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四川省成都市第七中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题
1．（2026高一上·成都期末）若集合，，则
A． B． C． D．
2．（2026高一上·成都期末）已知命题p：，，则命题p的否定为（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．（2026高一上·成都期末）在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2026高一上·成都期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高一上·成都期末）声音的强弱通常用声强级（dB）和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）．一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为0dB；能承受的最高声强为，此时声强级为120dB．若某人说话声音的声强级为60dB，则他说话声音的声强为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高一上·成都期末）已知，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高一上·成都期末）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2026高一上·成都期末）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（　　）
A． B． C．2 D．4
9．（2026高一上·成都期末）已知，且，则下列说法正确的是（　　）
A．最小值为4 B．最大值为4
C．最小值为8 D．最小值为16
10．（2026高一上·成都期末）已知是定义在R上的函数，满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（　　）
A．
B．函数的一个周期为4
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象关于点中心对称
11．（2026高一上·成都期末）已知函数，，，则（　　）
A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期为
C．函数的值域为 D．函数的图象关于对称
12．（2026高一上·成都期末）已知幂函数的图象过点，则　 　．
13．（2026高一上·成都期末）　 　．
14．（2026高一上·成都期末）设．若正数m，n满足，那么的最小值为　 　．
15．（2026高一上·成都期末）已知函数（其中），．
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）设函数，求的单调递增区间．
16．（2026高一上·成都期末）已知函数，．
（1）当时，求的最大值；
（2）已知集合，集合，且满足，求实数A的取值范围．
17．（2026高一上·成都期末）学校知辛堂旁有一个矩形水池ABCD，如图所示，米，米．为了便于同学们观赏水池中的锦鲤，学校计划在水池内铺设三条栈道OE，EF和OF．考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E，F分别在边BC，AD上（均含端点），且．设．
（1）求x的取值范围；
（2）求证：；
（3）由于锦鲤在18℃-25℃的水温环境下，食欲旺盛，游动活跃，入冬后，学校决定在三条栈道的底部安装加温带．经核算，三条栈道安装加温带的费用为每米50元．试问如何设计才能使费用最低？并求出最低费用．
18．（2026高一上·成都期末）已知函数，．
（1）求的值；
（2）已知．
①判断并证明的奇偶性和单调性；
②设为的零点，且满足，求满足条件的的个数．
19．（2026高一上·成都期末）对于函数，若满足，，则称在区间上有性质．
（1）函数在区间上　 　性质，函数在区间上　 　性质；（空格处填“有”或“没有”，无需说明理由）
（2）若函数在上有性质，求实数的取值范围；
（3）已知函数．
①判断在上是否有性质，并说明理由．
②设集合满足，定义函数是定义域为的单调增函数．若，请判断是否也属于，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
【分析】利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用对数函数的单调性得出集合B，再根据交集的运算法则得出集合.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题，
它的否定是特称命题，
所以，题中全称量词命题的否定为：“”改为存在量词“”，结论改为，
而定义域保持不变，
因此，命题p的否定为．
故答案为：C．
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，从而找出命题p的否定的选项．
3．【答案】C
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：因为角的终边在直线上，
所以角的终边在一、三象限的角平分线上，
则终边在直线上的所有角组成的集合为：
.
故答案为：C.
【分析】根据终边相同的角的定义，再利用并集的运算法则，从而得出终边在直线上的角的集合.
4．【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】分别比较出三个数与0和的大小关系，从而比较出a，b，c三者的大小.
5．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意，可知，
解得，
所以，
则当时，有，
所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合代入法计算出的值，从而得出，再将代入结合指数式与对数式的互化公式，从而得出的值，即得出他说话声音的声强.
6．【答案】D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，且，
则.
故答案为：D.
【分析】利用得出的取值范围，再利用三角函数值在各象限的符号和同角三角函数基本关系式，从而可得的值，再结合角之间的关系和诱导公式，从而得出的值.
7．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：由，
可得，
则函数的定义域为且，关于原点对称，
由，
可知函数为奇函数，故排除选项B和选项D；
又因为，故排除选项A.
故答案为：C.
【分析】先根据奇函数和偶函数的定义，从而判断函数的奇偶性，再利用奇函数和偶函数的图象的对称性结合特殊值排除法，从而逐项判断找出函数的大致图象.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：根据题意，对任意，都有，
则．
因为是定义在上的单调函数，
所以为定值，
令，，
则，
由，得，，
又因为在上单调递增，
所以是唯一解，
则，
由，得，
则函数的零点为．
故答案为：A.
【分析】利用换元法和函数的单调性，从而列方程得出函数的解析式，再利用函数的单调性和函数零点求解方法，从而得出函数的零点.
9．【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，因为，
可得，当且仅当时，等号成立，
又因为，
所以，
则，
解得，
所以，
则最小值为，故A正确；
对于B，由，
可得，当且仅当时，等号成立，
因为，
所以，
则，
解得，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，无最大值，故B错误；
对于C，因为，
可得
所以，
又因为，所以当，
可得最小值为，故C正确；
对于D，由且，
可得，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以最小值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据题意和基本不等式求最值的方法以及二次函数的性质，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由函数为奇函数，
令，可得，
所以，
则函数关于点对称，
由，
可得，
则函数关于对称，
由且，
可得，
所以，
则，
所以，
可得函数的周期为.
对于A，由关于点对称，可得，
由函数的周期为，
可得，故A正确；
对于B，由，
可得函数的周期为，故B正确；
对于C、D，由且，
可得，
将中的代换为，
可得，
所以，
则，
所以关于原点对称，不一定关于对称，故C错误、D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意和函数的奇偶性、对称性、周期性，从而得出函数的周期，则判断出选项B；再利用函数的周期性得出函数的值，则判断出选项A；利用函数的图象的对称性，则判断出选项C和选项D，从而找出说法一定正确的选项.
11．【答案】A,B,C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于选项A，，
，
，，
设，，
在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，
在上是单调递减函数，故选项A正确；
对于选项B，，
所以
，
则，故选项B正确；
对于选项C，，
，
，
，
，
，
，
，
的值域为，故选项C正确；
对于选项D，，
，
，
，
的图象不关于对称，故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由求出，再利用二倍角的余弦公式和余弦型函数的图象判断函数的单调性，则判断出选项A；由求出，再利用同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，从而整理得到，再利用三角型函数的最小正周期公式判断出选项B；由得到，再利用立方和公式、同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，从而整理得到，再利用余弦型函数的图象求值域的方法，则判断出选项C；由求出，从而求出，进而得到，再利用函数图象的对称性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】16
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，
所以，
解得，
则，
又因为幂函数的图象过点，
所以.
故答案为：16.
【分析】根据幂函数的定义得出的值，再代入点得出实数a的值.
13．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和换底公式，从而计算得出的值.
14．【答案】8
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意知，，，
当时，即当时，，
因为，
所以，
则，
又因为，所以，
则，当时取等号，
所以，，当，时取等号，
当时，即当时，，
因为，所以，
则，
所以，
综上所述，的最小值为8.
【分析】利用已知条件分情况进行讨论，再对等式进行变形结合不等式求最值的方法，再利用得出的最小值.
15．【答案】（1）解：因为，
可得，
又因为，所以，
则，
所以，函数的最小正周期，
对称轴满足，
解得．
（2）解：因为，
所以，
则函数的单调递增区间为，
解得，
则函数的单调递增区间为．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的对称轴方程，从而得出函数的最小正周期和对称轴方程.
（2）利用已知条件和诱导公式，从而得出函数的解析式，再利用换元法和正弦函数的单调性，从而判断出正弦型函数的单调性，进而得出函数正的单调递增区间．
（1）已知，可得，
又，所以，于是，
所以最小正周期，对称轴满足，
解得．
（2），
所以，
所以的递增区间为，
解得，
即的单调递增区间为．
16．【答案】（1）解：，
，
设，，
，，
转化为，
在上是单调递减函数，
在处取得最大值，且最大值为，
则当时，的最大值为.
（2）解：因为，对称轴为，开口向上，
，
当时，取最小值，且最小值为；
当时，取最大值，且最大值为
当时，函数的值域为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由函数的解析式求出函数，设，由的取值范围求出的取值范围，从而得到的取值范围，则将转化为，再利用二次函数的单调性求出二次函数的最大值，从而得出函数在上的最大值.
（2）利用二次函数的图象求出在内的值域，从而得出集合，再利用正弦型函数的图象求出函数在内的值域，从而得出集合，再由得到，从而得到的不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
（1），，
设，，，，
转化为，
在上是单调递减函数，
在处取得最大值，且最大值为，
即当时，的最大值为；
（2），对称轴为，开口向上，
，当时，取最小值，且最小值为，
当时，取最大值，且最大值为，
当时，的值域为，
，，
，，，
，，，
，，
，，，，
实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：因为在直角三角形中，
，
在直角三角形中，，
则，
所以，
又因为，
所以，
则x的取值范围为．
（2）证明：在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
则，
所以.
（3）解：由（2）可知，
，
设，
等式两边平方，得：，
则，
所以，
则安装加温带的费用为，
因为，
所以，
则．
又因为在上单调递减，
则当时，即当时，取得最小值元，
答：当时，三条栈道安装加温带的费用最低，
此时最低费用为元．
【知识点】正切函数的图象与性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用直角三角形边角关系和正切函数的定义，再利用直角三角形中角的取值范围和正切函数的图象，从而求出x的取值范围.
（2）由三角函数的定义和诱导公式以及勾股定理，再利用正弦、余弦齐次式证出.
（3）弦确定费用最低的条件，再设，再利用同角三角函数基本关系式和辅助角公式以及函数的单调性，从而得出函数在的最小值，进而得出当时，三条栈道安装加温带的费用最低，此时最低费用为元．
（1）因为在直角三角形中，，
在直角三角形中，，则，
所以，又，所以，
即x的取值范围为．
（2）在直角三角形中，，
在直角三角形中，，则，
所以，得证．
（3）由（2）可知，设，
等式两边平方得，
则，所以，
所以安装加温带的费用为．
由于，所以，
所以．
由于在上单调递减，
所以当即时，取得最小值元．
答：当时，三条栈道安装加温带的费用最低，此时最低费用为元．
18．【答案】（1）解：根据题意，，
由平方差公式，得：，
代入，，
得：
则.
（2）解：①因为，
所以，
又因为定义域为，所以，函数为奇函数，
因为，
同时乘以，得：，
则随着的增大而增大，减小，
所以，函数在上单调递增.
②因为，函数零点为，，
则，
所以，不等式为：，
代入，得
注意到为奇函数，则，
又因为为偶数，设，则，
不等式化为
由，
得
又因为函数单调递增，
则
对应，共个；
又因为为奇数，设，则，
不等式化为：
由，
得
由函数单调递增，可得：
解为，
则，共个，
所以，满足条件的的个数为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；有理数指数幂的运算性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用平方差公式，代入，，则直接相乘化简得出的值.
（2）①利用已知条件和奇偶性定义、单调性定义，则判断并证明的奇偶性和单调性.
②根据函数的零点得到，再利用函数的奇偶性和单调性，则将不等式转化为，再分k为奇数和偶数两种情况讨论整数解，从而得出满足条件的的个数．
（1）根据题意，函数为：
由平方差公式：
代入，，
得：即.
（2）①已知，
，
定义域为，故为奇函数，
又，同时乘以得：，
随着的增大而增大，减小，故在上单调递增.
②已知，零点为，，
不等式为：
代入，得
注意到为奇函数，有，
为偶数，设，则，
不等式化为
由，得
单调递增，则
对应，共个；
为奇数，设，则，
不等式化为：
由，得
由函数单调递增可得：
解为，即，共个，
故满足条件的的个数为.
19．【答案】（1）有；没有
（2）解：因为函数在上有性质，
则在上恒成立，
由对数有意义可知，且，
解得，
所以，
则，
整理得，
所以，
因为当时，，
所以不等式等价于在上恒成立，
解得，
综上所述，的取值范围为.
（3）解： ①由（1）可知在上有性质，
所以，
由二次函数的性质可知在上单调递增，
所以，
同理可得，
所以在上有性质.
②根据题意，得，
若，则，
取，
若，则，
所以，
但，这与是增函数矛盾，则，
当，，
所以，
再根据函数的单调性，
则，
记，，…，，…，
所以，
同理可得，…，，…
因为，
所以，
取，
则取自然对数，
所以，
则属于.
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】（1）解：当时，，
则，
所以，在区间上，有性质；
当时，令，
则，
不满足，，
所以在区间上没有性质.
【分析】（1）根据性质的定义判断出在区间上没有性质.
（2）根据性质的定义可知在上恒成立，再利用对数的运算法则和对数式与指数式的互化公式以及不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
（3）①根据性质的定义可知，再结合的单调性可知，从而判断出函数在上有性质.
②由且单调递增可知对任意有，任取，假设推导出假设不成立，从而得到，再构造递推序列可得，再分析的递推关系，从而判断出属于.
（1）因为当时，，即，
所以在区间上，有性质；
当时，令，则，
不满足，，所以在区间上没有性质.
（2）函数在上有性质，
则在上恒成立，
由对数有意义可知且，解得，
所以，即，
整理得，所以，
因为当时，所以不等式等价于在上恒成立，
解得，
综上，的取值范围为.
（3）①由（1）可知在上有性质，所以，
又由二次函数的性质可知在上单调递增，
所以，同理可得，
所以在上有性质.
②根据题意，若，则，
取，若，则，所以，
但，这与是增函数矛盾，故，
当，，所以，
再根据的单调性，则，
记，，…，，…，
所以，同理，…，，…
由于，
所以，
取，故取自然对数，
即，所以属于.
1 / 1四川省成都市第七中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题
1．（2026高一上·成都期末）若集合，，则
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，，
∴.
【分析】利用一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用对数函数的单调性得出集合B，再根据交集的运算法则得出集合.
2．（2026高一上·成都期末）已知命题p：，，则命题p的否定为（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：因为全称命题，
它的否定是特称命题，
所以，题中全称量词命题的否定为：“”改为存在量词“”，结论改为，
而定义域保持不变，
因此，命题p的否定为．
故答案为：C．
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，从而找出命题p的否定的选项．
3．（2026高一上·成都期末）在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】终边相同的角
【解析】【解答】解：因为角的终边在直线上，
所以角的终边在一、三象限的角平分线上，
则终边在直线上的所有角组成的集合为：
.
故答案为：C.
【分析】根据终边相同的角的定义，再利用并集的运算法则，从而得出终边在直线上的角的集合.
4．（2026高一上·成都期末）已知，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；正弦函数的性质
【解析】【解答】解：因为，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】分别比较出三个数与0和的大小关系，从而比较出a，b，c三者的大小.
5．（2026高一上·成都期末）声音的强弱通常用声强级（dB）和声强来描述，二者的数量关系为（为常数）．一般人能感觉到的最低声强为，此时声强级为0dB；能承受的最高声强为，此时声强级为120dB．若某人说话声音的声强级为60dB，则他说话声音的声强为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意，可知，
解得，
所以，
则当时，有，
所以，
解得.
故答案为：A.
【分析】根据题意结合代入法计算出的值，从而得出，再将代入结合指数式与对数式的互化公式，从而得出的值，即得出他说话声音的声强.
6．（2026高一上·成都期末）已知，且，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，
所以，
又因为，
所以，且，
则.
故答案为：D.
【分析】利用得出的取值范围，再利用三角函数值在各象限的符号和同角三角函数基本关系式，从而可得的值，再结合角之间的关系和诱导公式，从而得出的值.
7．（2026高一上·成都期末）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：由，
可得，
则函数的定义域为且，关于原点对称，
由，
可知函数为奇函数，故排除选项B和选项D；
又因为，故排除选项A.
故答案为：C.
【分析】先根据奇函数和偶函数的定义，从而判断函数的奇偶性，再利用奇函数和偶函数的图象的对称性结合特殊值排除法，从而逐项判断找出函数的大致图象.
8．（2026高一上·成都期末）已知定义在上的是单调函数，且对任意恒有，则函数的零点为（　　）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：根据题意，对任意，都有，
则．
因为是定义在上的单调函数，
所以为定值，
令，，
则，
由，得，，
又因为在上单调递增，
所以是唯一解，
则，
由，得，
则函数的零点为．
故答案为：A.
【分析】利用换元法和函数的单调性，从而列方程得出函数的解析式，再利用函数的单调性和函数零点求解方法，从而得出函数的零点.
9．（2026高一上·成都期末）已知，且，则下列说法正确的是（　　）
A．最小值为4 B．最大值为4
C．最小值为8 D．最小值为16
【答案】A,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，因为，
可得，当且仅当时，等号成立，
又因为，
所以，
则，
解得，
所以，
则最小值为，故A正确；
对于B，由，
可得，当且仅当时，等号成立，
因为，
所以，
则，
解得，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，无最大值，故B错误；
对于C，因为，
可得
所以，
又因为，所以当，
可得最小值为，故C正确；
对于D，由且，
可得，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以最小值为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据题意和基本不等式求最值的方法以及二次函数的性质，从而逐项判断找出说法正确的选项.
10．（2026高一上·成都期末）已知是定义在R上的函数，满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（　　）
A．
B．函数的一个周期为4
C．函数的图象关于直线对称
D．函数的图象关于点中心对称
【答案】A,B,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由函数为奇函数，
令，可得，
所以，
则函数关于点对称，
由，
可得，
则函数关于对称，
由且，
可得，
所以，
则，
所以，
可得函数的周期为.
对于A，由关于点对称，可得，
由函数的周期为，
可得，故A正确；
对于B，由，
可得函数的周期为，故B正确；
对于C、D，由且，
可得，
将中的代换为，
可得，
所以，
则，
所以关于原点对称，不一定关于对称，故C错误、D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意和函数的奇偶性、对称性、周期性，从而得出函数的周期，则判断出选项B；再利用函数的周期性得出函数的值，则判断出选项A；利用函数的图象的对称性，则判断出选项C和选项D，从而找出说法一定正确的选项.
11．（2026高一上·成都期末）已知函数，，，则（　　）
A．函数在上单调递减 B．函数的最小正周期为
C．函数的值域为 D．函数的图象关于对称
【答案】A,B,C
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：对于选项A，，
，
，，
设，，
在上是单调递增函数，在上是单调递减函数，
在上是单调递减函数，故选项A正确；
对于选项B，，
所以
，
则，故选项B正确；
对于选项C，，
，
，
，
，
，
，
，
的值域为，故选项C正确；
对于选项D，，
，
，
，
的图象不关于对称，故选项D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由求出，再利用二倍角的余弦公式和余弦型函数的图象判断函数的单调性，则判断出选项A；由求出，再利用同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，从而整理得到，再利用三角型函数的最小正周期公式判断出选项B；由得到，再利用立方和公式、同角三角函数基本关系式和二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式，从而整理得到，再利用余弦型函数的图象求值域的方法，则判断出选项C；由求出，从而求出，进而得到，再利用函数图象的对称性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2026高一上·成都期末）已知幂函数的图象过点，则　 　．
【答案】16
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为函数为幂函数，
所以，
解得，
则，
又因为幂函数的图象过点，
所以.
故答案为：16.
【分析】根据幂函数的定义得出的值，再代入点得出实数a的值.
13．（2026高一上·成都期末）　 　．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：
.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和换底公式，从而计算得出的值.
14．（2026高一上·成都期末）设．若正数m，n满足，那么的最小值为　 　．
【答案】8
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由题意知，，，
当时，即当时，，
因为，
所以，
则，
又因为，所以，
则，当时取等号，
所以，，当，时取等号，
当时，即当时，，
因为，所以，
则，
所以，
综上所述，的最小值为8.
【分析】利用已知条件分情况进行讨论，再对等式进行变形结合不等式求最值的方法，再利用得出的最小值.
15．（2026高一上·成都期末）已知函数（其中），．
（1）求的最小正周期和对称轴方程；
（2）设函数，求的单调递增区间．
【答案】（1）解：因为，
可得，
又因为，所以，
则，
所以，函数的最小正周期，
对称轴满足，
解得．
（2）解：因为，
所以，
则函数的单调递增区间为，
解得，
则函数的单调递增区间为．
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）利用正弦型函数的最小正周期公式、正弦型函数的对称轴方程，从而得出函数的最小正周期和对称轴方程.
（2）利用已知条件和诱导公式，从而得出函数的解析式，再利用换元法和正弦函数的单调性，从而判断出正弦型函数的单调性，进而得出函数正的单调递增区间．
（1）已知，可得，
又，所以，于是，
所以最小正周期，对称轴满足，
解得．
（2），
所以，
所以的递增区间为，
解得，
即的单调递增区间为．
16．（2026高一上·成都期末）已知函数，．
（1）当时，求的最大值；
（2）已知集合，集合，且满足，求实数A的取值范围．
【答案】（1）解：，
，
设，，
，，
转化为，
在上是单调递减函数，
在处取得最大值，且最大值为，
则当时，的最大值为.
（2）解：因为，对称轴为，开口向上，
，
当时，取最小值，且最小值为；
当时，取最大值，且最大值为
当时，函数的值域为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）由函数的解析式求出函数，设，由的取值范围求出的取值范围，从而得到的取值范围，则将转化为，再利用二次函数的单调性求出二次函数的最大值，从而得出函数在上的最大值.
（2）利用二次函数的图象求出在内的值域，从而得出集合，再利用正弦型函数的图象求出函数在内的值域，从而得出集合，再由得到，从而得到的不等式组，解不等式组得出实数的取值范围.
（1），，
设，，，，
转化为，
在上是单调递减函数，
在处取得最大值，且最大值为，
即当时，的最大值为；
（2），对称轴为，开口向上，
，当时，取最小值，且最小值为，
当时，取最大值，且最大值为，
当时，的值域为，
，，
，，，
，，，
，，
，，，，
实数的取值范围为.
17．（2026高一上·成都期末）学校知辛堂旁有一个矩形水池ABCD，如图所示，米，米．为了便于同学们观赏水池中的锦鲤，学校计划在水池内铺设三条栈道OE，EF和OF．考虑到整体规划，要求O是边AB的中点，点E，F分别在边BC，AD上（均含端点），且．设．
（1）求x的取值范围；
（2）求证：；
（3）由于锦鲤在18℃-25℃的水温环境下，食欲旺盛，游动活跃，入冬后，学校决定在三条栈道的底部安装加温带．经核算，三条栈道安装加温带的费用为每米50元．试问如何设计才能使费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）解：因为在直角三角形中，
，
在直角三角形中，，
则，
所以，
又因为，
所以，
则x的取值范围为．
（2）证明：在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
则，
所以.
（3）解：由（2）可知，
，
设，
等式两边平方，得：，
则，
所以，
则安装加温带的费用为，
因为，
所以，
则．
又因为在上单调递减，
则当时，即当时，取得最小值元，
答：当时，三条栈道安装加温带的费用最低，
此时最低费用为元．
【知识点】正切函数的图象与性质；含三角函数的复合函数的值域与最值；任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）利用直角三角形边角关系和正切函数的定义，再利用直角三角形中角的取值范围和正切函数的图象，从而求出x的取值范围.
（2）由三角函数的定义和诱导公式以及勾股定理，再利用正弦、余弦齐次式证出.
（3）弦确定费用最低的条件，再设，再利用同角三角函数基本关系式和辅助角公式以及函数的单调性，从而得出函数在的最小值，进而得出当时，三条栈道安装加温带的费用最低，此时最低费用为元．
（1）因为在直角三角形中，，
在直角三角形中，，则，
所以，又，所以，
即x的取值范围为．
（2）在直角三角形中，，
在直角三角形中，，则，
所以，得证．
（3）由（2）可知，设，
等式两边平方得，
则，所以，
所以安装加温带的费用为．
由于，所以，
所以．
由于在上单调递减，
所以当即时，取得最小值元．
答：当时，三条栈道安装加温带的费用最低，此时最低费用为元．
18．（2026高一上·成都期末）已知函数，．
（1）求的值；
（2）已知．
①判断并证明的奇偶性和单调性；
②设为的零点，且满足，求满足条件的的个数．
【答案】（1）解：根据题意，，
由平方差公式，得：，
代入，，
得：
则.
（2）解：①因为，
所以，
又因为定义域为，所以，函数为奇函数，
因为，
同时乘以，得：，
则随着的增大而增大，减小，
所以，函数在上单调递增.
②因为，函数零点为，，
则，
所以，不等式为：，
代入，得
注意到为奇函数，则，
又因为为偶数，设，则，
不等式化为
由，
得
又因为函数单调递增，
则
对应，共个；
又因为为奇数，设，则，
不等式化为：
由，
得
由函数单调递增，可得：
解为，
则，共个，
所以，满足条件的的个数为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；有理数指数幂的运算性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）利用平方差公式，代入，，则直接相乘化简得出的值.
（2）①利用已知条件和奇偶性定义、单调性定义，则判断并证明的奇偶性和单调性.
②根据函数的零点得到，再利用函数的奇偶性和单调性，则将不等式转化为，再分k为奇数和偶数两种情况讨论整数解，从而得出满足条件的的个数．
（1）根据题意，函数为：
由平方差公式：
代入，，
得：即.
（2）①已知，
，
定义域为，故为奇函数，
又，同时乘以得：，
随着的增大而增大，减小，故在上单调递增.
②已知，零点为，，
不等式为：
代入，得
注意到为奇函数，有，
为偶数，设，则，
不等式化为
由，得
单调递增，则
对应，共个；
为奇数，设，则，
不等式化为：
由，得
由函数单调递增可得：
解为，即，共个，
故满足条件的的个数为.
19．（2026高一上·成都期末）对于函数，若满足，，则称在区间上有性质．
（1）函数在区间上　 　性质，函数在区间上　 　性质；（空格处填“有”或“没有”，无需说明理由）
（2）若函数在上有性质，求实数的取值范围；
（3）已知函数．
①判断在上是否有性质，并说明理由．
②设集合满足，定义函数是定义域为的单调增函数．若，请判断是否也属于，并说明理由．
【答案】（1）有；没有
（2）解：因为函数在上有性质，
则在上恒成立，
由对数有意义可知，且，
解得，
所以，
则，
整理得，
所以，
因为当时，，
所以不等式等价于在上恒成立，
解得，
综上所述，的取值范围为.
（3）解： ①由（1）可知在上有性质，
所以，
由二次函数的性质可知在上单调递增，
所以，
同理可得，
所以在上有性质.
②根据题意，得，
若，则，
取，
若，则，
所以，
但，这与是增函数矛盾，则，
当，，
所以，
再根据函数的单调性，
则，
记，，…，，…，
所以，
同理可得，…，，…
因为，
所以，
取，
则取自然对数，
所以，
则属于.
【知识点】元素与集合的关系；集合间关系的判断；函数单调性的性质；函数恒成立问题
【解析】【解答】（1）解：当时，，
则，
所以，在区间上，有性质；
当时，令，
则，
不满足，，
所以在区间上没有性质.
【分析】（1）根据性质的定义判断出在区间上没有性质.
（2）根据性质的定义可知在上恒成立，再利用对数的运算法则和对数式与指数式的互化公式以及不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数k的取值范围.
（3）①根据性质的定义可知，再结合的单调性可知，从而判断出函数在上有性质.
②由且单调递增可知对任意有，任取，假设推导出假设不成立，从而得到，再构造递推序列可得，再分析的递推关系，从而判断出属于.
（1）因为当时，，即，
所以在区间上，有性质；
当时，令，则，
不满足，，所以在区间上没有性质.
（2）函数在上有性质，
则在上恒成立，
由对数有意义可知且，解得，
所以，即，
整理得，所以，
因为当时，所以不等式等价于在上恒成立，
解得，
综上，的取值范围为.
（3）①由（1）可知在上有性质，所以，
又由二次函数的性质可知在上单调递增，
所以，同理可得，
所以在上有性质.
②根据题意，若，则，
取，若，则，所以，
但，这与是增函数矛盾，故，
当，，所以，
再根据的单调性，则，
记，，…，，…，
所以，同理，…，，…
由于，
所以，
取，故取自然对数，
即，所以属于.
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