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湖南省湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2025-2026学年高二上学期数学期末测试卷
1．（2026高二上·泸溪期末）已知集合，则下列结果错误的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2026高二上·泸溪期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（　　）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A． B．
C． D．
3．（2026高二上·泸溪期末）已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（　　）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
4．（2026高二上·泸溪期末）已知、是函数图象上任意两点，如果对于函数自变量取值范围内的、，都有成立，那么就称该函数是自变量取值范围上的“平缓函数”，则以下函数是“平缓函数”的是（　　）
A．，x取任意实数 B．
C． D．
5．（2026高二上·泸溪期末）在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别是棱的中点，则过的平面截四棱锥所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高二上·泸溪期末）若函数的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为的“友情点对”，点对与看作同一个“友情点对”，若函数，恰好有两个“友情点对”，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026高二上·泸溪期末）已知对恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高二上·泸溪期末）已知定义在上的函数满足，，若对任意正数，都有，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026高二上·泸溪期末）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．的图象关于点对称
D．在上单调递增
10．（2026高二上·泸溪期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（　　）
A． B． C．7 D．
11．（2026高二上·泸溪期末）已知函数，其中，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，函数有两个零点
B．若在上存在两个极值点，则的取值范围是
C．当时，函数至少有一个零点
D．存在实数，使函数在区间上有最大值
12．（2026高二上·泸溪期末）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为　 　.
13．（2026高二上·泸溪期末）已知函数，若函数有两个零点，则的范围是　 　
14．（2026高二上·泸溪期末）已知函数，当时，函数在点处的切线方程为　 　；若对恒成立，则实数a的最大值为　 　．
15．（2026高二上·泸溪期末）一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：
486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503
499 503 509 498 487 500 508
（1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？
（2）质量位于与之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？
16．（2026高二上·泸溪期末）如图，正方体边长为分别为中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
17．（2026高二上·泸溪期末）如图，平行四边形的四个顶点分别在空间四边形的边上，求证：平面．
18．（2026高二上·泸溪期末）已知定义在上的偶函数和奇函数．
（1）求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程在上恰有一个实根，求实数的取值范围．
19．（2026高二上·泸溪期末）已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线关于点中心对称；
（3）若当且仅当，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，等价于，
则集合比集合少一个元素，
即，，正确，错误.
故答案为：B.
【分析】由可得，等价于，集合比集合少一个元素，结合集合的包含关系，并集，补集运算判断即可.
2．【答案】A
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】解：由函数的数据可知，函数，偶函数满足此性质，排除B，D；
当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，排除C.
故答案为：A.
【分析】根据排除BD；再根据时，函数值增长的快慢，排除C，从而确定正确答案.
3．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：易知曲线，，
要得到，只需要把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再将曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.
故答案为：D.
【分析】先利用诱导公式化曲线为，再根据三角函数图象的平移伸缩边变换求解即可.
4．【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：A、，且，则，
不符合题意，故A错误；
B、，且，，
不符合题意，故B错误；
C、，且，则，
，不符合题意，故C错误；
D、，且，则，
，符合题意，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，再定义域内任取，利用“平缓函数”的定义逐项计算判断即可.
5．【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：取中点，连接，如图所示：
由三角形中位线的性质可得，，
因为平面，平面，所以平面，
取的中点，取的中点，连接交于，即为上离近较近的四等分点，
则，所以，而平面，所以平面，
连接，则即为过截四棱锥的截面，
设交于，因为底面，底面，所以，
又因为，，平面，所以平面，平面，
所以，所以，
，，，
.
故答案为：C.
【分析】取中点，连接，利用三角形中位线的性质可得，，结合线面平行的判定定理证明平面，再取的中点，取的中点，连接交于，由，可得，根据平面，可得平面，连接，则即为过截四棱锥的截面，分别求，即可得过的平面截四棱锥所得截面面积 .
6．【答案】A
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数，恰好有两个“友情点对”，
所以在上有两个解，
即在上有两个解，
令，求导可得，
令，解得，
当时，，即在内单调递减；
当时，，即在内单调递增；
当时，，即在内单调递减，
则在时取得极小值，，
在时取得极大值，，且，函数图象，如图所示：
由图可知，当，若有两个交点，则.
故答案为：A.
【分析】由题意可知方程在上有两个解，分离参数，即在上有两个交点，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求得函数的极值点与极值，画出函数图象，数形结合求的取值范围即可.
7．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，，
当时，，，，函数在上单调递增，
因为对恒成立，所以当时，，则有，
当时，可等价变形为，
因为在上单调递增，且，（），
所以由可得，即对恒成立，
设，则，
令得，令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，且当时，，
因为对恒成立，所以，则实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】设，求导，利用导数判断在上单调递增，分析可知，利用函数的单调性，将不等式转化为对恒成立，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数在上的最大值，即可确定的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
当且仅当时等号成立，
不等式转化为，
设，，
，得，
设，
令，解得，
当时，，
当时，，则时，取得极大值，且为最大值，
最大值为，故，在是减函数，等价于，，解得，
则的取值范围为.
故答案为：B
【分析】易知，利用基本不等式求得，不等式转化为， 设 ，求导，结合已知条件可得，再令，利用导数判断其单调性，求最值，不等式转化为，解指数不等式即可得求得x的取值范围.
9．【答案】B,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，
A、的最小正周期为，故A不正确；
B、令，解得，
则函数的定义域为，故B正确；
C、令，解得，
当时，可得，则函数的图象关于点对称，故C正确；
D、当时，，根据正切函数的性质，可得函数在上单调递增，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求解即可判断A；求正切型函数的定义域即可判断B；根据正切函数的图象与性质求解即可判断CD.
10．【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设为坐标原点，易知，由椭圆定义可得：，
当，，，的面积为；
当，，的面积为，
同理，当时，的面积为.
故答案为：AD.
【分析】设为坐标原点，易知，由椭圆定义可得，分、和三种情况讨论，代入三角形面积公式求解即可.
11．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、当时，函数定义域为，，
令，解得，，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
，，且，由函数零点存在定理可得在上有唯一零点，故A错误；
B、，若在上存在两个极值点，
则且在上有两个不相等的实数根，
当时，则，即，解得；
当时，则，即，此不等式组无解，
综上，的取值范围为，故B正确；
C、，令，得，若，则，
设方程的两根分别为，由韦达定理可得，
不妨设，，则在，上单调递增，在上单调递减，
由，可得，又因为，所以在上必有一个零点，故C正确；
D、由C选项可知，若，则在处取得极大值，
函数在上可能单调递减，可能先单调递减再单调递增，可能单调递增，都取不到最大值；
若，则在上单调递减，取不到最大值；
当时，令，则，
设方程的两根分别为，由韦达定理可得，
所以，
不妨设，则在，上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上取不到最大值；
当时，，则且不恒为0，在上单调递减，
函数在上取不到最大值，
综上所述，符合条件的是不存在的，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】将代入，求函数的定义域，再求导，利用导函数判断函数的单调性，结合零点存在定理求得函数零点个数即可判断A；求导，将极值点转化成方程的根的问题，通过分析一元二次方程的根的情况求出的取值范围即可判断B；求导，利用导函数求极值点，结合韦达定理分析极值点的位置，利用零点存在定理分析零点个数即可判断C；利用已知条件，分类讨论在不同取值范围时，求函数的单调性和最大值即可判断D.
12．【答案】
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：根据频率分布直方图可得：
该校的学生成绩不低于60分的学生人数为.
故答案为：.
【分析】根据频率分布直方图计算人数即可.
13．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：若函数有两个零点，
则 ，即有两个实数解，
即函数与函数的图象有两个交点，
作出图象，如图所示：
由图象知，当，即时，函数与函数的图象有两个交点，即函数有两个零点，故的范围是.
故答案为：.
【分析】问题转化为函数与函数的图象有两个交点，作出函数的图象，数形结合求解即可.
14．【答案】；
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：当时，函数定义域为，
求导可得，，，
则函数在点处的切线方程为，即；
因为，，即，则，恒成立，
令，，则在上恒成立，
即在上单调递减，
故，得，即，恒成立，
记，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则的最小值是，，故实数a的最大值是e．
故答案为：；e.
【分析】将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数几何意义求斜率，结合点斜式求切线方程即可；将问题转化为，恒成立，构造函数，，求导，利用导数研究其单调性，进而得到，恒成立，利用导数求的最小值即可.
15．【答案】解：（1）平均质量，
标准差；
（2）质量位于与之间等于在区间上的白糖的袋数，共有14袋，所占的百分比为66.67%.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据各袋白糖的质量，计算平均值与标准差即可；
（2）由（1）可知质量位于区间，统计袋数，再计算百分比即可．
16．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为分别为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为，所以是两异面直线与所成角或其补角，
又因为是等腰直角三角形，所以，
则两异面直线与所成角的大小为45°．
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连接，利用中位线定理，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意可得是两异面直线与所成角或其补角，在等腰直角三角形中求解即可.
（1）证明：连接，
∵分别为中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）解：∵，
∴是两异面直线与所成角或其补角，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴两异面直线与所成角的大小为45°．
17．【答案】证明：因为 ，EH平面，平面，所以平面，
又因为平面ABD，平面∩平面，所以，
又因为平面，BD平面，所以平面.
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，再根据线面平行性质可得，最后再根据线面平行的性质定理证明即可．
18．【答案】解：（1）因为是上的偶函数，所以，即，
整理可得，因为不恒成立，所以对于恒成立，则；
因为是上的奇函数，所以，
即，因为不恒成立，所以，则，
故，；函数，；
（2）对恒成立，
即对恒成立，
令，为增函数，，
，
可得，，可得，恒成立，
因为在上单调递减，所以，
则的取值范围为；
（3）在恰有一个实根，
即，即在上恰有一个实根，
令，则，在上恰有一个实根，
当时，得，由可知无解；
当时，
因为，则有或，解得，
综上取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据奇偶函数的定义结合指数函数的运算求解即可；
（2）问题转化为对恒成立，令，可得，，分离参数即，恒成立，结合对勾函数的单调性求解即可；
（3） 方程在上恰有一个实根，即在上恰有一个实根，令，即在上恰有一个实根，对m分情况讨论，求解即可.
19．【答案】（1）解：当时，，，
，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
要使成立，则，即，
故的最小值为；
（2）证明：的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为；
（3）解：因为当且仅当，所以为的一个解，所以，即，
先考虑时，恒成立，
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，则恒成立，即在上为增函数，
故，即在上恒成立；
当时，，则恒成立，即在上为增函数，
故，即在上恒成立；
当，时，，在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，即的解为，
综上，.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用基本不等式求出，根据，可得，即可求的最小值；
（2）求函数的定义域，设为图象上任意一点，证明关于的对称点为也在函数的图象上即可；
（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得b的范围.
（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为；
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为；
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
1 / 1湖南省湘西土家族苗族自治州泸溪县第一中学2025-2026学年高二上学期数学期末测试卷
1．（2026高二上·泸溪期末）已知集合，则下列结果错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为，所以，等价于，
则集合比集合少一个元素，
即，，正确，错误.
故答案为：B.
【分析】由可得，等价于，集合比集合少一个元素，结合集合的包含关系，并集，补集运算判断即可.
2．（2026高二上·泸溪期末）函数的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（　　）
-2 -1 0 1 2 3 5
2.3 1.1 0.7 1.1 2.3 5.9 49.1
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数、指数函数、对数函数的增长差异
【解析】【解答】解：由函数的数据可知，函数，偶函数满足此性质，排除B，D；
当时，由函数的数据可知，函数增长越来越快，排除C.
故答案为：A.
【分析】根据排除BD；再根据时，函数值增长的快慢，排除C，从而确定正确答案.
3．（2026高二上·泸溪期末）已知曲线的图像，，则下面结论正确的是（　　）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：易知曲线，，
要得到，只需要把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，再将曲线向左平移个单位长度，得到，即得到曲线.
故答案为：D.
【分析】先利用诱导公式化曲线为，再根据三角函数图象的平移伸缩边变换求解即可.
4．（2026高二上·泸溪期末）已知、是函数图象上任意两点，如果对于函数自变量取值范围内的、，都有成立，那么就称该函数是自变量取值范围上的“平缓函数”，则以下函数是“平缓函数”的是（　　）
A．，x取任意实数 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的概念及其构成要素
【解析】【解答】解：A、，且，则，
不符合题意，故A错误；
B、，且，，
不符合题意，故B错误；
C、，且，则，
，不符合题意，故C错误；
D、，且，则，
，符合题意，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由题意，再定义域内任取，利用“平缓函数”的定义逐项计算判断即可.
5．（2026高二上·泸溪期末）在四棱锥中，底面是正方形，底面，分别是棱的中点，则过的平面截四棱锥所得截面面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：取中点，连接，如图所示：
由三角形中位线的性质可得，，
因为平面，平面，所以平面，
取的中点，取的中点，连接交于，即为上离近较近的四等分点，
则，所以，而平面，所以平面，
连接，则即为过截四棱锥的截面，
设交于，因为底面，底面，所以，
又因为，，平面，所以平面，平面，
所以，所以，
，，，
.
故答案为：C.
【分析】取中点，连接，利用三角形中位线的性质可得，，结合线面平行的判定定理证明平面，再取的中点，取的中点，连接交于，由，可得，根据平面，可得平面，连接，则即为过截四棱锥的截面，分别求，即可得过的平面截四棱锥所得截面面积 .
6．（2026高二上·泸溪期末）若函数的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对称为的“友情点对”，点对与看作同一个“友情点对”，若函数，恰好有两个“友情点对”，则实数a的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为函数，恰好有两个“友情点对”，
所以在上有两个解，
即在上有两个解，
令，求导可得，
令，解得，
当时，，即在内单调递减；
当时，，即在内单调递增；
当时，，即在内单调递减，
则在时取得极小值，，
在时取得极大值，，且，函数图象，如图所示：
由图可知，当，若有两个交点，则.
故答案为：A.
【分析】由题意可知方程在上有两个解，分离参数，即在上有两个交点，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求得函数的极值点与极值，画出函数图象，数形结合求的取值范围即可.
7．（2026高二上·泸溪期末）已知对恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：设，，
当时，，，，函数在上单调递增，
因为对恒成立，所以当时，，则有，
当时，可等价变形为，
因为在上单调递增，且，（），
所以由可得，即对恒成立，
设，则，
令得，令，解得，令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，且当时，，
因为对恒成立，所以，则实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】设，求导，利用导数判断在上单调递增，分析可知，利用函数的单调性，将不等式转化为对恒成立，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求函数在上的最大值，即可确定的取值范围.
8．（2026高二上·泸溪期末）已知定义在上的函数满足，，若对任意正数，都有，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
当且仅当时等号成立，
不等式转化为，
设，，
，得，
设，
令，解得，
当时，，
当时，，则时，取得极大值，且为最大值，
最大值为，故，在是减函数，等价于，，解得，
则的取值范围为.
故答案为：B
【分析】易知，利用基本不等式求得，不等式转化为， 设 ，求导，结合已知条件可得，再令，利用导数判断其单调性，求最值，不等式转化为，解指数不等式即可得求得x的取值范围.
9．（2026高二上·泸溪期末）已知函数，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小正周期为
B．的定义域为
C．的图象关于点对称
D．在上单调递增
【答案】B,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数，
A、的最小正周期为，故A不正确；
B、令，解得，
则函数的定义域为，故B正确；
C、令，解得，
当时，可得，则函数的图象关于点对称，故C正确；
D、当时，，根据正切函数的性质，可得函数在上单调递增，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据正切型函数的最小正周期公式求解即可判断A；求正切型函数的定义域即可判断B；根据正切函数的图象与性质求解即可判断CD.
10．（2026高二上·泸溪期末）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（　　）
A． B． C．7 D．
【答案】A,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设为坐标原点，易知，由椭圆定义可得：，
当，，，的面积为；
当，，的面积为，
同理，当时，的面积为.
故答案为：AD.
【分析】设为坐标原点，易知，由椭圆定义可得，分、和三种情况讨论，代入三角形面积公式求解即可.
11．（2026高二上·泸溪期末）已知函数，其中，则下列说法正确的是（　　）
A．当时，函数有两个零点
B．若在上存在两个极值点，则的取值范围是
C．当时，函数至少有一个零点
D．存在实数，使函数在区间上有最大值
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：A、当时，函数定义域为，，
令，解得，，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
，，且，由函数零点存在定理可得在上有唯一零点，故A错误；
B、，若在上存在两个极值点，
则且在上有两个不相等的实数根，
当时，则，即，解得；
当时，则，即，此不等式组无解，
综上，的取值范围为，故B正确；
C、，令，得，若，则，
设方程的两根分别为，由韦达定理可得，
不妨设，，则在，上单调递增，在上单调递减，
由，可得，又因为，所以在上必有一个零点，故C正确；
D、由C选项可知，若，则在处取得极大值，
函数在上可能单调递减，可能先单调递减再单调递增，可能单调递增，都取不到最大值；
若，则在上单调递减，取不到最大值；
当时，令，则，
设方程的两根分别为，由韦达定理可得，
所以，
不妨设，则在，上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，在上取不到最大值；
当时，，则且不恒为0，在上单调递减，
函数在上取不到最大值，
综上所述，符合条件的是不存在的，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】将代入，求函数的定义域，再求导，利用导函数判断函数的单调性，结合零点存在定理求得函数零点个数即可判断A；求导，将极值点转化成方程的根的问题，通过分析一元二次方程的根的情况求出的取值范围即可判断B；求导，利用导函数求极值点，结合韦达定理分析极值点的位置，利用零点存在定理分析零点个数即可判断C；利用已知条件，分类讨论在不同取值范围时，求函数的单调性和最大值即可判断D.
12．（2026高二上·泸溪期末）某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为，若该校的学生总人数为1000，则成绩不低于60分的学生人数为　 　.
【答案】
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：根据频率分布直方图可得：
该校的学生成绩不低于60分的学生人数为.
故答案为：.
【分析】根据频率分布直方图计算人数即可.
13．（2026高二上·泸溪期末）已知函数，若函数有两个零点，则的范围是　 　
【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：若函数有两个零点，
则 ，即有两个实数解，
即函数与函数的图象有两个交点，
作出图象，如图所示：
由图象知，当，即时，函数与函数的图象有两个交点，即函数有两个零点，故的范围是.
故答案为：.
【分析】问题转化为函数与函数的图象有两个交点，作出函数的图象，数形结合求解即可.
14．（2026高二上·泸溪期末）已知函数，当时，函数在点处的切线方程为　 　；若对恒成立，则实数a的最大值为　 　．
【答案】；
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：当时，函数定义域为，
求导可得，，，
则函数在点处的切线方程为，即；
因为，，即，则，恒成立，
令，，则在上恒成立，
即在上单调递减，
故，得，即，恒成立，
记，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
则的最小值是，，故实数a的最大值是e．
故答案为：；e.
【分析】将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数几何意义求斜率，结合点斜式求切线方程即可；将问题转化为，恒成立，构造函数，，求导，利用导数研究其单调性，进而得到，恒成立，利用导数求的最小值即可.
15．（2026高二上·泸溪期末）一个小商店从一家有限公司购进21袋白糖，每袋白糖的标准质量是500g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：
486 495 496 498 499 493 493 498 484 497 504 489 495 503
499 503 509 498 487 500 508
（1）21袋白糖的平均质量是多少？标准差s是多少？
（2）质量位于与之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？
【答案】解：（1）平均质量，
标准差；
（2）质量位于与之间等于在区间上的白糖的袋数，共有14袋，所占的百分比为66.67%.
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据各袋白糖的质量，计算平均值与标准差即可；
（2）由（1）可知质量位于区间，统计袋数，再计算百分比即可．
16．（2026高二上·泸溪期末）如图，正方体边长为分别为中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的大小．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为分别为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：因为，所以是两异面直线与所成角或其补角，
又因为是等腰直角三角形，所以，
则两异面直线与所成角的大小为45°．
【知识点】异面直线所成的角；直线与平面平行的判定
【解析】【分析】（1）连接，利用中位线定理，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意可得是两异面直线与所成角或其补角，在等腰直角三角形中求解即可.
（1）证明：连接，
∵分别为中点，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
（2）解：∵，
∴是两异面直线与所成角或其补角，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴两异面直线与所成角的大小为45°．
17．（2026高二上·泸溪期末）如图，平行四边形的四个顶点分别在空间四边形的边上，求证：平面．
【答案】证明：因为 ，EH平面，平面，所以平面，
又因为平面ABD，平面∩平面，所以，
又因为平面，BD平面，所以平面.
【知识点】直线与平面平行的判定
【解析】【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，再根据线面平行性质可得，最后再根据线面平行的性质定理证明即可．
18．（2026高二上·泸溪期末）已知定义在上的偶函数和奇函数．
（1）求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）若方程在上恰有一个实根，求实数的取值范围．
【答案】解：（1）因为是上的偶函数，所以，即，
整理可得，因为不恒成立，所以对于恒成立，则；
因为是上的奇函数，所以，
即，因为不恒成立，所以，则，
故，；函数，；
（2）对恒成立，
即对恒成立，
令，为增函数，，
，
可得，，可得，恒成立，
因为在上单调递减，所以，
则的取值范围为；
（3）在恰有一个实根，
即，即在上恰有一个实根，
令，则，在上恰有一个实根，
当时，得，由可知无解；
当时，
因为，则有或，解得，
综上取值范围为.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系；对勾函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据奇偶函数的定义结合指数函数的运算求解即可；
（2）问题转化为对恒成立，令，可得，，分离参数即，恒成立，结合对勾函数的单调性求解即可；
（3） 方程在上恰有一个实根，即在上恰有一个实根，令，即在上恰有一个实根，对m分情况讨论，求解即可.
19．（2026高二上·泸溪期末）已知函数
（1）若，且，求的最小值；
（2）证明：曲线关于点中心对称；
（3）若当且仅当，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，，
，
因为，当且仅当时等号成立，所以，
要使成立，则，即，
故的最小值为；
（2）证明：的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为；
（3）解：因为当且仅当，所以为的一个解，所以，即，
先考虑时，恒成立，
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，则恒成立，即在上为增函数，
故，即在上恒成立；
当时，，则恒成立，即在上为增函数，
故，即在上恒成立；
当，时，，在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时，
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，即的解为，
综上，.
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用基本不等式求出，根据，可得，即可求的最小值；
（2）求函数的定义域，设为图象上任意一点，证明关于的对称点为也在函数的图象上即可；
（3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得b的范围.
（1）时，，其中，
则，
因为，当且仅当时等号成立，
故，而成立，故即，
所以的最小值为；
（2）的定义域为，
设为图象上任意一点，
关于的对称点为，
因为在图象上，故，
而，
，
所以也在图象上，
由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为；
（3）因为当且仅当，故为的一个解，
所以即，
先考虑时，恒成立.
此时即为在上恒成立，
设，则在上恒成立，
设，
则，
当，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当时，，
故恒成立，故在上为增函数，
故即在上恒成立.
当，则当时，
故在上为减函数，故，不合题意，舍；
综上，在上恒成立时.
而时，由上述过程可得在递增，故的解为，
即的解为.
综上，.
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