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四川省成都市某中学2025-2026学年高一上学期学业质量适应性考试数学试题
1．（2026高一上·成都期末）命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是.
故答案为：D.
【分析】根据命题否定的概念直接判断即可.
2．（2026高一上·成都期末）已知集合，则（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】由元素与集合的关系，再利用元素的互异性，从而得出实数a的值.
3．（2026高一上·成都期末）函数的零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由函数单调性的性质可知，函数是实数集上的增函数，
因为，
所以函数的零点所在区间为.
故答案为：A．
【分析】由已知条件和零点存在性定理，再利用函数单调性，从而得出函数的零点所在区间.
4．（2026高一上·成都期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，显然，故A错误；
B、由，可得，利用同向不等式可加性得：，故B错误；
C、由，因为，
所以，则，故C正确；
D、取，则，与相矛盾，故D错误；
故答案为：C.
【分析】取，得即可判断A；利用不等式的性质，及不等式同向可加性即可判断B；作差法比较大小即可判断C；取特殊值验证即可判断D..
5．（2026高一上·成都期末）已知则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】先拆角，再利用诱导公式得出的值.
6．（2026高一上·成都期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：台湾的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根，
由，可得方程的两根为，
又因为，
所以，
由，可知为增函数，
由，得，
所以，函数的图象与y轴的交点在x轴上方.
故答案为：C.
【分析】由函数的图象可知的两个根中有一个根在，另一个根在，再结合可得的取值范围，再利用指数函数的单调性和b的取值范围，从而得出函数的图象与y轴的交点在x轴上方，进而找出函数的大致图象.
7．（2026高一上·成都期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，，函数在上单调递增，
则，即，即，
对数函数在上单调递增，，即，
综上可知：.
故答案为：D.
【分析】将变形为，根据幂函数的单调性判断的大小，再对数函数的单调性判断和的大小关系，借助中间值1比较的大小即可.
8．（2026高一上·成都期末）函数的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性
【解析】【解答】解：对数的真数大于0，
，
则，
解得，
令，
则，
的底数，
时，单调递减，
又因为函数是开口向下的二次函数，对称轴为，
在上单调递增，在上单调递减，
复合函数的单调性满足同增异减，
在上单调递减，在上单调递增．
故答案为：D．
【分析】利用对数型函数真数部分大于0，从而求出函数定义域，再利用复合函数的单调性，即同增异减，则对数型函数的底数确定外层函数的单调性，令，再分析在定义域内的单调区间，再利用复合函数单调性，从而求出函数的单调区间．
9．（2026高一上·成都期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，（）都有.记，，，则（　　）
A．为奇函数 B．为偶函数
C． D．
【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A、B，因为是定义在R上的偶函数，
所以，且的定义域为，
则函数为偶函数，故A错误、B正确；
对于C、D，由，都有，
所以，
则，
所以，
则，
所以在上单调递减，
又因为，，，
所以，故C错误、D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据函数的奇偶性的定义和已知条件，则判断出选项A和选项B；将已知条件式变形可得，从而可得，再利用函数在上单调递减结合函数的奇偶性，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
10．（2026高一上·成都期末）下列说法不正确的有（　　）
A．已知函数（且）的图象过定点.
B．若则有最小值2
C．若不等式的解集为，则.
D．函数在定义域上是增函数.
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数型复合函数的性质及应用；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，令，得，此时，
则函数过定点，故A错误；
对于B，令，因为
所以，
由对勾函数在上为减函数，
则对勾函数的最小值为5，故B错误；
对于C，若不等式的解集为，
可得和是方程的两个实数根，
则满足且，
解得，
所以，故C正确；
对于D，由函数，
可得函数的定义域为，
则函数在上单调递增，在不是单调函数，故D错误.
故答案为：ABD.
【分析】由指数型函数过定点的性质，则可判断选项A；由正弦函数的取值范围结合对勾函数的单调性，从而得出函数的最小值，则判断出选项B；利用一元二次不等式求解方法和一元二次方程根与系数的关系，则得出a，c的值，从而得出a+c的值，则判断出选项C；由函数的定义域和函数的单调性定义，则判断出选项D，从而找出说法不正确的选项.
11．（2026高一上·成都期末）已知函数，且时，，则（　　）
A． B．
C．的取值范围为 D．函数的值域为
【答案】A,C,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、作出函数的图象，
由图可知，若，
B、则，该选项正确，符合题意；
因为，可得，
所以，可得，该选项错误，不合题意；
C、依题意，，得，
则，且当接近时，接近，接近4，
此时，
且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷，
则的取值范围为，该选项正确，符合题意；
D、函数，，
设，则，
则，，
所以函数的值域为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD
【分析】对于A，作出分段函数的图象，由图象可得；对于B，由两值相等，可得求得；对于C，，，且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷，可得；对于D，设，则，则，即可得值域.
12．（2026高一上·成都期末）　 　.
【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】根据指数幂运算及对数的性质，化简可得
，
故答案为：1。
【分析】利用指数幂的运算法则结合对数的运算法则，从而化简求值。
13．（2026高一上·成都期末）已知角的终边经过点，则　 　．
【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：角的终边经过点，由三角函数的定义可知：，
则.
故答案为：.
【分析】由任意角的三角函数定义求得，再利用三角函数的诱导公式结合同角三角函数的商关系化简求值即可.
14．（2026高一上·成都期末）若函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围恰好是，就称区间为的一个“和谐区间”.
（1）函数　 　“和谐区间”（填“有”或“没有”）
（2）当时，，则的“和谐区间”为　 　.
【答案】没有；
【知识点】函数的值域；区间与无穷的概念；奇偶性与单调性的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：（1）函数的定义域为，且函数为奇函数，
当时，；当时，，
则一定同号，
当时，函数为减函数，
对于上，任意的，
则，
当时，函数没有“和谐区间”，
同理可得，当时，函数没有“和谐区间”，
所以函数没有“和谐区间”.
（2）当时，，设，
因为在上单调递减，
所以函数在上的值域为，
由函数单调性与“和谐区间”的定义，
可知，，
所以，
则是方程的两个不相等的正数根，
所以是方程的两个不相等的正数根，
则，
所以在区间上的“和谐区间”是，
则的“和谐区间”是.
故答案为：没有；.
【分析】（1）先求出函数的定义域，再结合函数单调性和奇偶性，从而得到当和时均没有“和谐区间”，则判断出函数没有“和谐区间”.
（2）由函数单调性得到，则是方程的两个不相等的正数根，再利用代入法得出的值，从而得出的“和谐区间”.
15．（2026高一上·成都期末）若角满足
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为角满足，
所以，
则，
又因为，
所以且，
则，
由且，
得，
所以.

（2）解：由（1）知：，
则，
所以.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和角的取值范围，再利用平方法和同角三角函数基本关系式以及三角函数值在各象限的符号，再开方得出满足要求的的值.
（2）由（1）知：，解方程组得出的值，再代入的值得出的值.
（1）因为角满足，
则，
所以，又因为，则且，
所以，
由且，有，所以.
（2）由（1）知：，则，
则.
16．（2026高一上·成都期末）全集，集合，非空集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为集合，
所以或，
若，则集合，
所以或.
（2）解：若“”是“”的必要不充分条件，
则集合B是集合A的真子集，且集合，
非空集合，
则且，
解得，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合B，再利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
（2）利用“”是“”的必要不充分条件可知集合B是集合A的真子集，再结合集合的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）因为集合，则或，
若，则集合，
所以或.
（2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集，
且集合，非空集合，
则且，解得，
所以实数的取值范围为.
17．（2026高一上·成都期末）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于80时听课效果最佳.
（1）试求的函数关系式；
（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由.
【答案】（1）解：由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为，且过点，
由此设二次函数为，则，解得，
则，
当时，曲线是函数（且）图象的一部分，且过点，
则，即，解得，即，
则；
（2）解：由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳，
当时，令，解得；
当时，令，解得，
综上可得，，
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）当时，由题意设，利用待定系数法求解析式，当时，根据函数函数（且）过点，求得a，从而可得函数的关系式；
（2）由（1）的结论，由，分别解二次不等式和对数不等式求解即可.
（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数为，则，解得，
则可得．
又当时，曲线是函数（且）图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则
则．
（2）由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳，
当时，令，解得：；
当时，令，解得：.
综上可得，.
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
18．（2026高一上·成都期末）已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围.
（3）若，求不等式的解集.
【答案】（1）解：由幂函数定义，可得，
则，
解得或，
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
当时，，此时为偶函数，符合题意；
综上可得，，
则函数的解析式为.
（2）解：由题意，得，
则对称轴为，
由在区间上不单调，
得，
解得.
（3）解：因为，
当时，，解得；
当时，令，解得或；
若，当时，即当时，该不等式无解；
当，即时，该不等式的解集为；
当时，即当时，该不等式的解集为，
综上所述，当时，该不等式的解集为；
当时，该不等式的解集为；
当时，该不等式解集为；
当时，该不等式的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；幂函数的概念与表示；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用幂函数定义合偶函数的定义，从而求出m的值.
（2）根据二次函数图象的对称轴和区间的位置关系结合函数的单调性，再利用已知条件得出实数n的取值范围.
（3）对参数分类讨论，再比较根的大小结合一元二次不等式求解方法，从而得出当时的不等式的解集.
（1）由幂函数定义可得，
即，解得或，
当时，，此时为奇函数，不符；
当时，，此时为偶函数，符合要求；
综上可得，则的解析式为.
（2）由题意得，对称轴为，
由在区间上不单调，则，解得；
（3），
当时，，解得；
当时，令，解得或，
若，当，即时，该不等式无解；
当，即时，该不等式的解集为；
当，即时，该不等式的解集为；
综上所述，当时，该不等式的解集为；
当时，该不等式的解集为；
当时，该不等式解集为；
当时，该不等式的解集为.
19．（2026高一上·成都期末）已知定义在R上的函数满足且，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【答案】（1）解：由题意知，，
所以，
则，
所以.
（2）解：由（1）知，，
得函数在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
则恒成立，
设，
则，，当且仅当时，即当时取等号，
所以，
则实数a的取值范围是.
（3）解：因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
又因为在上单调递增，
所以，当时，，
又因为的对称轴为，，
当时，在上单调递增，
则，
解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得，
所以；
当时，在上单调递减，
则，
解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据和函数的解析式，再利用代入法计算可得k的值，从而得出函数的解析式.
（2）根据函数单调性得，再分离参数结合函数求最值的方法和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（3）对任意的，存在，使得，等价于，先求出函数的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于或等于1的条件，从而求解得出实数m的取值范围.
（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
1 / 1四川省成都市某中学2025-2026学年高一上学期学业质量适应性考试数学试题
1．（2026高一上·成都期末）命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026高一上·成都期末）已知集合，则（　　）
A． B． C．4 D．
3．（2026高一上·成都期末）函数的零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
4．（2026高一上·成都期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（2026高一上·成都期末）已知则（ ）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·成都期末）已知函数的图象如图所示，则函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2026高一上·成都期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高一上·成都期末）函数的单调递减区间为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026高一上·成都期末）已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，（）都有.记，，，则（　　）
A．为奇函数 B．为偶函数
C． D．
10．（2026高一上·成都期末）下列说法不正确的有（　　）
A．已知函数（且）的图象过定点.
B．若则有最小值2
C．若不等式的解集为，则.
D．函数在定义域上是增函数.
11．（2026高一上·成都期末）已知函数，且时，，则（　　）
A． B．
C．的取值范围为 D．函数的值域为
12．（2026高一上·成都期末）　 　.
13．（2026高一上·成都期末）已知角的终边经过点，则　 　．
14．（2026高一上·成都期末）若函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围恰好是，就称区间为的一个“和谐区间”.
（1）函数　 　“和谐区间”（填“有”或“没有”）
（2）当时，，则的“和谐区间”为　 　.
15．（2026高一上·成都期末）若角满足
（1）求的值；
（2）求的值.
16．（2026高一上·成都期末）全集，集合，非空集合.
（1）若，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
17．（2026高一上·成都期末）某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数与听课时间之间的关系满足如图所示的曲线.当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数（且）图象的一部分.根据专家研究，当注意力指数大于80时听课效果最佳.
（1）试求的函数关系式；
（2）老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由.
18．（2026高一上·成都期末）已知幂函数为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围.
（3）若，求不等式的解集.
19．（2026高一上·成都期末）已知定义在R上的函数满足且，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“”的否定是.
故答案为：D.
【分析】根据命题否定的概念直接判断即可.
2．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则.
故答案为：B.
【分析】由元素与集合的关系，再利用元素的互异性，从而得出实数a的值.
3．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由函数单调性的性质可知，函数是实数集上的增函数，
因为，
所以函数的零点所在区间为.
故答案为：A．
【分析】由已知条件和零点存在性定理，再利用函数单调性，从而得出函数的零点所在区间.
4．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、当时，显然，故A错误；
B、由，可得，利用同向不等式可加性得：，故B错误；
C、由，因为，
所以，则，故C正确；
D、取，则，与相矛盾，故D错误；
故答案为：C.
【分析】取，得即可判断A；利用不等式的性质，及不等式同向可加性即可判断B；作差法比较大小即可判断C；取特殊值验证即可判断D..
5．【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】先拆角，再利用诱导公式得出的值.
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：台湾的图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根，
由，可得方程的两根为，
又因为，
所以，
由，可知为增函数，
由，得，
所以，函数的图象与y轴的交点在x轴上方.
故答案为：C.
【分析】由函数的图象可知的两个根中有一个根在，另一个根在，再结合可得的取值范围，再利用指数函数的单调性和b的取值范围，从而得出函数的图象与y轴的交点在x轴上方，进而找出函数的大致图象.
7．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，，，函数在上单调递增，
则，即，即，
对数函数在上单调递增，，即，
综上可知：.
故答案为：D.
【分析】将变形为，根据幂函数的单调性判断的大小，再对数函数的单调性判断和的大小关系，借助中间值1比较的大小即可.
8．【答案】D
【知识点】函数的单调性及单调区间；复合函数的单调性
【解析】【解答】解：对数的真数大于0，
，
则，
解得，
令，
则，
的底数，
时，单调递减，
又因为函数是开口向下的二次函数，对称轴为，
在上单调递增，在上单调递减，
复合函数的单调性满足同增异减，
在上单调递减，在上单调递增．
故答案为：D．
【分析】利用对数型函数真数部分大于0，从而求出函数定义域，再利用复合函数的单调性，即同增异减，则对数型函数的底数确定外层函数的单调性，令，再分析在定义域内的单调区间，再利用复合函数单调性，从而求出函数的单调区间．
9．【答案】B,D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：对于A、B，因为是定义在R上的偶函数，
所以，且的定义域为，
则函数为偶函数，故A错误、B正确；
对于C、D，由，都有，
所以，
则，
所以，
则，
所以在上单调递减，
又因为，，，
所以，故C错误、D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据函数的奇偶性的定义和已知条件，则判断出选项A和选项B；将已知条件式变形可得，从而可得，再利用函数在上单调递减结合函数的奇偶性，则判断出选项C和选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；指数型复合函数的性质及应用；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，令，得，此时，
则函数过定点，故A错误；
对于B，令，因为
所以，
由对勾函数在上为减函数，
则对勾函数的最小值为5，故B错误；
对于C，若不等式的解集为，
可得和是方程的两个实数根，
则满足且，
解得，
所以，故C正确；
对于D，由函数，
可得函数的定义域为，
则函数在上单调递增，在不是单调函数，故D错误.
故答案为：ABD.
【分析】由指数型函数过定点的性质，则可判断选项A；由正弦函数的取值范围结合对勾函数的单调性，从而得出函数的最小值，则判断出选项B；利用一元二次不等式求解方法和一元二次方程根与系数的关系，则得出a，c的值，从而得出a+c的值，则判断出选项C；由函数的定义域和函数的单调性定义，则判断出选项D，从而找出说法不正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、作出函数的图象，
由图可知，若，
B、则，该选项正确，符合题意；
因为，可得，
所以，可得，该选项错误，不合题意；
C、依题意，，得，
则，且当接近时，接近，接近4，
此时，
且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷，
则的取值范围为，该选项正确，符合题意；
D、函数，，
设，则，
则，，
所以函数的值域为，该选项正确，符合题意.
故答案为：ACD
【分析】对于A，作出分段函数的图象，由图象可得；对于B，由两值相等，可得求得；对于C，，，且当接近时，无限增大，所以趋于负无穷，可得；对于D，设，则，则，即可得值域.
12．【答案】1
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】根据指数幂运算及对数的性质，化简可得
，
故答案为：1。
【分析】利用指数幂的运算法则结合对数的运算法则，从而化简求值。
13．【答案】
【知识点】任意角三角函数的定义；三角函数诱导公式二~六；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：角的终边经过点，由三角函数的定义可知：，
则.
故答案为：.
【分析】由任意角的三角函数定义求得，再利用三角函数的诱导公式结合同角三角函数的商关系化简求值即可.
14．【答案】没有；
【知识点】函数的值域；区间与无穷的概念；奇偶性与单调性的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：（1）函数的定义域为，且函数为奇函数，
当时，；当时，，
则一定同号，
当时，函数为减函数，
对于上，任意的，
则，
当时，函数没有“和谐区间”，
同理可得，当时，函数没有“和谐区间”，
所以函数没有“和谐区间”.
（2）当时，，设，
因为在上单调递减，
所以函数在上的值域为，
由函数单调性与“和谐区间”的定义，
可知，，
所以，
则是方程的两个不相等的正数根，
所以是方程的两个不相等的正数根，
则，
所以在区间上的“和谐区间”是，
则的“和谐区间”是.
故答案为：没有；.
【分析】（1）先求出函数的定义域，再结合函数单调性和奇偶性，从而得到当和时均没有“和谐区间”，则判断出函数没有“和谐区间”.
（2）由函数单调性得到，则是方程的两个不相等的正数根，再利用代入法得出的值，从而得出的“和谐区间”.
15．【答案】（1）解：因为角满足，
所以，
则，
又因为，
所以且，
则，
由且，
得，
所以.

（2）解：由（1）知：，
则，
所以.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和角的取值范围，再利用平方法和同角三角函数基本关系式以及三角函数值在各象限的符号，再开方得出满足要求的的值.
（2）由（1）知：，解方程组得出的值，再代入的值得出的值.
（1）因为角满足，
则，
所以，又因为，则且，
所以，
由且，有，所以.
（2）由（1）知：，则，
则.
16．【答案】（1）解：因为集合，
所以或，
若，则集合，
所以或.
（2）解：若“”是“”的必要不充分条件，
则集合B是集合A的真子集，且集合，
非空集合，
则且，
解得，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交、并、补集的混合运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合B，再利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用交集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合.
（2）利用“”是“”的必要不充分条件可知集合B是集合A的真子集，再结合集合的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）因为集合，则或，
若，则集合，
所以或.
（2）若“”是“”的必要不充分条件，则集合B是集合A的真子集，
且集合，非空集合，
则且，解得，
所以实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为，且过点，
由此设二次函数为，则，解得，
则，
当时，曲线是函数（且）图象的一部分，且过点，
则，即，解得，即，
则；
（2）解：由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳，
当时，令，解得；
当时，令，解得，
综上可得，，
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；一元二次不等式及其解法；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）当时，由题意设，利用待定系数法求解析式，当时，根据函数函数（且）过点，求得a，从而可得函数的关系式；
（2）由（1）的结论，由，分别解二次不等式和对数不等式求解即可.
（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数为，则，解得，
则可得．
又当时，曲线是函数（且）图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则
则．
（2）由题意知，注意力指数大于80时听课效果最佳，
当时，令，解得：；
当时，令，解得：.
综上可得，.
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
18．【答案】（1）解：由幂函数定义，可得，
则，
解得或，
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
当时，，此时为偶函数，符合题意；
综上可得，，
则函数的解析式为.
（2）解：由题意，得，
则对称轴为，
由在区间上不单调，
得，
解得.
（3）解：因为，
当时，，解得；
当时，令，解得或；
若，当时，即当时，该不等式无解；
当，即时，该不等式的解集为；
当时，即当时，该不等式的解集为，
综上所述，当时，该不等式的解集为；
当时，该不等式的解集为；
当时，该不等式解集为；
当时，该不等式的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；奇函数与偶函数的性质；幂函数的概念与表示；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用幂函数定义合偶函数的定义，从而求出m的值.
（2）根据二次函数图象的对称轴和区间的位置关系结合函数的单调性，再利用已知条件得出实数n的取值范围.
（3）对参数分类讨论，再比较根的大小结合一元二次不等式求解方法，从而得出当时的不等式的解集.
（1）由幂函数定义可得，
即，解得或，
当时，，此时为奇函数，不符；
当时，，此时为偶函数，符合要求；
综上可得，则的解析式为.
（2）由题意得，对称轴为，
由在区间上不单调，则，解得；
（3），
当时，，解得；
当时，令，解得或，
若，当，即时，该不等式无解；
当，即时，该不等式的解集为；
当，即时，该不等式的解集为；
综上所述，当时，该不等式的解集为；
当时，该不等式的解集为；
当时，该不等式解集为；
当时，该不等式的解集为.
19．【答案】（1）解：由题意知，，
所以，
则，
所以.
（2）解：由（1）知，，
得函数在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
则恒成立，
设，
则，，当且仅当时，即当时取等号，
所以，
则实数a的取值范围是.
（3）解：因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
又因为在上单调递增，
所以，当时，，
又因为的对称轴为，，
当时，在上单调递增，
则，
解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
则，
解得，
所以；
当时，在上单调递减，
则，
解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.

【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据和函数的解析式，再利用代入法计算可得k的值，从而得出函数的解析式.
（2）根据函数单调性得，再分离参数结合函数求最值的方法和不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
（3）对任意的，存在，使得，等价于，先求出函数的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于或等于1的条件，从而求解得出实数m的取值范围.
（1）由题意知，，
即，所以，
故.
（2）由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
（3）因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
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