直线方程；再联立直线与椭圆方程，用韦达定理求出弦长 ；最后计算点 到直线的距离，用面积公式 求出面积，也可利用 计算。
（1）由椭圆的离心率为，且过点，可得
解得，，所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆右焦点，直线斜率，所以直线的方程为，
设，，联立消去得
则，
方法一：的面积
方法二：
点到直线的距离
所以的面积.
17．（2025高二上·石家庄月考）已知四棱锥中，平面，，底面是边长为2的菱形，，是的中点，点在上，且满足.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
∴，在中，，∴，
又∵平面，平面，∴平面
（2）解：设的中点为，因为，，所以，，以为坐标原点，，与分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
，，，，
则，，
设平面的法向量为
则，，令，则，可取，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)连接 交 于 ，利用相似三角形得到线段比例关系，再结合已知 ，在 中证明 ，从而由线面平行判定定理得 平面 。
(2)以 为原点建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，再用向量点积公式计算两平面夹角的余弦值。
（1）证明：连接交于点，连接，∴，
在中，，∴，
又∵平面，平面，∴平面
（2）设的中点为，因为，，所以，，以为坐标原点，，与分别作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
，，，，
则，，
设平面的法向量为
则，，令，则，可取，
取平面的一个法向量为，
设平面与平面夹角为，则
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．（2025高二上·石家庄月考）已知双曲线过点，焦点到渐近线的距离为.
（1）求的方程；
（2）已知直线与双曲线相切于，过与直线垂直的直线与轴，轴分别交于，两点，设的中点为，求点的轨迹方程.
【答案】（1）解：设焦点，，
到渐近线的距离，
又因为双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的方程为
（2）解：由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与双曲线方程，有，整理得，
因为直线与双曲线相切于，则，即，
所以 ，
解得点坐标为，
于是过与直线垂直的直线为，可得，
设，则，于是，，
则.即点的轨迹方程为
【知识点】轨迹方程；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用焦点到渐近线的距离等于 ，直接得到 ；再将点 代入双曲线方程，求出 ，从而得到双曲线方程。
(2)设切线方程并联立双曲线，由判别式为0得到 ，求出切点 的坐标；再写出过 且与切线垂直的直线方程，求出与坐标轴的交点 ；最后由中点坐标公式得到 的坐标，消去参数得到轨迹方程。
（1）设焦点，，
到渐近线的距离，
又因为双曲线过点，则，解得，
所以双曲线的方程为
（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与双曲线方程，有，整理得，
因为直线与双曲线相切于，则，即，
所以 ，
解得点坐标为，
于是过与直线垂直的直线为，可得，
设，则，于是，，
则.即点的轨迹方程为
19．（2025高二上·石家庄月考）平面直角坐标系中，已知圆的半径为2，圆心在轴的非负半轴上，直线与圆相切.
（1）求圆的方程；
（2）设，过点作斜率为的直线，交圆于、两点，设、是圆与轴的两个交点（在的上方）.
①求四边形面积的最大值；
②证明：直线与的交点在定直线上.
【答案】（1）解：设圆心为，，则圆的方程为，
圆心到直线的距离，解得或（舍去），
所以圆的方程为.
（2）解：由（1）可知，，设的方程为，，，
联立，消去并整理得，
则，，
①四边形的面积，
令，则，所以，
易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，
此时面积取到最大值，故.
②证明：直线的方程为，直线的方程为，
消去得：，
由韦达定理可知，将此式代入上式得，，
即，解得，
即直线与的交点在定直线上.
【知识点】圆的标准方程；直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【分析】(1)设圆心为（），利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出，进而得到圆的方程。
(2)①设直线方程并联立圆的方程，用韦达定理求出弦长，结合的长度表示四边形面积，再用换元法和函数单调性求最大值。
②写出直线与的方程，联立后消去参数，证明交点坐标满足某条定直线方程。
（1）设圆心为，，则圆的方程为，
圆心到直线的距离，解得或（舍去），
所以圆的方程为.
（2）由（1）可知，，设的方程为，，，
联立，消去并整理得，
则，，
①四边形的面积，
令，则，所以，
易知函数在单调递增，所以当（即时），取到最小值，此时面积取到最大值，故.
②证明：直线的方程为，直线的方程为，
消去得：，
由韦达定理可知，将此式代入上式得，，
即，解得，
即直线与的交点在定直线上.
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