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广东省惠州市光正实验学校2025~2026学年高一上学期期末数学练习试题
1．（2026高一上·惠州期末）已知集合，，若，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2026高一上·惠州期末）已知命题，，则p的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2026高一上·惠州期末）已知，则（　　）
A．50 B．48 C．26 D．29
4．（2026高一上·惠州期末）在下列区间中，函数一定存在零点的有（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高一上·惠州期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·惠州期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高一上·惠州期末）若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高一上·惠州期末）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2026高一上·惠州期末）下列四个命题中正确的是（　　）
A．已知集合，若，则
B．函数的最小值为2
C．设，若，则
D．不等式成立的一个充分不必要条件是或
10．（2026高一上·惠州期末）如图，这是函数（，）的部分图象，则（　　）
A．
B．图象的一个对称中心为点
C．图象的一条对称轴为直线
D．在上单调递增
11．（2026高一上·惠州期末）定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如．以下描述正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．是上的奇函数 D．若，则
12．（2026高一上·惠州期末）已知，则的最小值为　 　.
13．（2026高一上·惠州期末）某公司生产产品，每月的固定成本为10000元，每生产一件产品需要增加投入80元，该产品每月的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：.则该公司的月利润的最大值为　 　元.
14．（2026高一上·惠州期末）已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是　 　．
15．（2026高一上·惠州期末）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16．（2026高一上·惠州期末）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.
（1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；
（2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.
17．（2026高一上·惠州期末）（1）若为的一个内角，且关于x的方程的两根为，．求的值，并判断的形状．
（2）是否存在角和，当，时，方程组有解？若有解，则求出和的值；若无解，请说明理由．
18．（2026高一上·惠州期末）设二次函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）若，
①，求的最小值，并指出取最小值时的值；
②求函数在区间上的最小值.
19．（2026高一上·惠州期末）已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
①当时，求函数的值域；
②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：由，可得或，解得或，
当时，，则，满足题意；
当时，，则，不满足题意；
综上所述，.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求的参数a，再逐个检验是否满足即可.
2．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题，，
则命题的否定为，.
故答案为：A.
【分析】根据题意，由存在量词命题的否定是全称量词命题，从而写出命题p的否定.
3．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：令，则．
故答案为：A.
【分析】利用赋值法，令，从而得出函数的值.
4．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意，得函数在以上区间都连续，
因为，，，，，
又因为，所以函数在区间内不一定存在零点.
因为，根据函数零点存在定理，所以函数在区间内一定存在零点，
又因为，所以函数在区间内不一定存在零点.
因为，所以函数在区间内不一定存在零点.
综上所得，函数在区间内一定存在零点.
故答案为：B.
【分析】 根据零点存在性定理判定即可 .
5．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为，
则.
故答案为：A.
【分析】根据正弦型函数的图象变换，从而得出所得图象对应的函数.
6．【答案】A
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和诱导公式，从而化简求值.
7．【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，取，，则，但，故选项A错误；
对于B，取，时，则，但，故选项B错误；
对于C，因为，所以，则，
所以，则，故选项C正确；
对于D，因为，
所以，则，故选项D错误．
故答案为：C .
【分析】利用特殊值法和已知条件，再结合不等式的基本性质，从而逐项判断找出不等式一定成立的选项．
8．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得或，
是与曲线的两个相邻的交点，且在单调递增区间上，在单调递减区间上，在左边，不妨设，，两式相减得，
因为，，所以，解得，则，
又因为在函数图象上，所以，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】令，结合图象中的位置特征，不妨令，，根据，，解得，再由点在图象上，代入解析式计算，求出，确定函数的解析式，再计算即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】元素与集合的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于选项A：因为集合，
若，则或，
当时，，此时集合A中两个元素相同，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，则，
解得或（舍去），所以，故选项A正确；
对于选项B：因为函数，
令，则，所以，函数可化为，
根据基本不等式，得，当且仅当时，即当时取到等号，
又因为，所以，原函数取不到最小值2，故选项B错误；
对于选项C：因为，若，则，
根据不等式的基本性质，则不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，
所以，故选项C正确；
对于选项D：解不等式，则，
解，得或；
因为，所以，
则不等式的解集为或，
因为或真包含于或，
所以，或是不等式成立的一个充分不必要条件，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【解答】根据集合中元素与集合的关系和元素的互异性，则判断出选项A；利用基本不等式求最值的方法和取最值时需要注意等号成立的条件，则判断出选项B；根据不等式的基本性质，则判断出选项C；解分式不等式结合充分不必要条件的判断方法，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由图可知，，
因为，所以，故A正确；
因为是在y轴右侧的第一个零点，
所以，则，
所以，
又因为，
所以点不是图象的对称中心，故B不正确；
因为，所以直线是图象的对称轴，故C正确；
令，，解得，，
令，得，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】根据正弦型函数的部分图象结合正弦型函数的最大值、正弦型函数的最小正周期公式、五点对应法，从而求出函数解析式，则判断出选项A；利用换元法和正弦函数的对称性，则判断出选项B和选项C；利用换元法和正弦函数的单调性，从而判断出选项D，进而找出正确的选项．
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的奇偶性；利用不等式的性质比较数（式）的大小；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为表示不小于的最小整数，
所以，且，则.
对于选项A：因为，，
所以，则，故选项A正确；
对于选项B：令，则，所以，
因为表示不小于的最小整数，所以或
当时，由，可得；
当时，由，可得，
则，故选项B正确；
对于选项C：因为的定义域为，所以，
又因为，所以，
则不是上的奇函数，故选项C错误；
对于选项D：由，，
得，所以，则，
由结合不等式的可加性，
则，所以，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合“向上取整函数”的定义，则判断出选项A和选项D；利用整体换元法求解一元二次不等式，从而得出的取值范围，进而得出x的取值范围，则判断出选项B；取特殊值结合奇函数的定义，则判断出选项C，从而找出描述正确的选项.
12．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，由，可得，
则
，
当且仅当时等号成立，即的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可.
13．【答案】57600
【知识点】函数的最大（小）值；二次函数模型
【解析】【解答】解：由题意可得：
该公司的月利润，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
且，该公司的月利润的最大值为57600元.
故答案为：57600.
【分析】根据利润总收入总成本求得该公司的月利润，再根据函数的单调性求最值即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的解、、、且，且，
由图可知，点、关于直线对称，则，
由图可得，由可得，可得，
由，可得，，
因为函数、在上均为减函数，所以函数在上为减函数，
因为，所以，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】作出函数的图象，方程有四个不同的解，可得，由图可得：，，进而得到，求出的取值范围，再利用函数的单调性进求解即可.
15．【答案】（1）解：当时，集合，
因为或，
∴或或．
（2）解：∵若，且是的充分不必要条件，
又因为，，
∴，
则，
解得：，
则的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合A，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
（2）利用已知条件和充分不必要条件的判断方法，则将问题转化为，再利用集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）当时，集合，又或．
∴或或．；
（2）∵若，且是的充分不必要条件，，，
∴ ，则，
解得：，故的取值范围是．
16．【答案】（1）解：函数定义域为，且在上单调，
由函数在区间上的最大值与最小值之和为，得，即，解得，
则，
不等式，解，得或；
解，即，得或，
则不等式的解集或；
（2）解：由（1）知，，
令，由，得，，
当时，，此时；当时，，此时，
则函数的值域为，取最小值时，取最大值时.
【知识点】函数的最大（小）值；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再根据对数函数单调性，结合函数在区间上的最大值与最小值之和为 ，列式求出，再利用函数的单调性解不等式即可；
（2）由（1）可得，令，利用换元法将转化为，利用二次函数的性质求解即可.
（1）函数定义域为，且在上单调，
由函数在区间上的最大值与最小值之和为，
得，即，解得，
于是；
，
解，得或；
解，即，得或，
因此或，
所以不等式的解集或.
（2）由（1）知，，
令，由，得，，
当时，，此时；当时，，此时，
所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时.
17．【答案】（1）因为关于x的方程的两根为，．所以，平方可得，解得，则，即，解得或，因为为的一个内角，所以，所以，又因为，所以，且，所以，所以，所以，则是钝角三角形；（2）存在，使等式同时成立，由，得，所以，两式平方后相加可得，又因为，得到，即，因为，所以或，将代入，得，因为，所以，将代入，得，由于，这样的角不存在，综上可知，存在，使等式同时成立.
（1）解：因为关于x的方程的两根为，．所以，
平方可得，解得，
则，即，解得或，
因为为的一个内角，所以，所以，
又因为，所以，且，所以，
所以，所以，则是钝角三角形；
（2）解：存在，使等式同时成立，
由，得，
所以，两式平方后相加可得，
又因为，得到，即，
因为，所以或，
将代入，得，因为，所以，
将代入，得，
由于，这样的角不存在，
综上可知，存在，使等式同时成立.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由题意，利用韦达定理可得，两边同时平方，结合同角三角函数的基本关系求得，即，化为，求，确定的范围，即可判断三角形的形状；
（2）由题意，利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式求解即可.
18．【答案】（1）解：因为的解集为，
又因为，
所以是方程的唯一实根，且，
则，
所以，
解得，
经检验，满足题意要求，
所以.
（2）解：因为，，
所以，
则，所以.
①因为，，
所以
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值是．
②因为，所以，
则函数的图象的对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为；
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为，
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可知是方程的唯一实根，再利用判别式法和代入法，从而得到关于的方程组，解方程组得出a，b的值.
（2）根据题意得出的值.
①利用基本不等式求最值的方法和“1”的妙用，从而得出的最小值，并指出取最小值时的值.
②利用二次函数的图象的对称性和单调性，再利用分类讨论的方法求出函数在区间上的最小值．
（1）因为的解集为，
又，
所以是方程的唯一实根，且，
所以，即，解得，
经检验，满足题意要求，
所以.
（2）因为，，
所以，则，故，
①因为，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
②因为，则，
显然函数的图象的对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为；
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为；
综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
19．【答案】（1）解：因为函数为奇函数，所以，且，
所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，则，且，
所以，可得，所以，
因为，所以，且在内单调递减，在内单调递增，
可得， 则，
所以的单调递减区间为.
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），
得到函数.
①因为，所以，
可得，
则，
所以函数的值域为.
②令，则，
因为，所以，
由图象可知：与在内有4个交点，
所以，
且，
可得，
所以.
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性和周期性，从而可得的值，则得出函数的解析式，再结合正弦型函数的单调性得出的单调递减区间.
（2）根据正弦型图象变换可得.
①以为整体，再结合正弦函数求值域的方法，从而得出正弦型函数在时的值域.
②令，从而得出的值，利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合正弦函数图象得出与在内有4个交点，从而得出n的值，再结合图形的对称性求和得出的值.
（1）因为函数为奇函数，则，
且，所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，即，
且，则，可得，
所以，
因为，则，
且在内单调递减，在内单调递增，
可得，即
所以的单调递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，
①因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为；
②令，则，
因为，则，
由图象可知：与在内有4个交点，所以，
且，
可得，
所以.
1 / 1广东省惠州市光正实验学校2025~2026学年高一上学期期末数学练习试题
1．（2026高一上·惠州期末）已知集合，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】解：由，可得或，解得或，
当时，，则，满足题意；
当时，，则，不满足题意；
综上所述，.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求的参数a，再逐个检验是否满足即可.
2．（2026高一上·惠州期末）已知命题，，则p的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为命题，，
则命题的否定为，.
故答案为：A.
【分析】根据题意，由存在量词命题的否定是全称量词命题，从而写出命题p的否定.
3．（2026高一上·惠州期末）已知，则（　　）
A．50 B．48 C．26 D．29
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：令，则．
故答案为：A.
【分析】利用赋值法，令，从而得出函数的值.
4．（2026高一上·惠州期末）在下列区间中，函数一定存在零点的有（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由题意，得函数在以上区间都连续，
因为，，，，，
又因为，所以函数在区间内不一定存在零点.
因为，根据函数零点存在定理，所以函数在区间内一定存在零点，
又因为，所以函数在区间内不一定存在零点.
因为，所以函数在区间内不一定存在零点.
综上所得，函数在区间内一定存在零点.
故答案为：B.
【分析】 根据零点存在性定理判定即可 .
5．（2026高一上·惠州期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为，
则.
故答案为：A.
【分析】根据正弦型函数的图象变换，从而得出所得图象对应的函数.
6．（2026高一上·惠州期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和诱导公式，从而化简求值.
7．（2026高一上·惠州期末）若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，取，，则，但，故选项A错误；
对于B，取，时，则，但，故选项B错误；
对于C，因为，所以，则，
所以，则，故选项C正确；
对于D，因为，
所以，则，故选项D错误．
故答案为：C .
【分析】利用特殊值法和已知条件，再结合不等式的基本性质，从而逐项判断找出不等式一定成立的选项．
8．（2026高一上·惠州期末）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：令，解得或，
是与曲线的两个相邻的交点，且在单调递增区间上，在单调递减区间上，在左边，不妨设，，两式相减得，
因为，，所以，解得，则，
又因为在函数图象上，所以，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】令，结合图象中的位置特征，不妨令，，根据，，解得，再由点在图象上，代入解析式计算，求出，确定函数的解析式，再计算即可.
9．（2026高一上·惠州期末）下列四个命题中正确的是（　　）
A．已知集合，若，则
B．函数的最小值为2
C．设，若，则
D．不等式成立的一个充分不必要条件是或
【答案】A,C,D
【知识点】元素与集合的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于选项A：因为集合，
若，则或，
当时，，此时集合A中两个元素相同，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，则，
解得或（舍去），所以，故选项A正确；
对于选项B：因为函数，
令，则，所以，函数可化为，
根据基本不等式，得，当且仅当时，即当时取到等号，
又因为，所以，原函数取不到最小值2，故选项B错误；
对于选项C：因为，若，则，
根据不等式的基本性质，则不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，
所以，故选项C正确；
对于选项D：解不等式，则，
解，得或；
因为，所以，
则不等式的解集为或，
因为或真包含于或，
所以，或是不等式成立的一个充分不必要条件，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【解答】根据集合中元素与集合的关系和元素的互异性，则判断出选项A；利用基本不等式求最值的方法和取最值时需要注意等号成立的条件，则判断出选项B；根据不等式的基本性质，则判断出选项C；解分式不等式结合充分不必要条件的判断方法，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
10．（2026高一上·惠州期末）如图，这是函数（，）的部分图象，则（　　）
A．
B．图象的一个对称中心为点
C．图象的一条对称轴为直线
D．在上单调递增
【答案】A,C,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：由图可知，，
因为，所以，故A正确；
因为是在y轴右侧的第一个零点，
所以，则，
所以，
又因为，
所以点不是图象的对称中心，故B不正确；
因为，所以直线是图象的对称轴，故C正确；
令，，解得，，
令，得，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】根据正弦型函数的部分图象结合正弦型函数的最大值、正弦型函数的最小正周期公式、五点对应法，从而求出函数解析式，则判断出选项A；利用换元法和正弦函数的对称性，则判断出选项B和选项C；利用换元法和正弦函数的单调性，从而判断出选项D，进而找出正确的选项．
11．（2026高一上·惠州期末）定义（其中表示不小于的最小整数）为“向上取整函数”．例如．以下描述正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．是上的奇函数 D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】函数的概念及其构成要素；函数的奇偶性；利用不等式的性质比较数（式）的大小；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为表示不小于的最小整数，
所以，且，则.
对于选项A：因为，，
所以，则，故选项A正确；
对于选项B：令，则，所以，
因为表示不小于的最小整数，所以或
当时，由，可得；
当时，由，可得，
则，故选项B正确；
对于选项C：因为的定义域为，所以，
又因为，所以，
则不是上的奇函数，故选项C错误；
对于选项D：由，，
得，所以，则，
由结合不等式的可加性，
则，所以，故选项D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合“向上取整函数”的定义，则判断出选项A和选项D；利用整体换元法求解一元二次不等式，从而得出的取值范围，进而得出x的取值范围，则判断出选项B；取特殊值结合奇函数的定义，则判断出选项C，从而找出描述正确的选项.
12．（2026高一上·惠州期末）已知，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，由，可得，
则
，
当且仅当时等号成立，即的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可.
13．（2026高一上·惠州期末）某公司生产产品，每月的固定成本为10000元，每生产一件产品需要增加投入80元，该产品每月的总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数：.则该公司的月利润的最大值为　 　元.
【答案】57600
【知识点】函数的最大（小）值；二次函数模型
【解析】【解答】解：由题意可得：
该公司的月利润，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
且，该公司的月利润的最大值为57600元.
故答案为：57600.
【分析】根据利润总收入总成本求得该公司的月利润，再根据函数的单调性求最值即可.
14．（2026高一上·惠州期末）已知，若方程有四个不同的解、、、且，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数的图象，如图所示：
方程有四个不同的解、、、且，且，
由图可知，点、关于直线对称，则，
由图可得，由可得，可得，
由，可得，，
因为函数、在上均为减函数，所以函数在上为减函数，
因为，所以，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】作出函数的图象，方程有四个不同的解，可得，由图可得：，，进而得到，求出的取值范围，再利用函数的单调性进求解即可.
15．（2026高一上·惠州期末）已知集合，或．
（1）当时，求；
（2）若，且是的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，集合，
因为或，
∴或或．
（2）解：∵若，且是的充分不必要条件，
又因为，，
∴，
则，
解得：，
则的取值范围是．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）利用a的值得出集合A，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
（2）利用已知条件和充分不必要条件的判断方法，则将问题转化为，再利用集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）当时，集合，又或．
∴或或．；
（2）∵若，且是的充分不必要条件，，，
∴ ，则，
解得：，故的取值范围是．
16．（2026高一上·惠州期末）已知函数，若函数在区间上的最大值与最小值之和为.
（1）求函数解析式，并求出关于的不等式的解集；
（2）求函数，的值域，并求出取得最值时对应的的值.
【答案】（1）解：函数定义域为，且在上单调，
由函数在区间上的最大值与最小值之和为，得，即，解得，
则，
不等式，解，得或；
解，即，得或，
则不等式的解集或；
（2）解：由（1）知，，
令，由，得，，
当时，，此时；当时，，此时，
则函数的值域为，取最小值时，取最大值时.
【知识点】函数的最大（小）值；对数函数的单调性与特殊点；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再根据对数函数单调性，结合函数在区间上的最大值与最小值之和为 ，列式求出，再利用函数的单调性解不等式即可；
（2）由（1）可得，令，利用换元法将转化为，利用二次函数的性质求解即可.
（1）函数定义域为，且在上单调，
由函数在区间上的最大值与最小值之和为，
得，即，解得，
于是；
，
解，得或；
解，即，得或，
因此或，
所以不等式的解集或.
（2）由（1）知，，
令，由，得，，
当时，，此时；当时，，此时，
所以函数的值域为，取最小值时，取最大值时.
17．（2026高一上·惠州期末）（1）若为的一个内角，且关于x的方程的两根为，．求的值，并判断的形状．
（2）是否存在角和，当，时，方程组有解？若有解，则求出和的值；若无解，请说明理由．
【答案】（1）因为关于x的方程的两根为，．所以，平方可得，解得，则，即，解得或，因为为的一个内角，所以，所以，又因为，所以，且，所以，所以，所以，则是钝角三角形；（2）存在，使等式同时成立，由，得，所以，两式平方后相加可得，又因为，得到，即，因为，所以或，将代入，得，因为，所以，将代入，得，由于，这样的角不存在，综上可知，存在，使等式同时成立.
（1）解：因为关于x的方程的两根为，．所以，
平方可得，解得，
则，即，解得或，
因为为的一个内角，所以，所以，
又因为，所以，且，所以，
所以，所以，则是钝角三角形；
（2）解：存在，使等式同时成立，
由，得，
所以，两式平方后相加可得，
又因为，得到，即，
因为，所以或，
将代入，得，因为，所以，
将代入，得，
由于，这样的角不存在，
综上可知，存在，使等式同时成立.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）由题意，利用韦达定理可得，两边同时平方，结合同角三角函数的基本关系求得，即，化为，求，确定的范围，即可判断三角形的形状；
（2）由题意，利用诱导公式，结合同角的三角函数关系式求解即可.
18．（2026高一上·惠州期末）设二次函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求的值；
（2）若，
①，求的最小值，并指出取最小值时的值；
②求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）解：因为的解集为，
又因为，
所以是方程的唯一实根，且，
则，
所以，
解得，
经检验，满足题意要求，
所以.
（2）解：因为，，
所以，
则，所以.
①因为，，
所以
，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值是．
②因为，所以，
则函数的图象的对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为；
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为，
综上所述，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据题意可知是方程的唯一实根，再利用判别式法和代入法，从而得到关于的方程组，解方程组得出a，b的值.
（2）根据题意得出的值.
①利用基本不等式求最值的方法和“1”的妙用，从而得出的最小值，并指出取最小值时的值.
②利用二次函数的图象的对称性和单调性，再利用分类讨论的方法求出函数在区间上的最小值．
（1）因为的解集为，
又，
所以是方程的唯一实根，且，
所以，即，解得，
经检验，满足题意要求，
所以.
（2）因为，，
所以，则，故，
①因为，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
②因为，则，
显然函数的图象的对称轴为，
当时，在区间上单调递增，
则的最小值为；
当时，在区间上单调递减，
则的最小值为；
综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为.
19．（2026高一上·惠州期末）已知函数（，）为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
（1）当时，求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，
①当时，求函数的值域；
②记方程在上的根从小到大依次为，，…，，试确定n的值，并求的值．
【答案】（1）解：因为函数为奇函数，所以，且，
所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，则，且，
所以，可得，所以，
因为，所以，且在内单调递减，在内单调递增，
可得， 则，
所以的单调递减区间为.
（2）解：将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），
得到函数.
①因为，所以，
可得，
则，
所以函数的值域为.
②令，则，
因为，所以，
由图象可知：与在内有4个交点，
所以，
且，
可得，
所以.
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性和周期性，从而可得的值，则得出函数的解析式，再结合正弦型函数的单调性得出的单调递减区间.
（2）根据正弦型图象变换可得.
①以为整体，再结合正弦函数求值域的方法，从而得出正弦型函数在时的值域.
②令，从而得出的值，利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合正弦函数图象得出与在内有4个交点，从而得出n的值，再结合图形的对称性求和得出的值.
（1）因为函数为奇函数，则，
且，所以，
设的最小正周期为，
由题意可知：，即，
且，则，可得，
所以，
因为，则，
且在内单调递减，在内单调递增，
可得，即
所以的单调递减区间为.
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得，
再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数，
①因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为；
②令，则，
因为，则，
由图象可知：与在内有4个交点，所以，
且，
可得，
所以.
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