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(共39张PPT)
备考手册
第29课时　图形的对称、平移与旋转
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
轴对称与中心对称
1.轴对称图形与中心对称图形
(1)如果把一个图形沿着一条直线折叠后,直线两侧的部分能够①　 　　　,那么这个图形叫做轴对称图形;
(2)如果一个图形绕着一个点旋转②　　　　后,所得到的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点叫③　 　　　.
2.轴对称与中心对称
(1)轴对称是一个图形沿某直线翻折后,能和④　　　　图形互相重合;
(2)中心对称是一个图形绕某一点旋转⑤　　　　后,能和另一个图形互相重合.
互相重合
180°
对称中心
另一个
180°
3.图形的性质
(1)成轴对称的两个图形,对应线段⑥　　　　,对应角⑦　　　　,对称轴是连结两个对称点的线段的垂直平分线;
(2)成中心对称的两个图形,对应线段相等,对应角⑧　　　　,连结两个对称点的线段都经过⑨　 　　　且被对称中心⑩　　　　.
相等
相等
相等
对称中心
平分
基础自测
1.(2025遂宁)汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体,在发展过程中演变出多种字体,给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆书,能看作是轴对称图形的是 (　　)
图29-1
D
2.(2025烟台)2025年4月24日,神舟二十号载人飞船成功发射,以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝.下列航天图案是中心对称图形的是(　　)
图29-2
D
考
点
二
平移
方向
1.平移的概念
一个图形沿某个方向移动,在移动过程中,原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离,这样的图形运动叫做图形的平移,它是由移动的
和 　　　　决定的.
2.平移的性质:
(1)平移不改变图形的 　　　和大小(即平移前后的两个图形 　　　);
(2)一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一直线上)且 　　　　.
距离
形状
全等
相等
基础自测
3.(2024金华一模)下列图形中可以由一个基础图形通过平移变换得到的是
(　　)
图29-3
B
4.如图29-4,在正方形网格中,△ABC平移到△DEF的位置,则下列说法错误的是
(　　)
A.∠ACB=∠DFE
B.AD∥BE
C.AB=DE
D.平移距离为线段BD的长
图29-4
D
5.如图29-5,∠ACB=90°,将Rt△ABC沿着射线BC的方向平移5 cm,得到△A'B'C',并且B'C'=3 cm,A'C'=4 cm,则阴影部分的面积为 (　　)
A.10 cm2
B.14 cm2
C.28 cm2
D.35 cm2
图29-5
B
考
点
三
图形的旋转
1.旋转的概念
一般地,一个图形变为另一个图形,在运动的过程中,原图形上的所有点都绕一个固定的点,按 　　　　方向转动同一个 　　　　,这样的图形运动叫做图形的旋转,这个固定的点称为旋转中心.
2.旋转的三要素
　 　　　, 　 　　　和 　　　　.
同一个
角度
旋转中心
旋转方向
旋转角
3.图形旋转的性质
(1)图形经过旋转所得的图形和原图形 　　　　;
(2)对应点到旋转中心的距离 　　　　;
(3)任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.
全等
相等
基础自测
6.如图29-6,在△ABD中,∠BAD=90°,将△ABD绕点A逆时针旋转后得到△ACE,此时点C恰好落在BD边上.若∠E=24°,则∠BAC= (　　)
A.24°
B.48°
C.66°
D.72°
图29-6
B
7.如图29-7,已知点A(-1,0),B(0,2),点A与点A'关于y轴对称,连结A'B,现将线段A'B绕点A'顺时针旋转90°得到A'B',则点B的对应点B'的坐标为　　　　.
图29-7
(3,1)
8.(2024温州瓯海区一模)如图29-8,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,将△ADC绕点A逆时针旋转90°得到△AEF,点D,C分别对应点E,F,连结CF.若∠BAC=
62°,则∠CFE的度数为　　　　°.
图29-8
[解析]∵AB=AC,D是BC的中点,∠BAC=62°,
∴BD=CD,∠ACB=∠ABC=59°,AD⊥BC.
∵将△ADC绕点A逆时针旋转90°得到△AEF,∴AF=AC,∠CAF=90°,∠AFE=∠ACD=59°,
∴∠AFC=∠ACF=45°,∴∠CFE=59°-45°=14°.
14
图形的折叠与轴对称
考向一
综合与实践课上,老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动,有一位同学操作过程如下:
操作一:对折正方形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平;
操作二:在AD上选一点P,沿BP折叠,使点A落在正方形内部点M处,把纸片展平,连结PM,BM,延长PM交CD于点Q,连结BQ.
(1)如图29-9①,当点M在EF上时,∠EMB=　　　　°;
例
1
图29-9
(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图②,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.
图29-9
(1)如图29-9①,当点M在EF上时,∠EMB=　　　　°;
图29-9
[解析]由折叠的性质可得AE=BE=AB,
∠AEM=∠BEM=90°,AB=BM,
∴BE=BM.
∴∠EMB=30°.故答案为30.
30
(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A,D重合),如图②,判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系,并说明理由.
图29-9
(2)∠MBQ=∠CBQ.理由如下:
由折叠的性质可得AB=BM,∠A=∠BMP=90°.
∴BC=AB=BM,∠BMQ=∠C=90°.
又∵BQ=BQ,
∴Rt△BMQ≌Rt△BCQ(HL).
∴∠MBQ=∠CBQ.
1.如图29-10,将三角形纸片ABC折叠,使点B,C都与点A重合,折痕分别为DE,FG.已知∠ACB=15°,AE=EF,DE=,则BC的长为　 　　　.
考向精练
4+2
图29-10
[解析]∵把三角形纸片折叠,使点B,C都与点A重合,折痕分别为DE,FG,
∴BE=AE,AF=FC,∠FAC=∠C=15°.∴∠AFE=30°.
又AE=EF,∴∠EAF=∠AFE=30°.∴∠AEB=60°.
∴△ABE是等边三角形.
∴∠AED=∠BED=30°,∠BAE=60°.
∵DE=,∴EF=AE=BE=AB==2.
∴BF=BE+EF=4.
∵∠BAF=60°+30°=90°,∴FC=AF==2.
∴BC=BF+FC=4+2.
图29-10
2.如图29-11,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BC上一点,沿DE折叠,点C恰好落在点O处,则∠DBC的度数为 (　　)
A.15° B.22.5°
C.30° D.45°
图29-11
C
3.(2024杭州临安区二模)如图29-12是以点O为圆心,AB为直径的圆形纸片,点C在☉O上,将该圆形纸片沿直线CO对折,点B落在☉O上的点D处(不与点A重合),连结CB,CD,AD.设CD与直径AB交于点E.若AD=ED,AE=1,则BC的长为
(　　)
A.1+ B.2+
C.3+ D.2
图29-12
B
[解析]如图,连结OD,则OD=OA=OB=OC,∴∠OCB=∠B.由折叠得∠OCD=∠OCB.
∵AD=ED,∴∠A=∠AED.
∵∠A=∠BCE,∠AED=∠BEC,∴∠BCE=∠BEC=2∠OCB=2∠B.
∴BC=BE,2∠B+2∠B+∠B=180°.∴∠ADE=∠B=36°.
∴∠A=∠AED=∠BEC=2∠B=2×36°=72°.∴∠ADO=∠A=72°.
∴∠EDO=∠ADO-∠ADE=72°-36°=36°,∠EOD=∠AED-∠EDO=72°-36°=36°.
∴∠EDO=∠EOD.∴AD=ED=EO.∵AE=1,∴OA=AE+EO=1+EO.
∵∠AED=∠ADO,∠A=∠A,∴△AED∽△ADO.
∴.∴AD2=AE·OA.∴EO2=1+EO,解得EO=或EO=(不符合题意,舍去).∴BC=BE=EO+OB=EO+OA=+1+=2+.
利用轴对称求最值
考向二
如图29-13,四边形ABCD是边长为8的菱形,∠ABC=60°,M是对角线BD上的一个动点.
(1)若N是AB边上一点,AN=2,连结AM,MN,则AM+MN的最小值为　　　　;
例
2
图29-13
[解析]思路1:借助点A的对称点C求解:
(1)A,N是定点,M是BD上的动点.根据菱形的性质,得点A关于BD的对称点为点C,连结MC,NC,则AM+MN=CM+MN≥CN,CN的值即为所求(当C,M,N三点共线时,CM+MN有最小值CN).
2
(2)若N是AB边上一个动点,连结AM,MN,则AM+MN的最小值为　　　　.
图29-13
[解析](2)与(1)不同的是,N和M均为动点.同(1)连结MC,NC,则AM+MN=CM+MN≥CN,由于N为动点,故CN的长不确定,根据垂线段最短知当CN⊥AB时,CN最小,故AM+MN最小.
思路2:借助点N的对称点求解,请同学们自行尝试求解.
4
求解线段和最小值问题的基本方法:
(1)单动点问题:如图29-14,利用对称性,化“同”为“异”,化“折”为“直”,再构造直角三角形求线段长.
通性通法
图29-14
(2)双动点问题:如图29-15,先作定点关于其中一个动点所在直线的对称点,再过此对称点作另一动点所在直线的垂线,利用垂线段最短求解.
通性通法
图29-15
4.(2025绥化)如图29-16,在菱形ABCD中,AB=4,对角线BD=4,P是边CD的中点,M是对角线BD上的一个动点,连结PM,CM,则PM+CM的最小值是　　　.
考向精练
2
图29-16
[解析]如图,作点P关于BD的对称点P',连结PP',MP',CP',
∴PM=P'M.
∴PM+CM=P'M+CM≥P'C.
∵四边形ABCD是菱形,AB=4,P是边CD的中点,
∴点P'在边AD上,且是AD的中点,∴DP'=AD=2.
∵BD=4,AB=AD=4,∴∠BAD=120°,∠ADC=60°,
∴CP'⊥AD,∴CP'=2,
∴PM+CM的最小值即为P'C的长,为2.
5.如图29-17,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,点P,D分别是边AB,AC上的动点,则PC+PD的最小值为　　　　.
图29-17
[解析]如图,作点C关于AB的对称点C',连结CC',交AB于点E,连结C'P,则PC=PC',PC+PD=PC'+PD,CC'⊥AB,∴当C'D⊥AC时,PC+PD的值最小,为C'D的长.在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=3,由勾股定理得AC=4.
∵S△ABC=BC·AC=AB·CE,∴3×4=5CE.∴CE=.∴CC'=2CE=.
∵∠C'EP=∠PDA=90°,∠C'PE=∠APD,∴∠C'=∠A.
∵∠CDC'=∠ACB=90°,∴△C'DC∽△ACB.
∴,即.∴C'D=,即PC+PD的最小值为.
图形的旋转
考向三
如图29-18,△ABC是等边三角形,D是BC边上一点,将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE,连结DE,则下列说法不一定正确的是 (　　)
A.△ADE是等边三角形
B.AB∥CE
C.∠BAD=∠DEC
D.AC=CD+CE
例
3
C
图29-18
(1)旋转前后各条线段旋转的角度相等,均为旋转角;(2)旋转可产生等腰三角形(旋转60°,90°可分别产生等边三角形、等腰直角三角形).
通性通法
6.如图29-19,在△ABC中,∠BAC=64°,将△ABC绕点A逆时针旋转α(0°<α<64°)得到△ADE,DE交AC于点F.当α=40°时,点D恰好落在BC上,此时∠AFE的度数为(　　)
A.90° B.94°
C.100° D.104°
考向精练
图29-19
[解析]∵将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,∠BAC=64°,
∴∠BAD=40°,AB=AD,∠B=∠ADE,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=24°,∠B=∠ADE=×(180°-40°)=70°,
∴∠AFE=24°+70°=94°.
B
7.如图29-20,在△ABC中,AC=5,BC=8,∠ACB=120°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC.下列结论错误的是 (　　)
A.CD=5
B.BC⊥DE
C.B,E两点之间的距离为8
D.A,C,E三点共线
图29-20
B
[解析]∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,
∴CD=AC=5,故A选项正确,不符合题意;
连结BE,如图.
∵△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,
∴BC=CE,∠BCE=60°,∴△BCE为等边三角形,
∴BE=BC=8,即B,E两点之间的距离为8,故C选项正确,不符合题意;
∵∠ACB=120°,∠BCE=60°,∴∠ACE=∠ACB+∠BCE=180°,∴A,C,E三点共线,故D选项正确,不符合题意;
由已知条件可知,∠ABC≠30°,∴∠DEC≠30°,∴BC与DE不垂直,故B选项不正确,符合题意.故选B.
8.如图29-21,在△ABC中,∠ACB=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE,点A,C的对应点分别为D,E,连接CE.当点A,C,E在同一条直线上时,∠DEA的度数为　　　　.
图29-21
[解析]由旋转,得∠DEB=∠ACB=120°,BC=BE.
∵∠ACB=120°,点A,C,E在同一条直线上,
∴∠BCE=60°,
∴△BCE为等边三角形,∴∠BEC=60°,
∴∠DEA=∠DEB-∠BEC=60°.
60°
9.如图29-22,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,点D在AB上,且BD=2AD,连结CD,将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°至CE,连结BE,DE.
(1)求证:△ACD≌△BCE;
(2)求线段DE的长.
图29-22
解:(1)证明:∵将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°至CE,
∴CD=CE,∠DCE=90°.
又∵∠ACB=90°,∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD,
即∠ACD=∠BCE.
在△ACD与△BCE中,∴△ACD≌△BCE.
(2)求线段DE的长.
图29-22
(2)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=3,
∴AB=6,∠A=∠ABC=45°.
∵BD=2AD,∴AD=2,BD=4.
由(1)可知△ACD≌△BCE,
∴∠CBE=∠A=45°,BE=AD=2,
∴∠DBE=∠ABC+∠CBE=90°.
∵在Rt△BDE中,∠DBE=90°,∴DE2=BE2+BD2,
∴DE==2.(共27张PPT)
备考手册
第28课时　三视图与表面展开图
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
三视图
1.三视图
2.在画几何体的三视图时,应注意以下两点:
(1)长对正、高④　　　　、宽⑤　　　　;
(2)图中看不到的棱用虚线表示出来.
前面
左面
上面
平齐
相等
基础自测
1.(2025嘉兴一模)如图28-1是底面为正方形的直四棱柱,下面关于它的三个视图的说法正确的是 (　　)
A.主视图与俯视图相同
B.主视图与左视图相同
C.左视图与俯视图相同
D.三个视图都相同
图28-1
B
2.(2025湖北)“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的,拟用于未来建造月球基地.如图28-2是一种“月壤砖”的示意图,它的主视图是(　　)
图28-2
图28-3
B
3.(2025广西)如图28-4是一个正三棱柱,则它的俯视图是 (　　)
图28-4
图28-5
D
考
点
二
直棱柱的展开与折叠
几何体 展开图 底面形状 侧面形状
直三棱柱 三角形 矩形
直四棱柱 四边形 矩形
(续表)
几何体 展开图 底面形状 侧面形状
正方体 正方形 正方形
直n棱柱 多边形 矩形
基础自测
4.(2025河南)数学活动课上,小颖绘制的某立体图形的展开图如图28-6所示,则该立体图形是 (　　)
图28-6
图28-7
D
5.如图28-8所示的四个图形中,是三棱柱的平面展开图的是 (　　)
图28-8
A
考
点
三
圆柱的展开图及其侧面积、全面积
圆柱侧面积 S侧=2πrl
圆柱全面积 S全=2πrl+2πr2 基础自测
6.圆柱的侧面展开图是正方形,则该圆柱的一个底面圆的面积和侧面积的比为 (　　)
A.1∶1 B.1∶2
C.1∶π D.1∶4π
D
7.(2024绍兴新昌县一模)如图28-9,桌面上有一个圆柱形玻璃杯(无盖),高6厘米,底面周长为16厘米,在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖,在玻璃杯的外壁,与A相对的位置上有一小虫P,小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米,则小虫爬到蜜糖A处的最短路径长是(　　)
A.厘米 B.10厘米
C.8厘米 D.8厘米
图28-9
B
[解析]如图,将圆柱侧面展开,最短路径长为PA'的长度.
∵PA'==10(cm),
∴小虫爬到蜜糖A处的最短路径长为10 cm.
考
点
四
圆锥的展开图及其侧面积、全面积
侧面展开图 θ=·360°

圆锥侧面积 S侧=πrl 圆锥全面积 S全=⑥　　 　 πrl+πr2
基础自测
8.(2024杭州滨江区一模)圆锥的母线长为6,底面半径为2,则该圆锥的侧面积为　　　　(结果保留π).
9.(2024海宁三模)一个圆锥的侧面展开图如图28-10所示,则该圆锥的底面半径为 (　　)
A. B.1
C.π D.2
12π
图28-10
B
正方体的展开图
考向一
(2024济宁)如图28-11是一个正方体的展开图,把展开图折叠成正方体后,有“建”字一面的相对面上的字是 (　　)
A.人 B.才
C.强 D.国
例
1
D
图28-11
变式 (2024宜宾)如图28-12是正方体的表面展开图,将其折叠成正方体后,距顶点A最远的点是 (　　)
A.点B B.点C
C.点D D.点E
图28-12
B
几何体的三视图
考向二
(2024威海)下列几何体都是由四个大小相同的小正方体搭成的,其中主视图、左视图和俯视图完全相同的是 (　　)
例
2
D
图28-13
1.(2024浙江2题)5个相同的正方体搭成的几何体如图28-14所示,这个几何体的主视图为 (　　)
考向精练
B
图28-14
图28-15
2.(2025浙江4题)底面是正六边形的直棱柱如图28-16所示,其俯视图是 (　　)
图28-16
图28-17
A
3.如图28-18,下列四个几何体中,其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是 (　　)
图28-18
D
4.(2025烟台)如图28-19是社团小组运用3D打印技术制作的模型,它的左视图是 (　　)
图28-19
图28-20
C
由三视图确定几何体
考向三
如图28-21是某几何体的三视图,则这个几何体是 (　　)
例
3
C
图28-21
图28-22
某几何体是由完全相同的小正方体组合而成的,如图28-23是这个几何体的三视图,那么构成这个几何体的小正方体的个数是(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
例
4
图28-23
A
与圆锥有关的计算
考向四
如图28-24是一个圆锥及其侧面展开图,则该圆锥的底面半径长为　　　　.
例
5
图28-24
[解析]根据题意得2πr=,
解得r=5.
5
某班学生表演课本剧,要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图28-25,这个圆锥的底面圆周长为20π cm,母线AB长为30 cm.为了使帽子更美观,要粘贴彩带进行装饰,其中需要粘贴一条从点A处开始,绕侧面一周又回到点A的彩带(彩带宽度忽略不计),这条彩带的最短长度是(　　)
A.30 cm B.30 cm
C.60 cm D.20π cm
例
6
图28-25
B
[解析]该圆锥的侧面展开图如图,连结AA',过点B作BC⊥AA'于点C.
∵圆锥的底面圆周长为20π cm,∴圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为20π cm.
设扇形的圆心角为n°,则=20π,
解得n=120,∴∠ABA'=120°,
∴∠BAA'=30°,∴AC=AB·cos 30°=30×=15(cm),
∴AA'=2AC=30 cm,
∴这条彩带的最短长度是30 cm.(共34张PPT)
第七单元　图形的变化
大概念
统领下的科学备考方案
理解三类基本的图形运动,探索它们的性质,会利用性质进行计算和推理,并进行图案设计.
感受图形变化之后的坐标变化,会求变换后的点的坐标.
了解中心投影和平行投影的概念,会画简单立体图形的三视图.
能根据三视图或展开图描述简单几何体,认识平面图形和立体图形的联系,发展空间观念和几何直观.
学会用数学的眼光观察现实世界,感悟图形有规律变化产生的美.
备考手册
第27课时　尺规作图
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
基本尺规作图
(1)作一条线段等于已知线段:如图27-1.
(2)作一个角等于已知角:如图27-2.
图27-1
图27-2
(3)作已知角的平分线:如图27-3.
(4)作已知线段的垂直平分线:如图27-4.
图27-3
图27-4
(5)过一点作已知直线的垂线:如图27-5.
(6)过直线外一点作已知直线的平行线:如图27-6.
图27-5
图27-6
基础自测
1.如图27-7,用尺规作“与已知角相等的角”的过程中,作出∠A'O'B'=∠AOB的依据是(　　)
A.SAS
B.ASA
C.AAS
D.SSS
图27-7
D
2.如图27-8,在△ABC中,∠C=90°,用直尺和圆规在边BC上确定一点P,使点P到边AC,AB的距离相等,则符合要求的作图痕迹是 (　　)
图27-8
C
3.(2024温岭二模)如图27-9,在△ABC中,AB=AC,∠A=100°,进行如下操作:①以点B为圆心,小于AB的长为半径作弧,分别交BA,BC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径作弧,两弧交于点M;③作射线BM交AC于点D,则∠BDC的度数为　　　　°.
图27-9
120
4.(2025湖南)如图27-10,在△ABC中,BC=6,E是AC的中点,分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,直线MN交AB于点D,连结DE,则DE的长是　　　　.
图27-10
[解析]由作图过程可知,直线MN为线段AB的垂直平分线,∴D是AB的中点.又∵E是AC的中点,∴DE为△ABC的中位线,∴DE=BC=3.
3
考
点
二
利用尺规作图作三角形
(1)已知三边作三角形:如图27-11.
(2)已知两边及其夹角作三角形:如图27-12.
图27-11
图27-12
(3)已知两角及其夹边作三角形:如图27-13.
图27-13
基础自测
5.如图27-14,已知:∠α,直线l及l上两点A,B.
求作:Rt△ABC,使点C在直线l的上方,且∠ABC=90°,∠BAC=∠α.
图27-14
解:如图所示,△ABC即为所求作的三角形.
考
点
三
与圆有关的尺规作图
作△ABC 的外接圆 分别作AB,BC的垂直平分线,两直线交于点O,则以点O为圆心,OB长为半径的圆O即为所求
作△ABC 的内切圆 分别作∠ABC,∠ACB的平分线,两线交于点O,作点O到任意一边的垂线,垂足为M,则以点O为圆心,OM长为半径的圆O即为所求
基础自测
6.如图27-15,根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形内心的是(　　)
C
图27-15
7.尺规作图:
(1)如图27-16①,作三角形的外接圆;
(2)如图②,作三角形的内切圆.
图27-16
解:(1)如图①所示,☉O即为所求.
(2)如图②所示,☉E即为所求.
基本作图及其应用
考向一
(2024金华一模)如图27-17,已知Rt△ABC,∠BCA=90°,过点C作一条射线,使其将△ABC分成两个相似的三角形.观察图中尺规作图的痕迹,作法正确的是 (　　)
例
1
D
图27-17
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
(2025绥化)尺规作图:(温馨提示:以下作图均不写作法,但需保留作图痕迹)
【初步尝试】
如图27-18①,用无刻度的直尺和
圆规作一条经过圆心的直线OP,
使扇形OMN的面积被直线OP平分.
【拓展探究】
如图②,若扇形OMN的圆心角为30°,请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的,交OM于点C,交ON于点D,使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1∶4.
例
2
图27-18
【初步尝试】
如图27-18①,用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP,使扇形OMN的面积被直线OP平分.
解:【初步尝试】如图①,射线OP即为所求.
【拓展探究】
如图②,若扇形OMN的圆心角为30°,请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的,交OM于点C,交ON于点D,使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1∶4.
【拓展探究】如图②,即为所求.
利用尺规作平行线
考向二
下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.
已知:如图27-19①,直线l和直线l外一点P.
求作:直线l的平行线,使它经过点P.
作法:如图②,
例
3
图27-19
①过点P作直线m与直线l交于点O;
②在直线m上取一点A(OA③以点P为圆心,OA长为半径画弧,交直线m于点C(点C在点P的右侧),以点C为圆心,AB长为半径画弧,两弧交于点D;
④作直线PD.
直线PD就是所求作的直线.
(1)依作法补全图形;
(2)该作图的依据是 　.
图27-19
(1)依作法补全图形;
图27-19
解:(1)如图.
(2)该作图的依据是 　.
图27-19
(2)三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;同位角相等,两直线平行;两点确定一条直线
变式 如图27-20,过直线AB外的点P作直线AB的平行线,图30-21中作法错误的是 (　　)
图27-20
C
图30-20
(2024浙江21题)尺规作图问题:
如图27-21①,E是 ABCD边AD上一点(不包含点A,D),连结CE.用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点.
小明:如图②,以点C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连结AF,则AF∥CE.
小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连结AF,则AF∥CE.
小明:小丽,你的作法有问题.
小丽:哦……我明白了!
(1)证明小明的作法中AF∥CE;
(2)指出小丽作法中存在的问题.
例
4
图27-21
(1)证明小明的作法中AF∥CE;
图27-21
解:(1)证明:根据小明的作法知,CF=AE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,即AE∥CF,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF∥CE.
(2)指出小丽作法中存在的问题.
图27-21
(2)以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,此时可能会有两个交点,只有其中之一符合题意.
故小丽的作法有问题.
网格作图
考向三
(2025吉林)图27-22①②均是6×6的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.△ABC内接于☉O,且点A,B,C,O均在格点上.只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图.
(1)在图①中找一个格点D(点D不
与点C重合),画出∠ADB,使∠ADB
=∠ACB;
(2)在图②中找一个格点E,画出
∠AEC,使∠AEC+∠ABC=180°.
例
5
图27-22
(1)在图①中找一个格点D(点D不与点C重合),画出∠ADB,使∠ADB=∠ACB;
图27-22
解:(1)如图①,点D即为所求(答案不唯一).
(2)在图②中找一个格点E,画出∠AEC,使∠AEC+∠ABC=180°.
图27-22
(2)如图②,点E即为所求(答案不唯一).
(2023温州)如图27-23,在2×4的方格纸ABCD中,每个小方格的边长均为1.已知格点P,请按要求画格点三角形(顶点均在格点上).
(1)在图①中画一个等腰三角形PEF,使底边长为,点E在BC上,点F在AD上,再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形;
(2)在图②中画一个Rt△PQR,使∠P=45°,点Q在BC上,点R在AD上,再画出该三角形向右平移1个单位后的图形.
例
6
图27-23
(1)在图①中画一个等腰三角形PEF,使底边长为,点E在BC上,点F在AD上,再画出该三角形绕矩形ABCD的中心旋转180°后的图形;
解:(1)画法不唯一,如图①或图②.
(2)在图②中画一个Rt△PQR,使∠P=45°,点Q在BC上,点R在AD上,再画出该三角形向右平移1个单位后的图形.
(2)画法不唯一,如图③或图④.

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