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四川省达州中学2025-2026学年高一上学期数学期末试卷
1．（2026高一上·达州期末）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2026高一上·达州期末）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2026高一上·达州期末）函数的部分图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2026高一上·达州期末）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2026高一上·达州期末）若，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·达州期末）设，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高一上·达州期末）若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高一上·达州期末）已知函数的图象分别与函数和的图象交于，两点，设两交点的横坐标分别为，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026高一上·达州期末）已知，，则（　　）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
10．（2026高一上·达州期末）下列说法正确的是（　　）
A．若α终边上一点的坐标为，则
B．若角α为锐角，则2α为钝角
C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
D．若且，则
11．（2026高一上·达州期末）已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象关于直线对称
B．a，b，c的大小关系是：
C．函数在区间上单调递减
D．关于x的不等式解集为
12．（2026高一上·达州期末）函数的零点个数是　 　.
13．（2026高一上·达州期末）已知函数为奇函数，则　 　.
14．（2026高一上·达州期末）已知定义域为的奇函数的图像是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为　 　．
15．（2026高一上·达州期末）已知集合，，．
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（2026高一上·达州期末）已知函数.
（1）填写下表，并画出在上的图象；
0
（2）写出的解集.
17．（2026高一上·达州期末）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
18．（2026高一上·达州期末）已知幂函数在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围.
19．（2026高一上·达州期末）已知函数， .
（1）证明：为偶函数；
（2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围；
（3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，即集合，
易知集合或，
则或.
故答案为：D.
【分析】根据对数函数有意义，求得结合N，解一元二次不等式求得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、为奇函数，且在内为增函数，，故A正确；
B、不是奇函数，故B错误；
C、为偶函数，故C错误；
D、在区间上是减函数；故D错误.
故答案为：A.
【分析】逐项判断函数的奇偶性和单调性，即可确定正确答案.
3．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可知，函数定义域为全体实数，
且，
所以函数是偶函数，排除选项C和选项D；
当时，，排除选项A；
经检验，选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】由偶函数的图象的对称性和指数函数的值域、三角函数的值域，再由排除法找出函数的部分图象.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由，则成立，即充分性成立；
若，满足，但不成立，即必要性不成立；
则 “”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据不等式关系以及取特殊值，结合充分、必要性定义判断即可.
5．【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，可得，
所以，则，
因为，所以，
则，又因为，
所以，则，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式，则将已知条件化简，再结合角的取值范围，从而得出的值，进而得出的值.
6．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵，
函数是增函数，，∴，∴，且，
又，即，
综上可得，，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和幂函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
7．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，所以，函数是周期为的周期函数，
又因为，所以在上的图象如图所示，
由函数的解析式可知，当单调递增，
又因为，
当在上单调递减，上单调递增，
则，
所以的图象如图所示，
令，将所求函数零点问题转化为函数交点问题，
则在上的交点个数即为所求零点个数，
如图所示，在时，有个交点；在时，有个交点，
综上所述，两函数共有个交点，
则函数有个零点.
故答案为：.
【分析】利用函数的周期性和单调性， 令， 则将函数的零点数转化成两函数的交点个数问题，再利用两函数的图象得出两函数在区间内的交点个数，从而得出函数在区间内的零点个数.
8．【答案】C
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：设，，
则，
因为函数和互为反函数，
所以图象关于直线对称，
则函数的图象也关于直线对称，
所以，关于直线对称，
则，，
又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据反函数的定义和互为反函数图象的对称性，从而得到点与点关于直线对称，再利用图形的对称性得出的值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
又因为，所以，故A正确；
对于B，由，得，
又因为，所以，故B错误；
对于C，由，，得，故C正确；
对于D，由，得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】C,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，
则，故A错误；
对于B，当角α为锐角时，若，则 不是钝角，故B错误；
对于C，依题意得：扇形的半径为，则该扇形的面积为，故C正确；
对于D，由①，两边取平方，可得，
化简得，
因为，所以，则，
由
可得②，
联立①②，解得，
则，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据三角函数的定义判断出选项A；举反例排除选项B；利用扇形的弧长个数与扇形的面积公式，从而计算可判断选项C；根据已知条件和同角三角函数基本关系式以及角的取值范围，从而求出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：由函数是上的偶函数，得函数的图象关于y轴对称，
则函数的图象关于直线对称，所以，故A正确；
因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，故C正确；
因为，
又因为，且函数在上单调递增，
所以，则，故B错误；
因为函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，
所以可化为，则，
所以，解得，
则的解集为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据偶函数的图象的对称性，则判断出选项A；利用单调函数的定义判断出函数的单调性，再利用函数的单调性比较出a，b，c的大小，则判断出选项B；利用单调函数的定义判断出函数在区间上单调性，则可判断选项C；利用已知条件结合函数的对称性和单调性，从而求出不等式的解集，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】3
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，方程有三个解，则函数f(x)有三个零点.
故答案为：3.
【分析】利用函数零点的定义，令f(x)＝0，从而求解得出函数的零点，进而得出函数的零点个数.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，
所以，所以，
又因为，所以时，.
故答案为：.
【分析】根据函数为奇函数，可得直接求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；不等式的解集
【解析】【解答】解：构造函数，，
由，当时，总有，即，
即，当时，总有，可得在上单调递增，
又因为函数的图像是一条连续不断的曲线，所以在上单调递增，
又因为是奇函数，所以，
所以在上是偶函数，又因为，
所以，即，
则，即，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】构造函数，由题意可得函数在上单调递增，再根据是奇函数，推出函数在上是偶函数，根据函数的单调性和奇偶性将不等式，转化为，即求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，解得或，
则或，所以 ，
由，得，解得，
则，
所以，.
（2）解：因为，所以，
当时，则，解得；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）先利用指数函数的单调性和一元二次不等式求解方法，从而求出集合和集合，再利用补集的运算法则得出集合的补集，根据集合的交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合和集合.
（2）由得到，根据集合是否为空集分类讨论，再结合集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数m的取值范围.
（1），解得或，则或， .
又由，即，解得，则，
所以，.
（2）因为，所以，
当时，则有，即；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围为或.
16．【答案】（1）解：依题意，五点列表法如下：
0
0 0
函数在上的图象如下：
（2）解：由，，
得，，
则不等式的解集为.
【知识点】五点法画三角函数的图象；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）令分别等于0，，，，，再利用五点法，从而列表作图.
（2）利用已知条件，令，，从而得出不等式的解集.
（1）
0
0 0
（2）由，得，，
故的解集为
17．【答案】（1）解：∵，所以，
又∵函数图象是连续不断的，
∴，
解得.
（2）解：由（1）知，
则，
当时，，
当且仅当时，即当时取等号，
当时，即当时，
则，
由二次函数的性质，
可知当时，即当时，函数取最大值，
∴，
∵，
所以，
则当训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由结合已知条件，从而建立方程得出的值，再由函数图象连续不断，从而建立方程得出的值.
（2）由（1）知分段函数的解析式，从而得出分段函数的解析式，再分别用基本不等式求最值的方法和二次函数求最值的方法，比较求出分段函数的最大值，从而得出当训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
（1）∵，即，
∵函数图象是连续不断的，
∴，
解得.
（2）由（1）知，
则，
当时，，当且仅当，即时取等号.
当，即时，，
由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值，
∴，
∵，即，
∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
18．【答案】（1）解：由幂函数在上单调递增，
可得，解得，
所以.
（2）解：因为在上单调递增，
则可化为，
解得，
所以的取值范围为.
（3）解：由（1）知，对，使得都成立，
所以，其中，
由（1）可得函数在上的最大值为8，
所以，
因为存在，使得成立，
可得，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
则，
所以，
解得或，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，从而列出关于m的方程和关于m的不等式，从而求解得出实数m的值，进而得出幂函数的解析式.
（2）由幂函数的单调性，则将不等式转化为不等式，从而得出满足不等式的x的取值范围.
（3）由（1）得出的幂函数的解析式，利用已知条件将，使得都成立转化为，再由（1）可得函数在上的最大值为8，则，从而得出存在，使得成立，进而可得，则得出，再解一元二次不等式得出实数t的取值范围.
（1）由幂函数在上单调递增，
可得，解得，
所以；
（2）因为在上单调递增，
则可化为，解得，所以的取值范围为；
（3）由（1）知，
因为对，使得都成立，
所以，其中，
由（1）可得函数在上的最大值为8，所以，
因为存在，使得成立，可得，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围为.
19．【答案】（1）证明：因为，
又因为
，
所以，则为偶函数.
（2）解：原题意等价于方程无解，
则方程无解，
令，
因为，
所以，则，
所以函数的值域是，则当时满足题意，
所以a的取值范围是.
（3）解：由题意，得，，
令，则，则，.
①当时，则，
所以，解得；
②当时，则，
所以，解得（舍去）；
③当时，则
所以，解得（舍去），
综上所述，存在，使得最小值为0.
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义证出函数为偶函数.
（2）根据函数的图象与直线没有公共点，则利用分离参数法得出方程无解，令，再利用对数的运算法则和函数求值域的方法，从而得出函数h(x)的值域，进而得出实数a的取值范围.
（3）由题意，得，，再利用换元法，令，再分类讨论结合函数求最值的方法，从而得出存在，使得最小值为0.
1 / 1四川省达州中学2025-2026学年高一上学期数学期末试卷
1．（2026高一上·达州期末）已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，即集合，
易知集合或，
则或.
故答案为：D.
【分析】根据对数函数有意义，求得结合N，解一元二次不等式求得集合，再根据集合的并集运算求解即可.
2．（2026高一上·达州期末）下列函数是奇函数且在区间上是增函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、为奇函数，且在内为增函数，，故A正确；
B、不是奇函数，故B错误；
C、为偶函数，故C错误；
D、在区间上是减函数；故D错误.
故答案为：A.
【分析】逐项判断函数的奇偶性和单调性，即可确定正确答案.
3．（2026高一上·达州期末）函数的部分图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可知，函数定义域为全体实数，
且，
所以函数是偶函数，排除选项C和选项D；
当时，，排除选项A；
经检验，选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】由偶函数的图象的对称性和指数函数的值域、三角函数的值域，再由排除法找出函数的部分图象.
4．（2026高一上·达州期末）“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由，则成立，即充分性成立；
若，满足，但不成立，即必要性不成立；
则 “”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据不等式关系以及取特殊值，结合充分、必要性定义判断即可.
5．（2026高一上·达州期末）若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，可得，
所以，则，
因为，所以，
则，又因为，
所以，则，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式，则将已知条件化简，再结合角的取值范围，从而得出的值，进而得出的值.
6．（2026高一上·达州期末）设，则a，b，c的大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】∵，
函数是增函数，，∴，∴，且，
又，即，
综上可得，，
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和幂函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
7．（2026高一上·达州期末）若定义在上的函数满足，且当时，，已知函数，则函数在区间内的零点个数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，所以，函数是周期为的周期函数，
又因为，所以在上的图象如图所示，
由函数的解析式可知，当单调递增，
又因为，
当在上单调递减，上单调递增，
则，
所以的图象如图所示，
令，将所求函数零点问题转化为函数交点问题，
则在上的交点个数即为所求零点个数，
如图所示，在时，有个交点；在时，有个交点，
综上所述，两函数共有个交点，
则函数有个零点.
故答案为：.
【分析】利用函数的周期性和单调性， 令， 则将函数的零点数转化成两函数的交点个数问题，再利用两函数的图象得出两函数在区间内的交点个数，从而得出函数在区间内的零点个数.
8．（2026高一上·达州期末）已知函数的图象分别与函数和的图象交于，两点，设两交点的横坐标分别为，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：设，，
则，
因为函数和互为反函数，
所以图象关于直线对称，
则函数的图象也关于直线对称，
所以，关于直线对称，
则，，
又因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据反函数的定义和互为反函数图象的对称性，从而得到点与点关于直线对称，再利用图形的对称性得出的值.
9．（2026高一上·达州期末）已知，，则（　　）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．的取值范围为
【答案】A,C,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，由，得，
又因为，所以，故A正确；
对于B，由，得，
又因为，所以，故B错误；
对于C，由，，得，故C正确；
对于D，由，得，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2026高一上·达州期末）下列说法正确的是（　　）
A．若α终边上一点的坐标为，则
B．若角α为锐角，则2α为钝角
C．若圆心角为的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为
D．若且，则
【答案】C,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小；扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，
则，故A错误；
对于B，当角α为锐角时，若，则 不是钝角，故B错误；
对于C，依题意得：扇形的半径为，则该扇形的面积为，故C正确；
对于D，由①，两边取平方，可得，
化简得，
因为，所以，则，
由
可得②，
联立①②，解得，
则，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】根据三角函数的定义判断出选项A；举反例排除选项B；利用扇形的弧长个数与扇形的面积公式，从而计算可判断选项C；根据已知条件和同角三角函数基本关系式以及角的取值范围，从而求出的值，再利用同角三角函数基本关系式得出的值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2026高一上·达州期末）已知函数是R上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（　　）
A．函数的图象关于直线对称
B．a，b，c的大小关系是：
C．函数在区间上单调递减
D．关于x的不等式解集为
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：由函数是上的偶函数，得函数的图象关于y轴对称，
则函数的图象关于直线对称，所以，故A正确；
因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，故C正确；
因为，
又因为，且函数在上单调递增，
所以，则，故B错误；
因为函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，在上单调递减，
所以可化为，则，
所以，解得，
则的解集为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据偶函数的图象的对称性，则判断出选项A；利用单调函数的定义判断出函数的单调性，再利用函数的单调性比较出a，b，c的大小，则判断出选项B；利用单调函数的定义判断出函数在区间上单调性，则可判断选项C；利用已知条件结合函数的对称性和单调性，从而求出不等式的解集，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2026高一上·达州期末）函数的零点个数是　 　.
【答案】3
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，方程有三个解，则函数f(x)有三个零点.
故答案为：3.
【分析】利用函数零点的定义，令f(x)＝0，从而求解得出函数的零点，进而得出函数的零点个数.
13．（2026高一上·达州期末）已知函数为奇函数，则　 　.
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，
所以，所以，
又因为，所以时，.
故答案为：.
【分析】根据函数为奇函数，可得直接求解即可.
14．（2026高一上·达州期末）已知定义域为的奇函数的图像是一条连续不断的曲线．对，当时，总有，则满足的实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；不等式的解集
【解析】【解答】解：构造函数，，
由，当时，总有，即，
即，当时，总有，可得在上单调递增，
又因为函数的图像是一条连续不断的曲线，所以在上单调递增，
又因为是奇函数，所以，
所以在上是偶函数，又因为，
所以，即，
则，即，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】构造函数，由题意可得函数在上单调递增，再根据是奇函数，推出函数在上是偶函数，根据函数的单调性和奇偶性将不等式，转化为，即求解即可.
15．（2026高一上·达州期末）已知集合，，．
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，解得或，
则或，所以 ，
由，得，解得，
则，
所以，.
（2）解：因为，所以，
当时，则，解得；
当时，则，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）先利用指数函数的单调性和一元二次不等式求解方法，从而求出集合和集合，再利用补集的运算法则得出集合的补集，根据集合的交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合和集合.
（2）由得到，根据集合是否为空集分类讨论，再结合集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数m的取值范围.
（1），解得或，则或， .
又由，即，解得，则，
所以，.
（2）因为，所以，
当时，则有，即；
当时，则有，解得，
综上，实数的取值范围为或.
16．（2026高一上·达州期末）已知函数.
（1）填写下表，并画出在上的图象；
0
（2）写出的解集.
【答案】（1）解：依题意，五点列表法如下：
0
0 0
函数在上的图象如下：
（2）解：由，，
得，，
则不等式的解集为.
【知识点】五点法画三角函数的图象；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】（1）令分别等于0，，，，，再利用五点法，从而列表作图.
（2）利用已知条件，令，，从而得出不等式的解集.
（1）
0
0 0
（2）由，得，，
故的解集为
17．（2026高一上·达州期末）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：.已知初始综合性能评分，且函数图象是连续不断的.
（1）求常数和的值；
（2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？
【答案】（1）解：∵，所以，
又∵函数图象是连续不断的，
∴，
解得.
（2）解：由（1）知，
则，
当时，，
当且仅当时，即当时取等号，
当时，即当时，
则，
由二次函数的性质，
可知当时，即当时，函数取最大值，
∴，
∵，
所以，
则当训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由结合已知条件，从而建立方程得出的值，再由函数图象连续不断，从而建立方程得出的值.
（2）由（1）知分段函数的解析式，从而得出分段函数的解析式，再分别用基本不等式求最值的方法和二次函数求最值的方法，比较求出分段函数的最大值，从而得出当训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
（1）∵，即，
∵函数图象是连续不断的，
∴，
解得.
（2）由（1）知，
则，
当时，，当且仅当，即时取等号.
当，即时，，
由二次函数的性质可知，当，即时，函数取最大值，
∴，
∵，即，
∴训练时长（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高.
18．（2026高一上·达州期末）已知幂函数在上单调递增.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若对，，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由幂函数在上单调递增，
可得，解得，
所以.
（2）解：因为在上单调递增，
则可化为，
解得，
所以的取值范围为.
（3）解：由（1）知，对，使得都成立，
所以，其中，
由（1）可得函数在上的最大值为8，
所以，
因为存在，使得成立，
可得，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
则，
所以，
解得或，
所以实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，从而列出关于m的方程和关于m的不等式，从而求解得出实数m的值，进而得出幂函数的解析式.
（2）由幂函数的单调性，则将不等式转化为不等式，从而得出满足不等式的x的取值范围.
（3）由（1）得出的幂函数的解析式，利用已知条件将，使得都成立转化为，再由（1）可得函数在上的最大值为8，则，从而得出存在，使得成立，进而可得，则得出，再解一元二次不等式得出实数t的取值范围.
（1）由幂函数在上单调递增，
可得，解得，
所以；
（2）因为在上单调递增，
则可化为，解得，所以的取值范围为；
（3）由（1）知，
因为对，使得都成立，
所以，其中，
由（1）可得函数在上的最大值为8，所以，
因为存在，使得成立，可得，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围为.
19．（2026高一上·达州期末）已知函数， .
（1）证明：为偶函数；
（2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围；
（3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明：因为，
又因为
，
所以，则为偶函数.
（2）解：原题意等价于方程无解，
则方程无解，
令，
因为，
所以，则，
所以函数的值域是，则当时满足题意，
所以a的取值范围是.
（3）解：由题意，得，，
令，则，则，.
①当时，则，
所以，解得；
②当时，则，
所以，解得（舍去）；
③当时，则
所以，解得（舍去），
综上所述，存在，使得最小值为0.
【知识点】函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义证出函数为偶函数.
（2）根据函数的图象与直线没有公共点，则利用分离参数法得出方程无解，令，再利用对数的运算法则和函数求值域的方法，从而得出函数h(x)的值域，进而得出实数a的取值范围.
（3）由题意，得，，再利用换元法，令，再分类讨论结合函数求最值的方法，从而得出存在，使得最小值为0.
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