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四川省泸州市龙马潭区泸化中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题
1．（2026高一上·龙马潭期末）设，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2026高一上·龙马潭期末）若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】直接根据扇形面积公式求解即可.
3．（2026高一上·龙马潭期末）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先求出不等式的解集，再利用充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．（2026高一上·龙马潭期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A．
【分析】利用余弦的二倍角公式以及同角三角函数基本关系化简，再将代入求值即可.
5．（2026高一上·龙马潭期末）已知，则的最大值为（　　）
A．3 B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：B.
【分析】由已知条件结合不等式的基本性质，变形可得，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
6．（2026高一上·龙马潭期末）已知函数的定义域为，且满足，当时，，则的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；图形的对称性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以，函数图象关于直线对称，排除选项B和选项D；
当时，，令，则为增函数，
又因为为减函数，根据复合函数的单调性可知，
当时，单调递减，故排除选项C.
故答案为：A.
【分析】根据函数的图象的对称性和复合函数的单调性，再利用排除法找出函数的大致图象.
7．（2026高一上·龙马潭期末）函数的定义域为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，，即，
则，，解得，，
故函数的定义城为，.
故答案为：C.
【分析】根据偶次分式有意义，列不等式，结合正切函数的性质求解即可.
8．（2026高一上·龙马潭期末）函数的零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为.
因为函数是增函数，且在和上分别单调递增，
所以在和上分别单调递增.
当时，恒成立，所以无零点；
当时，，，
所以函数的零点所在区间为.
故答案为：B.
【分析】分析函数的单调性，并根据零点存在定理判断区间端点对应的函数值，可确定函数的零点所在区间.
9．（2026高一上·龙马潭期末）已知，且，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对于A：取，，则满足，
但，则未必成立，故A不成立；
对于B：因为函数在上单调递增，
则当时，必有，故B成立；
对于C：取，，则满足，
但，则未必成立，故C不成立；
对于D：因为函数在上单调递增，
则当时，必有，故D成立.
故答案为：BD.
【分析】利用幂函数的单调性和指数函数的单调性，则判断出选项B和选项D；利用特例法判断出选项A和选项C，从而找出不等式一定成立的选项.
10．（2026高一上·龙马潭期末）对于函数，，下列结论正确的有（　　）
A．当时，的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B．当时，的图像关于点中心对称
C．当时，在区间上是单调函数
D．若恒成立，则的最小值为2
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、 当时 ，，函数的图象向右平移个单位得到，故A正确；
B、当时，，，则的图像关于点中心对称 ，故B正确；
C、当时，，当时，，易知函数先增后减，故C错误；
D、若恒成立，则当时，函数取得最大值，即，
解得，且，故的最小值为2，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据三角函数图象的平移，结合诱导公式化简即可判断A；根据代入法，结合三角函数的性质即可判断BC；由函数的最值，求的取值集合即可判断D.
11．（2026高一上·龙马潭期末）函数的定义域为，区间，若在上的值域是，则称为的“-跟随区间”，下列结论正确的是（　　）
A．函数的一个“跟随区间”是
B．函数一定存在“跟随区间”
C．函数存在“3-跟随区间”
D．若函数存在“跟随区间”，则的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，在上单调递减，则其在上值域为：
，故A正确；
B、若存在“跟随区间”，设为，又在R上单调递增，
则由“跟随区间”定义可得，即图象与有2个不同交点，
但显然随着的改变，图象与可能相切，可能有2个不同交点，也可能没有交点，故B错误；
C、取区间，因，则上上单调递增，
则其在上值域为：，即函数存在“3-跟随区间”，故C正确；
D、，则在上单调递增，
若函数存在“跟随区间”，不妨，则，
化简可得为方程的两根，
其判别式，
由韦达定理：，
则
，当时取等号，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数的单调性，计算在上的值域，结合“-跟随区间”的定义即可判断A；由图象与图象交点情况即可判断B；取特殊区间即可判断C；先判断函数的单调性，将问题等价于为方程的两根，求最大值，利用韦达定理，结合配方求解即可判断D.
12．（2026高一上·龙马潭期末）　 　 ．
【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式
故答案为：．
【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算性质，从而化简求值．
13．（2026高一上·龙马潭期末）对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是　 　.
【答案】2
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：由题意，作出函数图象如下图所示：
在中，
令，解得，
则，
当时，；
当时，，
∴当时，函数最大，最大值是.
故答案为：.
【分析】先作出函数图象，再利用分类讨论的方法和函数求最值的方法，从而得出函数的最大值.
14．（2026高一上·龙马潭期末）已知函数，函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为的对称轴方程为，
所以时，，
即函数的值域为.
因为在上是增函数，
所以当时，，即函数值域为.
因为，，使得成立，
所以，即，解得.
故答案为：
【分析】要分别求出两个函数的值域，再根据“，使得成立”的条件，转化为两个值域的包含关系，进而求解参数的取值范围.
15．（2026高一上·龙马潭期末）已知全集为，集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为，
所以，
则，
解得，
则，
当时，
==，
所以，.

（2）解：由（1）知，=，
由，得==，
因为，
所以，
则，
所以，实数的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式，从而得出集合，再根据集合交集、并集的运算法则，从而得出.
（2）先根据补集的运算法则得出集合，再解一元二次不等式得出集合，再根据集合的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）解不等式即，所以解得，
则，
当时，或，
所以或.
（2）由（1）知或，
由得或，
因为，所以，
所以，
即实数的取值范围是.
16．（2026高一上·龙马潭期末）已知不等式的解集为或.
（1）求实数、的值；
（2）若，，，并且恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为不等式的解集为或，
则，
所以，关于的方程的两根分别为、，
由韦达定理，可得，则，
由，可得，
综上所述，，.
（2）解：因为，，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则的最小值为，
因为恒成立，所以，
则，解得，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知关于的方程的两根分别为、，再利用韦达定理可得实数、的值.
（2）由已知条件可得，结合基本不等式“1”的替换求出的最小值，进而可得关于实数的不等式，再解一元二次不等式可得实数的取值范围.
（1）解：因为不等式的解集为或，则，
所以，关于的方程的两根分别为、，
由韦达定理可得，可得，由，可得，
综上所述，，.
（2）解：因为，，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，
因为恒成立，则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
17．（2026高一上·龙马潭期末）西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.
（1）求常数的值；
（2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果精确到分钟(参考数据：，)
【答案】（1）解：茶水温度从开始，即当时，，解得；
（2）解：当时，，
当时，，即，
则，
故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感．
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据，将代入，求解即可；
（2）由（1）得到，令，结合指数、对数互化以及对数运算求解即可.
（1）茶水温度从开始，
即当时，，解得；
（2）当时，，
当时，，即，
，
故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感．
18．（2026高一上·龙马潭期末）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并利用定义法证明；
（3）若不等式在恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为定义域为的函数是奇函数，
所以，
则.
（2）解：函数是实数集上的减函数，
证明如下：
由（1）可知，
设是任意两个实数，且，
则，
因为，所以，
则，
所以函数是实数集上的减函数.
（3）解：因为函数是实数集上的奇函数，
由不等式
，
由（2）可知：函数是实数集上的减函数，
由
，
因为，所以，
由，
将原问题转化为在时恒成立，
设，，
则，
当时，函数是增函数，且，
由复合函数单调性的性质，可知函数也是增函数，
所以函数也是增函数，则，
所以，则要想在时恒成立，
只需，
所以的取值范围为.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和已知条件，从而得出实数a的值.
（2）根据函数单调性的定义结合指数函数的单调性，从而判断并证明函数的单调性.
（3）根据函数的单调性和奇偶性，再结合同角的三角函数关系式，则将原问题转化为在时恒成立，再构造新函数，，再利用复合函数的单调性得出复数函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围.
（1）因为定义域为的函数是奇函数，
所以
.
（2）函数是实数集上的减函数，证明如下：
由（1）可知，
设是任意两个实数，且，
，
因为，
所以，
所以，
所以函数是实数集上的减函数.
（3）因为函数是实数集上的奇函数，
所以由不等式
，
由（2）可知：函数是实数集上的减函数，
所以由
，
因为，所以，
所以由，
所以原问题转化为在时恒成立，
设，，
，
当时，函数是增函数，且，
由复合函数单调性的性质可知函数也是增函数，
所以函数也是增函数，，即，
所以要想在时恒成立，
只需，所以的取值范围为.
19．（2026高一上·龙马潭期末）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”.
（1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；
（2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围；
（3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合.
【答案】（1）解：函数，则，
则，
因为恒成立，不存在使得，
即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”；
，，
若，则，
故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”；
（2）解：因为是幂函数，所以，解得，
故，所以，
则，所以，因为且，
所以在上有非零实数解，则且，
令，且，令，则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，当且，，
故，
所以实数的取值范围为；
（3）解：函数是定义在上的“伪奇函数”，则，
即，
在上存在非零实数解，
令，，故，
即方程在开区间上存在非零实数解，
令，，对称轴为，
当时，，满足题意；
当时，则，
所以，故；
当时，则，即，即，
综上，，则满足整数的取值集合为.
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据解析式，先计算，验证还是，结合定义判断即可；
（2）根据函数为幂函数，求得，确定函数的解析式，再根据为“伪奇函数”列方程，通过换元法，结合函数性质求的范围即可；
（3）根据为“伪奇函数”列方程，令，，利用换元法，问题转化为二次方程在给定区间有解问题，分情况讨论对称轴与区间关系求解范围即可.
（1）由题可知，则，
则，因为恒成立，
不存在使得，即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”；
，，
若，则，
故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”；
（2）因为是幂函数，则，所以，
故，所以，
则，所以，因为且，
所以在上有非零实数解，则且，
令，且，令，则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，当且，，
故，
所以实数的取值范围为；
（3）由定义可得，，则，
所以在上存在非零实数解，
令，，故，
即方程在开区间上存在非零实数解，
令，，对称轴为，
当时，，满足题意；
当时，则，
所以，故；
当时，则，
即，即.
综上，，则满足整数的取值集合为.
1 / 1四川省泸州市龙马潭区泸化中学2025-2026学年高一上学期1月期末数学试题
1．（2026高一上·龙马潭期末）设，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2026高一上·龙马潭期末）若一个扇形的半径为4，圆心角为，则这个扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026高一上·龙马潭期末）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2026高一上·龙马潭期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高一上·龙马潭期末）已知，则的最大值为（　　）
A．3 B． C．1 D．
6．（2026高一上·龙马潭期末）已知函数的定义域为，且满足，当时，，则的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026高一上·龙马潭期末）函数的定义域为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2026高一上·龙马潭期末）函数的零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026高一上·龙马潭期末）已知，且，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026高一上·龙马潭期末）对于函数，，下列结论正确的有（　　）
A．当时，的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
B．当时，的图像关于点中心对称
C．当时，在区间上是单调函数
D．若恒成立，则的最小值为2
11．（2026高一上·龙马潭期末）函数的定义域为，区间，若在上的值域是，则称为的“-跟随区间”，下列结论正确的是（　　）
A．函数的一个“跟随区间”是
B．函数一定存在“跟随区间”
C．函数存在“3-跟随区间”
D．若函数存在“跟随区间”，则的最大值为
12．（2026高一上·龙马潭期末）　 　 ．
13．（2026高一上·龙马潭期末）对于任意实数，定义，设函数，则函数的最大值是　 　.
14．（2026高一上·龙马潭期末）已知函数，函数，若，，使得成立，则实数的取值范围为　 　.
15．（2026高一上·龙马潭期末）已知全集为，集合，集合.
（1）若，求；
（2）若，且，求实数的取值范围.
16．（2026高一上·龙马潭期末）已知不等式的解集为或.
（1）求实数、的值；
（2）若，，，并且恒成立，求实数的取值范围.
17．（2026高一上·龙马潭期末）西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在室温下，龙井用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从开始，经过分钟后的温度为且满足.
（1）求常数的值；
（2）经过测试可知，求在室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？结果精确到分钟(参考数据：，)
18．（2026高一上·龙马潭期末）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数的单调性，并利用定义法证明；
（3）若不等式在恒成立，求的取值范围.
19．（2026高一上·龙马潭期末）对于函数，若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪奇函数”.若其定义域内存在非零实数满足，则称为“伪偶函数”.
（1）已知函数，判断是否为“伪奇函数”；是否为“伪偶函数”并说明理由；
（2）若幂函数使得在上是“伪奇函数”，求实数的取值范围；
（3）若整数使得是定义在上的“伪奇函数”，求：的取值集合.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】直接根据扇形面积公式求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：由，解得或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先求出不等式的解集，再利用充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：A．
【分析】利用余弦的二倍角公式以及同角三角函数基本关系化简，再将代入求值即可.
5．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：B.
【分析】由已知条件结合不等式的基本性质，变形可得，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最大值.
6．【答案】A
【知识点】函数的图象；图形的对称性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，所以，函数图象关于直线对称，排除选项B和选项D；
当时，，令，则为增函数，
又因为为减函数，根据复合函数的单调性可知，
当时，单调递减，故排除选项C.
故答案为：A.
【分析】根据函数的图象的对称性和复合函数的单调性，再利用排除法找出函数的大致图象.
7．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法；正切函数的图象与性质
【解析】【解答】解：要使函数有意义，，即，
则，，解得，，
故函数的定义城为，.
故答案为：C.
【分析】根据偶次分式有意义，列不等式，结合正切函数的性质求解即可.
8．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为.
因为函数是增函数，且在和上分别单调递增，
所以在和上分别单调递增.
当时，恒成立，所以无零点；
当时，，，
所以函数的零点所在区间为.
故答案为：B.
【分析】分析函数的单调性，并根据零点存在定理判断区间端点对应的函数值，可确定函数的零点所在区间.
9．【答案】B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用不等式的性质比较数（式）的大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对于A：取，，则满足，
但，则未必成立，故A不成立；
对于B：因为函数在上单调递增，
则当时，必有，故B成立；
对于C：取，，则满足，
但，则未必成立，故C不成立；
对于D：因为函数在上单调递增，
则当时，必有，故D成立.
故答案为：BD.
【分析】利用幂函数的单调性和指数函数的单调性，则判断出选项B和选项D；利用特例法判断出选项A和选项C，从而找出不等式一定成立的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、 当时 ，，函数的图象向右平移个单位得到，故A正确；
B、当时，，，则的图像关于点中心对称 ，故B正确；
C、当时，，当时，，易知函数先增后减，故C错误；
D、若恒成立，则当时，函数取得最大值，即，
解得，且，故的最小值为2，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据三角函数图象的平移，结合诱导公式化简即可判断A；根据代入法，结合三角函数的性质即可判断BC；由函数的最值，求的取值集合即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、当时，在上单调递减，则其在上值域为：
，故A正确；
B、若存在“跟随区间”，设为，又在R上单调递增，
则由“跟随区间”定义可得，即图象与有2个不同交点，
但显然随着的改变，图象与可能相切，可能有2个不同交点，也可能没有交点，故B错误；
C、取区间，因，则上上单调递增，
则其在上值域为：，即函数存在“3-跟随区间”，故C正确；
D、，则在上单调递增，
若函数存在“跟随区间”，不妨，则，
化简可得为方程的两根，
其判别式，
由韦达定理：，
则
，当时取等号，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数的单调性，计算在上的值域，结合“-跟随区间”的定义即可判断A；由图象与图象交点情况即可判断B；取特殊区间即可判断C；先判断函数的单调性，将问题等价于为方程的两根，求最大值，利用韦达定理，结合配方求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：原式
故答案为：．
【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算性质，从而化简求值．
13．【答案】2
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：由题意，作出函数图象如下图所示：
在中，
令，解得，
则，
当时，；
当时，，
∴当时，函数最大，最大值是.
故答案为：.
【分析】先作出函数图象，再利用分类讨论的方法和函数求最值的方法，从而得出函数的最大值.
14．【答案】
【知识点】函数的值域；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为的对称轴方程为，
所以时，，
即函数的值域为.
因为在上是增函数，
所以当时，，即函数值域为.
因为，，使得成立，
所以，即，解得.
故答案为：
【分析】要分别求出两个函数的值域，再根据“，使得成立”的条件，转化为两个值域的包含关系，进而求解参数的取值范围.
15．【答案】（1）解：因为，
所以，
则，
解得，
则，
当时，
==，
所以，.

（2）解：由（1）知，=，
由，得==，
因为，
所以，
则，
所以，实数的取值范围是.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式，从而得出集合，再根据集合交集、并集的运算法则，从而得出.
（2）先根据补集的运算法则得出集合，再解一元二次不等式得出集合，再根据集合的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）解不等式即，所以解得，
则，
当时，或，
所以或.
（2）由（1）知或，
由得或，
因为，所以，
所以，
即实数的取值范围是.
16．【答案】（1）解：因为不等式的解集为或，
则，
所以，关于的方程的两根分别为、，
由韦达定理，可得，则，
由，可得，
综上所述，，.
（2）解：因为，，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则的最小值为，
因为恒成立，所以，
则，解得，
因此，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件可知关于的方程的两根分别为、，再利用韦达定理可得实数、的值.
（2）由已知条件可得，结合基本不等式“1”的替换求出的最小值，进而可得关于实数的不等式，再解一元二次不等式可得实数的取值范围.
（1）解：因为不等式的解集为或，则，
所以，关于的方程的两根分别为、，
由韦达定理可得，可得，由，可得，
综上所述，，.
（2）解：因为，，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为，
因为恒成立，则，即，解得.
因此，实数的取值范围是.
17．【答案】（1）解：茶水温度从开始，即当时，，解得；
（2）解：当时，，
当时，，即，
则，
故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感．
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据，将代入，求解即可；
（2）由（1）得到，令，结合指数、对数互化以及对数运算求解即可.
（1）茶水温度从开始，
即当时，，解得；
（2）当时，，
当时，，即，
，
故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感．
18．【答案】（1）解：因为定义域为的函数是奇函数，
所以，
则.
（2）解：函数是实数集上的减函数，
证明如下：
由（1）可知，
设是任意两个实数，且，
则，
因为，所以，
则，
所以函数是实数集上的减函数.
（3）解：因为函数是实数集上的奇函数，
由不等式
，
由（2）可知：函数是实数集上的减函数，
由
，
因为，所以，
由，
将原问题转化为在时恒成立，
设，，
则，
当时，函数是增函数，且，
由复合函数单调性的性质，可知函数也是增函数，
所以函数也是增函数，则，
所以，则要想在时恒成立，
只需，
所以的取值范围为.
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质和已知条件，从而得出实数a的值.
（2）根据函数单调性的定义结合指数函数的单调性，从而判断并证明函数的单调性.
（3）根据函数的单调性和奇偶性，再结合同角的三角函数关系式，则将原问题转化为在时恒成立，再构造新函数，，再利用复合函数的单调性得出复数函数的值域，再结合不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围.
（1）因为定义域为的函数是奇函数，
所以
.
（2）函数是实数集上的减函数，证明如下：
由（1）可知，
设是任意两个实数，且，
，
因为，
所以，
所以，
所以函数是实数集上的减函数.
（3）因为函数是实数集上的奇函数，
所以由不等式
，
由（2）可知：函数是实数集上的减函数，
所以由
，
因为，所以，
所以由，
所以原问题转化为在时恒成立，
设，，
，
当时，函数是增函数，且，
由复合函数单调性的性质可知函数也是增函数，
所以函数也是增函数，，即，
所以要想在时恒成立，
只需，所以的取值范围为.
19．【答案】（1）解：函数，则，
则，
因为恒成立，不存在使得，
即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”；
，，
若，则，
故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”；
（2）解：因为是幂函数，所以，解得，
故，所以，
则，所以，因为且，
所以在上有非零实数解，则且，
令，且，令，则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，当且，，
故，
所以实数的取值范围为；
（3）解：函数是定义在上的“伪奇函数”，则，
即，
在上存在非零实数解，
令，，故，
即方程在开区间上存在非零实数解，
令，，对称轴为，
当时，，满足题意；
当时，则，
所以，故；
当时，则，即，即，
综上，，则满足整数的取值集合为.
【知识点】函数的奇偶性；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据解析式，先计算，验证还是，结合定义判断即可；
（2）根据函数为幂函数，求得，确定函数的解析式，再根据为“伪奇函数”列方程，通过换元法，结合函数性质求的范围即可；
（3）根据为“伪奇函数”列方程，令，，利用换元法，问题转化为二次方程在给定区间有解问题，分情况讨论对称轴与区间关系求解范围即可.
（1）由题可知，则，
则，因为恒成立，
不存在使得，即不存在非零实数使得，故不是“伪奇函数”；
，，
若，则，
故不存在非零实数使得，故不是“伪偶函数”；
（2）因为是幂函数，则，所以，
故，所以，
则，所以，因为且，
所以在上有非零实数解，则且，
令，且，令，则，
因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以，当且，，
故，
所以实数的取值范围为；
（3）由定义可得，，则，
所以在上存在非零实数解，
令，，故，
即方程在开区间上存在非零实数解，
令，，对称轴为，
当时，，满足题意；
当时，则，
所以，故；
当时，则，
即，即.
综上，，则满足整数的取值集合为.
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