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(共31张PPT)
备考手册
第13课时　二次函数的实际应用
教材知识整合
高频考向探究
考
点
二次函数的实际应用
利用二次函数解决实际问题的步骤:
根据题意建立二次函数关系式→确定自变量的取值范围→利用二次函数的图象与性质解决问题.
基础自测
1.(2023丽水)一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒,经过t(秒)时球距离地面的高度h(米)适用公式h=10t-5t2,那么球弹起后又回到地面所花的时间t(秒)是(　　)
A.5 B.10 C.1 D.2
[解析]令h=0,得10t-5t2=0,解得t=0或t=2,
∴球弹起后又回到地面所花的时间是2秒.
D
2.如图13-1,某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示,函数关系为y=-x2.当水面宽度AB为20 m时,水面与桥拱顶的高度OC为(　　)
A.2 m B.4 m
C.10 m D.16 m
图13-1
B
应用二次函数解决抛物线形问题
考向一
(2024杭州拱墅区一模)如图13-2①是一款固定在地面O处的高度可调的羽毛球发球机,A是其弹射出口,能将羽毛球以固定的方向和速度弹出.在不计空气阻力的情况下,球的运动路径呈抛物线形(如图②所示).设飞行过程中羽毛球与发球机的水平距离为x米,与地面的高度为y米.y与x的部分对应数据如下表所示.
例
1
x(米) … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 …
y(米) … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 …
(1)求y关于x的函数表达式,并求出羽毛球
的落地点B到发球机O点的水平距离;
图13-2
(2)为了训练学员的后场应对能力,需要改变球的落地点,可以通过调整弹射出口A的高度来实现.此过程中抛物线的形状和对称轴的位置都不变,要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.5米,则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米
x(米) … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 …
y(米) … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 …
图13-2
(1)求y关于x的函数表达式,并求出羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离;
解:(1)由表格信息可知,抛物线的顶点坐标为
(2,2.25),
∴可设抛物线的表达式为y=a(x-2)2+2.25.
∵其图象过点(2.2,2.24),∴2.24=(2.2-2)2a+2.25,
解得a=-0.25,
∴y关于x的函数表达式为y=-0.25(x-2)2+2.25.
x(米) … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 …
y(米) … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 …
图13-2
当y=0时,0=-0.25(x-2)2+2.25,
解得x1=5,x2=-1<0(舍去),
故羽毛球的落地点B到发球机O点的水平距离为5米.
(2)为了训练学员的后场应对能力,需要改变球的落地点,可以通过调整弹射出口A的高度来实现.此过程中抛物线的形状和对称轴的位置都不变,要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.5米,则发球机的弹射出口高度OA应调整为多少米
x(米) … 1.8 2 2.2 2.4 2.6 …
y(米) … 2.24 2.25 2.24 2.21 2.16 …
图13-2
(2)∵抛物线的形状和对称轴的位置都不变,
∴可设抛物线的表达式为y=-0.25(x-2)2+k.
∵要使发射出的羽毛球落地点到O点的水平距离增加0.5米,
∴当y=0时,x=5+0.5=5.5,
∴0=-0.25×(5.5-2)2+k,解得k=3.0625,
∴y=-0.25(x-2)2+3.0625.
当x=0时,y=-0.25×(0-2)2+3.0625=2.0625,
∴发球机的弹射出口高度OA应调整为2.0625米.
图13-2
1.(2025广东)如图13-3,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.1785 km,主缆最低处距离桥面0.0015 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的表达式.
考向精练
图13-3
解:(答案不唯一)建立平面直角坐标系如图所示:
则抛物线的顶点坐标为(0,0.0015),
A(,0.27-0.09),即A(0.85,0.18).
设该抛物线的表达式为y=ax2+0.0015.
将A(0.85,0.18)代入,得0.18=0.852a+0.0015,
解得a=,
∴该抛物线的表达式为y=x2+0.0015.
2.(2025温州适应性考试)如图13-4①是网球场的示意图,球网在中线AB的中垂线上,自动网球发射器在C处,图②是发射后的网球飞行示意图.发射后的网球在AB上方按固定的抛物线路线飞行,网球落在D处,相关数据如图②所示.测得:当网球从发射口F发射后,飞行的
水平距离为米时,到达距地面最高处米.
(1)在图②中建立合适的直角坐标系,并求该抛物线的解析式;
(2)当网球飞行至O的正上方时,高度不低于0.92米能顺利过网.将发射口向上调0.32米,并将发射器向O移动,使网球飞行的路线经过点B.通过计算说明此时网球是否能顺利过网.
图13-4
(1)在图②中建立合适的直角坐标系,并求该抛物线的解析式;
图13-4
解:(1)答案不唯一,如以点D为原点,AB所在
直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系:
∴O(-5,0),D(0,0),B(7,0).
∵当网球从发射口F发射后,飞行的水平距离为米时,到达距地面最高处米,
∴顶点坐标为(-, ).设抛物线的解析式为y=a (x+ )2+.
将点D的坐标代入,得0=a×,解得a=-,
∴抛物线的解析式为y=- (x+ )2+=-x2-x.
(2)当网球飞行至O的正上方时,高度不低于0.92米能顺利过网.将发射口向上调0.32米,并将发射器向O移动,使网球飞行的路线经过点B.通过计算说明此时网球是否能顺利过网.
图13-4
(2)∵将发射口向上调0.32米,
∴抛物线的解析式为y=-x2-x+0.32.
设将发射器向O移动m米,
则抛物线的解析式为y=-(x-m)2-(x-m)+0.32.
∵此时抛物线经过点B,
∴0=-(7-m)2-(7-m)+0.32,
解得m1=6,m2=23(舍去),
∴抛物线的解析式为y=-(x-6)2-(x-6)+0.32.
令x=-5,则y=1.2>0.92,∴此时网球能顺利过网.
图13-4
应用二次函数解决几何问题
考向二
(2025浙江10题)为了实时规划路径,卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方.如图13-5①,P是一个固定观测点,运动点Q从A处出发,沿笔直公路AB向目的地B处运动.设AQ为x(单位:km)(0≤x≤n),PQ2为y(单位:km2).如图②,y关于x的函数图象与y轴交于点C,最低点D(m,81),且经过E(1,225)和F(n,225)两点.下列选项正确的是(　　)
A.m=12
B.n=24
C.点C的纵坐标为240
D.点(15,85)在该函数图象上
例
2
D
图13-5
[解析]如图,过点P作PG⊥AB于点G,设当x=1时,动点Q运动到点H的位置,则由题意和图象可知PH2=225,当点Q运动到点G时,PQ2最小,即PG2=81,HG=m-1.
在Rt△PGH中,由勾股定理,得225=81+(m-1)2,解得m=13(负值不合题意,已舍去).∴A选项错误.
∴AG=m=13,HG=m-1=12.
当x=n时,点Q运动到点B,则PB2=225=PH2,
∴PB=PH.
∵PG⊥AB,∴BG=HG=12,∴AB=AG+BG=13+12=25,即n=25,∴B选项错误.
当x=0,即点Q在点A处时,PA2=AG2+PG2=132+81=250,
∴点C的纵坐标为250.∴C选项错误.
当x=15时,设点Q运动到点K,则AK=15,
∴GK=AK-AG=2,
∴PK2=KG2+PG2=4+81=85,
∴点(15,85)在该函数图象上.
∴D选项正确.
故选D.
3.(2025湖北)如图13-6①,在△ABC中,∠C=90°,BC=4 cm,AB=n cm.动点P,Q均以1 cm/s的速度从点C同时出发,点P沿折线C→B→A向点A运动,点Q沿边CA向点A运动.当点Q运动到点A时,两点都停止运动.△PCQ的面积S(单位:cm2)与运动时间t(单位:s)的关系如图②所示.
(1)m=　　　　;
(2)n=　　　　.
考向精练
8
图13-6
12
[解析](1)观察图象可知,当t=4时,S=m,此时点P与点B重合.
∵动点P,Q均以1 cm/s的速度从点C同时出发,∴CQ=BC=CP=4 cm.
∵∠C=90°,∴m=CP·CQ=×4×4=8.
(2)由图象可知,当t=10时,S=10,此时CQ=10 cm,BP=10-BC=6 cm.
过点P作PD⊥AC于点D,如图,则∠PDA=90°.
∵S=CQ·PD=×10PD=10,∴PD=2.
∵∠PDA=∠C=90°,∠A=∠A,∴△ADP∽△ACB,∴,∴AP=AB,
∴P为AB的中点,∴AB=2BP=12 cm,即n=12.
应用二次函数解决其他问题
考向三
数学拓展课上,老师带领兴趣小组的同学们探究矩形种植园最大面积问题.若校园空地上有一面墙(长度12 m),用22 m长的篱笆围一个矩形菜园.
(1)如图13-7①,兴趣小组利用墙(不超过墙长)和22 m长的篱笆围出矩形菜园ABCD.设CD=x m,矩形菜园的面积为S m2.回答下列问题:
①BC=　　 　　m;(用含x的代数式表示)
②若矩形菜园的面积为56 m2,则AB的长为多少米
(2)矩形菜园的面积能否超过56 m2 如
果能,请在图②中画出矩形菜园面积最
大的方案示意图(标注边长).
例
3
(22-2x)
图13-7
(1)如图13-7①,兴趣小组利用墙(不超过墙长)和22 m长的篱笆围出矩形菜园ABCD.设CD=x m,矩形菜园的面积为S m2.回答下列问题:
②若矩形菜园的面积为56 m2,则AB的长为多少米
图13-7
②根据题意,得x(22-2x)=56.
整理,得x2-11x+28=0,解得x1=4,x2=7.
∵0<22-2x≤12,∴5≤x<11,∴x=7,∴AB=7 m.
故AB的长为7 m.
(2)矩形菜园的面积能否超过56 m2 如果能,请在图②中画出矩形菜园面积最
大的方案示意图(标注边长).
(2)由题意,得S=x(22-2x)=-2x2+22x=-2(x2-11x)=-2(x-5.5)2+60.5.
∵-2<0,
∴当x=5.5时,S有最大值,最大值为60.5,
此时AB=5.5 m,BC=22-2×5.5=11(m).
故矩形菜园的面积能超过56 m2,矩形菜园面积最大的方案示意图如图:
(2025深圳)综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景.如图13-8,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1:观众进场立即排队安检,在任意时
刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场
人数;
条件2:该演出场地最多可开放9条安检通
道,平均每条通道每分钟可安检6人.
例
4
图13-8
【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检,经研究发现,现场总人数y与安检时间x之间满足关系式:y=-x2+60x+100(0≤x≤30).
结合上述信息,请解决下列问题:
(1)当开通3条安检通道时,安检时间x分钟时,已入场人数为　　　　,排队人数w与安检时间x之间的函数关系式为　　　　　　　　.
【模型应用】
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值,最大人数为多少
(3)已知该演出主办方要求:
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少;
②尽量少安排安检通道,以节省开支.
若同时满足以上两个要求,可开放几条安检通道 请说明理由.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景,但要注意验证模型的正确性,未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析,以提高模型的准确性和实用性.
(1)当开通3条安检通道时,安检时间x分钟时,已入场人数为　　　　,排队人数w与安检时间x之间的函数关系式为　　　　　　　　.
图13-8
[解析]∵平均每条通道每分钟可安检6人,
∴当开通3条安检通道,安检时间为x分钟时,
已入场人数为18x,
∴排队人数w与安检时间x之间的函数关系式
为w=y-18x=-x2+42x+100.
故答案为18x,w=-x2+42x+100.
18x
w=-x2+42x+100　
(2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值,最大人数为多少
(2)w=-x2+42x+100=-(x-21)2+541.
∵-1<0,∴当x=21时,w取得最大值,最大值为541.
答:在(1)的条件下,排队人数在第21分钟达到最大值,最大人数为541.
(3)已知该演出主办方要求:
①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少;
②尽量少安排安检通道,以节省开支.
若同时满足以上两个要求,可开放几条安检通道 请说明理由.
(3)可开放7条安检通道.理由:
设开放m条安检通道,则w=y-6mx=-x2+60x+100-6mx=-x2+6(10-m)x+100,
其图象的对称轴为直线x=3(10-m).
∵排队人数在安检开始10分钟内(包括10分钟)减少,
∴0≤3(10-m)≤10,∴≤m≤10.
又∵最多可开放9条安检通道,∴≤m≤9.
∵m为正整数,∴m的最小值为7,
∴可开放7条安检通道.(共43张PPT)
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第12课时　二次函数的图象与性质
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
二次函数的概念、图象与性质
概念 形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数 图象 a>0 a<0
抛物线开口向上 抛物线开口向下
对称轴:直线①　 　　 顶点坐标:②　　　　　　 x=-　
(-,)　
(续表)
图象 a>0 a<0
增 减 性 当③　　　　时,y随x的增大而减小;当④　 　　时,y随x的增大而增大 当⑤　　　　时,y随x的增大而增大;当⑥　　　　时,y随x的增大而减小
最值 当x=⑦　　　　时,y取最小值,y最小值=⑧　　　　 当x=⑨　　　　时,y取最大值,y最大值=⑩　　　　
x≤-　
x≥-
x≤-
x≥-　
-
-　
基础自测
1.已知二次函数y=x2-4x+3.
(1)图象开口　　　　,对称轴为直线　　　　,顶点坐标为　　　　.
(2)图象与y轴的交点坐标为　　　　,与x轴的交点坐标为　　　　　　　.
(3)当x　　　时,y随x的增大而增大.
(4)若A(1,m),B(4,n)是图象上的两点,则m　　　　n.
(5)当0≤x<3时,y的最大值是　　　　,最小值是　　　　;当y>3时,x的取值范围是　　　　　　.
向上
x=2
(2,-1)
(0,3)
(1,0),(3,0)
≥2
<
3
-1
x<0或x>4
2.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图12-1所示.
(1)当0(2)当y≥2时,x的取值范围是　　　　.
图12-1
00≤x≤1　
3.(2025威海)已知点(-2,y1),(3,y2),(7,y3)都在二次函数y=-(x-2)2+c的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 (　　)
A.y1>y2>y3 B.y1>y3>y2
C.y2>y1>y3 D.y3>y2>y1
[解析]二次函数y=-(x-2)2+c的图象开口向下,对称轴为直线x=2.
∵点(-2,y1),(3,y2),(7,y3)与对称轴的距离分别为|-2-2|=4,|3-2|=1,|7-2|=5,1<4<5,
∴y2>y1>y3.
C
考
点
二
二次函数的图象与系数的关系
a a>0 抛物线开口 　　　　;
a<0 抛物线开口向下;
|a|越大,抛物线开口越 　　　
b,a b=0 对称轴为y轴;
ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴 　　侧;
ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴 　　侧　
c c=0 抛物线过点(0,0);
c>0 抛物线与y轴交于正半轴;
c<0 抛物线与y轴交于负半轴
向上
小
左
右
基础自测
4.(2023河南)二次函数y=ax2+bx的图象如图12-2所示,则一次函数y=x+b的图象一定不经过 (　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
图12-2
D
5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图12-3所示,则下列说法正确的是(　　)
A.ac>0 B.a+b+c=0
C.4a+2b+c<0 D.2a+b=0
图12-3
D
考
点
三
抛物线的平移
平移前 平移m个单位(m>0) 平移后 规律
y=ax2 (a≠0) 向上平移m个单位 y= 　 　 上“+”
向下平移m个单位 y= 　 　 下“-”
向右平移m个单位 y= 　 　 右“-”
向左平移m个单位 y= 　　 左“+”
【温馨提示】(1)任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由y=ax2平移得到,平移抛物线时a不变; (2)抛物线的平移问题可转化为顶点的平移问题求解 ax2+m
ax2-m
a(x-m)2
a(x+m)2
基础自测
6.(浙教版九上P14作业题T1改编)填空:
(1)函数y=2(x+3)2的图象,可以由函数y=2x2的图象向　　　　平移　　　个单位得到;
(2)y=2x2的图象,可以由函数y=2(x-1)2的图象向　　　　平移　　　　个单位得到;
(3)函数y=2(x-1)2的图象,可以由函数y=2(x+3)2的图象向　　　平移　 　个单位得到.
7.若将二次函数y=x2-2x+2的图象向下平移m(m>0)个单位后,它的顶点恰好落在x轴上,则m的值为　　　　.
左
3
左
1
右
4
1
考
点
四
用待定系数法求二次函数表达式
表达式 适用情况
一般式: 已知图象上三个点的坐标,特例:
顶点在原点时:y= 　　　　　;
顶点在y轴上:y= 　　 　　　;
顶点在x轴上:y=a(x-h)2
顶点式: 已知图象的顶点坐标,或者对称轴与最值
交点式: 已知图象与x轴的交点坐标(x1,0),(x2,0)
y=ax2+bx+c(a≠0)
ax2(a≠0)
ax2+c(a≠0)
y=a(x-h)2+k(a≠0)　
y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
基础自测
8.二次函数图象如图12-4所示,则此函数的表达式为(　　)
A.y=x2+2x-3
B.y=x2-2x+3
C.y=x2-2x-3
D.y=x2+2x+3
C
图12-4
9.下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系,求该函数的表达式.
x … -1 0 1 3 …
y … 0 3 4 0 …
解:根据表中y与x的数据设该函数的表达式为y=ax2+bx+c.
将(1,4),(-1,0),(0,3)代入,得解得∴y=-x2+2x+3.
当x=3时,y=-x2+2x+3=-9+6+3=0,
∴点(3,0)也在该函数图象上,∴y=-x2+2x+3.
考
点
二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程的关系:
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标,即为方程ax2+bx+c=0的根.
2.二次函数与一元二次不等式的关系:
(1)图象法:①画出二次函数的图象;②根据不等式的方向(大于或小于0),确定图象在x轴上方或下方的部分;③找出满足不等式的x的取值范围.
(2)代数法:①求一元二次方程ax2+bx+c=0的根;②根据不等式的方向和二次函数图象的开口方向(由系数a决定),在数轴上标出临界点,并判断不等式的解.
四
基础自测
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图12-5所示,对称轴为直线x=1,与y轴的交点为(0,3),与x轴的一个交点为(-1,0).
(1)关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解为　　　　　　　;
(2)关于x的方程ax2+bx+c=3(a≠0)的解为　　　　　　　;
(3)关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,
则k的取值范围为　　　　;
(4)关于x的不等式ax2+bx+c>3(a≠0)的解为　　　　.
图12-5
x1=-1,x2=3
x1=0,x2=2
k<4
0二次函数的图象与性质
考向一
已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的顶点坐标为(-2,-1),下列说法正确的是
(　　)
A.a=
B.当x=-2时,二次函数有最小值为3
C.当x>-2时,y随x的增大而减小
D.当-3例
1
D
[解析]∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的顶点坐标为(-2,-1),∴-=-2,4a-2b+3=-1,
解得a=1,b=4,故选项A错误,不符合题意;
∵a=1>0,∴当x=-2时,二次函数有最小值为-1,故选项B错误,不符合题意;
当x>-2时,y随x的增大而增大,故选项C错误,不符合题意;
在y=x2+4x+3中,
当y=0时,x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3,
∴当-3(2025临沂)已知二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b),其中a,b为两个不相等的实数.
(1)当a=0,b=3时,求此函数图象的对称轴.
(2)当b=2a时,若该函数在0≤x≤1时,y随x的增大而减小;在3≤x≤4时,y随x的增大而增大,求a的取值范围.
(3)若点A(a,y1),B(,y2),C(b,y3)均在该函数的图象上,是否存在常数m,使得y1+my2+y3=0 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
例
2
(1)当a=0,b=3时,求此函数图象的对称轴.
解:(1)当a=0,b=3时,二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)可化为y=x(x-0)+(x-0)(x-3)+x(x-3)=3x2-6x,
∴此函数图象的对称轴为直线x=-=1.
(2)当b=2a时,若该函数在0≤x≤1时,y随x的增大而减小;在3≤x≤4时,y随x的增大而增大,求a的取值范围.
(2)当b=2a时,二次函数y=x(x-a)+(x-a)(x-b)+x(x-b)可化为y=x(x-a)+(x-a)(x-2a)+
x(x-2a)=3x2-6ax+2a2,
∴此函数图象的对称轴为直线x=-=a.
∵3>0,∴函数图象开口向上.
∵当0≤x≤1时,y随x的增大而减小,∴a≥1.
∵当3≤x≤4时,y随x的增大而增大,
∴a≤3,∴1≤a≤3.
(3)若点A(a,y1),B(,y2),C(b,y3)均在该函数的图象上,是否存在常数m,使得y1+my2+y3=0 若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.
(3)存在.
∵点A(a,y1),B(,y2),C(b,y3)均在该函数的图象上,
∴y1=a(a-a)+(a-a)(a-b)+a(a-b)=a2-ab,
y2=-a)+(-a) (-b)+-b)=···=-,
y3=b(b-a)+(b-a)(b-b)+b(b-b)=b2-ab.
∵y1+my2+y3=0,
∴a2-ab+m[-]+b2-ab=0.
整理,得(a-b)2=0.
∵a,b为两个不相等的实数,∴a-b≠0,
∴1-m=0,解得m=4.
1.已知二次函数y=ax2-4ax+3的图象上有A(a,y1),B(4,y2)两点,则下列说法正确的是 (　　)
A.当0y2
B.当a>2时,y1C.当a<0时,y1D.当a>4时,y1考向精练
C
[解析]∵y=ax2-4ax+3,∴该二次函数图象的对称轴为直线x=-=2,
∴点B(4,y2)到对称轴的距离为2.
当0当a>2时,该二次函数图象开口向上,当24时,y1>y2,故B,D选项错误;
当a<0时,该二次函数图象开口向下,点A(a,y1)到对称轴的距离大于2,则y1故选C.
2.已知二次函数y=-x2+2ax-a+3(a是常数).
(1)若该函数图象的对称轴为直线x=1,求该函数的表达式;
(2)当x≥a+1时,该函数的最大值为4,求a的值;
(3)已知M(x1,y1)和N(3a,y2)是该函数图象上两点,当2≤x1≤3时,y1解:(1)∵该函数图象的对称轴为直线x=1,∴-=1,∴a=1,
∴该函数的表达式为y=-x2+2x+2.
(2)当x≥a+1时,该函数的最大值为4,求a的值;
(2)∵该函数图象开口向下,对称轴为直线x=-=a,
∴当x≥a时,y随x的增大而减小.
∵当x≥a+1时,函数有最大值4,
∴当x=a+1时,该函数取得最大值4,
即-(a+1)2+2a(a+1)-a+3=4,
解得a1=2,a2=-1,故a的值为2或-1.
(3)已知M(x1,y1)和N(3a,y2)是该函数图象上两点,当2≤x1≤3时,y1(3)由(2)得该函数图象开口向下,对称轴为直线x=a.
由题意,得点N(3a,y2)关于对称轴对称的点的坐标为(-a,y2).
①当a>0时,3a>0.
∵当2≤x1≤3时,y13a,∴2>3a,∴0②当a≤0时,3a∵当2≤x1≤3时,y1-2,∴-2综上所述,a的取值范围为-2二次函数的图象与系数的关系
考向二
(2025安徽)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图12-6所示,则(　　)
A.abc<0
B.2a+b<0
C.2b-c<0
D.a-b+c<0
例
3
C
图12-6
[解析]∵二次函数的图象开口向上,且与y轴交于负半轴,∴a>0,c<0.
∵二次函数图象与x轴的一个交点坐标为(2,0),另一个交点的横坐标在-1和0之间,
∴二次函数图象的对称轴在直线x=与直线x=1之间(不含直线x=和直线x=1 ),
即<-<1,∴-2a0,∴abc>0,故A,B选项错误;
∵a+b<0,∴4a+4b<0.①
把点(2,0)的坐标代入y=ax2+bx+c,得4a+2b+c=0,故4a=-2b-c.②
将②代入①,得-2b-c+4b<0.整理,得2b-c<0,故C选项正确;
观察图象知当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故D选项错误.故选C.
考向精练
3.(2025广安)如图12-7,二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的图象交x轴于A,B两点,点A的坐标是(-1,0),点B的坐标是(n,0).有下列结论:①abc<0;②4a+c
>2b;③关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=n;④-.
其中正确的有 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
图12-7
C
[解析]根据图象可得二次函数图象开口向下,交y轴于正半轴,∴a<0,c>0.
又∵二次函数图象的对称轴为直线x=->0,∴b>0,∴abc<0,故结论①正确;
由函数的图象可得当x=-2时,y<0,即4a-2b+c<0,∴4a+c<2b,故结论②错误;
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(-1,0),B(n,0)两点,
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=-1,x2=n,-,故结论③④正确.
综上,结论正确的有3个.
故选C.
抛物线的平移
考向三
若将抛物线y=2x2-4x+5向下平移m(m>0)个单位,向左平移n(n>0)个单位后得到的抛物线的表达式为y=2x2,则m+n=　　　　.
例
4
[解析]∵y=2x2-4x+5=2(x-1)2+3,
∴m=3,n=1,∴m+n=4.
4
如图12-8,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2-4x+5(a≠0)的图象的顶点为A,此图象与x轴交于点B和点C,与y轴交于点D.点A的横坐标是-2.
(1)求B,C两点的坐标;
(2)平移该二次函数的图象,使点A恰好落在点D的位
置上,求平移后图象对应的二次函数的表达式.
例
5
图12-8
解:(1)根据题意,得-=-2,解得a=-1,
∴二次函数的表达式为y=-x2-4x+5=-(x+5)(x-1).
∴B(-5,0),C(1,0).
(2)平移该二次函数的图象,使点A恰好落在点D的位置上,求平移后图象对应的二次函数的表达式.
图12-8
(2)在y=-x2-4x+5中,令x=0,得y=5,∴D(0,5).
由y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,得A(-2,9).
方法1 应用平移规律求解:∵A(-2,9),D(0,5),
∴平移方式为向右平移2个单位,再向下平移4个单位.
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为y=-x2+5.
方法2 转化为顶点的平移问题求解:∵平移不改变抛物线的形状和开口方向,∴平移y=-x2-4x+5的图象后所得抛物线的顶点为D(0,5),二次项系数为-1.
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为y=-x2+5.
4.小嘉说:将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法:
①向右平移2个单位;
②向右平移1个单位,再向下平移1个单位;
③向下平移4个单位;
④沿x轴翻折,再向上平移4个单位.
你认为小嘉说的方法中正确的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
考向精练
D
[解析]①向右平移2个单位,则平移后二次函数的表达式为y=(x-2)2.当x=2时,y=0,故①符合题意;
②向右平移1个单位,再向下平移1个单位,则平移后二次函数的表达式为y=
(x-1)2-1.当x=2时,y=0,故②符合题意;
③向下平移4个单位,则平移后二次函数的表达式为y=x2-4.当x=2时,y=0,故③符合题意;
④沿x轴翻折,再向上平移4个单位,则变换后二次函数的表达式为y=-x2+4.当x=2时,y=0,故④符合题意.
故选D.
二次函数与方程、不等式的关系
考向四
已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(-1,0)与(5,0)两点.若关于x的方程
-x2+bx+c+d=0有两个根,其中一个根是6,则该方程的另一个根是　　　　.
例
6
-2
5.若a,b(aA.mC.a考向精练
A
[解析] 方法1 ∵a,b(a∴a,b是函数y=(x-a)·(x-b)的图象与x轴的两交点的横坐标.
∵1-(x-a)(x-b)=0,∴(x-a)(x-b)=1.
∵m,n(m∴m,n是函数y=(x-a)(x-b)的图象与直线y=1的两交点的横坐标.
∵抛物线y=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab开口向上,如图①,
∴结合图象可知m方法2 令y=-(x-a)(x-b)+1,则其函数图象开口向下,可由y=-(x-a)(x-b)的图象向上平移1个单位得到.根据a,b(a6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图12-9所示,图象与y轴交于点(0,-1),顶点纵坐标为-3,关于x的方程ax2+b|x|+c=k有四个不相等的实数根,则实数k的取值范围为　　 　　.
图12-9
[解析]设y=ax2+b|x|+c,则函数y=ax2+b|x|+c的图象如图所示.∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0,-1),顶点纵坐标为-3,∴当ax2+b|x|+c=k有四个不相等的实数根时,k满足-3-3备考手册
第10课时　一次函数的实际应用
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
利用一次函数图象解决实际问题
利用一次函数的图象解决实际问题的一般步骤:
第一步:明确横轴、纵轴表示的量的实际意义;
第二步:观察图象,分析起点、终点、交点、转折点的实际意义,结合一次函数的图象和性质求解.
基础自测
1.(浙教版八上P166作业题T2改编)已知A,B两地相距80 km,甲、乙两人沿同一条公路从A地到B地,乙骑自行车,甲骑摩托车.图10-1中DE,OC分别表示甲、乙两人离开A地的路程s(km)与乙离开A地的时间t(h)的函数关系的图象.根据图象填空:
(1)乙出发　　　　h后,甲才出发;
(2)在乙出发后　　　　h两人相遇,这时他们
离A地　　　　km;
(3)甲到达B地时,乙离开A地　　　　km;
图10-1
1
1.5
20
40
(4)甲的速度是　　　　km/h,乙的速度是　　　　km/h;
(5)甲离开A地的路程s(km)与时间t(h)的函数表达式为　　　　　　,自变量t的取值范围为　　　　.
图10-1
40
　
s=40t-40
1≤t≤3
考
点
二
建立一次函数模型解决实际问题
建立函数模型解决实际问题的一般步骤:
①审题,明确变量x,y;
②根据两变量间的等量关系,求解函数表达式;
③确定自变量x的取值范围,利用函数性质解决问题;
④回归实际问题.
温馨提示:
注意根据实际情况确定自变量的取值范围.
基础自测
2.(2024温州龙湾区二模)实践活动:最多可以将几个杯子放进橱柜
周末,小洲同学在家整理杯子时,想把一些规格相同的杯子(如图10-2①)尽可能多地叠放在一起(如图②),放入高为40 cm的橱柜,于是他开始了以下探究:
【测量数据】
小洲同学经过探究测量后,将按图②所示方式叠放杯子的
总高度H(cm)与杯子的个数n的数据情况记录如下表:
杯子的个数n 1 2 3 4 5
杯子的总高度H(cm) 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8
图10-2
【建立模型】
根据表中所记录的数据,在图③的平面直角坐标系中描出对应点,依据你所学的知识选择合适的函数模型,求出H关于n的函数表达式.
【应用模型】
请根据你所探究出的规律,帮助小洲算算看,他最多可以将多少个杯子叠放在一起放入橱柜.
杯子的个数n 1 2 3 4 5
杯子的总高度H(cm) 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8
解:【建立模型】描点、连线,如图:
由函数图象可知,H与n满足一次函数关系.
设H关于n的函数表达式为H=kn+b.
把(1,6.8),(2,8.3)代入,得解得
∴H关于n的函数表达式为H=1.5n+5.3.
【应用模型】
请根据你所探究出的规律,帮助小洲算算看,他最多可以将多少个杯子叠放在一起放入橱柜.
【应用模型】
若这摞杯子可以放入橱柜,则1.5n+5.3≤40,
解得n≤23.
又∵n是正整数,∴n的最大值为23.
答:他最多可以将23个杯子叠放在一起放入橱柜.
利用一次函数解决行程问题
考向一
(2025杭州西湖区二模)小敏和小慧去西湖风景区游玩,约好在少年宫广场见面.如图10-3①,A地、B地、少年宫广场在一条直线上.小敏从A地出发,先匀速步行至车站,再乘坐公交车前往少年宫广场.同时,小慧从B地出发,骑车去少年宫广场,平均速度为200米/分.两人距离A地的路程s(米)和所经过的时间t(分)之间的函数关系如图②所示.(公交车的停车时间忽略不计)
(1)求公交车的平均速度;
(2)求同时出发后,经过多少时间小敏
追上小慧;
(3)在小敏坐公交车的过程中,当她与
小慧相距400米时,求t的值.
例
1
图10-3
(1)求公交车的平均速度;
解:(1)(8800-800)÷(30-10)=400(米/分).
答:公交车的平均速度是400米/分.
图10-3
(2)求同时出发后,经过多少时间小敏追上小慧;
图10-3
(2)当10≤t≤30时,小敏距离A地的路程s和
所经过的时间t之间的函数关系式为
s=800+400(t-10)=400t-3200;
小慧距离A地的路程s和所经过的时间t
之间的函数关系式为s=200t+1800.
由题意,得400t-3200=200t+1800,解得t=25.
答:同时出发后,经过25分钟小敏追上小慧.
(3)在小敏坐公交车的过程中,当她与小慧相距400米时,求t的值.
图10-3
(3)当10≤t≤30时,得|400t-3200-(200t+1800)|=400,解得t1=23,t2=27.
答:小敏坐公交车的过程中,当她与小慧相距400米时,t的值为23或27.
解分段函数的图象问题,读懂每段图象的意义,从图象中获取信息,特别是对图象中一些拐点的实际意义的正确理解对解题起着重要作用.
通性通法
1.(2025宁波一模)在一次无人机表演活动中,甲、乙两架无人机在同一平台竖直向上起飞,飞行的路径互相平行,当甲、乙均从平台起飞后,开始联合表演,当飞行高度达到300米时,无人机不再上升,直到两架无人机的飞行高度都达到300米时,联合表演结束.甲从起点出发,先以4米/秒的速度匀速飞行了30秒,然后以a米/秒的速度继续匀速飞行.乙在甲出发20秒后起飞,以b米/秒的速度匀速飞行,乙出发10秒后,与甲飞行的高度相差40米.如图10-4,折线OAB,
线段CD分别表示甲、乙的飞行高度s(米)与甲飞行
时间t(秒)之间的函数图象.请结合图象解答下列问题.
考向精练
图10-4
(1)a=　　　　,b=　　　　;
(2)分别求出线段AB,CD对应的函数表达式;
(3)当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时,能形成特定的联合表演效果.求在整个飞行过程中,能形成这种特定的联合表演效果时t的取值范围.
图10-4
[解析]120+(60-30)a=300,解得a=6.
120-(30-20)b=40,解得b=8.故答案为6,8.
6
8
(2)分别求出线段AB,CD对应的函数表达式;
图10-4
(2)s=120+6(t-30)=6t-60,
∴线段AB对应的函数表达式为s=6t-60(30≤t≤60),s=8(t-20)=8t-160.
当8t-160=300时,解得t=57.5,
∴线段CD对应的函数表达式为s=8t-160(20≤t≤57.5).
(3)当两架无人机之间的飞行高度差不超过20米时,能形成特定的联合表演效果.求在整个飞行过程中,能形成这种特定的联合表演效果时t的取值范围.
图10-4
(3)当30≤t≤57.5时,
由题意,得|8t-160-(6t-60)|=20,
解得t1=40,t2=60(舍去).当t=57.5时,s=6t-60=285.300-285=15<20,
∴在整个飞行过程中,能形成这种特定的联合
表演效果时t的取值范围是40≤t≤60.
2.(2025嘉兴一模)小海和小桐相约去博物馆参观.小海从学校步行出发直接去博物馆.同时,小桐从家骑自行车出发,途中,他去超市购物后,按原来的速度继续去博物馆.小桐家、学校、超市和博物馆之间的路程如图10-5①所示,他们离小桐家的路程s(米)与所用时间t(分)之间的函数关系如图②所示.
(1)求小桐骑自行车的速度和小海步行的速度;
(2)求线段CD所在直线的函数表达式;
(3)小桐离开超市去博物馆的途
中与小海相遇,求相遇时他们距
离博物馆的路程.
图10-5
(1)求小桐骑自行车的速度和小海步行的速度;
(2)求线段CD所在直线的函数表达式;
图10-5
解:(1)小桐骑自行车的速度为2200÷11=200(米/分).
小海步行的速度为(3800-1000)÷35=80(米/分).
(2)s=2200+200(t-21)=200t-2000.
当s=3800时,得200t-2000=3800,解得t=29,
∴线段CD所在直线的函数表达式
为s=200t-2000(21≤t≤29).
(3)小桐离开超市去博物馆的途中与小海相遇,求相遇时他们距离博物馆的路程.
图10-5
(3)线段AE所在直线的函数表达式为s=80t+1000(0≤t≤35).
由题意,得
解得
3800-3000=800(米).
答:相遇时他们距离博物馆的路程为800米.
利用一次函数进行方案选择
考向二
(2021宁波)某通信公司就手机流量套餐推出三种方案,如下表:
例
2
A方案 B方案 C方案
每月基本费用(元) 20 56 266
每月免费使用流量(兆) 1024 m 无限
超出后每兆收费(元) n n
A,B,C三种方案每月所需的费用y(元)与每月使
用的流量x(兆)之间的函数关系如图10-6所示.
图10-6
(1)请直接写出m,n的值;
(2)在A方案中,当每月使用的流量不少于1024兆时,求每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系式;
(3)在这三种方案中,当每月使用的流量超过多少兆时,选择C方案最划算
图10-6
[解析]根据题意,得m=3072,n=(56-20)÷(1144-1024)=0.3.
解:(1)m=3072,n=0.3.
(2)在A方案中,当每月使用的流量不少于1024兆时,求每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系式;
图10-6
(2)设在A方案中,当每月使用的流量不少于1024兆时,每月所需的费用y(元)与每月使用的流量x(兆)之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
把(1024,20),(1144,56)代入,
得解得
∴y关于x的函数关系式为y=0.3x-287.2(x≥1024).
(3)在这三种方案中,当每月使用的流量超过多少兆时,选择C方案最划算
(3)3072+(266-56)÷0.3=3772(兆),
由图象得,当每月使用的流量超过3772兆时,选择C方案最划算.
图10-6
利用一次函数的性质进行方案设计与决策,一般先求出函数表达式,结合不等关系求出自变量的取值范围,然后利用函数的增减性或函数图象进行决策.
通性通法
利用一次函数解决购买销售问题
考向三
“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg,如果一次性购买2 kg以上的种子,超过2 kg的部分打8折.设“黄金1号”玉米种子的一次性购买量为x(单位:kg),相应的付款金额为y(单位:元).
(1)①完成下表:
例
3
10
购买量x/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
付款金额y/元 2.5 5 7.5 14 …
②求y关于x(x>2)的函数解析式.
12
②由题意,当x>2时,y=5×2+5×0.8(x-2)=4x+2.∴y=4x+2(x>2).
(2)“黄金2号”玉米种子的价格为a元/kg,且始终不打折.若两种玉米种子的一次性购买量相同,则“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”,请直接写出a的最大值.
购买量x/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 …
付款金额y/元 2.5 5 7.5 14 …
(2)根据题意,当一次性购买不超过2 kg的种子,要使“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”,只需0当一次性购买2 kg以上的种子,要使“黄金1号”玉米种子的付款金额始终要高于“黄金2号”,只需ax<4x+2恒成立,则a<4+.
∵x>2,∴a最大值为4.综上,满足题意的a的最大值为4.
利用一次函数解决其他问题
考向四
(2025杭州拱墅区一模)某社区推出智能可回收垃圾投放箱,居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品.为了鼓励居民积极投放,超过一定投放质量后,奖励积分升级.其中塑料与纸张的奖励积分y(分)与投放质量x(kg)的函数关系如图10-7所示.已知投放纸张超过10 kg后,奖励积分为25分/kg.
(1)求投放8 kg塑料的奖励积分;
(2)求a的值;
(3)若投放m kg的塑料的奖励积分是投放相同
质量纸张的奖励积分的倍,求m的值.
例
4
图10-7
(1)求投放8 kg塑料的奖励积分;
(2)求a的值;
图10-7
解:(1)当投放塑料超过5 kg时,奖励积分为(300-100)÷(10-5)=40(分/kg).
100+40×(8-5)=220(分).
答:投放8 kg塑料的奖励积分为220分.
(2)根据题意,得100+25(a-10)=300,解得a=18.
(3)若投放m kg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍,求m的值.
图10-7
(3)①当0≤x≤5时,y塑料=2y纸张,不符合题意;
②当5∴40x-100=×10x,解得x=,符合题意;
③当x>10时,y塑料=40x-100,y纸张=100+25(x-10)=25x-150,
∴40x-100=(25x-150).解得x=,符合题意.
综上,m的值为或.(共33张PPT)
备考手册
第11课时　反比例函数及其应用
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
反比例函数的概念、图象和性质
概念 函数y=(k为常数,k≠①　　　)叫做反比例函数.y=(k≠0)的其他形式:xy=k,y=kx-1 图象 k>0 k<0
在一、三象限(x,y同号) 在②　 　　象限(x,y异号)
0
二、四
(续表)
性 质 增 减 性 在图象所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而③　　 在图象所在的每一象限内,函数值y随自变量x的增大而④ 　　
对 称 性 中心对称性:图象关于⑤　　　成中心对称; 轴对称性:图象关于直线⑥　 　　成轴对称 减小
增大
原点
y=x(或y=-x)
基础自测
1.(2025浙江5题)已知反比例函数y=,下列选项正确的是 (　　)
A.函数图象位于第一、三象限
B.y随x的增大而减小
C.函数图象位于第二、四象限
D.y随x的增大而增大
C
2.已知反比例函数y=(k≠0)的图象经过点P(1,3).
(1)反比例函数的表达式为　　　　.
(2)当x=1时,y=　 　;当y=3时,x=　　 .
(3)若点A(2,a),B(3,b)都在反比例函数的图象上,则a,b的大小关系为　　　　.
(4)当x>3时,y的取值范围为　　 　　;当x<3且x≠0时,y的取值范围为
　　 　.
y=　
3
1
a>b
0y<0或y>1
考
点
二
反比例函数的表达式及k的几何意义
1.反比例函数表达式的确定
一般方法 基本思路
待定系数法 设出反比例函数的表达式,找出图象上一点的坐标,代入求解
几何法 题中涉及面积时,考虑应用k的几何意义求解
2.k的几何意义
如图11-1,S矩形PMON=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|;
S△OQK=|x|·|y|=|k|.
图11-1
基础自测
3.(2025福建)若反比例函数y=的图象过点(-2,1),则常数k=　　　　.
4.已知点A(2,m),B(m-1,1)均在某一反比例函数的图象上,则这个反比例函数的表达式为　　　　.
-2
[解析]设这个反比例函数的表达式为y=.
∵点A(2,m),B(m-1,1)均在这个反比例函数的图象上,∴k=2m=m-1,解得m=-1,
k=-2,∴这个反比例函数的表达式为y=-.
y=-
5.如图11-2,点A在反比例函数y=(x<0)的图象上,点B在反比例函数y=-(x>0)的图象上,点C,D在x轴上.若四边形ABCD是面积为9的正方形,则实数k的值为　　　　.
图11-2
-3
6.如图11-3,过反比例函数y=(x<0)的图象上一点A作AB⊥y轴于点B,点C,D在x轴上,且四边形ABCD是平行四边形.若 ABCD的面积为4,则k的值是 　.
图11-3
[解析]如图,过点A作AE⊥x轴,垂足为E,则四边形ABOE是矩形.
由条件可知S矩形ABOE=S ABCD=4,即|k|=4.
又∵反比例函数y=(x<0)的图象位于第二象限,∴k=-4.
-4
考
点
三
反比例函数的简单实际应用
反比例函数的实际应用通常是根据变量之间的关系建立反比例函数模型,再根据反比例函数的图象和性质解决相关问题.
基础自测
7.(2025嘉兴一模)在一定条件下,某种乐器的弦振动的频率f(赫兹)与弦长l(米)成反比例关系,即f=(k为常数,k≠0).若该乐器的弦长l为0.80米,振动的频率f为220赫兹,则k的值为　　　　.
176
8.密闭容器内有一定质量的二氧化碳,当容器的体积V(单位:m3)变化时,气体的密度ρ(单位:kg/m3)随之变化.已知密度ρ与体积V是反比例函数关系,它的图象如图11-4所示,当V=5时,ρ=1.98.据图象可知,下列说法不正确的是(　　)
A.ρ与V的函数关系式是ρ=(V>0)
B.当ρ=9时,V=1.1
C.当V>5时,ρ>1.98
D.当3图11-4
C
[解析]设ρ=.
把(5,1.98)代入,得=1.98,∴k=9.9,∴ρ=(V>0),
故选项A正确,不符合题意;
当ρ=9时,V=1.1,故选项B正确,不符合题意;
由图象可得,当V>5时,0<ρ<1.98,故选项C不正确,符合题意;
当V=3时,ρ=3.3;当V=9时,ρ=1.1,
∴当3反比例函数的概念、图象与性质
考向一
(2025内蒙古)已知点A(m,y1),B(m+1,y2)都在反比例函数y=-的图象上,则下列结论一定正确的是 (　　)
A.y1>y2
B.y1C.当m<0时,y1D.当m<-1时,y1例
1
D
[解析]∵k=-3<0,∴反比例函数y=-的图象位于第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.
当点A,B在同一象限时,∵my2,故A,B选项错误;
当m<0时,点A(m,y1)在第二象限,无法确定点B(m+1,y2)所在的象限,∴无法确定y1,y2的大小关系,故C选项错误;
当m<-1时,点A,B都在第二象限,∵m变式1 (2025宁波一模)已知A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是反比例函数y=图象上的三个点.若x1A.y1[解析]∵在反比例函数y=中,k=-5<0,
∴该函数图象位于第二、四象限,且在每个象限内,y随x的增大而增大.
∵A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是反比例函数y=图象上的三个点,且x1∴点C(x3,y3)在第四象限,点A(x1,y1),B(x2,y2)在第二象限,
∴y2>y1>0,y3<0,∴y3D
变式2 (2025河北)在反比例函数y=中,若2A.C.2B
变式3 (2024浙江9题)在反比例函数y=的图象上有P(t,y1),Q(t+4,y2)两点,下列选项正确的是 (　　)
A.当t<-4时,y2C.当-40时,0[解析]∵在反比例函数y=中,k=4>0,∴此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限,在每一象限内,y随x的增大而减小.当t<-4时,t+4<0,∴t0,y2>0,∴y1<00时,t+4>0,∴点P(t,y1),Q(t+4,y2)均在第一象限.∵ty2>0,故D项错误,不符合题意.故选A.
A
已知函数y1=,y2=-(k>0).
(1)当2≤x≤3时,函数y1的最大值是a,函数y2的最小值是a-4,求a和k的值;
(2)设m≠0,且m≠-1,当x=m时,y1=p;当x=m+1时,y1=q.圆圆说:“p一定大于q.”你认为圆圆的说法正确吗 为什么
例
2
解:(1)∵k>0,∴在每个象限内,y1随x的增大而减小,y2随x的增大而增大.
∵2≤x≤3,∴当x=2时,y1取得最大值,为=a;当x=2时,y2取得最小值,为-=a-4.
∴2a=-2a+8,解得a=2.
∴k=2a=4.
(2)设m≠0,且m≠-1,当x=m时,y1=p;当x=m+1时,y1=q.圆圆说:“p一定大于q.”你认为圆圆的说法正确吗 为什么
(2)圆圆的说法不正确.
理由如下:方法1 设m=m0,且-10.
∴当x=m0时,y1=p=<0;当x=m0+1时,y1=q=>0.
∴p<0∴圆圆的说法不正确.
方法2 当x=m时,y1=p=;当x=m+1时,y1=q=,
∴p-q=.
∴当m<-1时,p-q=>0,即p>q;
当-1当m>0时,p-q=>0,即p>q.
∴圆圆的说法不正确.
反比例函数与一次函数
考向二
在平面直角坐标系中,函数y=k1x与函数y=(k1k2>0)的函数图象交于点A(-3,m),B(n,5)，则的值为　　　　.
.
例
3
15
变式 如图11 5,一次函数y1=x+b(b为常数)与反比例函数y2=(k≠0)的图象交于A,B两点,其中点A的坐标为(2,1),则当y1>y2时,自变量x的取值范围为　　　　.
-12
图11-5
(2023杭州)如图11-6,在直角坐标系中,已知k1k2≠0,设函数y1=与函数y2=k2(x-2)+5的图象交于点A和点B.已知点A的横坐标是2,点B的纵坐标是-4.
(1)求k1,k2的值;
(2)过点A作y轴的垂线,过点B作x轴的垂线,在第二象限
交于点C;过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线,在第
四象限交于点D.求证:直线CD经过原点.
例
4
图11-6
(1)求k1,k2的值;
解:(1)在y2=k2(x-2)+5中,令x=2,得y2=5,
∴点A的坐标为(2,5).∴k1=2×5=10.∴y1=.
设点B的坐标为(m,-4).
将B(m,-4)代入y1=,得-4=,解得m=-.
∴B(-,-4).
∴-4=(--2)k2+5,解得k2=2.
图11-6
(2)过点A作y轴的垂线,过点B作x轴的垂线,在第二象限交于点C;过点A作x轴的垂线,过点B作y轴的垂线,在第四象限交于点D.求证:直线CD经过原点.
(2)证明:如图所示.
由题意,得点C的坐标为(-,5),
点D的坐标为(2,-4).
设图象经过C,D两点的一次函数的表达式为y=kx+b,
则解得∴y=-2x.
∵当x=0时,y=0,∴点(0,0)在函数y=-2x的图象上,即直线CD经过原点.
图11-6
(2025杭州西湖区一模)在平面直角坐标系中,设函数y1=与函数y2=k2x+b(k1,k2,b是常数,k1k2≠0)的图象交于点A(1,4),B(-2,t).
(1)求函数y1,y2的表达式;
(2)当x>2时,比较y1与y2的大小;(直接写出结果)
(3)若点C在函数y2的图象上,将点C先向左平移1个单位,再向下平移6个单位得到点D,点D恰好在函数y1的图象上,求点C的坐标.
考向精练
(1)求函数y1,y2的表达式;
解:(1)∵点A(1,4),B(-2,t)在y1=的图象上,
∴k1=1×4=-2t,∴k1=4,t=-2,∴y1=,B(-2,-2).
∵点A(1,4),B(-2,-2)在y2=k2x+b的图象上,
∴解得∴y2=2x+2.
(2)当x>2时,比较y1与y2的大小;(直接写出结果)
y1[解析]两个函数图象如图所示.
由图象可知,当x>2时,y1(3)若点C在函数y2的图象上,将点C先向左平移1个单位,再向下平移6个单位得到点D,点D恰好在函数y1的图象上,求点C的坐标.
解:(1)设点C的坐标为(m,2m+2).
∵将点C先向左平移1个单位,再向下平移6个单位得到点D,∴D(m-1,2m-4).
∵点D恰好在函数y1的图象上,
∴(m-1)(2m-4)=4,
整理,得m(m-3)=0,
∴m1=3,m2=0,
∴C(3,8)或(0,2).
反比例函数的应用
考向三
(2025温州鹿城区二模)如图11-7,当阻力与阻力臂一定时,动力F(N)与动力臂L(cm)成反比例关系.动力F与动力臂L的部分数据如下表所示,则表中b的值为　　　　.
例
5
图11-7
F(N) … a 3a …
L(cm) … b b-5 …
[解析]∵当阻力与阻力臂一定时,动力F(N)与
动力臂L(cm)成反比例关系,∴设F=.
由表知当F=a时,L=b;当F=3a时,L=b-5,
∴k=ab=3a(b-5),解得b=.
(2025嵊州模拟)如图11-8,在平面直角坐标系中,四个点分别表示甲、乙、丙、丁四件商品的数量y与单价x的情况,且乙、丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上,则四件商品中,总价(总价=单价×数量)最高的是
(　　)
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
例
6
图11-8
C
[解析]如图,过表示甲商品的点作平行于x轴的直线,交反比例函数的图象于点A,过表示丙商品的点作平行于x轴的直线,交反比例函数图象于点B.
设A(a,b),B(c,d),甲(x甲,b),丙(x丙,d),反比例函数的关系式为y=,∴乙商品、丁商品的总价均为k.
∵ab=k,x甲∵cd=k,x丙>c,∴x丙d>cd=k,∴丙商品的总价大于k,
∴四件商品中,总价的大小关系为丙>乙=丁>甲,
∴四件商品中,总价最高的是丙.故选C.(共32张PPT)
第三单元　函数
大概念
统领下的科学备考方案
体会一次函数、二次函数、反比例函数的意义,会用待定系数法确定它们的表达式.
类比一次函数的研究方法,探究分析二次函数、反比例函数的图象与性质;体会类比和转化思想.
会用数形结合的方法研究函数的图象和性质,能用函数的观点认识方程、不等式.
能建立函数模型,并应用函数模型解决简单实际问题,提高综合运用函数知识解决实际问题的能力.
备考手册
第8课时　平面直角坐标系与函数
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
平面直角坐标系
-,+
坐标平面内的点与有序数对一一对应.
1.点的坐标特征
点的 坐标 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 在x 轴上 在y
轴上
P(x,y) (+,+) (① 　) (② 　) (③ 　) ④　 =0 ⑤ 　=0
-,-
+,-
y
x
2.点到坐标轴(或原点)的距离
点P(x,y)到x轴的距离是⑥　　　,到y轴的距离是⑦　　　,到原点的距离是⑧　 　.
3.两点间的距离
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),则
(1)当P1P2平行于x轴时,P1P2=⑨　　　　;
(2)当P1P2平行于y轴时,P1P2=⑩　 　　　.
|y|
|x|
|x1-x2|
|y1-y2|
基础自测
1.在平面直角坐标系中,对于点P(-3,2),下列说法错误的是 (　　)
A.点P的纵坐标是2
B.它与点(2,-3)表示同一个点
C.点P到y轴的距离是3
D.点P(-3,2)在第二象限
B
2.(1)点P(a2+1,-1)在第　　　　象限;
(2)若点P(3m+1,2-m)在x轴上,则m=　　　　.
[解析](1)∵a2+1≥1,-3<0,
∴点P(a2+1,-3)在第四象限.
(2)∵点P(3m+1,2-m)在x轴上,
∴2-m=0,解得m=2.
四
2
3.在平面直角坐标系中,已知点A(1,-2),B(1,2),C(-2,-2),则
(1)AB=　 　　,AC=　 　　,BC=　 　　;
(2)点B到直线x=3的距离为　　　　.
4
3
5
2
考
点
二
平面直角坐标系中点的平移和对称
1.点的对称变换
点的坐标 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称
P(a,b) ( 　　　) ( 　　　) ( 　　　)
a,-b
-a,b
-a,-b
2.点的平移变换(m>0)
(x-m,y)
(x+m,y)
(x,y+m)
(x,y-m)
左右平移 P(x,y) 　　 ;P(x,y) 　　　
上下平移 P(x,y) 　　　;P(x,y) 　　　


基础自测
4.剪纸是我国民间艺术之一,如图8-1放置的剪纸作品的对称轴与平面直角坐标系的坐标轴重合,则点B(-3,2)关于对称轴对称的点A的坐标是 (　　)
A.(-3,-2) B.(3,-2)
C.(3,2) D.(-2,-3)
C
图8-1
5.在直角坐标系中,点A(1,a)和点B(b,-5)关于原点成中心对称,则a-b的值为(　　)
A.-4 B.4
C.-6 D.6
D
6.如图8-2,已知A,B两点的坐标分别为A(-3,1),B(-1,3),将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点是C(1,2),则点B的对应点D的坐标是　　　　.
图8-2
[解析]∵点A(-3,1)的对应点是C(1,2),∴线段AB向右平移4个单位长度,向上平移1个单位长度得到线段CD,∴点B(-1,3)的对应点D的坐标为(3,4).
(3,4)
考
点
三
确定物体的位置
确定物体位置的方法
基础自测
7.热爱旅游的小柒同学想到“海天佛国”普陀山游玩,以下表示普陀山地理位置最合理的是(　　)
A.北纬29°58'3″,东经122°21'6″
B.距离杭州约242公里
C.舟山群岛东部海域
D.在浙江省
A
8.如图8-3,在一个平面区域内,一台雷达探测器测得在点A,B,C处有目标出现.按某种规则,点A,B的位置可以分别表示为(1,90°),(2,240°),则点C的位置可以表示为　　　　.
图8-3
(3,30°)
考
点
四
函数
唯一
1.函数的概念
一般地,在某个变化过程中,设有两个变量x,y,如果对于x的每一个确定的值,y都有 　　　　确定的值与之对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量.
2.函数的常用表示方法
(1)解析法:函数关系式主要反映两个变量之间的数量关系;
(2)列表法:表格具体地反映了函数与自变量的数值对应关系;
(3)图象法:图象主要反映事物变化规律和趋势.
3.函数的图象
(1)对于一个函数,如果把自变量与函数的每个对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.
(2)画函数图象的一般步骤:
　　　　; 　　　　; 　　　　.
列表
描点
连线
基础自测
9.函数y=中自变量x的取值范围是　　　　.
10. 激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M,t s后测距仪L收到目标M反射回的激光束,则L到M的距离d(km)与时间t(s)的关系式为 (　　)
A.d=t B.d=3×105t
C.d=2×3×105t D.d=3×106t
x≠5
A
11.(2025杭州钱塘区三模)已知A(-3,a),B(3,a),C(5,a+m)(m>0)三点在同一函数图象上,则该函数图象可能是 (　　)
图8-4
B
12.如图8-5为一蓄水池的示意图,若以固定的水流量往这个蓄水池注水,下列图象中能大致表示蓄水池中水的深度h和时间t之间关系的是 (　　)
图8-5
图8-6
D
分别往如图8-7所示的容器中匀速注水,你能在如图9-8所示的平面直角坐标系中画出水深y与注水时间x的函数关系图象吗
思考
图8-7
图8-8
坐标平面内点的坐标变换
考向一
若点A(-2,m)向上平移2个单位长度后与点B(n,-1)关于y轴对称,则mn=
(　　)
A.1 B. C. D.9
例
1
D
[解析]点A(-2,m)向上平移2个单位长度后得到的点的坐标为(-2,m+2).
由题意,得n=2,m+2=-1,解得m=-3,
∴mn=(-3)2=9.
(2025山西)如图8-9,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(6,0),将线段OA绕点O逆时针旋转45°,则点A对应点的坐标为　　　　　　.
例
2
图8-9
[解析]如图,将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到OA1,
过点A1作A1B⊥x轴于点B,则∠A1BO=90°.
∵点A的坐标为(6,0),∴OA=6.
由题意,得OA1=OA=6,∠AOA1=45°,
∴OB=OA1·cos 45°=3,
A1B=OA1·sin 45°=3,
∴点A对应点的坐标为(3,3).
(3,3)
1.(2025湖南)在平面直角坐标系中,将点P(-3,2)向右平移3个单位长度到P1处,则点P1的坐标为 (　　)
A.(-6,2) B.(0,2)
C.(-3,5) D.(-3,-1)
考向精练
B
2.(2025衢州一模)在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(3,),将线段OA绕点O逆时针旋转60°,则点A的对应点A'的坐标为(　　)
A.(-1,2) B.(0,2) C.(-1,3) D.(0,3)
[解析]如图,过点A作AB⊥x轴于点B.
∵点A的坐标为(3,),∴OB=3,AB=,
∴OA==2,tan∠AOB=,∴∠AOB=30°.
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°,∴OA'=OA=2,∠AOA'=60°,
∴∠BOA'=∠AOB+∠AOA'=90°,∴点A'在y轴正半轴上,
∴点A的对应点A'的坐标为(0,2).
B
图形与坐标
考向二
如图8-10,在直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A,B,C在坐标轴上.若点B的坐标为(-1,0),∠BCD=120°,则点D的坐标为
(　　)
A.(2,2) B.(,2)
C.(3,) D.(2,)
例
3
D
图8-10
变式1 如图8-11,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,点A的坐标为(1,),则点C的坐标为　　　　.
图8-11
[解析] 如图,过点A作AD⊥x轴于点D,过点C作CE⊥x轴于点E.
∵四边形OABC是正方形,
∴OA=OC,∠AOC=90°.∴∠COE+∠AOD=90°.
又∵∠OAD+∠AOD=90°,∴∠OAD=∠COE.
在△AOD和△OCE中,∵
∴△AOD≌△OCE(AAS).∴OE=AD=,CE=OD=1.
∵点C在第二象限,∴点C的坐标为(-,1).
(-,1)
变式2 如图8-12,在平面直角坐标系中,点C位于第一象限,点B位于第四象限,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴的夹角为15°,则点B的纵坐标为　　　　.
图8-12
[解析]如图,连结OB,作BD⊥x轴于点D,则∠ODB=90°.
∵四边形OABC是边长为1的正方形,∴OC=BC=1,∠C=90°.
∴OB=.
∵∠COB=∠CBO=45°,∠COD=15°,
∴∠DOB=∠COB-∠COD=45°-15°=30°.
∴BD=OB=.∴点B的纵坐标为-.
-
在平面直角坐标系中,求点的坐标的一般思路是什么 在平面直角坐标系中求解问题时,注意“斜化直”思想的运用.
思考
函数的图象
考向三
(2024江西)将常温中的温度计插入一杯60 ℃的热水(恒温)中,温度计的读数y(℃)与时间x(min)的关系用图象可近似表示为(　　)
例
4
C
图8-13
(2025河南)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素,在一定条件下,它会随车速的变化而变化.研究发现,某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图8-14所示.下列说法中错误的是 (　　)
A.汽车静止时,这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当0≤v≤60时,这款轮胎的摩擦系数随车速的增
大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速应不
低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h,则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
例
5
图8-14
C
[解析]由图象可得,汽车静止时,这款轮胎的摩擦系数为0.9,故选项A说法正确,不符合题意;
当0≤v≤60时,这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小,故选项B说法正确,不符合题意;
要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71,车速应不超过
60 km/h,故选项C说法错误,符合题意;
若车速从25 km/h增大到60 km/h,则这款轮胎的摩擦
系数减小0.04,故选项D说法正确,不符合题意.
图8-14(共30张PPT)
备考手册
第9课时　一次函数的图象与性质
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
一次函数的图象与性质
概念 一般地,函数y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)叫做一次函数. 当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k为常数,k≠0),叫做正比例函数 图象 k>0,b>0 k>0,b<0 k<0,b>0 k<0,b<0
经过第一、 二、三象限 经过第① 象限 经过第一、二、四象限 经过第②
象限
性质 当k>0时,y随x的增大而③　 　 当k<0时,y随x的增大而④　 　 一、
三、四
二、
三、四
增大
减小
(续表)
常用结论:
(1)一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,且经过点(0,⑤　　　),(⑥　　,0);
(2)直线y=kx+b可由直线y=kx平移得到;
(3)已知直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,
当k1=k2,b1≠b2时,l1∥l2,反之也成立
b
-
基础自测
1.(2025广西)已知一次函数y=-x+b的图象经过点P(4,3),则b= (　　)
A.3 B.4 C.6 D.7
2.若一个正比例函数的图象经过A(1,-2),B(m,4)两点,则m的值为 (　　)
A.2 B.-2 C.8 D.-8
D
B
3.(2025新疆生产建设兵团)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是
(　　)
图9-1
D
4.已知一次函数y=2x-4.
(1)当x=1时,y的值为　　　　,
当0≤x≤2时,y的取值范围是　 　　　,
当0≤y≤2时,x的取值范围是　　　　　　;
(2)当y=0时,x的值为　　　　;
(3)若点A(-3,y1),B(-1,y2)在该函数的图象上,则y1,y2的大小关系为
　　　　.
-2
-4≤y≤0
2≤x≤3
2
y1考
点
二
一次函数的表达式
解题 步骤 设出表达式y=kx+b(k≠0)→代入图象上两点的坐标→解方程(组),写出表达式(待定系数法) 常见 类型 两点型 已知图象上两点的坐标,利用待定系数法求解
平移型 由平移前后k值不变,得到k的值,再代入图象上一点的坐标求解
基础自测
5.一次函数的图象经过(-2,0)和(1,3)两点,则这个一次函数的表达式为　 .

y=x+2
6.根据下列条件,确定一次函数的表达式.
(1)图象平行于直线y=2x-1,且过点(1,3);
(2)图象与直线y=2x-1关于x轴对称;
(3)图象由直线y=2x-1先向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到;
(4)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.
解:(1)设函数表达式为y=kx+b.
∵图象平行于直线y=2x-1,∴k=2.
将(1,3)代入,得3=2×1+b,∴b=1.∴y=2x+1.
(2)直线y=2x-1与y轴的交点坐标为(0,-1),与x轴的交点坐标为(,0),
故对称后的直线过点(0,1),(,0),由待定系数法得函数的表达式为y=-2x+1.
(4)直线y=2x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是4.
(4)直线y=2x+b与x轴的交点坐标为,与y轴的交点坐标为(0,b).
由题意得·|b|·|-|=4,
∴=4.∴b2=16.
∴b=±4.∴y=2x+4或y=2x-4.
(3)图象由直线y=2x-1先向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到;
(3)y=2x+4.
考
点
三
一次函数与方程、不等式的关系
函数
方程 kx+b=0的解: x=x0 的解:
不等式 kx+b>0(或kx+b<0)的解: x>x0(或xk1x+b1(或kx+bx>m(或x基础自测
7.一次函数y=kx-b(k≠0)的图象如图9-2所示.
(1)kx-b=0的解是　　　　;
(2)kx-b>0的解是　　　　,kx-b>-1的解是　　　　.
x=1
图9-2
x>1
x>0
8.已知一次函数y=2x-3与y=kx(k是常数,k≠0)的图象的交点坐标是(2,1),则关于x,y的方程组的解是　 　　　.
一次函数的图象与性质
考向一
对于一次函数y=-3x+2,下列说法错误的是(　　)
A.图象经过点(1,-1)
B.图象不经过第三象限
C.y随x的增大而增大
D.图象可由直线y=-3x向上平移2个单位长度得到
例
1
C
变式1 (2025湖北)已知一次函数y=kx+b,y随x的增大而增大.写出一个符合条件的k的值是　　 　　.
1(答案不唯一)
变式2 在同一平面直角坐标系中,函数y1=mx+n和y2=nx+m(mn<0)的图象可能是(　　)
图9-3
[解析]当m>0,n<0时,函数y1的图象经过第一、三、四象限,函数y2的图象经过第一、二、四象限,故选项A符合题意;当m<0,n>0时,函数y1的图象经过第一、二、四象限,函数y2的图象经过第一、三、四象限,没有选项符合题意.故选A.
A
变式3 已知A(x1,y1),B(x2,y2)是一次函数y=2x-m图象上的两个点,请用“>”或“=”或“<”填空.
(1)若x1>x2,则y1　　　　y2;
(2)记W=,则W　　　　0.
>
>
在一次函数y=kx+b中,k的大小与直线y=kx+b的倾斜程度有什么关系 b的值对函数的图象有什么影响 直线y=kx+b与x轴所夹锐角的大小与k的值有什么关系
思考
一次函数的表达式
考向二
已知一次函数y=(m-1)x-2m+1,其中m≠1.
(1)无论m取何值,判断点A(2,-1)是否一定在该一次函数的图象上,并说明理由;
(2)当-2≤x≤3时,函数有最大值为2,求该一次函数的表达式.
例
2
解:(1)点A(2,-1)一定在该一次函数的图象上.理由如下:
把x=2代入y=(m-1)x-2m+1,得y=2(m-1)-2m+1=-1,
∴点A(2,-1)在该一次函数的图象上.
(2)当-2≤x≤3时,函数有最大值为2,求该一次函数的表达式.
(2)当m-1>0,即m>1时,y随x的增大而增大.∵-2≤x≤3,∴当x=3时,y有最大值2.
把(3,2)代入y=(m-1)x-2m+1,得3(m-1)-2m+1=2,解得m=4,
∴此时该一次函数的表达式为y=3x-7.
当m-1<0,即m<1时,y随x的增大而减小.
∵-2≤x≤3,∴当x=-2时,y有最大值2.
把(-2,2)代入y=(m-1)x-2m+1,得-2(m-1)-2m+1=2,解得m=,
∴此时该一次函数的表达式为y=-x+.
综上所述,该一次函数的表达式为y=3x-7或y=-x+.
直线l1:y=x-2与x轴交于点A,将直线l1绕点A顺时针旋转15°,得到直线l2,则直线l2对应的函数表达式是 (　　)
A.y=x- B.y=x+
C.y=x- D.y=x+
例
3
C
[解析]如图所示,设直线l1与y轴交于点B,直线l2与y轴交于点C.
将x=0代入y=x-2,得y=-2,∴点B的坐标为(0,-2).
将y=0代入y=x-2,得x=2,∴点A的坐标为(2,0),
∴OA=OB=2,∴∠OBA=∠OAB=45°.
由旋转可知,∠BAC=15°,∴∠OAC=45°-15°=30°.
在Rt△AOC中,tan∠OAC=,∴OC=,
则点C的坐标为(0,-).
设直线l2对应的函数表达式为y=kx+b,
则解得
∴直线l2对应的函数表达式为y=x-.
变式 如图9-4,直线l1过原点,直线l2的表达式为y
=-x+2,且直线l1和l2互相垂直,交点为P,那么直线l1的函数表达式为(　　)
A.y=x　
B.y=x　
C.y=x　
D.y=x
图9-4
D
[解析] 方法1 如图,易知A(0,2),B(2,0),∴tan∠ABO=.∴∠ABO=30°.
∵OP⊥AB,∴∠POB=60°,OP=.过点P作PH⊥x轴于点H,则PH=,OH=,
∴P(, ).设直线l1的函数表达式为y=kx.将点P的坐标代入,可得k=,故直线l1的函数表达式为y=x.
方法2 设直线l1的函数表达式为y=kx.同方法1得出
∠POB=60°,
∴k=tan 60°=,故直线l1的函数表达式为y=x.
求解此类问题的一般方法是待定系数法.另外,可根据一次函数y=kx+b的图象与x轴的夹角α与k的关系求解(k=tan α或k=-tan α).
通性通法
一次函数与方程、不等式的关系
考向三
在同一平面直角坐标系中,一次函数y1=ax+b与y2=mx+n的图象如图9-5所示.
(1)关于x,y的方程组的解为　　　 　;
(2)当　　　　时,y1>y2.
例
4
　
图9-5
x>2
变式1 如图9-6,直线y=kx+b与直线y=-3x相交于点A(m,6),则关于x的不等式kx+b>-3x的解是　　　　.
图9-6
[解析]将点A(m,6)代入y=-3x,得-3m=6,解得m=-2,
∴点A的坐标为(-2,6).
由函数图象可知,当x>-2时,直线y=kx+b在直线y=-3x的上方,即kx+b>-3x,
∴关于x的不等式kx+b>-3x的解是x>-2.
x>-2
变式2 如图9-7,一次函数y=kx-2k的图象经过点P(1,1),当0A.x<1 B.x>1
C.0图9-7
[解析]∵一次函数y=kx-2k的图象经过点P(1,1),
∴1=k-2k,解得k=-1,
∴一次函数的解析式为y=-x+2.
令y=0,则-x+2=0,解得x=2.
由图象可知,当0D
对于同一坐标系中的两函数图象,在上方的函数图象对应的y值较大.k1x+b1>
k2x+b2的解即直线y=k1x+b1在直线y=k2x+b2上方的部分对应的x的取值范围.
通性通法
一次函数综合问题
考向四
(2025杭州临平区二模)已知一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k>0)的图象经过点(-1,-2).
(1)若2k-b=3,求一次函数的表达式.
(2)若该一次函数的图象经过第四象限,且S=k-2b,求S的取值范围.
例
5
解:(1)将(-1,-2)代入y=kx+b,得-2=-k+b.
联立解得
∴一次函数的表达式为y=x-1.
(2)若该一次函数的图象经过第四象限,且S=k-2b,求S的取值范围.
(2)根据题意,得-2=-k+b,即k=b+2,
∴S=k-2b=b+2-2b=2-b,∴b=2-S.
∵k>0,∴b+2>0,即b>-2.
∵该一次函数y=kx+b的图象经过第四象限,且k>0,
∴b<0,∴-2

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