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(共18张PPT)
备考手册
第7课时　一元一次不等式(组)　
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
不等式的基本性质
a性质1 a性质2 a>b a±c>b±c;
a性质3 a>b,c>0 ac>bc,③　 ;
a>b,c<0 ac④ 　　bc,<
<
>
<
基础自测
1.(2025杭州西湖区一模)已知a,b,c是实数,若a>b,c<0,则 (　　)
A.a+cbc
C.ac2>bc2 D.a-c2.若a>b,则下列不等式一定成立的是 (　　)
A.|a|>|b| B.-a>-b
C.a>b+2 D.a+2>b+1
C
D
考
点
二
一元一次不等式(组)的解法
不等式组的解有以下四种情况(设a一元一次不等式组 在数轴上的表示 解 语言叙述
⑤　　　 不等式组的解是各不等式解的公共部分
⑥　　　 ⑦　 　　 ⑧　　　 x>b
x≤a
a≤x无解
基础自测
3.(2025衢州一模)不等式3(x-1)≥6的解是 (　　)
A.x≥1 B.x≤1 C.x≥3 D.x≤3
4.(2025深圳)解一元一次不等式组并在数轴上表示.
解:解不等式①,得　　　　;
解不等式②,得　　　　.
在数轴上表示为:
∴原不等式组的解为　　　　　.
图7-1
C
x≥-1
x<4
在数轴上表示如下:
-1≤x<4
考
点
三
一元一次不等式的应用
列一元一次不等式解应用题的一般步骤:
审题→设元→确定不等关系→列不等式→解不等式→检验作答
基础自测
5.(2025内蒙古)智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人的机械手能自动对成熟的苹果进行采摘,一个机器人可以搭载多个机械手同时工作.在正常工作状态下,该机器人的每
一个机械手平均a秒采摘一个成熟的苹果,它的一个机械手
用800秒采摘苹果的个数比用600秒采摘苹果的个数多25个.
(1)求a的值;
(2)现需要一定数量的苹果发往外地,采摘工作由多个机器人共同完成.每个机器人搭载4个相同的机械手,那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的苹果个数不少于10000个
图7-2
(1)求a的值;
解:(1)根据题意,得25a=800-600,解得a=8.
答:a的值为8.
(2)现需要一定数量的苹果发往外地,采摘工作由多个机器人共同完成.每个机器人搭载4个相同的机械手,那么至少需要多少个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的苹果个数不少于10000个
(2)设需要x个这样的机器人.
根据题意,得×4x≥10000,解得x≥.
又∵x为正整数,
∴x的最小值为6.
答:至少需要6个这样的机器人同时工作1小时,才能使采摘的苹果个数不少于10000个.
一元一次不等式的解法
考向一
(1)解不等式:≤1;
例
1
解:(1)去分母,得3x-2-2(x+3)≤6.
去括号,得3x-2-2x-6≤6.
移项、合并同类项,得x≤14.
(2)解不等式组并将不等式组的解集在如图7-3所示的数轴上表示出来.
图7-3
(2)
解不等式①,得x>-1.
解不等式②,得x≤2.
∴原不等式组的解为-1在数轴上表示如图.
1.(2025浙江12题)不等式组的解是　　　　.
2.(2025苏州)解不等式组:
考向精练
-2≤x<4
解:
解不等式①,得x>-2. 解不等式②,得x>3.
∴原不等式组的解是x>3.
含字母的不等式(组)的解
考向二
(浙教版八上P106作业题T3)若不等式组的解为x≥-b,则下列各式正确的是 (　　)
A.a>b B.a例
2
A
变式1 若关于x的不等式组的解为x<3,则m的取值范围是 (　　)
A.m>2 B.m≥2 C.m<2 D.m≤2
变式2 (2024温州瓯海区一模)已知关于x的不等式x-m≥0的负整数解只有-1,-2,则m的取值范围是 (　　)
A.-3C.-3≤m≤-2 D.-3≤m<-2
B
B
一元一次不等式的应用
考向三
(2025杭州余杭区一模)运行程序如图7-4所示,从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作.若输入x后程序操作进行了两次就输出,则x的取值范围是 (　　)
A.1C.3≤x<5 D.2≤x<5
例
3
图7-4
[解析]由题意,得
解不等式①,得x≤3,解不等式②,得x>2,
∴x的取值范围是2B
(2025长沙)为落实科技兴农政策,某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求,该食品企业将收购的农产品加工成A,B两种等级的农产品对外销售,已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元,销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗)
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元;
(2)若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品,全部加工后对外销售,要求总利润不低于16000元,则至少需加工A等级农产品多少千克
例
4
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元;
解:(1)设每千克A等级农产品的销售单价为x元,每千克B等级农产品的销售单价为y元.
由题意,得
解得
答:每千克A等级农产品的销售单价为12元,每千克B等级农产品的销售单价为10元.
(2)若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品,全部加工后对外销售,要求总利润不低于16000元,则至少需加工A等级农产品多少千克
(2)设需加工A等级农产品m千克,则需加工B等级农产品(6000-m)千克.
由题意,得(12-8)m+(10-8)(6000-m)≥16000,
解得m≥2000.
答:至少需加工A等级农产品2000千克.(共24张PPT)
备考手册
第6课时　一元二次方程及其应用
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
一元二次方程的概念与解法
概念 两边都是整式,只含有①　　个未知数,并且未知数的最高次数是②　　　次.这样的方程叫做一元二次方程.一般形式:ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0)
解 能使一元二次方程两边相等的未知数的值
解法 方法一:直接开平方法
方法二:配方法(先配方再开方)
方法三:公式法(直接应用求根公式)
方法四:因式分解法
求根 公式 ax2+bx+c=0(a≠0)的解为x=③　 　　(前提:方程为一般式,且b2-4ac≥0)
2
　
一
基础自测
1.若关于x的方程(a-1)x2+x+1=0是一元二次方程,则a的取值范围为 (　　)
A.a=1 B.a≠-1
C.a≠±1 D.a≠1
2.用配方法解方程x2-6x+1=0时,将方程化为(x-3)2=a的形式,则a的值是 (　　)
A.8 B.9 C.10 D.12
D
A
3.(2025杭州富阳区一模)已知m是一元二次方程2x2-x-3=0的一个根,则2024-2m2+m的值为 (　　)
A.2025 B.2023 C.2021 D.2018
4.(2025宁波镇海区一模)解方程4x2-1=0得　　　　　　　.
[解析]∵m是一元二次方程2x2-x-3=0的一个根,
∴2m2-m-3=0,即2m2-m=3.∴-2m2+m=-3.∴2024-2m2+m=2024-3=2021.故选C.
C
x1=,x2=-
考
点
二
一元二次方程根的判别式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中:
(1)b2-4ac>0 方程④　　 　　　　的实数根;
(2)b2-4ac=0 方程⑤　　　　　　的实数根;
(3)b2-4ac<0 方程⑥　　　　实数根.
注:在应用一元二次方程根的判别式时,若二次项系数中含有字母,注意二次项系数不为0这一条件.
有两个不相等
有两个相等
没有
基础自测
5.(2025河南)一元二次方程x2-2x=0的根的情况是 (　　)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
A
6.(2025杭州临平区一模)已知关于x的一元二次方程x2+4x+m=0有两个相等的实数根,则m的值为　　　　.
4
考
点
三
一元二次方程根与系数的关系*
一元二次方程根与系数的关系:在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,两根x1,x2与系数a,b,c有如下关系:x1+x2=⑦　　　,x1x2=⑧　　　.
-　
基础自测
7.(2025湖北)一元二次方程x2-4x+3=0的两个实数根为x1,x2,下列结论正确的是(　　)
A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3
C.x1x2=4 D.x1x2=3
8.(2024杭州西湖区三模)方程x2+2x-m=0的一个根为2,则另一个根为 (　　)
A.3 B.4
C.-3 D.-4
D
D
考
点
四
一元二次方程的实际应用
列方程解应用题的一般步骤:
审题→设元→列方程→解方程→检验作答.
注意:检验一元二次方程的解是否符合实际.
基础自测
9.(2025云南)某书店今年3月份盈利6000元,5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为x.根据题意,下列方程正确的是 (　　)
A.6000(1+x)2=6200
B.6000(1-x)2=6200
C.6000(1+2x)=6200
D.6000x2=6200
A
10.(浙教版八下P41例3改编)如图6-1①,有一张长40 cm,宽25 cm的长方形硬纸片,裁去角上四个相同的小正方形之后,折成如图②所示的无盖纸盒.若纸盒的底面积是450 cm2,则纸盒的高是　　　　cm.
图6-1
5
一元二次方程的解法
考向一
(1)用三种方法解方程:x2-4x+3=0.
①公式法: ②配方法:
③因式分解法:
例
1
解:(1)①a=1,b=-4,c=3,
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×3=4.
∵x=,∴x1=3,x2=1.
②将方程变形得x2-4x=-3,
∴x2-4x+4=1,即(x-2)2=1.
∴x-2=±1.∴x1=3,x2=1.
③原方程可化为(x-3)(x-1)=0,
∴x1=3,x2=1.
(2)解方程:x(x-7)=8(7-x).
(2)∵x(x-7)=8(7-x),
∴x(x-7)+8(x-7)=0.
∴(x-7)(x+8)=0.
∴x1=7,x2=-8.
1.(2025宁波镇海区一模)解方程:x2-1=x.
考向精练
解:方程整理得x2-x-1=0.
a=1,b=-1,c=-1.
Δ=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-1)=5>0,
∴x=,
∴x1=,x2=.
2.(2024舟山一模)解一元二次方程x2-2x-3=0时,甲、乙两位同学的解法如下:
甲 x2-2x=3, x(x-2)=3, x=1或x-2=3, ∴x1=1,x2=5. 乙
a=1,b=-2,c=-3,
b2-4ac=4-12=-8.
∵b2-4ac<0,
∴此方程无实数根.
(1)判断两位同学的解题过程是否正确,若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”.
(2)请选择合适的方法解此方程.
×
×
(2)原方程可化为(x-3)(x+1)=0,
∴x-3=0或x+1=0,∴x1=3,x2=-1.
一元二次方程根的判别式的应用
考向二
(浙教版八下P39作业题T5)已知一元二次方程ax2+bx+c=0的系数满足ac<0,判别方程根的情况,并说明理由.
例
2
解:方程有两个不相等的实数根.理由如下:
对于ax2+bx+c=0,Δ=b2-4ac.
∵ac<0,∴-ac>0.
又∵b2≥0,∴Δ>0.
∴方程有两个不相等的实数根.
变式1 (2025宁波镇海区一模)使得方程x2+3x+c=0有实数根的最大的整数c=
　　　　.
变式2 (2025内江)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根,则实数a的取值范围是 (　　)
A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1
[解析]由题意,得Δ=32-4c=9-4c≥0,解得c≤.∴最大的整数c为2.
2
[解析]∵关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根,
∴,解得a≤2且a≠1,
∴实数a的取值范围是a≤2且a≠1.
C
变式3 (2024宁波江北区一模)已知关于x的一元二次方程x2-3x+a=0.
(1)从1,2,3三个数中,选择一个合适的数作为a的值,使这个方程有实数根,并解此方程;
(2)若这个方程无实数根,求a的取值范围.
解:(1)∵关于x的一元二次方程x2-3x+a=0有实数根,∴Δ=b2-4ac≥0,
即(-3)2-4×1×a≥0,解得a≤,∴当a=1或a=2时,这个方程有实数根.
若选择a=1,则原方程为x2-3x+1=0,解得x1=,x2=.
若选择a=2,则原方程为x2-3x+2=0,即(x-2)(x-1)=0,∴x-2=0或x-1=0,∴x1=2,x2=1.
(2)若这个方程无实数根,求a的取值范围.
(2)∵关于x的一元二次方程x2-3x+a=0无实数根,
∴Δ=b2-4ac<0,即(-3)2-4a<0,解得a>.
一元二次方程的实际应用
考向三
(2025广东)广东省统计局的相关数据显示,近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元,预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为(　　)
A.2500(1+x)2=9100
B.2500(1-x)2=9100
C.2500(1-2x)2=9100
D.2500(1+2x)2=9100
例
3
A
(2025福建)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地,如图6-2所示.设矩形的一边长为x米,根据题意可列方程(　　)
A.5x2=6
B.5(1+x2)=6
C.x(5-x)=6
D.5(1+x)2=6
例
4
图6-2
C
汤圆是宁波的特色美食,某店在销售某品牌汤圆时发现,该品牌汤圆的进价为20元/盒,当销售价格定为33元/盒时,平均每天可售出100盒.为了扩大销售,该店决定降价.经调查发现,每盒汤圆每降价1元,平均每天可多售出20盒.
(1)若每盒汤圆降价2元,则每盒汤圆盈利　　　 　元,平均每天可售出
　　　　盒;
(2)若该店该品牌汤圆的日销售利润为1600元,为尽快减少库存,则每盒汤圆的销售价格定为多少元
例
5
11
140
(2)若该店该品牌汤圆的日销售利润为1600元,为尽快减少库存,则每盒汤圆的销售价格定为多少元
(2)设每盒汤圆的销售价格降价x元,则平均每天可售出(100+20x)盒.
由题意得(33-20-x)(100+20x)=1600.
整理得x2-8x+15=0,
解得x1=3(不符合题意,舍去),x2=5,
∴33-x=28.
答:每盒的汤圆销售价格定为28元.
一元二次方程的综合问题
考向四
(2024温州瓯海区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x,y)的对应值列表如下:
例
6
x1=500,x2=1500
x … 0 500 2000 …
y … 1 -1 1 …
则关于x的方程ax2+bx+2=0的解是　　 　　. (共18张PPT)
备考手册
第5课时　分式方程及其应用
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
分式方程的相关概念
未知数
概念 只含分式,或分式和整式,并且分母里含有①　　　　的方程叫做分式方程
增根 使分式方程中的分母为零的根叫做增根
产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了
基础自测
1.若关于x的分式方程=1的解为x=2,则m的值为　　　　.　　　　　
2.(2025台州一模)若分式的值为1,则x=　　　　.
3.当m=　　　　时,解分式方程会出现增根.
4
2
2
考
点
二
解分式方程
解分式方程的基本步骤:
最简公分母
基础自测
4.解分式方程=0去分母时,方程两边同乘的最简公分母是　　　　.
5.(2025杭州余杭区一模)以下是小明解分式方程-1=的过程:
解:方程的两边同乘(x-1),得3x-1=3.①
移项、合并同类项,得3x=4.②
解得x=.③
经检验,x=是原分式方程的解.
小明的解答过程对吗 如果不对,从第几步开始出错 请写出正确的解答过程.
x(x+1)
解:小明的解答过程不对,从第①步开始出错.
正确的解答过程如下:
方程的两边同乘(x-1),得3x-(x-1)=3.
去括号,得3x-x+1=3.
移项、合并同类项,得2x=2.
解得x=1.
当x=1时,x-1=0,∴x=1不是原分式方程的根,
∴原分式方程无解.
考
点
三
分式方程的实际应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题,在方法、步骤上基本相同,不同的是解分式方程时必须验根.
基础自测
6.(2025温州一模)小鹿两次购买相同药物的费用均为300元,第二次购买时每盒降价5元,他多买了2盒.设第一次购买时该药品的售价为x元/盒,则可列方程为 (　　)
A.=2 B.-2
C.=2 D.-2
C
7.去年暑假,小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米,他们分别掰了36筐和30筐,两人劳动时间相同,小张平均每小时比小李多掰2筐,则小李平均每小时掰玉米　　　　筐.
[解析]设小李平均每小时掰玉米x筐,则小张平均每小时掰玉米(x+2)筐.
根据题意,得,
解得x=10.
经检验,x=10是所列方程的解,且符合题意.
故小李平均每小时掰玉米10筐.
10
分式方程的解法
考向一
(2025浙江18题)解分式方程:=0.
例
1
解:方程的两边同乘(x+1)(x-1),得3(x-1)-(x+1)=0,
解得x=2.
检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=3≠0,
∴原分式方程的解为x=2.
变式 解分式方程:
(1)(2025嘉兴一模)=2; (2)(2024陕西)=1.
解:(1)方程的两边同乘(x-2),
得x-3-1=2x-4,
解得x=0.
检验:当x=0时,x-2≠0,
∴原分式方程的解是x=0.
(2)方程的两边同乘(x+1)(x-1),得
2+x(x+1)=(x+1)(x-1),解得x=-3.
检验:当x=-3时,(x+1)(x-1)≠0,
∴原方程的解是x=-3.
解分式方程常见的误区:
①忘记验根;②去分母时漏乘整式项;③去分母时没有注意符号的变化.
通性通法
如果关于x的分式方程=2无解,那么实数m的值是 (　　)
A.1 B.-1
C.1或-1 D.除±1以外的任意数
例
2
C
[解析]方程的两边同乘(1-x),得mx-x=2(1-x),整理,得(m+1)x=2.
∵原方程无解,∴①整式方程无解,则m+1=0,解得m=-1.
②分式方程有增根,则1-x=0,解得x=1.
把x=1代入(m+1)x=2,得m+1=2,解得m=1.
综上,m的值为1或-1.
变式 已知关于x的分式方程2-.
(1)若方程的解为x=2,则m的值为　　　　;
(2)若方程无解,则m的值为　　　　.
[解析](2)去分母,得2(x-1)+3=mx,∴(m-2)x=1.
∵该方程无解,∴m-2=0或原分式方程的分母为0.
当m-2=0时,m=2;
当原分式方程的分母为0时,x=1.
把x=1代入(m-2)x=1,解得m=3.
综上,若方程无解,则m的值为2或3.
　
2或3
区分“增根”与“无解”:
(1)增根:去分母后得到的整式方程有解,但此解使分式方程的最简公分母为0.
(2)无解:分两种情况:①解为增根;②去分母后得到的整式方程无解.
通性通法
分式方程的应用
考向二
(2025扬州)某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签,已知甲款书签的价格是乙款书签价格的倍,且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
例
3
图5-1
解:设乙款书签的单价是x元,则甲款书签的单价是x元.
根据题意,得=3,解得x=16.
经检验,x=16是所列方程的解,且符合题意.则x=×16=20.
答:甲款书签的单价是20元,乙款书签的单价是16元.
1.甲、乙两组同学在植树活动中均植树120棵,已知甲组每小时比乙组多植树10棵,且甲组比乙组提前2小时完成植树任务.设乙组每小时植树x棵,可列出方程为 (　　)
A.+2　　　 B.-2
C.+2　　　 D.-2
考向精练
A
2.(2024杭州拱墅区二模)某书店分别用400元和500元两次购进同一种书,第二次购进的数量比第一次多10本,且两次进价相同,则该书店第一次购进
　　　　本.
40(共28张PPT)
第二单元　方程与不等式
大概念
统领下的科学备考方案
掌握等式的基本性质,理解方程的意义.
掌握各方程与不等式(组)的解法;能在解一元一次方程的基础上,探究其他方程、一元一次不等式的解法,体会转化思想.
会应用方程(组)与不等式解决实际问题,建立模型观念.
进一步理解化归转化思想及数形结合思想,提高计算能力及数学建模意识.
备考手册
第4课时　一次方程(组)及其应用
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
等式的概念与性质
等式 的概念 表示相等关系的式子,叫做等式 等式 的性质 性质1 如果a=b,那么a±c=b±c
性质2 如果a=b,那么ac=bc或=①　　　(c≠0)
基础自测
1.已知a=b,下列式子不一定成立的是 (　　)
A.a+2=b+2 B.ac=bc
C.a-1>b-2 D.
D
2.(2025杭州拱墅区一模)下列等式变形正确的是 (　　)
A.若ax=a,则x=1
B.若=1,则x=a
C.若x4=a4,则x=a
D.若=a,则x=a
B
3.若2x+y=3,则用含x的式子表示y为　　　　,用含y的式子表示x为　　　　.
y=-2x+3
x=-y+
考
点
二
一元一次方程及其解法
定义 两边都是整式,只含有②　　　个未知数,并且未知数的指数是③　　　　次,这样的方程叫做一元一次方程
一般形式 ④　　　　　　　　
解一元一 次方程的 基本步骤 去分母(注意不要漏乘)→去括号(注意符号)→移项→合并同类项→两边同除以未知数的系数
一
一
ax+b=0(a≠0)
基础自测
4.(2025深圳)若关于x的方程x+a=5的解为x=1,则a=　　　　.
5.以下是圆圆解方程=1的过程:
解:去分母,得2(x+1)-3(x-3)=1.
去括号,得2x+2-3x-6=1.
移项、合并同类项,得x=5.
圆圆的解答过程是否有错误 如果有错误,请写出正确的解答过程.
4
解:圆圆的解答过程有错误.
正确的解答过程如下:
去分母,得2(x+1)-3(x-3)=6.
去括号,得2x+2-3x+9=6.
移项、合并同类项,得-x=-5.
两边同除以-1,得x=5.
考
点
三
二元一次方程(组)及其解法
二元一次 方程组的 解法 思路 二元一次方程组 一元一次方程
消元方法 ⑤　　　消元法; ⑥　　　消元法
代入
加减
基础自测
6.用加减消元法解二元一次方程组时,下列方法中无法消元的是 (　　)
A.①×2-② B.②×(-3)-①
C.①×(-2)+② D.①-②×3
7.(2025温州一模)方程组的解为　 　　　.
D
8.(浙教版七下P55目标与判定T3)已知是方程mx+3y=1的一个解,则m的值是　　　　.
9.二元一次方程x+3y=9的正整数解的个数是　　　　.
5
[解析]对x+3y=9进行变形,得x=9-3y.
由题意知x,y均是正整数,∴当y=1时,x=9-3×1=6;
当y=2时,x=9-3×2=3.
综上所述,方程x+3y=9的正整数解是
故答案为2.
2
考
点
四
一次方程(组)的应用
列方程(组)解决实际问题的一般步骤:
可简记为:设→列→解→验→答.
基础自测
10.(2025绍兴一模)《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题,大意如下:甲、乙两人各有钱,但数目未知.若甲得到乙钱的一半,则甲有50钱;若乙得到甲钱的三分之二,则乙也有50钱,问甲、乙原有多少钱.设甲原有x钱,乙原有y钱,则(　　)
A. B.
C. D.
A
[解析]∵若甲得到乙钱的一半,则甲有50钱,
∴x+=50.
∵若乙得到甲钱的三分之二,则乙有50钱,
∴x+y=50,
∴根据题意可列出方程组
二元一次方程组的解法
考向一
(1)(2024浙江18题)解方程组:
例
1
解:(1)
①×3+②,得10x=5,解得x=.
把x=代入①,得2×-y=5,解得y=-4.
∴方程组的解是
(2)(浙教版七下P43作业题T4)已知2v+t=3v-2t=3,求v,t的值.
(2) ①×2+②,得7v=9,解得v=,
故2×+t=3,解得t=.
1.(2025宁波一模)解方程组:
考向精练
解:
②×2,得2x-2y=8.③
①-③,得x=1.
把x=1代入②,得1-y=4,解得y=-3,
∴原方程组的解为
一次方程(组)的解
考向二
已知方程组则2x+y的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
例
2
A
变式1 已知关于x,y的二元一次方程组的解满足x-y=4,则m的值为 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
B
变式2 (2025凉山州)若(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,则x+y的平方根是 (　　)
A.8 B.±8 C.±2 D.2
[解析]∵(3x+2y-19)2+|2x+y-11|=0,(3x+2y-19)2≥0,|2x+y-11|≥0,
∴即
①-②,得x+y=8.
∵±=±2,∴x+y的平方根是±2.
C
一次方程(组)的应用
考向三
一批货物要运往某地,货主准备租用汽运公司的甲、乙两种货车,已知过去租用这两种货车运货的情况如下表所示(每辆车都装满货物).
例
3
第一次 第二次
甲货车辆数 3 2
乙货车辆数 4 3
累计运货吨数 36 26
(1)一辆甲货车和一辆乙货车一次分别运货多少吨
(2)若货主现有30吨货物,计划租用甲货车a辆,乙货车b辆(两种货车都租用),一次运完,且恰好每辆车都装满货物.
①请你帮助货主设计租车方案;
②若甲货车每辆租金100元,乙货车每辆租金120元,请选出最省钱的租车方案.
第一次 第二次
甲货车辆数 3 2
乙货车辆数 4 3
累计运货吨数 36 26
(1)一辆甲货车和一辆乙货车一次分别运货多少吨
第一次 第二次
甲货车辆数 3 2
乙货车辆数 4 3
累计运货吨数 36 26
解:(1)设一辆甲货车一次运货x吨,一辆乙货车一次运货y吨.
根据题意,得解得
答:一辆甲货车一次运货4吨,一辆乙货车一次运货6吨.
(2)若货主现有30吨货物,计划租用甲货车a辆,乙货车b辆(两种货车都租用),一次运完,且恰好每辆车都装满货物.
①请你帮助货主设计租车方案;
(2)①根据题意,得4a+6b=30,∴b=5-a.
又∵a,b均为正整数,∴或
∴有2种租车方案:
方案1:租用甲货车3辆,乙货车3辆;
方案2:租用甲货车6辆,乙货车1辆.
(2)若货主现有30吨货物,计划租用甲货车a辆,乙货车b辆(两种货车都租用),一次运完,且恰好每辆车都装满货物.
②若甲货车每辆租金100元,乙货车每辆租金120元,请选出最省钱的租车方案.
②方案1所需费用为100×3+120×3=660(元);
方案2所需费用为100×6+120×1=720(元).
∵660<720,
∴最省钱的租车方案为:租用甲货车3辆,乙货车3辆.
2.(2025浙江7题)手工社团的同学制作两种手工艺品A和B,需要用到彩色纸和细木条,单个手工艺品材料用量如下表.
考向精练
类别 材料 彩色纸(张) 细木条(捆)
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
若一共用了17张彩色纸和10捆细木条,则他们制作的两种手工艺品各有多少个 设他们制作的手工艺品A有x个,手工艺品B有y个,则x和y满足的方程组是
(　　)
A. B.
C. D.
C

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