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(共31张PPT)
备考手册
第25课时　与圆有关的位置关系
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
点、直线与圆的位置关系
点 与 圆 设圆的半径是r,点到圆心的距离是d 点在圆外 ①　　　
点在圆上 ②　　　
点在圆内 ③　　　
直 线 与 圆 设☉O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d 直线l与☉O相交 ④　　　
直线l与☉O相切 d=r
直线l与☉O相离 ⑤　　　
d>r
d=r
ddd>r
基础自测
1.已知☉O的半径为3,P是直线l上的一点,OP=3,则直线l与☉O的位置关系是
(　　)
A.相离 B.相切
C.相交 D.相切或相交
D
2.如图25-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,如果以点C为圆心的圆与斜边AB有公共点,那么☉C的半径r的取值范围是 (　　)
A.0≤r≤
B.≤r≤3
C.≤r≤4
D.3≤r≤4
图25-1
C
考
点
二
切线的判定与性质
垂直
判定 经过半径的外端并且⑥　　　　这条半径的直线是圆的切线
性质 经过切点的半径⑦　　　　圆的切线
(见到切线要联想到过切点的半径)
垂直于
基础自测
3.(2024浙江T13)如图25-2,AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,连结BC.已知∠ACB=50°,则∠B的度数为　　　　.
图25-2
[解析]∵AB是☉O的直径,AC与☉O相切,A为切点,
∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°.
又∵∠ACB=50°,∴∠B=90°-50°=40°.故答案为40°.
40°
4.(2025杭州西湖区一模)如图25-3,☉O的切线PA与直径CB的延长线交于点A,
P为切点,连结PC.若∠A=20°,则∠C的度数为　　　　°.
图25-3
35
5.(2024温州瓯海区二模)如图25-4所示,O为Rt△ABC的斜边AB上一点,以OA为半径的☉O交边AC于点D,BD恰好为☉O的切线.若∠ABD=28°,则∠CBD的度数为　　　　.
图25-4
31°
6.(2023嘉兴、舟山)如图25-5,A是☉O外一点,AB,AC分别与☉O相切于点B,C,点D在上.若∠A=50°,则∠D的度数是　　　　.
图25-5
[解析]如图,连结OC,OB.由题意,得∠ACO=∠ABO=90°.
∵∠A=50°,
∴∠COB=360°-∠A-∠ACO-∠ABO=130°.
∴∠D=∠COB=65°.
65°
考
点
三
切线长定理
概念 从圆外一点作圆的切线,通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长
定理 过圆外一点所作的圆的两条切线长相等
基础自测
7.(2025杭州钱塘区一模)如图25-6,切线PA,PB分别与☉O相切于点A,B,切线EF与☉O相切于点C,且分别交PA,PB于点E,F.若△PEF的周长为12,则线段PA的长为　　　　.
6
图25-6
考
点
四
三角形的内切圆与外接圆
类别 三角形的外接圆 三角形的内切圆
图形
圆心 O为外心:三边垂直平分线的交点 O为内心:三条角平分线的交点
特征 三角形各顶点均在圆上 三角形各边均与圆相切
性质 三角形外心到三角形⑧ 的距离相等 三角形内心到三角形⑨　　　　的距离相等
常用 结论 直角三角形外接圆的圆心为斜边中点 (1)S△ABC=r(a+b+c);(2)∠BOC=90°+∠A
三个顶点
三条边
基础自测
8.如图25-7,已知☉O是△ABC的内切圆,且∠ABC=60°,∠ACB=80°,则∠BOC的度数为 (　　)
A.110° B.120°
C.130° D.140°
图25-7
A
9.如图25-8,☉O为△ABC的外接圆,半径OD⊥AB,垂足为E,∠C=45°,OE=4,则☉O的半径为　　　　.
图25-8
[解析]如图,连结OB.
由圆周角定理,得∠AOB=2∠C=2×45°=90°.
∵OD⊥AB,OA=OB,∴∠OBA=∠BOE=45°,
∴OE=BE,∴OB=OE=4.
4
圆的切线的性质与判定
考 向
(2023绍兴)如图25-9,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,过点C作☉O的切线CD,交AB的延长线于点D,过点A作AE⊥CD于点E.
(1)若∠EAC=25°,求∠ACD的度数;
(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.
例
1
图25-9
解:(1)∵AE⊥CD于点E,
∴∠AEC=90°.
∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°.
(2)若OB=2,BD=1,求CE的长.
图25-9
(2)∵CD是☉O的切线,OC是☉O的半径,
∴OC⊥DE.∴∠OCD=90°.
∵OC=OB=2,BD=1,∴OD=OB+BD=3.
∴CD=.
∵∠OCD=∠AEC=90°,∴OC∥AE.
∴.∴.∴CE=.
变式 (2023随州)如图25-10,AB是☉O的直径,点E,C在☉O上,C是的中点,AE垂直于过点C的直线DC,垂足为D,AB的延长线交直线DC于点F.
(1)求证:DC是☉O的切线.
(2)若AE=2,sin∠AFD=.
①求☉O的半径;
②求线段DE的长.
图25-10
(1)求证:DC是☉O的切线.
图25-10
解:(1)证明:如图,连结OC.
∵AD⊥DF,∴∠D=90°.
∵C是的中点,∴.
∴∠DAC=∠CAB.
∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA.∴∠DAC=∠OCA.
∴AD∥OC.∴∠OCF=∠D=90°.∴OC⊥DC.
又∵OC是☉O的半径,∴DC是☉O的切线.
(2)若AE=2,sin∠AFD=.
①求☉O的半径;
图25-10
(2)①如图,过点O作OG⊥AE,垂足为G,
∴AG=EG=AE=1.
∵OG⊥AD,∴∠AGO=90°.
∵∠D=∠AGO=90°,∴OG∥DF.∴∠AFD=∠AOG.
∴sin∠AOG=sin∠AFD=.
在Rt△AGO中,AO==3,∴☉O的半径为3.
(2)若AE=2,sin∠AFD=.
②求线段DE的长.
图25-10
②∵∠OCF=90°,∴∠OCD=180°-∠OCF=90°.
又∵∠OGE=∠D=90°,∴四边形OGDC是矩形.
∴DG=OC=3.
∵GE=1,∴DE=DG-GE=3-1=2.
∴线段DE的长为2.
慧眼识图:图25-11中相关的数量关系和位置关系(AD平分∠MAB):
①.
②DM为☉O的切线.
③OE∥AC,OE=AC;OG∥BC,OG=BC.
通性通法
图25-11
(2024台州路桥区二模)如图25-12,D为☉O上一点,点A在直径BE的延长线上,过点B作BC⊥AB交AD的延长线于点C,且BC=CD.
(1)求证:直线CD是☉O的切线;
(2)若AD=,AE=1,求☉O的半径.
例
2
图25-12
解:(1)证明:连结OD,如图所示.
∵BC=CD,OB=OD,
∴∠CBD=∠CDB,∠OBD=∠ODB,
∴∠CBD+∠OBD=∠CDB+∠ODB,即∠OBC=∠ODC.
∵BC⊥AB,∴∠OBC=90°,∴∠ODC=90°,即OD⊥CD.
又∵OD是☉O的半径,∴直线CD是☉O的切线.
(2)若AD=,AE=1,求☉O的半径.
图25-12
(2)∵BE是☉O的直径,∠ODC=90°,
∴∠BDE=∠ADO=90°,
∴∠ADE+∠ODE=∠ODE+∠ODB=90°,
∴∠ADE=∠ODB.
又∵∠OBD=∠ODB,∴∠OBD=∠ADE.
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABD,∴,即,
∴AB=5,∴BE=AB-AE=4,∴☉O的半径为2.
变式 (2024金华金东区二模)如图25-13,过☉O外一点P作圆的切线PB,B为切点,AB为☉O的直径,连结AP交☉O于点C.若AC=BP,则=　　　　.
图25-13
[解析]如图,连结BC.∵AB为☉O的直径,∴BC⊥AP,∴∠ACB=∠PCB=90°,∴∠A+∠ABC=90°.∵PB是☉O的切线,∴∠ABP=90°,∴∠ABC+∠PBC=90°,∴∠A=∠PBC,∴△ABP∽△BCP,
∴,∴PB2=AP·PC.
∵AC=PB,∴AC2=(AC+PC)·PC,∴PC=AC,
∴.
慧眼识图:如图25-14为圆中常见基本图形之一(CP为☉O的切线),常用相关结论:
①∠1=∠2;②△BCP∽△CAP;
③tan A=.
在△PBC和△PAC的边长中,已知任意两边长可求
其他边长.尝试推理一下吧!
通性通法
图25-14
(2025绍兴一模)如图25-15,在☉O中,直径BC=6,AB⊥BC,AD是☉O的切线,D为切点.
(1)如图①,求证:AD=AB;
(2)如图②,线段AO交☉O于点E,连结DE,若DE∥BC,求AE的长;
(3)如图③,线段AC交☉O于点F,连结DF,若DF∥BC,求AF的长.
例
3
图25-15
(1)如图①,求证:AD=AB;
解:(1)证明:如图①,连结OD.
∵BC是☉O的直径,AB⊥BC,∴AB是☉O的切线.
又∵AD是☉O的切线,∴AD=AB.
(2)如图②,线段AO交☉O于点E,连结DE,若DE∥BC,求AE的长;
(2)如图②,连结OD.
在△ABO和△ADO中,∵
∴△ABO≌△ADO(SSS),∴∠AOB=∠AOD.
∵DE∥BC,∴∠DEO=∠AOB.
∵EO=DO,∴∠EDO=∠DEO=∠AOD,∴∠AOD=60°,
∴cos∠AOD=,∴OA=2OD=6,∴AE=OA-OE=6-3=3.
(3)如图③,线段AC交☉O于点F,连结DF,若DF∥BC,求AF的长.
(3)如图③,连结OA,OD,FB,BD.
∵BO=DO,且∠AOB=∠AOD,∴OA⊥BD,
∴∠AOB+∠OBD=90°.
∵AB⊥BC,∴∠BAO+∠AOB=90°,
∴∠BAO=∠OBD.
∵DF∥BC,
∴∠DFC=∠FCB=∠CBD,
∴∠BAO=∠ACB.
又∵∠ABO=∠CBA,∴△ABO∽△CBA,∴,
∴AB2=OB·BC=3×6=18,
∴AB=3,∴AC==3,
∴cos∠ACB=.
∵BC是☉O的直径,∴∠CFB=90°,
∴cos∠ACB=,∴CF=2,
∴AF=AC-CF=3-2.(共37张PPT)
备考手册
第26课时　与圆有关的计算
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考
点
一
圆的周长与弧长公式
2πR
圆的周长 C=①　　　　(圆的半径为R)
弧长公式 l=②　　　　(弧所对的圆心角的度数为n°,半径为R)
　
基础自测
1.(2025衢州一模)一个扇形的圆心角的度数为60°,半径为3,则此扇形的弧长是
　　　　.
2.如图26-1,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,连结AC,OC.若AB=6,∠A=30°,则的长为 (　　)
A.6π B.2π
C.π D.π
图26-1
π
D
3.(2025舟山定海区一模)如图26-2是一把折扇,扇面ABDC是由两条弧和两条线段所组成的封闭图形,AC是OA的一半.已知OA=30 cm,∠AOB=120°,则扇面ABDC的周长为(　　)
A.30 cm B.(30π+30)cm
C.20π cm D.10π cm
图26-2
B
考
点
二
圆与扇形的面积公式
圆的 面积 S=③　　　　(圆的半径为R)
扇形 面积 S扇形=④　　　　(圆心角的度数为n°,半径为R)
S扇形=⑤　　　　(弧长为l,半径为R)
弓形 面积 S弓形=S扇形±S三角形
πR2
　
lR　
基础自测
4.我国木雕艺术历史悠久.如图26-3①为一木雕的实物图,此木雕可以近似地看作扇环(如图②),其中OC长为0.2米,AC长为0.5米,∠COD为100°,则木雕的面积(镂空部分忽略不计)为　　　　平方米.(结果保留π)
图26-3
　
5.若扇形OAB的半径为5 cm,弧长为6 cm,则扇形OAB的面积为　　　　.
6.(2025杭州钱塘区一模)如图26-4,在扇形OAB中,过的中点C作CD⊥OA,
CE⊥OB,垂足分别为D,E.已知∠AOB=90°,OA=4,则图中阴影部分的面积为
　　　　(结果保留π).
图26-4
15 cm2　
4π-8
[解析]连结OC,如图.
∵C为的中点,∠AOB=90°,OA=4,
∴∠AOC=∠BOC=45°,OC=4.
∵CD⊥OA,CE⊥OB,
∴∠CDO=∠CEO=90°,∠DCO=∠DOC=45°,
∴∠CDO=∠CEO=∠DOE=90°,OD=CD,
∴四边形DOEC是正方形,
∴OD=OC·sin 45°=4×=2,
∴阴影部分的面积为-2×2=4π-8.
考
点
三
圆内接正多边形
圆内接 正多 边形 圆的半径为r,边长为a的正n边形的边心距OM=⑥　 　 　　,中心角为⑦　　　　
　
基础自测
7.(2024济宁)如图26-5,边长为2的正六边形ABCDEF内接于☉O,则它的内切圆半径为 (　　)
A.1 B.2
C. D.
D
图26-5
8.(2023福建)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416.如图26-6,☉O的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形的面积近似估计☉O的面积,可得π的估计值为.若用圆内接正十二边形的面积作
近似估计,可得π的估计值为(　　)
A. B.2
C.3 D.2
图26-6
C
[解析]如图,AB是正十二边形的一条边,点O是正十二边形的中心,过点A作AM⊥OB于点M,设OA=1.在正十二边形中,∠AOB=360°÷12=30°,
∴AM=OA=.∴S△AOB=OB·AM=×1×.
∴正十二边形的面积为12×=3.
∴3=12×π.∴π=3.∴π的估计值为3.
扇形的弧长
考向一
如图26-7,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=60°,∠ACD=40°.若☉O的半径为5,则的长为 (　　)
A.π B.π
C.π D.π
例
1
B
图26-7
[解析]连结OA,OD,OC,如图.
∵∠B=60°,∠ACD=40°,
∴∠AOC=2∠B=120°,∠AOD=2∠ACD=80°,
∴∠DOC=∠AOC-∠AOD=40°,
∴的长=π.
1.如图26-8,矩形ABCD内接于☉O,AB=2,BC=2,则的长为 (　　)
A.π B.π
C.π D.π
考向精练
B
图26-8
2.(2025浙江9题)如图26-9,在Rt△ABC中,∠A=35°,CD是斜边AB上的中线,以点C为圆心,CD长为半径作弧,与AB的另一个交点为点E.若AB=2,则的长为
(　　)
A.π B.π
C.π D.π
图26-9
B
[解析]∵∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,∴AD=CD=AB,
∴∠ACD=∠A=35°,
∴∠CDE=∠A+∠ACD=70°.
由作图过程知,CD=CE,
∴∠CED=∠CDE=70°,
∴∠DCE=180°-70°-70°=40°.
∵AB=2,∴CD=×2=1,
∴的长=π.
图26-9
3.六一儿童节到了,如图26-10,小亮在图纸上先画出一个边长为6 cm的正方形,再以该正方形的四个顶点为圆心,6 cm长为半径作弧,则图中实线所表示的饰品的轮廓长为 (　　)
A.6π cm
B.12π cm
C.6π cm
D.12π cm
图26-10
C
[解析]如图,连结CM,CN,BN,BE,则CM=CN=MN=BN=BE=EN=6 cm,
∴∠CNM=∠CMN=∠BNE=∠BEN=60°,
∴∠CNE=∠AMC=∠MNB=∠AEB=30°,
∴∠BNC=30°,∴,
∴图中实线所表示的饰品的轮廓长
=6=6××π×6=6π(cm).
4.(2025杭州钱塘区一模)如图26-11,在☉O中,已知弦AC,BD相交于点E,连结AD,
AC=BD.
(1)求证:∠A=∠D;
(2)若AC⊥BD,☉O的半径为4,求的长.
图26-11
解:(1)证明:∵AC=BD,∴,
∴,即,∴∠A=∠D.
(2)若AC⊥BD,☉O的半径为4,求的长.
图26-11
(2)连结OC,OD,如图.
∵AC⊥BD,∴∠AED=90°,∴∠A=∠ADE=45°,
∴∠COD=2∠A=90°.
∵☉O的半径为4,
∴的长为=2π.
扇形的面积
考向二
(利用扇形面积公式求面积)如图26-12,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AC长为半径画弧,得,连结AC,AE,则图中扇形CAE的面积为
　　　　.(结果保留π)
例
2
图26-12
[解析]∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴∠BAF=∠ABC=∠F=120°,AF=EF,AB=BC,
∴∠FAE=∠FEA=30°,∠CAB=∠BCA=30°,
∴∠EAC=120°-30°-30°=60°.
如图,过点B作BH⊥AC于点H,则CH=AH=AB·cos 30°=,
∴AC=,∴扇形CAE的面积=.
(割补法求面积)如图26-13,在等腰三角形ABC中,AB=AC=8,∠BAC=90°,以AB为直径的☉O交BC于点D,连结OD,AD,则图中阴影部分的面积为
(　　)
A.16π-32 B.8π-16
C.4π-8 D.4π-4
例
3
图26-13
C
[解析]∵在等腰三角形ABC中,AB=AC=8,∠BAC=90°,
∴BC==8,∠ABC=45°.
∵AB为☉O的直径,∴AD⊥BC,
∴△ABD是等腰直角三角形.
又∵OA=OB=AB=4,∴OD⊥AB,即∠AOD=90°,
∴图中阴影部分的面积为S扇形OAD-S△OAD=×42-OA·OD=4π-×4×4=4π-8.
图26-13
(等积转化求面积)如图26-14,AB为☉O的直径,AD交☉O于点F,C是的中点,连结AC.若∠CAB=30°,AB=2,则阴影部分的面积是 (　　)
A. B.
C. D.
例
4
图26-14
B
[解析]如图,连结CF,OC,OF,OF交AC于点E.
∵C是的中点,∴,∴∠CAF=∠BAC=30°,
∴∠COF=2∠CAF=60°=∠OAF.
∵OA=OF=OC=AB=1,
∴△AOF和△COF均为等边三角形,
∴∠AOF=∠CFO=60°,∴AB∥CF,
∴S△ACF=S△COF,∴阴影部分的面积=S扇形COF=.
规则图形的面积直接利用相应公式求解,不规则图形的面积往往利用割补法或等积变形转化为规则图形(如扇形、三角形等)的面积求解.
通性通法
5.如图26-15,四边形ABCD内接于☉O,∠B=70°,连结OA,OC,OD.若OC=2,OD平分∠AOC,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A. B.
C. D.
考向精练
图26-15
[解析] ∵∠B=70°,∴∠AOC=2∠B=140°.
∵OD平分∠AOC,∴∠COD=∠AOC=70°,
∴S阴影=.
A
6.如图26-16,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,分别以点B,C为圆心,BC长为半径画弧,交BC于点P,交AB于点M,交AC于点N,则图中阴影部分的面积为
(　　)
A.6-π B.6-π
C.12-π D.12-π
图26-16
A
[解析] ∵∠A=90°,AB=4,AC=3,
∴∠B+∠C=90°,BC==5.
∵以点B,C为圆心,BC长为半径画弧,
∴扇形CPN和扇形BPM的半径相同,均为,
∴两个扇形的面积之和为×()2=π,
∴阴影部分的面积为S△ABC-π=×3×4-π=6-π.
图26-16
7.(2025杭州临平区二模)如图26-17,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的☉O与BC,AC交于点D,E,连结BE,DE.若∠CED=45°,AB=8,则阴影部分的面积为
(　　)
A.2π B.3π
C.4π D.6π
图26-17
C
[解析]连结OE,OD,如图.
∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=∠BEC=90°.
∵BA=BC,∴AE=CE,即E是AC的中点.
又∵O为AB的中点,∴OE是△ABC的中位线,
∴OE∥BC,∴S△BOD=S△BED,∴S阴影=S扇形BOD.
∵∠CED=45°,∠BEC=90°,∴∠BED=45°,∴∠BOD=90°,
∴S扇形BOD==4π,∴S阴影=4π.
8.如图26-18,分别以等边三角形ABC的顶点A,B,C为圆心,以AB长为半径画弧,我们把这三条弧组成的封闭图形叫做莱洛三角形.若莱洛三角形的周长为2π,则莱洛三角形的面积为　　　　.
图26-18
2π-2
[解析]由题意知,莱洛三角形的周长等于半径为AB的圆的周长的一半.∵莱洛三角形的周长为2π,
∴×2πAB=2π,则AB=2,∴等边三角形ABC的边长为2.如图,过点A作BC的垂线,垂足为M,则BM=BC=1.在Rt△ABM中,AM=,∴莱洛三角形的面积为×π×22-2××2×=2π-2.
9.(2025河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时,创立了“割圆术”.如图26-19是研究“割圆术”时的一个图形,所在圆的圆心为点O,四边形ABCD为矩形,边CD与☉O相切于点E,连结BE,∠ABE=15°,连结OE交AB于点F.若AB=4,则图中阴影部分的面积为　　 　　.
图26-19
-2
[解析]∵边CD与☉O相切于点E,∴OE⊥CD.∵四边形ABCD为矩形,
∴AB∥CD,∴OE⊥AB,∴AF=FB=AB=×4=2.
由圆周角定理得∠AOE=2∠ABE=30°,∴OA=2AF=4.
由勾股定理得OF==2,
则S阴影=S扇形AOE-S△AOF=×2×2-2.
图26-19(共42张PPT)
第六单元　圆
大概念
统领下的科学备考方案
理解圆的有关概念,探索圆的有关性质.
探索并掌握点与圆的位置关系;了解直线与圆的位置关系,掌握切线的概念,探索切线的判定与性质定理,会用切线的性质进行计算和推理.
进一步了解正多边形和圆的关系,会处理圆和正多边形的有关计算.
会计算圆的弧长、扇形的面积.
备考手册
第24课时　圆的基本性质
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考
点
一
圆的有关概念
定义 在同一平面内,线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周,另一端点P所经过的封闭曲线叫做圆.定点O叫做圆心,线段OP叫做圆的半径
弦 连结圆上任意两点的①　　　
直径 经过圆心的弦
弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧
弧的 度数 弧所对的②　　　　的度数
相等 的弧 能够重合的圆弧
线段
圆心角
基础自测
1.下列说法正确的有　　　　(填序号).
①圆中的线段是弦;
②直径是圆中最长的弦;
③经过圆心的线段是直径;
④半径相等的两个圆是等圆;
⑤长度相等的两条弧是等弧.
②④
考
点
二
确定圆的条件
确定圆 的条件 不在同一条直线上的三个点确定一个圆
外接圆 经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆
三角形 的外心 三角形三条边的③　　 　　　的交点,即为三角形外接圆的圆心
防错 提醒 锐角三角形的外心在三角形的内部,直角三角形的外心为直角三角形的斜边中点,钝角三角形的外心在三角形的外部
垂直平分线
基础自测
2.(2023江西)如图24-1,点A,B,C,D均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为 (　　)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
图24-1
D
3.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图24-2所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是(　　)
A.① B.②
C.③ D.均不可能
图24-2
A
考
点
三
垂径定理
垂径 定理 垂直于弦的直径④　　　　　　　,并且平分弦所对的弧
推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分⑤　　　　　　　
平分弧的直径⑥　　　　　　弧所对的弦
平分这条弦
弦所对的弧
垂直平分
基础自测
4.(2025内江)如图24-3,AB是☉O的弦,半径OC⊥AB于点D,且AB=8,OC=5,则DC的长是　　　　.
图24-3
2
5.如图24-4,☉O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE=3,DE=7,则AE= (　　)
A.4 B.2 C. D.
图24-4
C
6.如图24-5,在☉O中,点C在弦AB上,连结OB,OC.若OB=5,AC=1,BC=5,则线段OC的长为　　　　.
图24-5
2
7.(2024杭州富阳区一模)如图24-6,AB是半圆O的直径,弦CD∥AB,CD=8,弦CD与直径AB之间的距离为3,则AB=　　　　.
图24-6
10
考
点
四
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角 定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等
推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等
基础自测
8.(2025山西)如图24-7,AB为☉O的直径,C,D是☉O上位于AB异侧的两点,连结AD,CD.若,则∠D的度数为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
图24-7
B
9.如图24-8,AB,CD是☉O的弦,且AB=CD,若∠BOD=84°,则∠ACO的度数为
(　　)
A.42° B.44°
C.46° D.48°
图24-8
[解析] 如图,连结OA.
∵AB=CD,∴,
∴,
∴,∴∠AOC=∠BOD=84°.
∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAO=(180°-∠AOC)=×(180°-84°)=48°.
D
考
点
五
圆心角与圆周角
定义 顶点在⑦　　　　,并且两边都和圆⑧　　　　的角叫做圆周角
圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半
圆周角 定理的 推论 半圆(或直径)所对的圆周角是⑨　　　　;90°的圆周角所对的弦是⑩　　　　
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角 　　　　;相等的圆周角所对的弧也 　　　　
防错 提醒 圆的一条弧(弦)只对着一个圆心角,所对的圆周角有无数个;一条弧所对的圆周角的大小是唯一的,而一条弦所对的圆周角的大小有两个,这两个度数的和为180°
圆上
相交
直角
直径
相等
相等
基础自测
10.如图24-9,A,B,C是☉O上的三点,若∠BAC=36°,则∠BOC的度数是　　　　.
72°
图24-9
11.(2025台州一模)如图24-10,AB,CD为☉O的弦,AB⊥CD于点E.若∠BCD=54°,则∠ADC等于 (　　)
A.27° B.36°
C.46° D.54°
图24-10
[解析]∵AB⊥CD于点E,∴∠BEC=90°.
∵∠BCD=54°,∴∠ABC=90°-∠BCD=36°,
∴∠ADC=∠ABC=36°.
B
12.如图24-11,AB,AC是☉O的两条弦,OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,连结OB,
OC.若∠DOE=140°,则∠BOC的度数为(　　)
A.70° B.80°
C.90° D.100°
图24-11
B
考
点
六
圆内接四边形
互补
性质 圆内接四边形的对角 　　　
圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角
基础自测
13.如图24-12,AB是半圆O的直径,∠BAC=
30°,则∠D的度数是　　　　.　　
图24-12
120°
14.如图24-13,四边形ABCD是☉O的内接四边形,BE是☉O的直径,连结CE,DE.若∠BAD=110°,则∠DCE=　　　　°.
图24-13
20
垂径定理的运用
考向一
如图24-14,AB是☉O的直径,弦CD⊥OA于点E,连结OC,OD.若☉O的半径为m,∠AOD=α,则下列结论一定成立的是 (　　)
A.OE=m·tan α
B.CD=2m·sin α
C.AE=m·cos α
D.S△COD=m2·sin α
例
1
B
图24-14
遇到垂直于直径或半径的弦时,常构造直角三角形,基本图形如图27-15.
图中除HA=HB,HC=r-OH外还有哪些等量关系
思考
图24-15
1.如图24-16是某座桥的设计图,设计数据如图所示,桥拱是圆弧形,则桥拱的半径为 (　　)
A.13 m B.15 m
C.20 m D.26 m
考向精练
A
图24-16
[解析]如图,设桥拱所在圆的圆心为E,作EF⊥AB,垂足为F,延长EF交圆弧于点H.
设桥拱的半径为r m.
由垂径定理知,F是AB的中点,∴AF=BF=12 m.
由题意知,HF=10-2=8(m),
∴EF=EH-HF=(r-8)m.
在Rt△AEF中,由勾股定理,得AE2=AF2+EF2,即r2=122+(r-8)2,解得r=13.即拱桥的半径为13 m.
2.如图24-17,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高AB=20 cm,底面直径BC=12 cm,球的最高点到瓶底面的距离为32 cm,则球的半径为(玻璃瓶厚度忽略不计) (　　)
A.6 cm B.7.5 cm
C.8 cm D.8.5 cm
图24-17
B
[解析]如图,设球心为点O,过点O作OM⊥AD于点M,连结OA.设球的半径为
r cm.由题意得AD=12 cm,OM=32-20-r=(12-r)cm.由垂径定理,得AM=DM=AD
=6 cm.在Rt△OAM中,由勾股定理,得AM2+OM2=OA2,即62+(12-r)2=r2,解得r=7.5,即球的半径为7.5 cm.
3.(2023台州)如图24-18,☉O的圆心O与正方形的中心重合,已知☉O的半径和正方形的边长都为4,则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(　　)
A. B.2
C.4+2 D.4-2
图24-18
D
[解析]如图,B为☉O上任意一点,A为正方形的一个顶点,D为正方形边上任意一点,连结BD,OD,OA,AB,OB.
易得OB-OD≤BD,易知OA=2,OB是☉O的半径,为定值4,当点D与点A重合且O,A,B三点共线时,OD取得最大值,为OA的长,此时OB-OD取得最小值,最小值为AB=OB-OA=4-2.
圆周角定理及其推论
考向二
如图24-19,☉O的弦AC=BD,且AC⊥BD于点E,连结AD.若AD=3,则☉O的半径为 (　　)
A. B.2 C.3 D.3
例
2
C
图24-19
[解析]如图,连结AB,AO,DO.
∵AC=BD,∴,∴,
∴∠BAC=∠ABD.
∵AC⊥BD,∴∠AEB=90°,
∴∠ABD=∠BAC=45°,
∴∠AOD=2∠ABD=90°.
∵AO=DO,AD=3,∴AO==3,
∴☉O的半径是3.
4.(2025杭州拱墅区一模)如图24-20所示,AB是☉O的直径,弦CD与AB交于点E,连结AC,AD.若∠BAC=43°,则∠ADC的度数为(　　)
A.43° B.45°
C.47° D.49°
考向精练
图24-20
[解析]如图,连结BC.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°.
∵∠BAC=43°,∴∠ABC=47°,
∴∠ADC=∠ABC=47°.
C
5.如图24-21,在半径为3的☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连结AC,BD.若AC=2,则cos D的值是 (　　)
A.3 B.
C. D.
图24-21
[解析]如图,连结BC.∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵AB=3×2=6,AC=2,
∴cos D=cos A=.
B
6.如图24-22,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=40°,则∠BCD的度数为　　　　.
图24-22
[解析]连结AC,如图.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠ACD=∠AED=40°,
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=
90°+40°=130°.
130°　
圆的有关性质的综合运用
考向三
(2024苏州)如图24-23,在△ABC中,AB=4,D为AB的中点,∠BAC=∠BCD,
cos∠ADC=,☉O是△ACD的外接圆.
(1)求BC的长;
(2)求☉O的半径.
例
3
图24-23
解:(1)∵∠BAC=∠BCD,∠B=∠B,
∴△BAC∽△BCD,∴.
∵AB=4,D为AB的中点,∴BD=AD=2,
∴BC2=BD·BA=16,∴BC=4.
(2)求☉O的半径.
图24-23
(2)如图,过点A作AE⊥CD于点E,连结CO并延长,交☉O于点F,连结AF.
∵在Rt△AED中,cos∠ADC=,AD=2,
∴DE=1,∴AE=.
由(1)知△BAC∽△BCD,
∴.
设CD=x,则AC=x,CE=x-1.
∵在Rt△ACE中,AC2=CE2+AE2,∴(x)2=(x-1)2+()2,
化简,得x2+2x-8=0,解得x1=2,x2=-4(不合题意,舍去),
∴CD=2,AC=2.
∵∠AFC与∠ADC都是所对的圆周角,
∴∠AFC=∠ADC.
∵CF为☉O的直径,∴∠CAF=90°,
∴sin∠AFC==sin∠ADC=,
∴CF=,∴☉O的半径为.
(2025嘉兴一模)如图24-24,点C在以AB为直径的☉O上,,点D在上,过点C作AD的垂线,分别交☉O,AB,AD于点E,F,G,连结AE,CD.
(1)求∠DAE的度数.
(2)求证:①CD∥AE;
②.
例
4
图24-24
解:(1)如图,连结OC.∵AB是☉O的直径,,
∴∠AOC=90°,∴∠E=45°.
∵AD⊥CE,∴∠AGE=90°,∴∠DAE=90°-∠E=45°.
(2)求证:①CD∥AE;
②.
图24-24
(2)证明:①∵∠E=45°,∴∠D=45°.
∵∠DAE=45°,∴∠D=∠DAE,∴CD∥AE.
②如图,连结AC.
由(1)知∠AOC=90°.
又∵OA=OC,∴∠CAB=45°,
∴∠CAB=∠DAE=45°,
∴∠CAB-∠DAB=∠DAE-∠DAB,即∠CAD=∠BAE.
又∵∠D=∠E,∴△ACD∽△AFE,∴.
∵∠AOC=90°,OC=AO,∴AC=AO.
∵∠DCE=∠DAE=45°,∠D=∠E=45°,∠CGD=90°,
∴△CGD是等腰直角三角形,∴CD=CG,
∴,∴.

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