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浙江省嘉兴市八校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高二下·嘉兴期中）下列函数求导正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·嘉兴期中）若的展开式中常数项为32，则（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2025高二下·嘉兴期中）若随机变量，且，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·嘉兴期中）从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为（　　）
A．56 B．28 C．24 D．12
5．（2025高二下·嘉兴期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·嘉兴期中）三次函数在上是减函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·嘉兴期中）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（　　）
A．函数的极大值点有个
B．函数在上是减函数
C．若时，的最大值是，则的最大值为4
D．当时，函数有个零点
8．（2025高二下·嘉兴期中）已知函数，，若在区间上，函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为（　　）
A． B．
C．或 D．
二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．（2025高二下·嘉兴期中）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025高二下·嘉兴期中）已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（　　）
A．
B．展开式的各项系数和为243
C．展开式中奇数项的二项式系数和为16
D．展开式中有理项一共有3项
11．（2025高二下·嘉兴期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作出曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二下·嘉兴期中）设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为　 　．
13．（2025高二下·嘉兴期中）在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为　 　．
14．（2025高二下·嘉兴期中）在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 　 　．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高二下·嘉兴期中）已知函数有极小值．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最大值和最小值．
16．（2025高二下·嘉兴期中）设，且．
（1）求与的值；
（2）求的值．
17．（2025高二下·嘉兴期中）张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求他遇到红灯的次数的分布列和数学期望.
18．（2025高二下·嘉兴期中）随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成三个小组，其中组15人，组15人，组10人.
（1）第一轮测试按小组顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为，求的分布列；
（2）第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作.
①求最后一名同学来自组的条件下，组同学比组同学提前完成测试的概率；
②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求组和组同学全部完成测试所需时间的期望.
19．（2025高二下·嘉兴期中）已知函数．
（1）若，求证：．
（2）讨论函数的极值；
（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，故A正确；
因为，故B错误；
因为，故C错误；
因为，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据基本初等函数的求导公式，从而逐项判断找出函数求导正确的选项.
2．【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的展开式通项为.
所以，常数项为，
则.
故答案为：A.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，再根据常数项的定义和的展开式中常数项为32，从而得出的值.
3．【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为，，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式，再利用已知条件得出p的值.
4．【答案】D
【知识点】分层抽样方法；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为所抽取的男生人数为，
因此女生人数为2，则抽取方法数共有种．
故答案为：D．
【分析】由分层抽样的方法求出抽取的男生人数和女生人数，再由组合数公式结合分步乘法计数原理，从而得出不同的抽取方法数．
5．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生，
由题意可得：，，则．
故答案为：B．
【分析】根据条件概率的计算公式求解即可．
6．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
由题意可得：在上恒成立，即恒成立，
当，即时，恒成立；
当，即时，，则，即，
因为，所以，即，
又因为当时，不是三次函数，不满足题意，所以，
则的取值范围为.
故答案为：A．
【分析】求导，由函数在上是减函数，可得在上恒成立，分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可.
7．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由导数的正负性可知，
函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，故选项B正确；
因为函数有个极大值点，故选项A正确；
当时，函数最大值是，而最大值不是，故选项C错误；
作出函数的图象如下图所示，
由上图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，则判断出选项A和选项B；取结合函数的最值与单调性的关系，则可判断选项C；先作出函数的草图，再利用数形结合和函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
8．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：令，
由函数的图象恒在函数图象的上方在上恒成立，
则，所以，
令，则或，
由，所以，
由，得或；由，得，
所以在上单调递减，在单调递增，
只需.
故答案为：D.
【分析】令，由题意得出在上恒成立，则，再利用导数判断函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
9．【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于选项A：因为随机变量X服从两点分布，又因为，
所以，故选项A正确；
对于选项B：因为，故选项B错误；
对于选项C：因为，故选项C正确；
对于选项D：因为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据两点分布的分布列和两点分布的期望公式、方差公式以及数学期望的性质，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：对于选项A，因为二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，
所以为奇数，且与最大，则，解得，故选项A错误；
对于选项B，在中，令，得，
则展开式的各项系数和为243，故B正确；
对于选项C，因为展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，
所以，展开式中奇数项的二项式系数和为16，故C正确；
对于选项D，因为二项式展开式的通项公式为，，且为整数，
当时，满足要求；当时，满足要求；当时，满足要求，
综上所述，展开式中有理项一共有3项，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件和二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，从而得到方程求出的值，则判断出选项A；利用赋值法得到各项系数和，则判断出选项B；先利用二项式定理得出展开式的通项公式，则求出二项式系数，再结合二项式系数的性质，从而得出展开式中奇数项的二项式系数和，则判断出选项C；先写出二项展开式的通项公式，再利用有理项的定义，从而得到有理项的项数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A ，，
当时，，
，
令，解得或，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极大值，当时，取得极小值，
有三个零点，，解得，故选项A正确；
对于B ，满足，
根据函数的对称可知的对称点为，
将其代入，
得，
解得，故选项B错误；
对于C ，，
设切点为，
则切线的斜率
化简，得
由已知条件可知该方程有三个实根，有三个实根，
记，
，
令，解得或，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，，
，
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增；
存在极值点，，
由得，
令，，
，所以，
所以
，
化简得：，
，，所以，
，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将代入求导求出函数的极值，利用有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零，从而得出实数b的取值范围，则判断出选项A；根据判断出函数的对称性，从而可得的值，则判断出选项B；将代入，从而得到的解析式，再根据过某点处导数的几何意义的求解方法判断出选项C；利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，从而得到且，此时可得的表达式，令，再结合化简得出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
12．【答案】3
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数，
可得，
所以，切线的斜率为，
解得.
故答案为：3.
【分析】先对函数求导，再根据导数的几何意义求解即可.
13．【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为在内取值的概率为，服从正态分布，
所以，且，
则，
所以，
则随机变量在内取值的概率为.
故答案为：.
【分析】由已知条件和正态分布的性质，从而可得的值结合，从而可得的值，再利用对立事件求概率公式，从而得出的值.
14．【答案】84
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生.
①当二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，
其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；
②当二所医院分1人，另一所医院分3人时有种，
则满足条件的分法共有种.
【分析】利用已知条件和分类加法计数原理以及组合数公式、排列数公式，从而得出不同的分配方法总数.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，解得或，令，解得，
则单调递减区间为，单调递增区间为，；
（2）解：由（1）知，的极小值为，解得，
因为在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，
的极大值为，
又因为，，
所以在上的最大值为，最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间即可；
（2）由（1）知，的极小值为，解得，再根据函数的单调性，求的极值和区间端点的函数值，比较即可求在上的最大值和最小值.
（1），
令，解得或，令，解得，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）由（1）知，的极小值为，解得．
∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值为，
的极大值为
又，
，
所以在上的最大值为，最小值为．
16．【答案】（1）解：由，得，
取，得，
则.
（2）解：由（1）知，，
当时，，
当时，，
所以，
则.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数；组合数公式
【解析】【分析】（1）利用组合数的性质和已知条件，从而求出的值，再取求出的值.
（2）分别令和，相加可得.
（1）由，得，取，得，
所以.
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，
因此，
所以.
17．【答案】解：（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，
则.
（2）依题意，的可能取值为0，1，2.
则；；
，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2
则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据题意，设走路线最多遇到1次红灯为事件，再根据独立事件乘法求概率公式，从而得出最多遇到1次红灯的概率.
（2）根据题意得出随机变量的可能取值，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出他遇到红灯的次数的数学期望.
18．【答案】（1）解：设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；
由题意可知：随机变量的可取值：30，35，40，45，
，
，
，
，
的分布列：
30 35 40 45
（2）解：①、设事件：最后一名同学来自组；事件：组同学比组同学提前完成测试，
则，
②、设所需时间为，的可取值：90，93，96，，，，120（），
则，
，
，.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【分析】（1）记事件：组正常完成、事件：组正常完成、事件：组正常完成，由题意可知：随机变量的可取值：30，35，40，45，求得对应的概率，再列分布列即可；
（2）①、先记事件，根据条件概率公式求解即可；
②、设所需时间为，的可取值：90，93，96，，，，120（），求出对应的概率，根据期望的公式得到代数式，再利用组合数的性质运算求解即可.
（1）设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；
随机变量的可取值：30，35，40，45
的分布列：
30 35 40 45
（2）①设事件：最后一名同学来自组；事件：组同学比组同学提前完成测试.
则
②设所需时间为，的可取值：90，93，96，，，，120（）
则
∴
19．【答案】解：（1）当时，，
则，
当，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
∴，则．
（2）由题意知，，
因为，
①当时，，
所以在上单调递减，没有极值；
②当时，，则；
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，无极大值．
（3）不妨令，
不难证明，当且仅当取等号，
所以，当时，，
由（1）知，当，时，在上单调递减，
则恒成立；
所以不等式在上恒成立，只能；
当时，，
由（1）知在上单调递减，
所以，不满足题意，
当时，设，
因为，，所以，
则，，，
所以，
则，所以在上单调递增，
又因为，所以，当时，恒成立，
则恒成立，
则当时，使得不等式在上恒成立，此时的最小值是1．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而证出不等式成立.
（2）先求导，则，再分和两种情况讨论，由导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值.
（3）结合（2）中的结论分、和三种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出m的取值范围，进而得出m的最小值.
1 / 1浙江省嘉兴市八校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、选择题Ⅰ（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高二下·嘉兴期中）下列函数求导正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，故A正确；
因为，故B错误；
因为，故C错误；
因为，故D错误.
故答案为：A.
【分析】根据基本初等函数的求导公式，从而逐项判断找出函数求导正确的选项.
2．（2025高二下·嘉兴期中）若的展开式中常数项为32，则（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：因为的展开式通项为.
所以，常数项为，
则.
故答案为：A.
【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，再根据常数项的定义和的展开式中常数项为32，从而得出的值.
3．（2025高二下·嘉兴期中）若随机变量，且，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为，，
所以，解得.
故答案为：A.
【分析】根据二项分布的期望公式和方差公式，再利用已知条件得出p的值.
4．（2025高二下·嘉兴期中）从4名女生和2名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，若按性别比例分层随机抽样，则不同的抽取方法数为（　　）
A．56 B．28 C．24 D．12
【答案】D
【知识点】分层抽样方法；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为所抽取的男生人数为，
因此女生人数为2，则抽取方法数共有种．
故答案为：D．
【分析】由分层抽样的方法求出抽取的男生人数和女生人数，再由组合数公式结合分步乘法计数原理，从而得出不同的抽取方法数．
5．（2025高二下·嘉兴期中）某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生，
由题意可得：，，则．
故答案为：B．
【分析】根据条件概率的计算公式求解即可．
6．（2025高二下·嘉兴期中）三次函数在上是减函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
由题意可得：在上恒成立，即恒成立，
当，即时，恒成立；
当，即时，，则，即，
因为，所以，即，
又因为当时，不是三次函数，不满足题意，所以，
则的取值范围为.
故答案为：A．
【分析】求导，由函数在上是减函数，可得在上恒成立，分和讨论，结合恒成立问题分析求解即可.
7．（2025高二下·嘉兴期中）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（　　）
A．函数的极大值点有个
B．函数在上是减函数
C．若时，的最大值是，则的最大值为4
D．当时，函数有个零点
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由导数的正负性可知，
函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，故选项B正确；
因为函数有个极大值点，故选项A正确；
当时，函数最大值是，而最大值不是，故选项C错误；
作出函数的图象如下图所示，
由上图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值点，则判断出选项A和选项B；取结合函数的最值与单调性的关系，则可判断选项C；先作出函数的草图，再利用数形结合和函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，则可判断选项D，从而找出结论正确的选项.
8．（2025高二下·嘉兴期中）已知函数，，若在区间上，函数的图象恒在函数图象的上方，则的取值范围为（　　）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：令，
由函数的图象恒在函数图象的上方在上恒成立，
则，所以，
令，则或，
由，所以，
由，得或；由，得，
所以在上单调递减，在单调递增，
只需.
故答案为：D.
【分析】令，由题意得出在上恒成立，则，再利用导数判断函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
二、选择题Ⅱ（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）
9．（2025高二下·嘉兴期中）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：对于选项A：因为随机变量X服从两点分布，又因为，
所以，故选项A正确；
对于选项B：因为，故选项B错误；
对于选项C：因为，故选项C正确；
对于选项D：因为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据两点分布的分布列和两点分布的期望公式、方差公式以及数学期望的性质，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2025高二下·嘉兴期中）已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（　　）
A．
B．展开式的各项系数和为243
C．展开式中奇数项的二项式系数和为16
D．展开式中有理项一共有3项
【答案】B,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【解答】解：对于选项A，因为二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，
所以为奇数，且与最大，则，解得，故选项A错误；
对于选项B，在中，令，得，
则展开式的各项系数和为243，故B正确；
对于选项C，因为展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，
所以，展开式中奇数项的二项式系数和为16，故C正确；
对于选项D，因为二项式展开式的通项公式为，，且为整数，
当时，满足要求；当时，满足要求；当时，满足要求，
综上所述，展开式中有理项一共有3项，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据已知条件和二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，从而得到方程求出的值，则判断出选项A；利用赋值法得到各项系数和，则判断出选项B；先利用二项式定理得出展开式的通项公式，则求出二项式系数，再结合二项式系数的性质，从而得出展开式中奇数项的二项式系数和，则判断出选项C；先写出二项展开式的通项公式，再利用有理项的定义，从而得到有理项的项数，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高二下·嘉兴期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．当时，若有三个零点，则b的取值范围为
B．若满足，则
C．若过点可作出曲线的三条切线，则
D．若存在极值点，且，其中，则
【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A ，，
当时，，
，
令，解得或，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极大值，当时，取得极小值，
有三个零点，，解得，故选项A正确；
对于B ，满足，
根据函数的对称可知的对称点为，
将其代入，
得，
解得，故选项B错误；
对于C ，，
设切点为，
则切线的斜率
化简，得
由已知条件可知该方程有三个实根，有三个实根，
记，
，
令，解得或，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
因为过点可作出曲线的三条切线，
所以，解得，故选项C正确；
对于D ，，
，
当，在上单调递增；
当，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增；
存在极值点，，
由得，
令，，
，所以，
所以
，
化简得：，
，，所以，
，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】将代入求导求出函数的极值，利用有三个零点，则令极大值大于零，极小值小于零，从而得出实数b的取值范围，则判断出选项A；根据判断出函数的对称性，从而可得的值，则判断出选项B；将代入，从而得到的解析式，再根据过某点处导数的几何意义的求解方法判断出选项C；利用导数在函数单调性中的应用，先分和讨论函数的单调性，从而得到且，此时可得的表达式，令，再结合化简得出，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高二下·嘉兴期中）设曲线的图象在点(1，)处的切线斜率为2，则实数a的值为　 　．
【答案】3
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算
【解析】【解答】解：因为函数，
可得，
所以，切线的斜率为，
解得.
故答案为：3.
【分析】先对函数求导，再根据导数的几何意义求解即可.
13．（2025高二下·嘉兴期中）在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为　 　．
【答案】
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为在内取值的概率为，服从正态分布，
所以，且，
则，
所以，
则随机变量在内取值的概率为.
故答案为：.
【分析】由已知条件和正态分布的性质，从而可得的值结合，从而可得的值，再利用对立事件求概率公式，从而得出的值.
14．（2025高二下·嘉兴期中）在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为 　 　．
【答案】84
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生.
①当二所医院分2人另一所医院分1人时，总数有种，
其中有、甲乙二人或丙丁二人在同一组有种；
②当二所医院分1人，另一所医院分3人时有种，
则满足条件的分法共有种.
【分析】利用已知条件和分类加法计数原理以及组合数公式、排列数公式，从而得出不同的分配方法总数.
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高二下·嘉兴期中）已知函数有极小值．
（1）求的单调区间；
（2）求在上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
令，解得或，令，解得，
则单调递减区间为，单调递增区间为，；
（2）解：由（1）知，的极小值为，解得，
因为在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，
的极大值为，
又因为，，
所以在上的最大值为，最小值为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间即可；
（2）由（1）知，的极小值为，解得，再根据函数的单调性，求的极值和区间端点的函数值，比较即可求在上的最大值和最小值.
（1），
令，解得或，令，解得，
所以单调递减区间为，单调递增区间为，．
（2）由（1）知，的极小值为，解得．
∵在单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值为，
的极大值为
又，
，
所以在上的最大值为，最小值为．
16．（2025高二下·嘉兴期中）设，且．
（1）求与的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：由，得，
取，得，
则.
（2）解：由（1）知，，
当时，，
当时，，
所以，
则.
【知识点】二项式系数的性质；二项式系数；组合数公式
【解析】【分析】（1）利用组合数的性质和已知条件，从而求出的值，再取求出的值.
（2）分别令和，相加可得.
（1）由，得，取，得，
所以.
（2）由（1）知，，
当时，，
当时，，
因此，
所以.
17．（2025高二下·嘉兴期中）张先生家住小区，他在科技园区工作，从家开车到公司上班有，两条路线(如图)，路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的均为；上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.
（1）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走路线，求他遇到红灯的次数的分布列和数学期望.
【答案】解：（1）设走路线最多遇到1次红灯为事件，
则.
（2）依题意，的可能取值为0，1，2.
则；；
，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2
则.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据题意，设走路线最多遇到1次红灯为事件，再根据独立事件乘法求概率公式，从而得出最多遇到1次红灯的概率.
（2）根据题意得出随机变量的可能取值，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而求出随机变量X的分布列，再利用随机变量分布列求数学期望公式，从而得出他遇到红灯的次数的数学期望.
18．（2025高二下·嘉兴期中）随着新中考英语人机测试的推行，为了确保学生能够有效应对这一新的考试形式，某中学决定展开深入调查，组织一次模拟测试，对学生的英语水平能力进行准确评估，并据此制定针对性的教学方案.该校从初二学年学生中随机抽取40人将进行模拟测试.现将40人分成三个小组，其中组15人，组15人，组10人.
（1）第一轮测试按小组顺次进行.若一切正常，则该小组完成测试的时间为10分钟，若出现异常情况，则该小组需要延长5分钟才能完成测试.已知每小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响.记3个小组完成测试所需时间为，求的分布列；
（2）第二轮测试将3组同学一起排序，每一位同学顺次上机操作.
①求最后一名同学来自组的条件下，组同学比组同学提前完成测试的概率；
②若每名同学完成测试的时间都是为3分钟，求组和组同学全部完成测试所需时间的期望.
【答案】（1）解：设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；
由题意可知：随机变量的可取值：30，35，40，45，
，
，
，
，
的分布列：
30 35 40 45
（2）解：①、设事件：最后一名同学来自组；事件：组同学比组同学提前完成测试，
则，
②、设所需时间为，的可取值：90，93，96，，，，120（），
则，
，
，.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；条件概率
【解析】【分析】（1）记事件：组正常完成、事件：组正常完成、事件：组正常完成，由题意可知：随机变量的可取值：30，35，40，45，求得对应的概率，再列分布列即可；
（2）①、先记事件，根据条件概率公式求解即可；
②、设所需时间为，的可取值：90，93，96，，，，120（），求出对应的概率，根据期望的公式得到代数式，再利用组合数的性质运算求解即可.
（1）设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；设事件：组正常完成；
随机变量的可取值：30，35，40，45
的分布列：
30 35 40 45
（2）①设事件：最后一名同学来自组；事件：组同学比组同学提前完成测试.
则
②设所需时间为，的可取值：90，93，96，，，，120（）
则
∴
19．（2025高二下·嘉兴期中）已知函数．
（1）若，求证：．
（2）讨论函数的极值；
（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）当时，，
则，
当，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
∴，则．
（2）由题意知，，
因为，
①当时，，
所以在上单调递减，没有极值；
②当时，，则；
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则在处取得极小值，无极大值．
（3）不妨令，
不难证明，当且仅当取等号，
所以，当时，，
由（1）知，当，时，在上单调递减，
则恒成立；
所以不等式在上恒成立，只能；
当时，，
由（1）知在上单调递减，
所以，不满足题意，
当时，设，
因为，，所以，
则，，，
所以，
则，所以在上单调递增，
又因为，所以，当时，恒成立，
则恒成立，
则当时，使得不等式在上恒成立，此时的最小值是1．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，进而证出不等式成立.
（2）先求导，则，再分和两种情况讨论，由导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的极值.
（3）结合（2）中的结论分、和三种情况讨论，利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的值域，再根据不等式恒成立问题求解方法，从而得出m的取值范围，进而得出m的最小值.
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