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(共24张PPT)
备考手册
第2课时　整式与因式分解
教材知识整合
高频考向探究
和
考
点
一
整式的有关概念
名称 概念 次数 系数、项
整 式 单 项 式 (1)由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式; (2)单独一个数或一个字母 所有字母的指数的①　　　 系数:单项式中的数字因数
多 项 式 由几个单项式②　　　　组成的代数式 次数③　　　　的项的次数　 项:多项式中的每个单项式
相加
最高
基础自测
1.代数式,2x+y,a2b,,,0.5中,整式的个数为 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.下列说法正确的是 (　　)
A.-的系数是-2
B.32ab3的次数是6
C.是多项式
D.x2+x-1的常数项为1
B
C
整 式 的 加 减 同类项 所含字母相同,并且相同字母的④　　　　也相同的项或几个常数项
合并 同类项 法则 把同类项的系数相加,所得结果作为⑤　　　　,字母和字母的指数不变
添(去) 括号 对于“+”号,添(去)括号不变号;对于“-”号,添(去)括号⑥　　　
指数
系数
都变号
考
点
二
整式的加减
基础自测
3.若单项式3xyn与-xmy3是同类项,则m-n的值为 (　　)
A.-4 B.-2 C.0 D.4
4.(2025湖州一模)下列计算正确的是 (　　)
A.3a+2a=5a2 B.3a2-2a=a
C.3a+2b=5ab D.3ab-ba=2ab
B
D
说明:下列公式中m,n均为正整数
考
点
三
整式的乘除
幂的运算 同底数幂的乘法 am·an=⑦　　　
幂的乘方 (am)n=⑧　　　
积的乘方 (ab)n=⑨　　　
同底数幂的除法 am÷an=⑩　　　 (a≠0)
am+n
amn
anbn
am-n
(续表)
整式的乘法 单项式乘单项式 -2ab·(ac)= 　　 　
单项式乘多项式 x(a+b+c)= 　　 　
多项式乘多项式 (x+y)(a+b)= 　　　;
乘法公式:
(1)(a+b)(a-b)= 　　　;
(2)(a±b)2= 　　 　　;
变形:a2+b2=(a+b)2- 　　　=(a-b)2+ 　　　　;
(a-b)2=(a+b)2- 　　　　
-2a2bc
ax+bx+cx
ax+bx+ay+by
a2-b2
a2±2ab+b2
2ab
2ab
4ab
(续表)
整式的 除法 单项式除以单项式 a3b2÷(-2ab)= 　 　
多项式除以单项式 (2a3b2-2ab+b)÷b= 　 　　
-a2b　
2a3b-2a+1
基础自测
5.(2025温州一模)计算a2·(-a3)的结果是 (　　)
A.a6 B.-a6 C.a5 D.-a5
6.(2025深圳)下列计算正确的是 (　　)
A.a2+a4=a6 B.a3·a3=a6
C.(a2)3=a5 D.(a+b)2=a2+b2
7.若ax=2,ay=3,则ax+y的值为　　　　.
8.(2025成都)多项式4x2+1加上一个单项式后,能成为一个多项式的平方,那么加上的单项式可以是　 　　　(填一个即可).
D
B
6
4x(答案不唯一)
考
点
四
因式分解
m(a+b+c)
概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解 方法 提取公因式法 ma+mb+mc= 　　　　　
公式法 平方差公式:a2-b2= 　　　　
完全平方公式:
a2±2ab+b2= 　　　
步骤 一提(提取公因式);二套(套公式);三验(检验是否分解彻底) (a+b)(a-b)
(a±b)2
基础自测
9.分解因式:
(1)(2024浙江11题)a2-7a=　　　　;
(2)(2025苏州)x2-9=　　　　　　;
(3)(2025北京)7m2-28=　　　　 　　;
(4)(2025烟台)2x2-12xy+18y2=　　 　　;
(5)a2(a-3)-9(a-3)=　　　　　　.
a(a-7)
(x+3)(x-3)
7(m+2)(m-2)
2(x-3y)2
(a-3)2(a+3)
整式的运算
考向一
先化简,再求值:(1)(2025湖南)(x+2)(x-2)+x(1-x),其中x=6;
例
1
解:(1)(x+2)(x-2)+x(1-x)
=x2-4+x-x2
=x-4.
当x=6时,原式=6-4=2.
(2)(3a-1)2-2a(4a-1),其中a满足a2-4a+3=0.
(2)(3a-1)2-2a(4a-1)=9a2-6a+1-8a2+2a=a2-4a+1.
∵a2-4a+3=0,∴a2-4a=-3,
∴原式=-3+1=-2.
(2025扬州)若a2-2b+1=0,则代数式2a2-4b+3的值是　　　　.
例
2
1
1.(2025杭州萧山区一模)已知2x+1=-2,则代数式2x2+x-1的值为 (　　)
A.-2 B.0 C.2 D.4
2.(2025浙江17题)化简求值:x(5-x)+x2+3,其中x=2.
考向精练
[解析]∵2x+1=-2,∴2x2+x-1=x(2x+1)-1=-2x-1=-(2x+1)=2.
C
解:x(5-x)+x2+3
=5x-x2+x2+3
=5x+3.
当x=2时,原式=5×2+3=13.
3.已知A,B,C均为整式,且A=a-3b,B=3a-b,C=(A+B).
(1)求整式C;
(2)当a=2,b=-2时,请通过计算判断C2与A·B的大小关系;
(3)当a,b为任意实数时,(2)中C2与A·B的大小关系是否恒成立 请说明理由.
解:(1)∵A=a-3b,B=3a-b,
∴C=(A+B)=(a-3b+3a-b)=(4a-4b)=2a-2b.
(2)当a=2,b=-2时,C2=(2a-2b)2=(4+4)2=64,A·B=(a-3b)(3a-b)=(2+6)×(6+2)=64,
∴C2=A·B.
(3)当a,b为任意实数时,(2)中C2与A·B的大小关系是否恒成立 请说明理由.
(3)不恒成立.理由如下:
∵C2-A·B=(2a-2b)2-(a-3b)(3a-b)=4a2-8ab+4b2-(3a2-10ab+3b2)=4a2-8ab+4b2-3a2+10ab-3b2=a2+2ab+b2=(a+b)2≥0,
∴C2≥A·B,∴(2)中C2与A·B的大小关系不恒成立.
数式规律及其证明
考向二
(2023嘉兴)观察下面的等式:
32-12=8×1,
52-32=8×2,
72-52=8×3,
92-72=8×4,…
(1)写出192-172的结果;
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数);
(3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的.
例
3
解:(1)192-172=8×9=72.
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论(用含n的等式表示,n为正整数);
(3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的.
(2)由题意,得(2n+1)2-(2n-1)2=8n.
(3)∵(2n+1)2-(2n-1)2
=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]
=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)
=4n×2
=8n,
∴(2n+1)2-(2n-1)2=8n是正确的.
4.(2025浙江15题改编)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中,给出了二项式(a+b)n的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.如图2-1所示:
(a+b)0=1;
(a+b)1=a+b;
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
…
(1)通过观察,图中的▲处应依次填入　　　　,　　　　;
考向精练
十
图2-1
五
4.(2025浙江15题改编)在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》(1261年)一书中,给出了二项式(a+b)n的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律.如图2-1所示:
(a+b)0=1;
(a+b)1=a+b;
(a+b)2=a2+2ab+b2;
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3;
…
(2)请直接写出(a+b)4的展开式:(a+b)4=　　　　　　　　　　　　;
(3)若(a+2)4=a4+8a3+24a2+ma+16,求m的值为.
图2-1
a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
解:32
几何图形与代数式
考向三
探究活动
(1)图2-2①阴影部分的面积是　　　　(写成两数平方差的形式);
(2)若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,如图②,则其面积是
　　　　　　(写成多项式乘法的形式);
(3)比较图①,图②中阴影部分的面积,
可以得到公式:　　　　　　　　　.
知识运用
(4)用合理的方法计算:7.52×1.6-2.52×1.6.
例
4
a2-b2
图2-2
(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)=a2-b2
(4)7.52×1.6-2.52×1.6=(7.52-2.52)×1.6=(7.5-2.5)(7.5+2.5)×1.6=5×10×1.6=80.
5.“数缺形时少直观,形少数时难入微.”数形结合思想是数学学习中的一个重要的数学思想.请仔细观察下列图形,其中能说明等式(a+b)2-(a-b)2=4ab成立的是 (　　)
考向精练
D
图2-3
[解析](a+b)2-(a-b)2=4ab表示边长为a+b的大正方形与边长为a-b的小正方形的面积差,等于4个长为a、宽为b的长方形的面积和.
选项A是推导(a+b)2=a2+2ab+b2的图形,不涉及(a-b)2,故不符合题意.
选项B,体现的是a2-b2,不是(a+b)2-(a-b)2,故不符合题意.
选项C是推导勾股定理c2=a2+b2的图形,与等式无关,故不符合题意.
选项D,大正方形的边长是a+b,小正方形的边长是a-b,面积差为4个长为a、宽为b的长方形的面积和,符合(a+b)2-(a-b)2=4ab,故符合题意.故选D.(共28张PPT)
备考手册
第1课时　实数及其运算
教材知识整合
高频考向探究
实数
整数和分数都是有理数.
考
点
一
实数的分类
基础自测
1.(2025湖州一模)中国是最早采用正负数表示具有相反意义的量的国家.如果将“收入60元”记作“+60元”,那么“支出40元”记作 (　　)
A.+40元 B.-40元
C.+20元 D.-20元
B
2.(2024烟台)下列实数中的无理数是 (　　)
A. B.3.14 C. D.
C
考
点
二
实数的相关概念
原点
数轴 (1)数轴的三要素:①　　　　、②　　　　和③　 　　　;
(2)数轴上的点和④　　　　一一对应
相反数 (1)实数a的相反数是⑤　　　　;
(2)0的相反数是⑥　　　　;
(3)若实数a,b互为相反数,则a+b=⑦　　　　,|a|=|b|
正方向
单位长度
实数
-a
0
0
(续表)
绝对值
倒数 (1)实数a(a≠0)的倒数是 　　　　;
(2)若a,b互为倒数,则ab= 　　　　;
(3)0没有倒数;倒数等于它本身的数是 　　　
a
0
-a
原点
1
-1,1
基础自测
3.(2025浙江1题)的相反数是 (　　)
A.- B. C.- D.
A
4.(2024北京)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图1-1所示,下列结论中正确的是(　　)
A.b>-1 B.|b|>2 C.a+b>0 D.ab>0
图1-1
[解析]由数轴,得-2∴|b|<2,a+b>0,ab<0.
故选C.
C
5.数轴上到原点的距离是5的点表示的数是　　　　.
±5
考
点
三
科学记数法与近似数
a(1≤a<10)与10的幂相乘
科学记 数法 把一个数表示成 　　　　　　　　　　的形式
近似数 一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位,如3.618万精确到十位
基础自测
6.用科学记数法表示下列各数:
(1)31500000=　　　 　;
(2)0.000105=　　　 　;
(3)120万=　　　 　.
3.15×107
1.05×10-4
1.2×106
7.(2025杭州西湖区一模)“杭州六小龙”——宇树科技、游戏科学、强脑科技、深度求索、云深处科技、群核科技正在用硬科技重新定义中国创新.据统计,2024年杭州数字经济核心产业增加值达6305亿元,占全市GDP比重达28.8%,远超全国平均水平.数据“6305亿”用科学记数法表示为 (　　)
A.6305×108 B.63.05×109
C.6.305×1011 D.0.6305×1012
C
8.有下列说法:
①近似数3.50是精确到个位的数;
②近似数1.7和1.70是一样的;
③近似数1.05万是精确到百位的数;
④近似数35.0是精确到十分位的数.
其中正确的是　　　　(填序号).
③④
正数都 　　　　0,0都 　　　　负数,正数 　　　　负数.两个正数比较大小,绝对值大的数大;两个负数比较大小,绝对值大的数反而小.比较实数大小的其他常用方法:
考
点
四
实数的大小比较
大于
数轴法 将两个实数表示在数轴上,右边的数总比左边的数 　　　　,距离数轴原点越远的点表示的数,绝对值越 　　　　
作差法 ①a-b>0 　　　;②a-b<0 　　　;③a-b=0 　　　
平方法
大于
大于
大
大
a>b
aa=b
基础自测
9.(2024浙江1题)以下四个城市中某天中午12时气温最低的是 (　　)
北京 济南 太原 郑州
0 ℃ -1 ℃ -2 ℃ 3 ℃
A.北京 B.济南 C.太原 D.郑州
C
10.(2025杭州西湖区一模)下列各数中,比-1.5小的数是 (　　)
A.3 B.0 C.-1 D.-3
11.(2025湖北)数轴上表示数a,b的点如图1-2所示,下列判断正确的是 (　　)
A.ab C.b<0 D.a>0
12.比较大小:4　　　 (填“>”或“<”).
图1-2
D
A
>
考
点
五
实数的运算
an
运算 法则 有理数的一切运算法则都适用于实数运算 乘方
幂
运算 顺序 先算乘方和开方,再算乘除,最后算加减;若有括号,则先进行括号里的运算;同级运算,按照从左到右的顺序进行 底数
指数
1
　
基础自测
13.计算:2-2=　　　　;(-2)-2=　　　　;
()-2=　　　　;(-)-2=　　　　.
14.计算:(1)(2025衢州一模)(-)-2-(-2)-|-4|;
　
4
4
解:(1)(-)-2-(-2)-|-4|=9+2-4=7.
(2)(2025连云港)(-2)×(-5)--()0;


(3)(2025扬州)-2cos 30°+(π+1)0.
(2)原式=10-3-1=7-1=6.
(3)原式=2-2×+1
=2+1
=+1.
实数与数轴
考向一
(2025嘉兴模拟)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图1-3所示,下列结论正确的是 (　　)
A.a+b>0 B.a-b>0
C.ab>0 D.>0
例
1
A
图1-3
1.如图1-4,数轴上点P与点N表示的数是一对相反数,则与原点距离最近的点是(　　)
A.点P B.点Q C.点M D.点N
考向精练
B
图1-4
2.(2025南充)如图1-5,把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周,圆上点A到达点A',点A'表示的数是2,则滚动前点A表示的数是 (　　)
A.2-2π B.π-2 C.5-2π D.2-π
图1-5
D
实数的运算
考向二
(2025长沙)计算:|2-1|+()-1-()2-(π-2028)0.
例
2
解:原式=2-1+5-3-1=2.
3.计算:(1)(2025成都)()-1-+2cos 45°+|-2|;
(2)(2025东营)2sin 60°+(3.14-π)0-+()-1.
考向精练
解:(1)原式=4-3+2×+2-
=4-3++2-
=3.
(2)原式=2×+1-3+2
=+1-3+2
=.
4.(2025河北)(1)一道习题及其错误的解答过程如下:
计算:(-6)×().
解:(-6)×()
=-6×+6×-6×……第一步
=-3+4-5……第二步
=-4.……第三步
请指出在第几步开始出现错误,并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程.
解:(1)原解题步骤在第一步开始出现错误.正确的解答过程如下:
原式=(-6)×+(-6)×-(-6)×
=-3-4+5
=-2.
(2)计算:|2-|-(-2)2×().
(2)原式=2--4×()
=2--(4×-4×)
=2--(2-1)
=2--1
=1-.
新定义运算问题
考向三
定义新运算“ ”,规定:a b=a2-|b|,则(-2) (-1)的运算结果为(　　)
A.-5 B.-3
C.5 D.3
例
3
D
5.定义一种新运算:a※b=(ab≠1),例如1※2==-2,则(3※2)※的值为
(　　)
A. B. C.- D.-
考向精练
[解析](3※2)※※=(-)※=-.
C(共24张PPT)
备考手册
第3课时　分式与二次根式
教材知识整合
高频考向探究
B≠0
考
点
一
分式的有关概念及性质
定义 表示两个整式相除,且除式中含有字母的代数式叫做分式
分式有 意义的 条件 分式有意义的条件:①　　　
分式的值为0的条件:②　　　　　
A=0且B≠0
分式的 基本性质 ,(M为不等于零的整式)
分式 的约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去
通分 把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式
基础自测
1.(2025临沂)写出使分式有意义的x的一个值:　　 　　.
2.(2025湖州一模)当a=1时,分式的值是　　　　.
2(答案不唯一)
3.下列各式从左到右的变形中,正确的是 (　　)
A.+a=1+a2 B.
C. D.
C
考
点
二
分式的运算
　
分式 的加减 同分母:=③　　　　;
异分母:=④　 　　
分式 的乘除 乘法:·=⑤　　　　;
除法:=⑥　　　
分式的 乘方 ()n=
　
　
　
基础自测
4.计算的结果是 (　　)
A.1 B.
C. D.2
D
5.(2025天津)计算的结果等于 (　　)
A. B.
C. D.1
6.(2025扬州)计算: (1-)÷=　　　　.
A
x-2
考
点
三
平方根、算术平方根与立方根
±　
表示 被开方数a的范围
平方根 ⑦　　　 ⑧　　　
算术平方根 ⑨　　　 ⑩　　　
立方根 a为任意实数
a≥0
a≥0
基础自测
7.(2025衢州一模)计算:=　　　　.
8.(2025眉山)-27的立方根是　　　　.
9.(2024天津)估计的值在 (　　)
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
5
-3
C
考
点
四
二次根式的相关概念及性质
概念 表示算术平方根的代数式叫做二次根式
最简 二次根式 (1)被开方数中不含分母;
(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式
性质 (1)≥0,a≥0(双重非负性);
(2)()2= 　　(a≥0);
(3)=|a|=
(4)= 　　　　(a≥0,b≥0);
(5)= 　　　　(a≥0,b>0)
a
a
-a
·
　
基础自测
10.(2025连云港)若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 (　　)
A.x≤1 B.x≥1 C.x≤-1 D.x≥-1
11.下列各式是最简二次根式的是 (　　)
A. B. C. D.
12.下列运算正确的是 (　　)
A.=±3 B.±=-3
C.=-9 D.=9
D
C
D
考
点
五
二次根式的运算
加减 运算 (1)把各二次根式化成最简二次根式;
(2)类似于合并同类项,把含有被开方数相同的二次根式的项进行合并
乘除 运算 ·= 　　　　(a≥0,b≥0);
= 　　　　(a≥0,b>0)
基础自测
13.(2024贵州)计算的结果是　　　　.
14.计算(+2)2的结果为　 　　　.
15.(2025甘肃)计算:.
7+4
解:原式=2.
分式的化简求值
考向一
(2025金华一模)小明解一道化简求值题的过程如下,请指出首次出现错误的步骤的序号,并写出正确的解答过程.
例
1
先化简,再求值:,其中a=-1.
解:原式=·(a2-4)-·(a2-4)……①
=2a-(a+2)……②
=a-2.……③
当a=-1时,原式=-1-2=-3.
解:首次出现错误的步骤的序号是①.
正确的解答过程如下:
=
=
=
=.
当a=-1时,原式==1.
1.先化简,再求值:
考向精练
(2025福建) (2+)÷,其中a=-1.
原式=()÷
=·
=.
当a=-1时,
原式=.
2.(2025北京)已知a+b-3=0,求代数式的值.
解:∵a+b-3=0,
∴a+b=3,
∴原式=.
二次根式的运算
考向二
(浙教版八下P8作业题T3)计算:
(1)(-)2-; (2)()2-;
例
2
解:(1)原式=5-4+2=3.
(2)原式=-0.1-=0.4-0.1-0.5=-0.2.
(3)原式=a+|a|=a+a=2a.
(3)()2+(a≥0).
3.(2024包头)计算所得结果是 (　　)
A.3 B. C.3 D.±3
4.(2025天津)计算(+1)(-1)的结果为　　　　.
考向精练
C
60
5.我们知道式子,不是最简结果,可以这样进行化简:,.
这样的化简过程叫做分母有理化.我们把叫做的有理化因式,叫做的有理化因式.解决下列各题:
(1)的有理化因式是　　　　,3-的有理化因式是　　　　;
(2)请你尝试化简:.
3+
(2)=-2-4.
二次根式的非负性
考向三
=|a|是二次根式的一条重要性质,请利用该性质解答下列问题:
(1)化简:=　　　　,=　　　　;
(2)已知实数a,b在数轴上的对应点的位置如图3-1所示,化简:-|1-a|+1×
.
例
3
4
图3-1
π-3
(2)由数轴可知a<0<10,1-b<0,
∴|a|=-a,|1-a|=1-a,|1-b|=-(1-b),
∴原式=|a|-|1-a|+|1-b|=-a-(1-a)-(1-b)=-a-1+a-1+b=b-2.
6.若=3-b,则(　　)
A.b>3 B.b<3
C.b≥3 D.b≤3
考向精练
D
7.已知a,b,c满足等式(a-4)2+|b-4|=.
(1)求a,b,c的值;
(2)判断以a,b,c为边长的三角形的形状,并求出此三角形的面积.
解:(1)∵∴c=4,
∴(a-4)2+|b-4|=0.
又∵(a-4)2≥0,|b-4|≥0,
∴a-4=0,b-4=0,
∴a=4,b=4.
(2)判断以a,b,c为边长的三角形的形状,并求出此三角形的面积.
(2)∵a2+c2=42+42=32,b2=(4)2=32,
∴a2+c2=b2.
又∵a=c,∴以a,b,c为边长的三角形是等腰直角三角形,
∴此三角形的面积为×4×4=8.

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