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(共33张PPT)
第五单元　四边形
大概念
统领下的科学备考方案
理解平行四边形的概念,会从边、角、对角线这三方面探究平行四边形的性质与判定.
类比平行四边形,探索矩形、菱形、正方形的性质与判定,并能应用其进行计算和证明.
理解各四边形之间的区别与联系,会应用其解决相关问题.
会将四边形中的问题转化到三角形中处理,提高转化能力及逻辑推理能力.
备考手册
第21课时　多边形与平行四边形
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
多边形
多 边 形 性质 由n(n为正整数,且n≥3)边形的任一顶点引出的对角线有①　　条,可分割成②　　　　个三角形,故n边形的内角和为③　 　 　
n边形共有n个内角,④ 　个外角,共组成⑤　　　组平角,故n边形外角和为⑥　　　　
正多 边形 定义 各边相等、各内角也相等的多边形叫做正多边形
性质 正多边形都是⑦　　　　对称图形,边数为偶数的正多边形还是⑧　　　　对称图形;
正n边形绕对称中心旋转⑨　　　　度可以和原图形重合
(n-3)
(n-2)
(n-2)·180°
n
n
360°
轴
中心
基础自测
1.一个七边形的内角和等于 (　　)
A.540° B.900° C.980° D.1080°
2.若正多边形的一个外角是60°,则这个正多边形的边数是 (　　)
A.4 B.5
C.6 D.7
B
C
3.如图21-1,在边长为2的正六边形ABCDEF中,O为其中心,OG⊥BC于点G.
(1)∠FAB=　　　　;
(2)∠BOC=　　　　;
(3)线段BO的长为　　　　;
(4)线段OG的长为　　　　.
图21-1
120°
60°
2
4.(2025吉林)如图21-2,正五边形ABCDE的边AB,DC的延长线交于点F,则∠F的大小为　　　　度.
图21-2
[解析]∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠ABC=∠BCD==108°.
∵∠ABC+∠FBC=180°,∠BCD+∠BCF=180°,
∴∠FBC=180°-∠ABC=180°-108°=72°,
∠BCF=180°-∠BCD=180°-108°=72°.
∵在△BCF中,∠F+∠FBC+∠BCF=180°,
∴∠F=180°-∠FBC-∠BCF=180°-72°-72°=36°.
36
考
点
二
平行四边形的定义与性质
平行且相等
定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质 (1)边:对边⑩ 　　　　　　　;
(2)角:对角 　　　　,邻角 　　　　;
(3)对角线:对角线 　　　 　;
(4)对称性:平行四边形是中心对称图形,对称中心是 　　　　;
(5)四边形具有不稳定性
相等
互补
互相平分
对角线的交点
基础自测
5.如图21-3, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列说法中正确的是
　 　　　.(填序号)
①∠BAD+∠ABC=180°;②AB=CD;
③AC⊥BD;④OB=OD;⑤△ABO≌△CDO.
①②④⑤
图21-3
6.如图21-4, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=90°,OA=6,OB=3.
(1)AC=　　　　,AD=　　　　;
(2) ABCD的面积为　　　　.
图21-4
12
3
18
7.(2024宁波镇海区一模)如图21-5,在 ABCD中,AB=5,BC=8,∠ABC的平分线BE交边AD于点E,则DE的长为　　　　.
图21-5
3
考
点
三
平行四边形的判定
分别平行
判 定 两组 对边 两组对边 　 　　　的四边形是平行四边形
两组对边 　 　　　的四边形是平行四边形
一组 对边 一组对边 　　　　的四边形是平行四边形
两条 对角线 对角线 　　　　的四边形是平行四边形
分别相等
平行且相等
互相平分
基础自测
8.如图21-6,在四边形ABCD中,AB∥CD,若添加一个条件,使得四边形ABCD为平行四边形,则下列添加的条件中不正确的是(　　)
A.AD∥BC B.AD=BC
C.AB=CD D.∠A=∠C
图21-6
B
9.如图21-7所示,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OA=OC,请补充一个条件　 　　　,使四边形ABCD是平行四边形.
图21-7
答案不唯一,如OB=OD
平行四边形的性质
考向一
在 ABCD中,AD=8,AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,且EF=2,求AB的长.
例
1
解:在 ABCD中,BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC.
∵AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,
∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,
∴∠BAE=∠AEB,∠DFC=∠CDF,
∴AB=BE,CF=CD.
当点F落在线段BE上时,如图①.
∵EF=2,
∴BC=BE+CF-EF=2AB-2=8,
∴AB=5;
当点F未落在线段BE上时,如图②.
∵EF=2,
∴BC=BE+CF+EF=2AB+2=8,∴AB=3.
综上所述,AB的长为3或5.
变式 如图21-8,在 ABCD中,AB=2,∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E.若点E恰好在边AD上,则BE2+CE2的值为　　　　.
图21-8
[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=2,AD=BC,AD∥BC,AB∥CD.
∴∠ABC+∠BCD=180°,∠AEB=∠EBC,∠DEC=∠ECB.
∵BE,CE分别是∠ABC与∠DCB的平分线,
∴∠ABE=∠EBC,∠DCE=∠ECB.
∴∠EBC+∠BCE=90°,∠ABE=∠AEB,∠DCE=∠DEC.
∴∠BEC=90°,AB=AE=DC=DE=2.
∴BC=AD=AE+DE=4.∴BE2+CE2=BC2=42=16.
16
平行四边形两邻角的平分线:
条件:四边形ABCD是平行四边形,AB=a,AD=b,∠1=∠2,∠3=∠4.
通性通法
图21-9
如图21-10,在 ABCD中,AE=AD,连结BE,交AC于点F,AC=5,则CF的长为　　　　.
例
2
图21-10
[解析]方法1 在 ABCD中,AD∥BC,AD=CB,∴△AEF∽△CBF,∴.
∵AE=AD=CB,∴.∵AC=5,∴CF=AC=×5=3.
3
方法2 如图,延长CD,BE,交于点G.
在 ABCD中,CD∥AB,AB=CD,∴△DGE∽△ABE,
∴.
∵AE=AD,∴,∴.
∵CD∥AB,∴△CGF∽△ABF,∴,
∴CF=AC=×5=3.
变式 1 如图21-11,在 ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE
=DC.若△DEF的面积为3,则△ABF的面积为　　　　.
图21-11
[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=DC.
∵DE=DC,∴,∴.
∵AB∥CD,∴△DEF∽△ABF,∴=()2=()2=.
∵△DEF的面积为3,∴△ABF的面积为3×4=12.
12
变式 2 (2025绍兴一模)如图21-12,四边形ABCD是平行四边形,点E在BC的延长线上,连结AE交BD于点F,交CD于点G.若BF=2DF,则的值是　　　　.
图21-12
　
[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BE,∴△ADF∽△EBF,∴,∴,∴BC=CE.
如图所示,过点F作FH∥BC交CD于点H,
则△DFH∽△DBC,∴,∴.
∵FH∥BC,∴△FHG∽△ECG,∴.
平行四边形中常见辅助线作法:
(1)如图21-13,过对角线交点作一边的平行线,构造中位线;
(2)如图21-14①②③,连结、延长或作平行线构造相似三角形;
(3)如图21-14④,过顶点作对角线的垂线,构造平行或全等三角形.
通性通法
图21-13
图21-14
1.如图21-15,在 ABCD中,E为BC上一点,F为AE的中点,连结DF并延长,交CB的延长线于点G.
求证:(1)△ADF≌△EGF;
(2)BG=CE.
考向精练
图21-15
证明:(1)∵在 ABCD中,AD∥BC,F为AE的中点,
∴∠DAF=∠GEF,AF=EF.
在△ADF和△EGF中,∵
∴△ADF≌△EGF(ASA).
(2)BG=CE.
图21-15
(2)由(1)知△ADF≌△EGF,∴EG=AD.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=CB,∴EG=CB.
∵EG=BG+BE,CB=BE+CE,∴BG=CE.
平行四边形的判定
考向二
如图21-16, ABCD的对角线AC,BD交于点O,M,N,P,Q分别是 ABCD四条边上不重合的点.下列条件不能判定四边形MNPQ是平行四边形的是
(　　)
A.AQ=CN,AM=CP
B.MP,NQ均经过点O
C.NQ经过点O,AQ=CN
D.M,N,P,Q分别为各自所在边的中点
例
3
C
图21-16
[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC,OB=OD,OA=OC,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
A项,∵AQ=CN,AM=CP,∴DQ=BN,BM=DP,
∴△AMQ≌△CPN(SAS),△BMN≌△DPQ(SAS),
∴MQ=PN,MN=PQ,则四边形MNPQ是平行四边形,
故本选项能判定四边形MNPQ是平行四边形,不符合题意;
B项,∵ ABCD的对角线交于点O,MP,NQ均经过点O,∴由平行四边形的对称性,得OQ=ON,OP=OM,∴四边形MNPQ是平行四边形,
故本选项能判定四边形MNPQ是平行四边形,不符合题意;
图21-16
C项,当NQ经过点O,AQ=CN,点M,P的位置未知,故本选项不能判定四边形MNPQ是平行四边形,符合题意;
D项,当M,N,P,Q分别为各自所在边的中点时,MN∥AC∥PQ,且MN=AC=PQ,∴四边形MNPQ是平行四边形,故本选项能判定四边形MNPQ是平行四边形,不符合题意.故选C.
图21-16
如图21-17,在四边形ABCD中,E是AD的中点,CE,BD交于点F,DF=FB,连结AF,若　　　　,则四边形AFCB是平行四边形.
请从(1)AF∥CB;(2)CF=2EF;(3)AF=BC这三个选项中选择一个作为条件,使结论成立.将选择的序号先填写在横线上,再说明理由.
例
4
图21-17
解:答案不唯一,选择(1)或(2).
选择(1).理由:∵E是AD的中点,DF=FB,
∴EF是△ABD的中位线,∴EF∥AB.
又∵AF∥CB,
∴四边形AFCB是平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
选择(2).理由:∵E是AD的中点,DF=FB,
∴EF是△ABD的中位线,
∴EF∥AB,EF=AB.
∵CF=2EF,∴AB=CF,
∴四边形AFCB是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
图21-17
平行四边形综合问题
考向三
(2024浙江10题)如图21-18,在 ABCD中,AC,BD相交于点O,AC=2,BD=2.过点A作AE⊥BC于点E,记BE的长为x,BC的长为y.当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是(　　)
A.x+y B.x-y
C.xy D.x2+y2
例
5
C
图21-18
[解析]如图,过点D作DH⊥BC,交BC的延长线于点H.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AD∥BC.
∵AE⊥BC,DH⊥BC,∴∠AEB=∠DHC=90°,AE=DH,
∴Rt△ABE≌Rt△DCH(HL),∴CH=BE=x.
∵BC=y,∴EC=BC-BE=y-x,BH=BC+CH=y+x.
∵AE2=AC2-EC2,DH2=BD2-BH2,∴AC2-EC2=BD2-BH2,即22-(y-x)2=(2)2-(y+x)2,
∴xy=2.
故选C.(共37张PPT)
备考手册
第22课时　特殊平行四边形(一)
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
矩形
定义 有一个角是①　　　　的平行四边形叫做矩形
性质 矩形的四个角都是②　　　
矩形的对角线互相平分并且③　　　
矩形是轴对称图形,它(非正方形)有④　　　　条对称轴
矩形是中心对称图形,它的对称中心是⑤　　　
判定 定义法
有⑥　　　　个角是直角的四边形是矩形
对角线⑦　　　　的平行四边形是矩形
直角
直角
相等
2
对角线的交点
三　
相等
(续表)
结论 矩形的面积等于两邻边的积
矩形的两条对角线把矩形分成四个⑧　　　三角形,且四个三角形的面积相等
等腰
基础自测
1.(2024泸州)已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定 ABCD为矩形的是(　　)
A.∠A=90° B.∠B=∠C
C.AC=BD D.AC⊥BD
2.(2025绥化)一个矩形的一条对角线长为10,两条对角线的一个交角为60°,则这个矩形的面积是 (　　)
A.25 B.25
C.25 D.50
D
B
3.(2025宁波一模)如图22-1,AC,BD为矩形ABCD的对角线,DE⊥AC于点E,
∠BDE=20°,则∠ACB的度数为　　　　.
图22-1
[解析]如图,设AC与BD的交点为O.
∵DE⊥AC,∠BDE=20°,∴∠BOC=110°.
∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,
∴∠ACB=∠OBC=35°.
35°
考
点
二
菱形
定义 有一组⑨　　 　　的平行四边形叫做菱形
性质 菱形的四条边都⑩ 　　　
菱形的对角线互相 　　 　平分,并且每条对角线平分 　　 　
菱形是轴对称图形, 　 　　　所在的直线是它的对称轴
菱形是中心对称图形,它的对称中心是 　　 　
判定 定义法
四条边相等的四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
垂直
一组对角
两条对角线
对角线的交点
相等
邻边相等
(续表)
结论 菱形的面积=底×高
菱形的面积等于 　　　 　乘积的一半
菱形的两条对角线将其分成四个直角三角形,且四个直角三角形的面积相等
两条对角线
基础自测
4.(2025嘉兴一模)如图22-2,AC,BD是菱形ABCD的对角线,则下列结论错误的是 (　　)
A.AB=AD
B.AC⊥BD
C.AC=BD
D.∠BAC=∠DAC
C
图22-2
5.(2025台州一模)如图22-3,在 ABCD中,AC,BD为两条对角线.添加下列一个条件,仍不能判定 ABCD是菱形的是 (　　)
A.AC⊥BD
B.AB⊥BC
C.AB=BC
D.∠BAC=∠DAC
图22-3
B
6.如图22-4,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F.若AC=6,BD=8.
(1)菱形ABCD的面积为　　　　;
(2)AB=　　　　,AE=　　　　;
(3)BF=　　　　.
图22-4
24
5
4.8
1.75
考
点
三
正方形
直角
定义 有一组邻边相等,并且有一个角是 　　　的平行四边形叫做正方形
性质 正方形的四条边相等
正方形的四个角都是 　 　
正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角(即对角线与边的夹角等于45°).
正方形既是轴对称图形又是中心对称图形,对称轴有四条,对称中心是
　　 　
判定 有一个角是直角,且有一组邻边相等的平行四边形是正方形
有一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
直角
对角线的交点
基础自测
7.如图22-5,已知 ABCD的对角线AC,BD交于点O,添加下列条件后, ABCD不一定是正方形的是 (　　)
A.AB=AD,AC=BD
B.AB=BC,AC⊥BD
C.∠BAD=90°,AC⊥BD
D.∠AOD=90°,AO=DO
B
图22-5
8.(2025衢州一模)如图22-6,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的对角线交点为坐标原点O,点A,C在x轴上,点B,D在y轴上.若正方形的边长为2,则顶点A的坐标为　　　　.
图22-6
(-,0)
矩形的判定与性质应用
考向一
如图22-7,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是边AB上一点,且OE⊥AC.若∠AOD=70°,则∠AEO= (　　)
A.50° B.55°
C.65° D.70°
例
1
B
图22-7
(2025云南)如图22-8,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连结AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长.
例
2
图22-8
解:(1)证明:∵O是AC的中点,∴OA=OC.
又∵OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=90°,∴ ABCD是矩形.
(2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长.
图22-8
(2)∵AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3,
∴l2-l1=BC-AB=b-a=2,l3=2(AB+BC)=2(a+b)=28,
∴解得∴AB=6,BC=8,
∴AC==10.
1.如图22-9,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE.若∠ABD=60°,则∠E= (　　)
A.45° B.30°
C.20° D.15°
考向精练
图22-9
[解析]连结AC,与BD相交于点O,如图所示.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,AC=BD,OB=OC.
∵∠ABD=60°,∴∠OBC=30°,∴∠OCB=∠OBC=30°.
∵CE=BD,∴CE=AC,∴∠E=∠CAE.
又∵∠ACB=∠CAE+∠E,∴2∠E=30°,∴∠E=15°.
D
2.(2025山西)如图22-10,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=8,BC=4,点E在边AB上,AE=3,连结CE,且∠DCE=∠BCE.点F在BC的延长线上,连结DF.若DF=DC,则线段CF的长为　　　　.
图22-10
[解析]如图,延长CE交DA的延长线于点G,过点D作DH⊥BF于点H,则∠BHD=90°.
∵DF=DC,∴CH=FH=CF.
∵AD∥BC,∠B=90°,∴∠GAE=∠B=90°,∠B+∠BAD=180°,
∴∠B=∠BAD=∠BHD=90°,∴四边形ABHD是矩形,
∴DH=AB=8,AD=BH.
∵∠AEG=∠BEC,∠GAE=∠B,
∴△AEG∽△BEC,∴.
∵AB=8,AE=3,∴BE=5,∴,∴AG=.
∵AD∥BC,∴∠G=∠BCE.
又∵∠DCE=∠BCE,∴∠DCE=∠G,∴CD=GD.
设CH=FH=x,则AD=BH=4+x,
∴CD=GD=4+x+=x+.
在Rt△CDH中,由勾股定理,得CD2=CH2+DH2,
∴(x+ )2=x2+82,解得x=,即CH=,
∴CF=2CH=.
菱形的判定与性质应用
考向二
(2024杭州萧山区一模)如图22-11,在菱形ABCD中,F是CD上一动点,过点F作FG⊥AC交BC于点G,垂足为E,连结AF,AG.
(1)求证:AF=AG;
(2)当∠DAB=100°,AF=AD时,试求∠AFG的度数.
例
3
图22-11
解:(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴∠ACD=∠ACB.
∵FG⊥AC,∴∠CEF=∠CEG=90°,
∴∠CFE+∠ACD=90°,∠CGE+∠ACB=90°,
∴∠CFE=∠CGE,∴CF=CG.
在△ACF和△ACG中,∵
∴△ACF≌△ACG(SAS),
∴AF=AG.
图22-11
(2)当∠DAB=100°,AF=AD时,试求∠AFG的度数.
图22-11
(2)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB∥CD,∠DAC=∠BAC=∠DAB=×100°=50°,
∴∠D=180°-∠DAB=80°.
∵AD=AF,∴∠AFD=∠D=80°,
∴∠DAF=180°-∠D-∠AFD=20°,
∴∠FAC=∠DAC-∠DAF=50°-20°=30°.
又∵∠CEF=90°,
∴∠AFG=60°.
如图22-12,在△ABC中,AB=BC,过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,连结CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)连结AC,与BD交于点O,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连结EO.若EO=3,DE=6,求CE的长.
例
4
图22-12
解:(1)证明:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC.
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD.又∵AB=BC,∴AD=BC,且AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,∴ ABCD是菱形.
(2)连结AC,与BD交于点O,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连结EO.若EO=3,DE=6,求CE的长.
图22-12
(2)∵四边形ABCD是菱形,∴BO=DO,BC=CD.
又∵DE⊥BC,∴OE=BD=3,∴BD=6,
∴BE==12.
设CE=x,则BC=BE-CE=12-x,∴CD=BC=12-x.
在Rt△CDE中,CD2=CE2+DE2,即(12-x)2=x2+62,
解得x=4.5,∴CE的长为4.5.
3.如图22-13,已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点F,且BD平分∠ABC,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.
(1)判断四边形ABCD的形状,并说明理由;
(2)若CF=5,CD=13,求△BDE的面积及sin E的值.
考向精练
图22-13
解:(1)四边形ABCD是菱形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD.
又∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.
(2)若CF=5,CD=13,求△BDE的面积及sin E的值.
(2)∵四边形ABCD是菱形,CF=5,
∴DA∥CE,AC⊥BD,AF=CF=5,BF=DF,∴∠CFD=∠BFC=90°,AC=10,
∴BF=DF==12,∴BD=2DF=2×12=24.
∵DE∥AC,DA∥CE,
∴∠BDE=∠BFC=90°,四边形ACED是平行四边形,
∴DE=AC=10,
∴BE==26,S△BDE=BD·DE=×24×10=120,
∴sin E=.
正方形的判定与性质应用
考向三
如图22-14,已知正方形ABCD的边长为4,P是对角线BD上一点(点P不与点B,D重合),PE⊥BC于点E,PF⊥CD于点F,连结AP,EF.给出下列结论:
①PD=EC;②AP=EF;③AP⊥EF;④EF的最小值为2;⑤△APD一定是等腰三角形.其中正确的结论有 (　　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
例
5
C
图22-14
[解析]∵PE⊥BC,PF⊥CD,∴∠PEC=∠PFC=90°.
又∵∠C=90°,∴四边形PECF是矩形,∴EC=PF.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠PDF=45°,∴△PDF是等腰直角三角形,
∴PD=PF=EC,故①正确;
如图,延长FP交AB于点N,延长AP交EF于点M.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,∠ABP=∠CBD,AB∥CD.
∵PF⊥CD,∴NP⊥AB.
又∵PE⊥BC,∴四边形BNPE为矩形.
∵∠ABP=∠CBD,PN⊥AB,PE⊥BC,
∴PN=PE,
∴四边形BNPE是正方形,
∴∠ANP=∠EPF=90°,BN=BE,∴AN=EC=PF.
在△ANP与△FPE中,∵
∴△ANP≌△FPE(SAS),∴AP=EF,∠PFE=∠BAP,故②正确;
在△APN与△FPM中,∵∠APN=∠FPM,∠NAP=∠PFM,
∴∠PMF=∠ANP=90°,∴AP⊥EF,故③正确;
连结CP.∵在矩形PECF中,EF=CP,
∴当CP⊥BD时,CP最小,即EF最小,
此时△BPC是等腰直角三角形.
∵斜边BC=4,∴CP=BC=2,
∴EF的最小值为2,故④正确;
∵P是正方形ABCD的对角线BD上一点且不与点B,D重合,∠ADP=45°,
∴当∠PAD=67.5°或45°时,△APD才是等腰三角形,
除此之外,△APD不是等腰三角形,故⑤错误.
综上,正确的有①②③④,共4个.故选C.
如图22-15,在正方形ABCD中,AD=4,E是对角线AC上一点,连结DE,BE.
(1)求证:△CDE≌△CBE;
(2)过点E作EF⊥ED,交AB于点F.若F是AB的中点,求线段EF的长.
例
6
图22-15
解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴CD=CB,∠DCE=∠BCE.
又∵CE=CE,∴△CDE≌△CBE(SAS).
(2)过点E作EF⊥ED,交AB于点F.若F是AB的中点,求线段EF的长.
图22-15
(2)如图所示,连结DF,过点E作EM⊥AB于点M,EN⊥AD于点N,
则∠END=∠ENA=∠EMA=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=AB=4,∠BAD=90°,∠DAC=∠BAC,
∴EN=EM,
∴四边形AMEN是矩形,∴∠MEN=90°.
∵EF⊥ED,∴∠DEF=∠NEM=90°,
∴∠DEN=∠FEM=90°-∠NEF,
∴△DEN≌△FEM(ASA),
∴DE=EF,∴DF=EF.
∵F是AB的中点,
∴AF=AB=2,∴DF==2,
∴EF=DF=.
4.如图22-16,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,∠EAF=45°,连结EF.小明同学在进一步探究这个题目时,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABF',然后发现了一些结论.你认为他发现的以下四个结论中正确的是　　　　.
①EA平分∠BEF;②FA平分∠DFE;
③F'E=FE;④△EFC的周长=2AB.
考向精练
①②③④
图22-16
[解析]∵四边形ABCD是正方形,∴AD=AB,∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°.
∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABF',
∴AF=AF',∠DAF=∠BAF',DF=BF',∠ABF'=∠D=90°,∠F'=∠AFD.
∵∠ABE+∠ABF'=180°,∴点B,C,F'共线.
∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠BAF'+∠BAE=45°=∠EAF'=∠EAF.
在△AF'E和△AFE中,∵
∴△AF'E≌△AFE(SAS),
∴F'E=EF,∠AEF'=∠AEF,∠F'=∠AFE=∠AFD,故③正确,
图22-16
∴EA平分∠BEF,FA平分∠DFE,故①②正确.
∵△EFC的周长=EC+FC+EF=EC+FC+EF'=EC+FC+BE+DF=BC+CD=2AB,
故④正确.故选D.
图22-16(共25张PPT)
备考手册
第23课时　特殊平行四边形(二)　
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
图23-1
基础自测
1.已知四边形ABCD是平行四边形,有下列结论:
①当AB=BC时,它是菱形;
②当AC⊥BD 时,它是菱形;
③当∠ABC=90°时,它是矩形;
④当AC=BD时,它是正方形.
其中正确的是　　　　(填序号).
2.添加一个条件,使矩形ABCD成为正方形,这个条件可以是
　　 　　.
①②③
AB=BC(答案不唯一)
3.(2024宁波鄞州区一模)小明在学习“特殊平行四边形”一单元后,梳理了如图23-2所示的特殊平行四边形之间的关系.以下选项分别表示A,B,C,D处填写的内容,则对应位置填写错误的选项是 (　　)
A.对角线的夹角为60°
B.对角线互相垂直
C.对角线与一边的夹角为45°
D.对角线相等
图23-2
A
考
点
二
中点四边形
1.中点四边形:
顺次连结四边形各边中点所得的四边形.
2.四边形与其中点四边形的关系:
图形 四边形ABCD 四边形EFGH的形状
E,F,G,H分别是四边形ABCD各边的中点 任意四边形 ①　　 　
对角线相等:AC=BD ②　　　
对角线互相垂直:AC⊥BD ③　　　
对角线互相垂直且相等: AC=BD且AC⊥BD ④　　　
平行四边形
菱形
矩形
正方形
基础自测
4.顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是 (　　)
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.不能确定
C
5.如图23-3,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则下列说法中正确的个数是 (　　)
①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;
②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;
③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;
④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.
A.1 B.2
C.3 D.4
图23-3
A
特殊四边形间的关系
考向一
(浙教版八下P122探究活动)如图23-4,DF,EF是△ABC的两条中位线.我们探究的问题是:这两条中位线和三角形的两条边所围成的四边形的形状与原三角形的边或角有什么关系 建议按下列步骤探索:
(1)围成的四边形是否必定是平行四边形
(2)在什么条件下,围成的四边形是菱形
(3)在什么条件下,围成的四边形是矩形
(4)你还能发现其他什么结论吗
例
1
图23-4
(1)围成的四边形是否必定是平行四边形
图23-4
解:(1)围成的四边形一定是平行四边形.
∵DF,EF是△ABC的两条中位线,
∴DF∥BC,EF∥AB.
∴四边形DBEF是平行四边形.
(2)在什么条件下,围成的四边形是菱形
(3)在什么条件下,围成的四边形是矩形
(4)你还能发现其他什么结论吗
图23-4
(2)当AB=BC时,四边形DBEF是菱形.
(3)当∠B=90°时,四边形DBEF是矩形.
(4)当AB=BC,∠B=90°时,四边形DBEF是正方形;
S DBEF=S△ABC;S△ADF=S△FEC等.
1.如图23-5,O为矩形ABCD的对称中心,点E从点A出发沿AB向点B运动,移动到点B停止,延长EO交CD于点F,则四边形AECF形状的变化依次为 (　　)
A.矩形→菱形→平行四边形→矩形
B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
C.平行四边形→正方形→菱形→矩形
D.平行四边形→菱形→正方形→矩形
考向精练
B
图23-5
特殊四边形综合问题
考向二
(2025广东)如图23-6,在矩形ABCD中,E,F是BC边上的三等分点,连结DE,AF,相交于点G,连结CG.若AB=8,BC=12,则tan∠GCF的值是(　　)
A. B.
C. D.
例
2
图23-6
B
[解析]过点G作GM⊥BC于点M,如图所示.
在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,∠B=90°.
∵E,F是BC边上的三等分点,∴BE=EF=CF=BC=4,
∴BF=BE+EF=8,∴AB=BF=8,
∴△ABF是等腰直角三角形,∴∠BFA=45°.
同理△CDE是等腰直角三角形,∴∠CED=45°,∴∠BFA=∠CED=45°,
∴△GEF是等腰直角三角形.
∵GM⊥EF,∴GM=EM=FM=EF=2,∴CM=CF+FM=4+2=6.
在Rt△GMC中,tan∠GCM=,即tan∠GCF=.
如图23-7,在 ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连结EF,PD.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;
(2)若AB=8,AD=12,∠ABC=60°,求线段DP的长.
例
3
图23-7
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB.
∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE.
同理可得AB=AF,∴AF=BE,
∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵AB=BE,∴四边形ABEF是菱形.
(2)若AB=8,AD=12,∠ABC=60°,求线段DP的长.
图23-7
(2)∵四边形ABEF是菱形,
∴AE⊥BF,AP=AE,∠ABF=∠ABE=30°,
∠BAF=180°-∠ABE=120°,∴∠BAE=∠FAE=60°.
又∵AB=BE,∴△ABE为等边三角形,∴AB=AE=8,∴AP=4.
过点P作PM⊥AD于点M,如图,∴PM=2,AM=2.
∵AD=12,∴DM=10,
∴DP==4.
(2025安徽)已知点A'在正方形ABCD内,点E在边AD上,BE是线段AA'的垂直平分线,连结A'E,A'B.
(1)如图23-8①,若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长.
(2)如图②,F是AA'的延长线与CD的交点,连结CA'.
(ⅰ)求证:∠CA'F=45°;
(ⅱ)如图③,设AF,BE相交于点G,
连结CG,DG,DA'.若CG=CB,判断
△A'DG的形状,并说明理由.
例
4
图23-8
(1)如图23-8①,若BA'的延长线经过点D,AE=1,求AB的长.
图23-8
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADB=45°,∠BAD=90°,AB=AD.
∵BE是线段AA'的垂直平分线,∴A'E=AE=1,BA'=BA.
又∵BE=BE,∴△ABE≌△A'BE(SSS),
∴∠BA'E=∠BAE=90°,∴∠DA'E=180°-∠BA'E=90°,
∴△A'DE是等腰直角三角形,∴A'D=A'E=1,∴DE=,
∴AD=AE+DE=1+,∴AB=AD=1+.
(2)如图②,F是AA'的延长线与CD的交点,连结CA'.
(ⅰ)求证:∠CA'F=45°;
(2)(ⅰ)证明:由题意知,BA=BA'=BC,
∴∠BAA'=∠BA'A,∠BCA'=∠BA'C,
∴∠AA'C=∠BA'A+∠BA'C=(180°-∠ABA')+(180°-∠CBA')
=180°-(∠ABA'+∠CBA')=180°-×90°=180°-45°=135°,
∴∠CA'F=180°-∠AA'C=45°.
(2)如图②,F是AA'的延长线与CD的交点,连结CA'.
(ⅱ)如图③,设AF,BE相交于点G,连结CG,DG,DA'.若CG=CB,判断△A'DG的形状,并说明理由.
(ⅱ)△A'DG是等腰直角三角形.
理由如下:过点C作CN⊥BG,垂足为M,交AB于点N,
如图.
∵CN⊥BG,CG=CB,∴BM=GM=BG.
又∵AA'⊥BE,∴CN∥AF,∴,∴BN=AB.
∵∠ABE=90°-∠CBG,∠BCN=90°-∠CBG,
∴∠ABE=∠BCN.
又∵AB=BC,∠BAE=∠CBN=90°,
∴△ABE≌△BCN(ASA),∴AE=BN=AB=AD,即E为AD的中点.
又∵AG=A'G,∴EG∥A'D,∴∠DA'G=∠EGA=90°.
同理可证△ADA'≌△BAG(ASA),∴A'D=AG=A'G,
∴△A'DG是等腰直角三角形.
2.【基础巩固】
(1)如图23-9①,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的线段分别交AD,BC于点E,F,求证:OE=OF;
【尝试应用】
(2)如图②,在矩形ABCD中,O是对角线BD的中点,EF∥AB分别交AD,BC于点E,F,连结OE,OF,试猜想OE和OF的数量关系,并证明你的猜想;
图23-9
考向精练
【拓展提高】
(3)如图③,在矩形ABCD中,M,N是对角线BD的三等分点,过点M作EF∥AB分别交AD,BC于点E,F,连结EN,FN,已知EN=5,FN=,求线段MF的长.
(1)如图23-9①,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的线段分别交AD,BC于点E,F,求证:OE=OF;
解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴BO=DO,AD∥BC,∴∠OBF=∠ODE.
又∵∠BOF=∠DOE,∴△BOF≌△DOE(ASA),
∴OE=OF.
(2)如图②,在矩形ABCD中,O是对角线BD的中点,EF∥AB分别交AD,BC于点E,F,连结OE,OF,试猜想OE和OF的数量关系,并证明你的猜想;
(2)OE=OF.证明:延长FO交AD于点H,如图①.
由(1)得OF=OH.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.
∵EF∥AB,∴∠FEH=∠A=90°,
∴△EFH是直角三角形,∴OE=FH=OF.
(3)如图③,在矩形ABCD中,M,N是对角线BD的三等分点,过点M作EF∥AB分别交AD,BC于点E,F,连结EN,FN,已知EN=5,FN=,求线段MF的长.
(3)过点N作NP⊥EF于点P,如图②.
∵M,N是对角线BD的三等分点,
∴N是BM的中点,M是ND的中点,∴MN=NF.
∵NP⊥MF,∴MP=PF.同(1)得EM=MP,∴EM=MP=PF.
设EM=MP=PF=x.在Rt△EPN和Rt△FPN中,
由勾股定理,得PN2=EN2-PE2=NF2-PF2,
即25-4x2=10-x2,解得x=(负值已舍去),∴MF=2.

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