资源简介

贵州省黔西南布依族苗族自治州兴仁市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
1．（2026八上·兴仁期末）“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026八上·兴仁期末）数学来源于生活，又服务于生活，如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短
3．（2026八上·兴仁期末）如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得，，那么点A，B两点之间的距离可能是（　　）
A． B． C． D．
4．（2026八上·兴仁期末）如图，和是的两个外角，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2026八上·兴仁期末）等腰三角形的两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
6．（2026八上·兴仁期末）在整式乘法公式的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形验证著名的平方差公式．这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）
A．整体思想 B．数形结合思想
C．分类思想 D．类比思想
7．（2026八上·兴仁期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
8．（2026八上·兴仁期末）若把分式中的a，b都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍
C．不变 D．缩小到原来的
9．（2026八上·兴仁期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2026八上·兴仁期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应六个字：北，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱数学 B．爱河北 C．河北数学 D．我爱河北
11．（2026八上·兴仁期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点D．则下列结论错误的是（　　）
A．是的角平分线 B．
C． D．
12．（2026八上·兴仁期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　）
A．64 B．32 C．16 D．128
13．（2026八上·兴仁期末）我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为　 　．
14．（2026八上·兴仁期末）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式　 　．
15．（2026八上·兴仁期末）如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是　 　．
16．（2026八上·兴仁期末）如图，P为等边三角形外一点，连接，，．已知，，O为的中点，则的最大值为　 　．
17．（2026八上·兴仁期末）按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）先化简代数式，再选择一个你喜欢的a的值代入求值．
18．（2026八上·兴仁期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求出的面积．
（2）作关于x轴对称的．
（3）在y轴上找一点P，使得的值最小，请在图中作出点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标．
19．（2026八上·兴仁期末）已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
20．（2026八上·兴仁期末）先阅读下列解题过程，再回答问题．
解方程．
解：方程两边乘，得，…第①步
移项，得，．．．第②步
合并同类项、系数化为1，得，…第③步
…
（1）以上解方程的步骤中，最先开始出错的是第_____步（填序号），错误的原因是_____；
（2）请写出正确的解答过程．
21．（2026八上·兴仁期末）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，
（1）从下列条件中选择一个作为已知条件：①；②；③；求证：；
（2）在（1）的条件下，若，，求的度数．
22．（2026八上·兴仁期末）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型机器人多少台？
23．（2026八上·兴仁期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：
①；
②．
（2）已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．
24．（2026八上·兴仁期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式______．
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若，，则______．
【知识迁移】
（3）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求CE的长度．
25．（2026八上·兴仁期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图①，在和中，，，，连接．直接写出与的数量关系是：______；
（2）类比探究：如图②，在和中，，，，连接请猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M．请直接写出之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知选项ABC的图形不是轴对称图形，选项D的图形是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐项进行判断即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：C．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，，能构成三角形，
∴，
即，
只有8符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系可得，可得，从而得解.
4．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用邻补角的定义求出即可.
5．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设顶角为，底角为．
∵等腰三角形，
∴两底角相等．
情况1：顶角与底角之比为，即．
设，．
∵，
∴，
解得：，
∴．
情况2：底角与顶角之比为，即．
设，．
∵，
∴，
解得：，
∴．
∴顶角为或．
故答案为：C．
【分析】分类讨论：情况1：顶角与底角之比为，即；情况2：底角与顶角之比为，即，再利用三角形的内角和列出方程求解即可.
6．【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：由左图可知阴影部分面积为，
由右图可知阴影部分面积为，
根据两图形的面积相等可得，
这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现的数学思想是数形结合思想，
故选：B．
【分析】根据割补法，结合矩形面积即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，
依题有：＝2× .
故答案为：B.
【分析】设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可.
8．【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：原分式为，
当a和b都扩大到原来的2倍时，新分式为．
∵，
∴分式的值不变．
故答案为：C．
【分析】先根据题意求出新分式为，再利用分式的约分化简求解即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意；
C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意；
D、如图，
∵，∴，，∵，∴，∵，∴，
∴，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和三角形的内角和分析求解即可.
10．【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
，
∵3对应“我”，对应 “北”，对应“河”，对应“爱”，
∴可能的密码信息是：我爱河北，
故答案为：D．
【分析】先将原式进行因式分解，再结合各因数找出对应的字，从而得解.
11．【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得是的平分线，所以选项A的结论正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴，所以B的结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，所以C的结论错误，符合题意；
设，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得（负值已舍去），
∴，所以D的结论正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据作图痕迹可得是的平分线，再利用角平分线的性质和三角形的面积公式及含30°角的直角三角形的性质求解即可.
12．【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；探索数与式的规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，∠A1B1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴A2B2＝2B1A2，
同理B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△A7B7A8的边长为 26＝64．
故答案为：A.
【分析】先利用等边三角形的性质可得∠B1A1A2＝60°，∠A1B1A2＝60°，再求出A2B1＝1，利用同样的方法求出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，再利用此规律最后求出△A7B7A8的边长为 26＝64即可．
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
故答案为：．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】分式的概念；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：当时，分式的值为0，因此分子必须为0，但分母不能为0，
设分子为，分母为a，则当时，分子，分母，满足条件．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】利用分式的定义（分母不为0）以及分式的值的定义求解即可.
15．【答案】4
【知识点】三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图所示，延长，交于点E，
∵点O是的重心，
∴是的中线，
∴，
∴，
即，
同理，．
∵，
∴．
∵D是的中点，
∴．
故答案为：4．
【分析】延长，交于点E，先利用重心的性质求出是的中线，可得，再利用等量代换求出，再结合D是的中点，最后求出即可．
16．【答案】4
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：依题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，如图所示：
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形，
∴，
则，
即，
∵
∴，
∴，
∵为的中点，
∴的最大值为，
在中，，
当三点共线，则，
即，
∴的最大值为，
故答案为：4.
【分析】在的左边，作一个以为边的等边三角形，先证出，可得，再结合为的中点，可得的最大值为，最后证出当三点共线，则，然后求出，从而可得的最大值为.
17．【答案】（1）解：

（2）解：
由题意得且，故可取.
故原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）先利用分式的混合运算化简可得，再将a的值代入计算即可.
（1）解：
（2）解：
由题意得且，故可取.
故原式．
18．【答案】（1）解：的面积.
（2）解：如图，即为所求作；
（3）解：如图，作点C关于y轴对称的点，连接，交y轴于点P，连接，
∵
∴此时为最小值，
则点P即为所求．
由图可得：.
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（3）解：由图可得，．
故答案为：．
【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；
（2）先利用关于x轴对称的点坐标的特征（横坐标不变，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）作点C关于y轴对称的点，连接，交y轴于点P，连接，则点P即为所求，再结合平面直角坐标系直接求出点P的坐标即可.
（1）解：的面积；
（2）解：如图，即为所求作；
（3）解：如图，作点C关于y轴对称的点，连接，交y轴于点P，连接，
∵
∴此时为最小值，
则点P即为所求．
由图可得，．
19．【答案】（1）解：．
（2）解：．
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的逆运算将原式变形为，再将，代入计算即可；
（2）先将原式变形为，再将，代入计算即可.
（1）解：．
（2）解：．
20．【答案】（1）①； 左边的常数项没有乘
（2）解：．
方程两边乘，得，
去括号得：．
移项，得
合并同类项、系数化为1，得，
经检验，当时，，
则原分式方程的解为：．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：∵方程两边乘，
得，
∴开始出错的是第①步；
错误的原因是左边的常数项没有乘．
故答案为：①； 左边的常数项没有乘.
【分析】（1）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
（2）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
（1）解：∵方程两边乘，
得，
∴开始出错的是第①步；
错误的原因是左边的常数项没有乘．
（2）解：．
方程两边乘，得，
去括号得：．
移项，得
合并同类项、系数化为1，得，
经检验，当时，，
则原分式方程的解为：．
21．【答案】（1）证明：①∵，
∴，
即．
∵，
∴；
③∵，
∴，
即．
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用三角形全等的判定方法：SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）分析求解即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用内角和求解即可.
（1）证明：①∵，
∴，
即．
∵，
∴；
③∵，
∴，
即．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
22．【答案】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，
根据题意可得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，
当时，，
答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料.
（2）解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台，
根据题意可得：，
解得：，
∵是整数，
∴，
∴a的最小值为，
答：至少购进A型机器人7台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，利用“ A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同 ”列出方程求解即可；
（2）设购进A型机器人台，则购进B型机器人台，利用“ 每小时搬运材料不得少于 ”列出不等式求解即可.
（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，
∴，
解得，
经检验，是所列方程的解，
当时，，
答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料；
（2）解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台，
，
解得：，
∵是整数，
∴，
∴a的最小值为，
答：至少购进A型机器人7台．
23．【答案】（1）解：①
；
②
.
（2）解：等边三角形，
理由如下：，
∴
，
∴，
，，
，，，
∴，
的形状是等边三角形．
【知识点】因式分解的应用；等边三角形的判定；因式分解-分组分解法；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【分析】（1）①参照题干中的定义利用分组分解因式进行求解即可；
②参照题干中的定义利用分组分解因式进行求解即可；
（2）先将原式进行因式分解可得，再利用非负数之和为0的性质求出，从而得证.
（1）解：①
；
②
；
（2）解：等边三角形，理由如下：
，
∴
，
∴，
，，
，，，
∴，
的形状是等边三角形．
24．【答案】（1）；
（2）32；
（3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，
则，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
可以验证公式．
故答案为：．
（2）由条件可知，
当，时，．
故答案为：32．
【分析】（1）利用不同的表达式表示图形的面积可得等式；
（2）将等式变形为，再将，代入计算即可；
（3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，先求出，，，可得，，再求出，最后求出，即，从而得解.
25．【答案】（1）
（2）解：，
理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵和都是等腰三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得，再求出，最后利用线段的和差及等量代换可得 .
（1）解：∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：∵和都是等腰三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
1 / 1贵州省黔西南布依族苗族自治州兴仁市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题
1．（2026八上·兴仁期末）“嫦娥”奔月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“天和”遨游星辰……在浩瀚的宇宙中谱写着中华民族飞天梦想的乐章．下列航天图标（不考虑字符与颜色）为轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形的定义，可知选项ABC的图形不是轴对称图形，选项D的图形是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此逐项进行判断即可.
2．（2026八上·兴仁期末）数学来源于生活，又服务于生活，如图，人字梯中间一般会设计一根“拉杆”，这样做的道理是（　　）
A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短
C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短
【答案】C
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故选：C．
【分析】根据三角形的稳定性即可求出答案.
3．（2026八上·兴仁期末）如图，为估计沙堆两侧点A，B间的距离，某同学在沙堆一侧选取一点C，测得，，那么点A，B两点之间的距离可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵，，能构成三角形，
∴，
即，
只有8符合题意，
故答案为：B．
【分析】利用三角形三边的关系可得，可得，从而得解.
4．（2026八上·兴仁期末）如图，和是的两个外角，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴；
故答案为：B．
【分析】先利用三角形的内角和求出，再利用邻补角的定义求出即可.
5．（2026八上·兴仁期末）等腰三角形的两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设顶角为，底角为．
∵等腰三角形，
∴两底角相等．
情况1：顶角与底角之比为，即．
设，．
∵，
∴，
解得：，
∴．
情况2：底角与顶角之比为，即．
设，．
∵，
∴，
解得：，
∴．
∴顶角为或．
故答案为：C．
【分析】分类讨论：情况1：顶角与底角之比为，即；情况2：底角与顶角之比为，即，再利用三角形的内角和列出方程求解即可.
6．（2026八上·兴仁期末）在整式乘法公式的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形验证著名的平方差公式．这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）
A．整体思想 B．数形结合思想
C．分类思想 D．类比思想
【答案】B
【知识点】平方差公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：由左图可知阴影部分面积为，
由右图可知阴影部分面积为，
根据两图形的面积相等可得，
这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现的数学思想是数形结合思想，
故选：B．
【分析】根据割补法，结合矩形面积即可求出答案.
7．（2026八上·兴仁期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解： 设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，
依题有：＝2× .
故答案为：B.
【分析】设规定时间为x天，则用慢马的时间为（x+1）天，用快马的时间为（x-3）天，根据快马的速度是慢马的2倍列出方程即可.
8．（2026八上·兴仁期末）若把分式中的a，b都扩大到原来的2倍，那么分式的值（　　）
A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍
C．不变 D．缩小到原来的
【答案】C
【知识点】分式的基本性质；分式基本性质的应用-判断分式值的变化
【解析】【解答】解：原分式为，
当a和b都扩大到原来的2倍时，新分式为．
∵，
∴分式的值不变．
故答案为：C．
【分析】先根据题意求出新分式为，再利用分式的约分化简求解即可.
9．（2026八上·兴仁期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意；
C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意；
D、如图，
∵，∴，，∵，∴，∵，∴，
∴，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用平行线的性质和三角形的内角和分析求解即可.
10．（2026八上·兴仁期末）王林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应六个字：北，爱，我，数，学，河，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　）
A．我爱数学 B．爱河北 C．河北数学 D．我爱河北
【答案】D
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：
，
∵3对应“我”，对应 “北”，对应“河”，对应“爱”，
∴可能的密码信息是：我爱河北，
故答案为：D．
【分析】先将原式进行因式分解，再结合各因数找出对应的字，从而得解.
11．（2026八上·兴仁期末）如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点D．则下列结论错误的是（　　）
A．是的角平分线 B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法得是的平分线，所以选项A的结论正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
∴，所以B的结论正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，所以C的结论错误，符合题意；
设，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
解得（负值已舍去），
∴，所以D的结论正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据作图痕迹可得是的平分线，再利用角平分线的性质和三角形的面积公式及含30°角的直角三角形的性质求解即可.
12．（2026八上·兴仁期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1，A2，A3……在射线ON上，点B1，B2，B3……在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4……均为等边三角形，若OA1＝1，则△A7B7A8的边长为（　　）
A．64 B．32 C．16 D．128
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；探索数与式的规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴∠B1A1A2＝60°，∠A1B1A2＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠OB1A1＝30°，
∴A1B1＝OA1＝1，∠OB1A2＝90°，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A2B2A3是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴A2B2＝2B1A2，
同理B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△A7B7A8的边长为 26＝64．
故答案为：A.
【分析】先利用等边三角形的性质可得∠B1A1A2＝60°，∠A1B1A2＝60°，再求出A2B1＝1，利用同样的方法求出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，再利用此规律最后求出△A7B7A8的边长为 26＝64即可．
13．（2026八上·兴仁期末）我们生活在物质的世界里，所有的物质都是由一些看不见的微小粒子构成的，例如水就是由水分子构成的．科学家们通过测量发现一个水分子的直径仅约，其中用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为，
故答案为：．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
14．（2026八上·兴仁期末）两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母a；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式　 　．
【答案】
【知识点】分式的概念；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：当时，分式的值为0，因此分子必须为0，但分母不能为0，
设分子为，分母为a，则当时，分子，分母，满足条件．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】利用分式的定义（分母不为0）以及分式的值的定义求解即可.
15．（2026八上·兴仁期末）如图，在中，点O为三角形的重心，D为中点，若的面积为24，则的面积是　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的重心及应用；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图所示，延长，交于点E，
∵点O是的重心，
∴是的中线，
∴，
∴，
即，
同理，．
∵，
∴．
∵D是的中点，
∴．
故答案为：4．
【分析】延长，交于点E，先利用重心的性质求出是的中线，可得，再利用等量代换求出，再结合D是的中点，最后求出即可．
16．（2026八上·兴仁期末）如图，P为等边三角形外一点，连接，，．已知，，O为的中点，则的最大值为　 　．
【答案】4
【知识点】两点之间线段最短；三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：依题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，如图所示：
∵是等边三角形，
∴
∵是等边三角形，
∴，
则，
即，
∵
∴，
∴，
∵为的中点，
∴的最大值为，
在中，，
当三点共线，则，
即，
∴的最大值为，
故答案为：4.
【分析】在的左边，作一个以为边的等边三角形，先证出，可得，再结合为的中点，可得的最大值为，最后证出当三点共线，则，然后求出，从而可得的最大值为.
17．（2026八上·兴仁期末）按要求完成下列各题：
（1）计算：；
（2）先化简代数式，再选择一个你喜欢的a的值代入求值．
【答案】（1）解：

（2）解：
由题意得且，故可取.
故原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）先利用分式的混合运算化简可得，再将a的值代入计算即可.
（1）解：
（2）解：
由题意得且，故可取.
故原式．
18．（2026八上·兴仁期末）如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）求出的面积．
（2）作关于x轴对称的．
（3）在y轴上找一点P，使得的值最小，请在图中作出点P（保留作图痕迹），并直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：的面积.
（2）解：如图，即为所求作；
（3）解：如图，作点C关于y轴对称的点，连接，交y轴于点P，连接，
∵
∴此时为最小值，
则点P即为所求．
由图可得：.
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（3）解：由图可得，．
故答案为：．
【分析】（1）利用三角形的面积公式及割补法求出△ABC的面积即可；
（2）先利用关于x轴对称的点坐标的特征（横坐标不变，纵坐标变为相反数）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（3）作点C关于y轴对称的点，连接，交y轴于点P，连接，则点P即为所求，再结合平面直角坐标系直接求出点P的坐标即可.
（1）解：的面积；
（2）解：如图，即为所求作；
（3）解：如图，作点C关于y轴对称的点，连接，交y轴于点P，连接，
∵
∴此时为最小值，
则点P即为所求．
由图可得，．
19．（2026八上·兴仁期末）已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：．
（2）解：．
【知识点】幂的乘方运算；同底数幂乘法的逆用；同底数幂除法的逆用
【解析】【分析】（1）利用同底数幂的逆运算将原式变形为，再将，代入计算即可；
（2）先将原式变形为，再将，代入计算即可.
（1）解：．
（2）解：．
20．（2026八上·兴仁期末）先阅读下列解题过程，再回答问题．
解方程．
解：方程两边乘，得，…第①步
移项，得，．．．第②步
合并同类项、系数化为1，得，…第③步
…
（1）以上解方程的步骤中，最先开始出错的是第_____步（填序号），错误的原因是_____；
（2）请写出正确的解答过程．
【答案】（1）①； 左边的常数项没有乘
（2）解：．
方程两边乘，得，
去括号得：．
移项，得
合并同类项、系数化为1，得，
经检验，当时，，
则原分式方程的解为：．
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】（1）解：∵方程两边乘，
得，
∴开始出错的是第①步；
错误的原因是左边的常数项没有乘．
故答案为：①； 左边的常数项没有乘.
【分析】（1）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
（2）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
（1）解：∵方程两边乘，
得，
∴开始出错的是第①步；
错误的原因是左边的常数项没有乘．
（2）解：．
方程两边乘，得，
去括号得：．
移项，得
合并同类项、系数化为1，得，
经检验，当时，，
则原分式方程的解为：．
21．（2026八上·兴仁期末）如图，点A、D、B、E在同一条直线上，，，
（1）从下列条件中选择一个作为已知条件：①；②；③；求证：；
（2）在（1）的条件下，若，，求的度数．
【答案】（1）证明：①∵，
∴，
即．
∵，
∴；
③∵，
∴，
即．
∵，
∴.
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用三角形全等的判定方法：SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）分析求解即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，再利用内角和求解即可.
（1）证明：①∵，
∴，
即．
∵，
∴；
③∵，
∴，
即．
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
22．（2026八上·兴仁期末）某公司计划购买A，B两种型号的机器人搬运材料．已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运材料，且A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同．
（1）求A，B两种型号的机器人每小时分别搬运多少材料；
（2）该公司计划采购A，B两种型号的机器人共20台，要求每小时搬运材料不得少于，则至少购进A型机器人多少台？
【答案】（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，
根据题意可得：，
解得，
经检验，是所列方程的解，
当时，，
答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料.
（2）解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台，
根据题意可得：，
解得：，
∵是整数，
∴，
∴a的最小值为，
答：至少购进A型机器人7台．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，利用“ A型机器人搬运材料所用的时间与B型机器人搬运材料所用的时间相同 ”列出方程求解即可；
（2）设购进A型机器人台，则购进B型机器人台，利用“ 每小时搬运材料不得少于 ”列出不等式求解即可.
（1）解：设B型机器人每小时搬运材料，则A型机器人每小时搬运材料，
∴，
解得，
经检验，是所列方程的解，
当时，，
答：A型机器人每小时搬运材料，B型机器人每小时搬运材料；
（2）解：设购进A型机器人台，则购进B型机器人台，
，
解得：，
∵是整数，
∴，
∴a的最小值为，
答：至少购进A型机器人7台．
23．（2026八上·兴仁期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解．
例1：“两两分组”：
解：原式
例2：“三一分组”：
解：原式
归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：
（1）分解因式：
①；
②．
（2）已知的三边a，b，c满足，试判断的形状．
【答案】（1）解：①
；
②
.
（2）解：等边三角形，
理由如下：，
∴
，
∴，
，，
，，，
∴，
的形状是等边三角形．
【知识点】因式分解的应用；等边三角形的判定；因式分解-分组分解法；因式分解的应用-判断三角形形状
【解析】【分析】（1）①参照题干中的定义利用分组分解因式进行求解即可；
②参照题干中的定义利用分组分解因式进行求解即可；
（2）先将原式进行因式分解可得，再利用非负数之和为0的性质求出，从而得证.
（1）解：①
；
②
；
（2）解：等边三角形，理由如下：
，
∴
，
∴，
，，
，，，
∴，
的形状是等边三角形．
24．（2026八上·兴仁期末）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式．
（1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式______．
利用上述公式解决问题：
【直接应用】
（2）若，，则______．
【知识迁移】
（3）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为9，的面积为3，求CE的长度．
【答案】（1）；
（2）32；
（3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，
则，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：（1）图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
可以验证公式．
故答案为：．
（2）由条件可知，
当，时，．
故答案为：32．
【分析】（1）利用不同的表达式表示图形的面积可得等式；
（2）将等式变形为，再将，代入计算即可；
（3）设正方形的边长为m，正方形的边长为n，先求出，，，可得，，再求出，最后求出，即，从而得解.
25．（2026八上·兴仁期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．
（1）发现问题：如图①，在和中，，，，连接．直接写出与的数量关系是：______；
（2）类比探究：如图②，在和中，，，，连接请猜想与的数量关系，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图③，和均为等腰直角三角形，，连接，且点B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M．请直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：，
理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴.
（3）
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
故答案为：；
（3）解：∵和都是等腰三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（2）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得，再求出，最后利用线段的和差及等量代换可得 .
（1）解：∵，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：∵和都是等腰三角形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
1 / 1

展开更多......

收起↑