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(共37张PPT)
备考手册
第15课时　三角形与全等三角形
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
三角形的分类
三
角
形
的
分
类
直角三角形
基础自测
1.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶6,则△ABC的形状是 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.形状不确定
C
考
点
二
三角形的内角、外角
定理 三角形三个内角的和等于②　　　
推论 三角形的外角等于与它③　 　　　　　　的和
180°
不相邻的两个内角
基础自测
2.如图15-1,∠1=　　　　,∠2=　　　　.
图15-1
图15-2
3.将一副三角尺按如图15-2所示方式摆放,则∠FBA的度数为　　　　.
80°
40°
15°
考
点
三
三角形三边关系
(1)三角形任何两边的和④　　　第三边;
(2)三角形任何两边的差⑤　　　第三边.
大于
小于
基础自测
4.已知三角形的两边长分别为3,4,则第三条边的长可以是　　 　　(写出一种即可).
5.(2025连云港)下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是 (　　)
A.1,2,3 B.2,3,4
C.3,5,8 D.4,5,10
答案不唯一,如2
B
考
点
四
三角形中的重要线段、中位线
角平 分线 AD是△ABC的角平分线 ∠BAD=⑥　 　　=⑦　　 　
中线 AE是△ABC的中线 BE=⑧　　　　=⑨　　 　 高线 AF是△ABC的高线 ∠AFB=⑩　　　　=90° 中位线 DE是△ABC的中位线 DE∥BC,DE= 　　　
注:三角形的角平分线、中线、中位线、高线都是线段.
∠CAD
∠BAC
CE
BC
∠AFC
BC
基础自测
6.(2025杭州上城区一模)如图15-3,在△ABC中,BC=4,BD是AC边上的中线,点D到BC的距离为2,则S△ABC=　　　　.
图15-3
[解析]∵在△ABC中,BC=4,点D到BC的距离为2,
∴S△BDC=×2BC=×2×4=4.
∵BD是AC边上的中线,∴S△ABC=2S△BDC=2×4=8.
8
7.如图15-4,在△ABC中,∠BAC=90°,AD,AE,BF分别是△ABC的高线、中线和角平分线,则下列结论错误的是 (　　)
A.∠ABF=∠CBF
B.∠ABC=∠CAD
C.S△ABE=S△ACE
D.AF=CF
图15-4
D
8.(2025河南)在如图15-5所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点均在网格线的交点上,D,E分别是边BA,CA与网格线的交点,连结DE,则DE的长为(　　)
A. B.1
C. D.
图15-5
B
[解析]如图.
由题意可知,BC=AF=BG=2,∠AFD=∠BGD=90°.
又∵∠ADF=∠BDG,
∴△ADF≌△BDG(AAS),∴AD=BD.
同理可得AE=CE,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE=BC=1.
9.如图15-6,在△ABC中,AH是高线,EF是中位线.若∠CAH=30°,EF=2,则CH的长度为 (　　)
A.2 B.2
C.3 D.2
图15-6
A
考
点
五
全等三角形的性质与判定
性质 全等三角形的对应边 　 　　,对应角 　 　,周长 　 　,面积 　 　
判定 SSS, 　　　, 　　　, 　　　
直角三角形全等特有的判定方法: 　 　
相等
相等
相等
相等
SAS
ASA
AAS
HL
基础自测
10.如图15-7,△ABC≌△DEC,点E在AB上.
(1)若BC=6,BE=4,则△EBC的周长为　　　　;
(2)若∠B=70°,则∠ACD=　　　　.
16
图15-7
40°
11.(2023凉山州)如图15-8,点E,F在BC上,BE=CF,∠B=∠C,添加一个条件,不能证明△ABF≌△DCE的是 (　　)
A.∠A=∠D
B.∠AFB=∠DEC
C.AB=DC
D.AF=DE
图15-8
D
12.如图15-9,点B在线段AE上,点D在线段AC上,AB=AD.要证△ABC≌△ADE:
(1)添加的条件是　　 　　　　　,所用的判定方法是ASA;
(2)添加的条件是　　　　　　　,所用的判定方法是AAS;
(3)添加的条件是BE=CD,所用的判定方法是　　　　;
(4)能不能添加条件“BC=DE” 　　　　(填“能”或“不能”)
图15-9
∠ABC=∠ADE
∠C=∠E
SAS
不能
三角形的内角和及内外角的关系
考向一
如图15-10,在△ABC中,AC(1)如图①,已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P,连结AP.求证:
∠APC=2∠B;
(2)如图②,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连结AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.
例
1
图15-10
解:(1)证明:∵点P在AB的垂直平分线上,
∴PA=PB.
∴∠PAB=∠B.
∴∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
(2)如图②,以点B为圆心,线段AB的长为半径画弧,与BC边交于点Q,连结AQ.若∠AQC=3∠B,求∠B的度数.
(2)根据题意,得BQ=BA,∴∠BAQ=∠BQA.
设∠B=x,∴∠AQC=∠B+∠BAQ=3x.
∴∠BAQ=∠BQA=2x.
在△ABQ中,x+2x+2x=180°,解得x=36°,即∠B=36°.
1.将一副三角尺按如图15-11方式重叠,则∠1的度数为　　　　.
考向精练
75°
图15-11
2.如图15-12,将一张三角形纸片ABC的一角折叠,使点A落在△ABC外的点A'处,折痕为DE.如果∠A=α,∠CEA'=β,∠BDA'=γ,那么下列式子中正确的是(　　)
A.γ=2α+β
B.γ=α+2β
C.γ=α+β
D.γ=180°-α-β
图15-12
A
三角形中重要线段的应用
考向二
如图15-13,在Rt△ABC中,AD,BE分别是△ABC的中线和角平分线,AD⊥
BE于点N,AD=8,求AC的长.
例
2
图15-13
解:在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是△ABC的中线,AD=8,
∴BD=CD=AD=8.
∵BE是△ABC的角平分线,∴∠ABE=∠DBE.
∵AD⊥BE,∴∠ANB=∠DNB=90°.
又∵BN=BN,∴△ABN≌△DBN(ASA).
∴AB=BD.∴AB=8=BC.∴∠C=30°.∴AC=AB=8.
3.如图15-14,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F在DE上,且∠AFB=90°.若AB=5,BC=8,则EF的长为 (　　)
A.2.5 B.2
C.1.5 D.1
考向精练
C
图15-14
4.(1)如图15-15①,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,则∠A与∠D的数量关系为
　　 　;
(2)如图②,BE平分∠ABC,CE
平分∠ACM,∠A与∠E的数
量关系为　　　　　　　;
(3)如图③,BF平分∠CBP,CF平分∠BCQ,∠A与∠F的数量关系为
　　 　 　　　　.
图15-15
∠D=90°+∠A
∠E=∠A
∠F=90°-∠A
5.如图15-16,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,AD是△ABC的角平分线,E是斜边BC的中点,过点B作BG⊥AD于点G,BG的延长线交AC于点F,连结EG,则线段EG=　　　　.
图15-16
1
[解析]∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAG=∠FAG.
∵BG⊥AD,∴∠AGB=∠AGF=90°.
在△ABG和△AFG中,∵
∴△ABG≌△AFG(ASA),
∴AF=AB=6,BG=FG,
∴CF=AC=AF=8-6=2,G为BF的中点.
∵E是斜边BC的中点,
∴EG是△BCF的中位线,∴EG=CF=1.
图15-16
全等三角形的判定与性质
考向三
(2025河北)如图15-17,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点E,AC=AD,
∠ACB=∠ADB,点F在ED上,∠BAF=∠EAD.
(1)求证:△ABC≌△AFD;
(2)若BE=FE,求证:AC⊥BD.
例
3
图15-17
证明:(1)∵∠BAF=∠EAD,
∴∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF,即∠BAC=∠FAD.
在△ABC和△AFD中,∵
∴△ABC≌△AFD(ASA).
(2)若BE=FE,求证:AC⊥BD.
图15-17
(2)由(1)得△ABC≌△AFD,∴AB=AF.
又∵BE=FE,∴AC⊥BF,即AC⊥BD.
如图15-18,在△ABC中,点D在AC边上,,连结BD,O是BD的中点,连结AO并延长,交BC于点E.若BE=1,则EC的长为 (　　)
A.2 B.2.5
C.3 D.4
例
4
图15-18
[解析] 如图,过点D作DF∥BC,交AE于点F,
则△BOE≌△DOF,△ADF∽△ACE,
∴DF=BE=1,.
∵,∴,∴,∴CE=3.
C
变式 如图15-19,在等边三角形ABC中,M为AB边上任意一点,延长BC至点N,使CN=AM,连结MN,交AC于点P,MH⊥AC于点H.
(1)求证:MP=NP;
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
图15-19
解:(1)证明:过点M作MQ∥BC,交AC于点Q,如图所示.
在等边三角形ABC中,∠A=∠B=∠ACB=60°.
∵MQ∥BC,∴∠AMQ=∠B=60°,∠AQM=∠ACB=60°,∠QMP=∠N.
∴△AMQ是等边三角形.∴AM=QM.
∵AM=CN,∴QM=CN.
在△QMP和△CNP中,∵
∴△QMP≌△CNP(AAS).∴MP=NP.
(2)若AB=a,求线段PH的长(结果用含a的代数式表示).
图15-19
(2)∵△AMQ是等边三角形,且MH⊥AC,
∴AH=HQ.
∵△QMP≌△CNP,∴QP=CP.
∴PH=HQ+QP=AC.
∵AC=AB=a,∴PH=a.
6.(2023重庆A卷)如图15-20所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC上一点,连结AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为　　　　.
考向精练
图15-20
[解析]∵BE⊥AD,CF⊥AD,∴∠BEA=∠AFC=90°.∴∠BAE+∠ABE=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BAE+∠FAC=90°.∴∠FAC=∠ABE.
在△ABE和△CAF中,∵
∴△ABE≌△CAF(AAS).
∴AF=BE=4,AE=CF=1.∴EF=AF-AE=4-1=3.
3
7.佳佳同学遇到这样一个问题:如图15-21①,在△ABC中,AB=6,AC=4,AD是中线,求AD的取值范围.她的做法:延长AD到点E,使DE=AD,连结BE,证明△BED≌
△CAD,经过推理和计算使问题得到解决.
(1)请回答:
①为什么△BED≌△CAD 写出推理过程;
②求AD的取值范围.
(2)如图②,AD是△ABC的中线,点M在AC上,连结BM交AD于点N,且∠MAN=∠BND.求证:BN=MN+MC.
图15-21
解:(1)①∵AD是中线,∴BD=CD.
又∵∠ADC=∠BDE,AD=ED,∴△BED≌△CAD(SAS).
(1)请回答:
②求AD的取值范围.
②∵△BED≌△CAD,∴BE=AC=4.
在△ABE中,∵AB-BE∴2<2AD<10.∴1(2)如图②,AD是△ABC的中线,点M在AC上,连结BM交AD于点N,且∠MAN=
∠BND.求证:BN=MN+MC.
(2)证明:如图,延长AD至点H,使DH=AD,连结BH.
∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD.
又∵∠ADC=∠BDH,AD=HD,
∴△ADC≌△HDB(SAS).
∴AC=BH,∠CAD=∠H.
∵∠MAN=∠BND=∠ANM,
∴MA=MN,∠BND=∠H.∴BN=BH=AC.
∴MN+MC=AM+MC=AC=BN,即BN=MN+MC.
构造全等三角形的常用方法:
(1)倍长中线或类倍长中线法:如图15-22①②;
(2)平行线法:如图③,若F为DE的中点,可作EG∥DC,构造△EFG≌△DFC;
(3)利用角平分线的对称性构造全等:如图④⑤⑥.
通性通法
图15-22(共28张PPT)
备考手册
第17课时　直角三角形
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
直角三角形
直角 三角形 △ACD, △BCD 均为等腰 三角形 性质 直角三角形的两个锐角①　　　　:∠A+∠B=②　　　　
直角三角形斜边上的中线等于③　　　　　　;
CD=④　　　AB
在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于⑤　　 　　　
判定 有一个角是⑥　　　　的三角形是直角三角形
有两个角⑦　　　　的三角形是直角三角形
互余
90°
斜边的一半
　
斜边的一半
直角
互余
(续表)
直角 三角形 △ACD,△BCD 均为等腰三角形 拓展 (1)SRt△ABC=ch=ab,其中a,b为两直角边长,c为斜边长,h为斜边上的高线长;
(2)Rt△ABC内切圆半径r=,外接圆半径R=,即等于斜边的一半
基础自测
1.(2024陕西)如图17-1,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高线,E是DC的中点,连结AE,则图中的直角三角形共有(　　)
A.2个 B.3个
C.4个 D.5个
图17-1
C
2.如图17-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,∠B=30°,AC=5,则CD=　　　　　,∠ADC=　　　　°.
图17-2
5
60
考
点
二
勾股定理及其逆定理
勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于⑧　　　 　
勾股定理 的逆定理 如果三角形中两边的平方和等于第三边的⑨　　　,那么这个三角形是直角三角形
斜边的平方
平方
基础自测
3.(2025连云港)如图17-3,长为3 m的梯子靠在墙上,梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m,则梯子顶端的高度h为　　　　m.
图17-3
2.4
4.如图17-4,在正方形网格中有两条直线AC与BC,点A,B,C均在格点上,则∠BAC的度数为　　　　.
图17-4
[解析]设网格中小正方形的边长均为1.由勾股定理,得AC2=12+32=10,BC2=12+32=10,AB2=22+42=20,
∴AB2=AC2+BC2,AC=BC,
∴△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴∠BAC=45°.
45°
考
点
三
命题、定理、反证法
命题 一般地,判断某一件事情的句子叫做命题.正确的命题称为真命题;不正确的命题称为假命题.命题一般由⑩ 　　　 　和 　 　　　两部分组成
互逆 命题 在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题
条件
结论
(续表)
命题真 假判断 要判定一个命题是真命题需证明
要说明一个命题是假命题,通常可以通过举反例的方法
反证法 在证明一个命题时,先假设 　　　　　　,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法
命题不成立
基础自测
5.用一个a的值说明“若a是实数,则2a一定比a大”是错误的,这个值可以是
　　 　　.
6.(2022湖州)命题“如果|a|=|b|,那么a=b”的逆命题是　 .
7.(2024湖南)下列命题中,正确的是 (　　)
A.两点之间线段最短
B.菱形的对角线相等
C.正五边形的外角和为720°
D.直角三角形是轴对称图形
-1(答案不唯一)
如果a=b,那么|a|=|b|
A
直角三角形的性质
考向一
如图17-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,∠BCD=22.5°,E是斜边AB的中点,且CD=1,则AB的长为 (　　)
A.2 B.2
C.3 D.3
例
1
图17-5
[解析]∵CD⊥AB,∴∠CDB=90°,∴∠B+∠BCD=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠A=∠BCD=22.5°.
∵E是斜边AB的中点,∴CE=AB=EA,∴∠ECA=∠A=22.5°,
∴∠DEC=∠A+∠ECA=45°,∴∠DCE=90°-∠DEC=45°,
∴△DCE是等腰直角三角形,∴CE=CD=,∴AB=2.
B
如图17-6,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连结BM,MN,BN.
(1)求证:BM=MN;
(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
例
2
图17-6
解:(1)证明:在△CAD中,∵M,N分别是AC,CD的中点,
∴MN是△ACD的中位线.∴MN=AD.
在Rt△ABC中,∵M是AC的中点,∴BM=AC.
∵AC=AD,∴BM=MN.
(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=2,求BN的长.
图17-6
(2)∵∠BAD=60°,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=30°.
由(1)可知,BM=AC=AM=MC,
∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°.
∵MN是△ACD的中位线,
∴MN∥AD.∴∠NMC=∠DAC=30°.
∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°.
∴BN2=BM2+MN2.
由(1)可知MN=BM=AC=1,∴BN=.
(1)遇到有公共斜边的两个直角三角形时,优先考虑构造斜边上的中线求解.如图17-7,取AB的中点M,连结CM,DM,则CM=DM;
(2)见到30°,45°,60°或,,(3,4,5),(1,2,)等条件,注意构造直角三角形.
通性通法
图17-7
1.如图17-8,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的斜边OA在第一象限,且与x轴正半轴的夹角为30°,C为OA的中点,BC=1,则点A的坐标为　　　　.
考向精练
(,1)
图17-8
2.如图17-9,在△ABC中,AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线,DG⊥CE于点G,且EG=GC.若∠BCE=18°,则∠B的度数是　　　　.
图17-9
[解析]连结DE,如图.
∵DG⊥CE,且EG=GC,∴DG是线段CE的垂直平分线,∴DE=DC,∴∠DEG=∠DCG=18°.
∵CE是△ABC中AB边上的中线,∴E是AB的中点.
∵AD是BC边上的高线,∴∠ADB=90°,
∴BE=DE=AB,∴∠B=∠EDB.
∵∠BDE是△CDE的一个外角,∴∠BDE=∠EDC+∠DCG=36°.
36°
3.(2023温州)图17-10①是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽,图②由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF,使点D,E,F分别在边OC,OB,BC上,过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC,∠BOC=30°,DE=2时,EH的长为 (　　)
A. B.
C. D.
图17-10
C
[解析]∵四边形CDEF是菱形,DE=2,∴CD=DE=CF=EF=2,CD∥EF.
∵∠CBO=90°,∠BOC=30°,∴OD=2DE=4,OE=DE=2.
∵EF∥CD,∴∠BEF=∠BOC=30°.∴BE=EF=,BF=EF=1.
∴OB=3,BC=3.∵AB=BC,∴AB=3.
在Rt△ABO中,由勾股定理,得OA==3.
∵EH⊥AB,∠A=90°,∴EH∥OA.∴△BEH∽△BOA.
∴,即.∴EH=.
利用勾股定理进行计算
考向二
如图17-11所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6.若BD平分∠ABC,交AC于点D,则AD=　　　　.
例
3
5
图17-11
[解析]如图,过点D作DE⊥AB于点E.
∵BD平分∠ABC,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=DE.
在Rt△BCD和Rt△BED中,∵∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL).∴BE=BC=6.在Rt△ABC中,AB==10,∴AE=AB-BE=4.设AD=x,则DE=CD=8-x.
在Rt△ADE中,由勾股定理,得AE2+DE2=AD2,即42+(8-x)2=x2,
解得x=5.∴AD=5.
4.如图19-12,E为矩形ABCD的边AB上一点,将矩形沿CE折叠,使点B恰好落在ED上的点F处.若BE=1,BC=3,则CD的长为(　　)
A.6 B.5
C.4 D.3
考向精练
图19-12
[解析] 设CD=x.由折叠的性质,得CF=BC=3,EF=BE=1.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=3,∠A=∠B=∠CFE=90°,AB∥CD.
∴∠AED=∠CDF,∠A=∠CFD=90°,AD=CF.∴△ADE≌△FCD.∴ED=CD=x.∴FD=x-1.在Rt△CFD中,由勾股定理,得FD2+CF2=CD2,
即(x-1)2+32=x2,解得x=5.∴CD=5.
B
5.(2021金华)如图19-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以该三角形的三条边为边向外作正方形,正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆的面积为S1,
△ABC的面积为S2,则的值是 (　　)
A. B.3π
C.5π D.
图19-13
C
[解析] 如图.设AB=c,AC=b,BC=a,则a2+b2=c2.取AB的中点O,连结OC.
∵△ABC是直角三角形,∴OA=OB=OC.∵圆心在MN和HG的垂直平分线上,
∴O为圆心.连结OG,OE,过点O作OD⊥AC于点D,则OG,OE为半径.设半径为r.由勾股定理,得r2= (a+) 2+() 2=c2+()2,a2+b2=c2,可得a=b.
∴a2=.∴S1=πc2,S2=ab=.∴=5π.
勾股定理与拼图
考向三
如图19-14是由8个全等的直角三角形拼成的正方形ABCD,其中三角形的直角边长分别为a,b.
(1)正方形ABCD的面积为　　　　,正方形IJKL的面积
为　　　　;(用含a,b的式子表示)
(2)根据正方形ABCD的面积及正方形IJKL的面积之间的
关系,可得(a+b)2,ab,(a-b)2之间的等量关系为　 ;
(3)请通过计算证明上述等量关系;
(4)记正方形ABCD,正方形EFGH,正方形IJKL的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=30,Rt△AEH的面积为,求(a-b)2的值.
例
4
(a+b
图19-14
(a-b)2
(2)根据正方形ABCD的面积及正方形IJKL的面积之间的关系,可得(a+b)2,ab,
(a-b)2之间的等量关系为　 ;
图19-14
[解析]根据S正方形ABCD=8S直角三角形+S正方形IJKL,
可得(a+b)2=8×ab+(a-b)2,即(a+b)2=4ab+(a-b)2.
(a+b)2=4ab+(a-b)2
(3)请通过计算证明上述等量关系;
(3)证明:左边=a2+2ab+b2,右边=4ab+a2-2ab+b2=a2+2ab+b2,
∴左边=右边,∴(a+b)2=4ab+(a-b)2成立.
(4)记正方形ABCD,正方形EFGH,正方形IJKL的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3
=30,Rt△AEH的面积为,求(a-b)2的值.
图19-14
(4)正方形EFGH的面积=(a-b)2+4×ab=a2+b2.
∵Rt△AEH的面积为,∴ab=,∴ab=3.
由题意,得S1=(a+b)2,S2=a2+b2,S3=(a-b)2.
∵S1+S2+S3=30,∴(a+b)2+a2+b2+(a-b)2=30,
整理,得a2+b2=10,∴(a-b)2=a2-2ab+b2=4.
变式 (2024浙江8题)如图19-15,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,
△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连结DE.若AE=4,BE=3,则DE= (　　)
A.5 B.2
C. D.4
图19-15
[解析]∵Rt△DAH≌Rt△ABE,∴DH=AE=4,AH=BE=3,
∴EH=AE-AH=4-3=1.
∵四边形EFGH是正方形,∴∠DHE=90°,
∴DE=.故选C.
C(共31张PPT)
第四单元　三角形
大概念
统领下的科学备考方案
了解几何的一些基础知识,掌握一些基本事实,以及相关性质.
知道从边、角、重要线段这三个方面研究一般三角形,类比一般三角形的学习,会探究特殊三角形,体会从一般到特殊的数学学习方法.
理解全等三角形的概念,掌握全等三角形的相关性质和判定,了解相似三角形的性质与判定,能运用相关知识解题.
在直观理解和掌握图形与几何基本事实的基础上,形成几何直观和推理能力;会用数学的思维思考现实世界,感悟数学论证的逻辑,体会数学的严谨性.
备考手册
第14课时　线段、角、相交线与平行线
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
点和线
基本 事实 两点确定①　　　　条直线
两点之间②　　　　最短
相关 定义 连结两点的线段的长度叫做这两点间的距离
点C叫做线段AB的中点 AC=BC=③　　 　;AB=2④　 　　=
2⑤　　 　
一
线段
AB
AC
BC
基础自测
1.如图14-1,某公园需从点A到点B修建观光桥,为了使游人观赏湖面风光的路线变长,选择“九曲桥”而不采用直桥的依据是基本事实:　　　　　　　 　.
图14-1
两点之间线段最短
2.如图14-2,已知线段AB=10 cm,C是线段AB上一点,AC=4 cm.若M是AC的中点,则线段BM的长是 (　　)
A.6 cm B.8 cm C.9 cm D.12 cm
图14-2
B
考
点
二
角
余角、 补角 定 义 ∠1与∠2互余 ∠1+∠2=⑥　　　
∠1与∠2互补 ∠1+∠2=⑦　　　
性 质 同角或等角的余角⑧　　　
同角或等角的补角⑨　　　
换算 1°=60',1'=⑩ 　　　　″,1'= 　　　　°,1″= 　　　　' 分类 角按照大小可以分为: 　　　、 　　　　、钝角、平角、周角 90°
180°
相等
相等
60
()
()
锐角
直角
基础自测
3.(2025广安)若∠A=25°,则∠A的余角为 (　　)
A.25° B.65°
C.75° D.155°
B
4.如图14-3,点O在直线AB上,OC⊥OD.若∠AOC=120°,则∠BOD的大小为
(　　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
图14-3
A
5.(2025湖州一模)把角度转化成度的形式:70°30'=　　　　°.
70.5
考
点
三
相交线
对顶角的性质 对顶角 　　　
垂线的性质 基本事实:在同一平面内,过一点有 　 　　　　条直线垂直于已知直线
垂线段的性质 连结直线外一点与直线上各点的所有线段中, 　 　　最短
点到直线的 距离的定义 从直线外一点到这条直线的 　　　　的长度,叫做点到直线的距离
相等
一条而且仅有一
垂线段
垂线段
基础自测
6.如图14-4,BC,DE被AB所截,则∠B的内错角是　　　　,同位角是　　　　.
图14-4
∠1
∠3
7.(2024北京)如图14-5,直线AB和CD相交于点O,OE⊥OC.若∠AOC=58°,则∠EOB的大小为 (　　)
A.29° B.32° C.45° D.58°
图14-5
B
8.如图14-6,设P是直线l外一点,PQ⊥l,垂足为Q,T是直线l上的一个动点,连结PT,则(　　)
A.PT≥2PQ
B.PT≤2PQ
C.PT≥PQ
D.PT≤PQ
图14-6
C
考
点
四
平行线
相等
定义 在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线
基本事实:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
判定 (1)基本事实:同位角 　　　　,两直线平行;
(2)内错角 　　　　,两直线平行;
(3)同旁内角 　　　　,两直线平行;
(4)平行于同一条直线的两条直线互相 　　　　;
(5)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相 　　　
相等
互补
平行
平行
(续表)
性质 (1)两直线平行,同位角 　　　　;
(2)两直线平行,内错角 　　　　;
(3)两直线平行,同旁内角 　　　　;
(4)夹在平行线间的平行线段(垂线段)相等
相等
相等
互补
基础自测
9.(2023临沂)在同一平面内,过直线l外一点P作l的垂线m,再过点P作m的垂线n,则直线l与n的位置关系是 (　　)
A.相交 B.相交且垂直
C.平行 D.不能确定
C
10.(2025重庆)如图14-7,AB∥CD,直线EF分别与AB,CD交于点E,F.若∠1=70°,则∠2的度数是　　　　.
图14-7
70°
11.(2024盐城)小明将一块三角尺摆放在直尺上,如图14-8.若∠1=55°,则∠2的度数为 (　　)
A.25° B.35° C.45° D.55°
图14-8
B
12.(2023杭州)如图14-9,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A=　　　　°.
图14-9
90
平行线的判定与性质
考 向
将一副三角尺如图14-10所示放置,其中AB∥DE,则∠CDF的度数为
(　　)
A.75° B.105°
C.120° D.135°
例
1
B
图14-10
(2024诸暨二模)将一副三角尺按图14-11所示的位置摆放,∠C=30°,∠F=
45°.若两条斜边DF∥AC,则∠1的度数为(　　)
A.75° B.70°
C.65° D.60°
例
2
图14-11
A
1.某同学的作业如下,其中※处应填的依据是 (　　)
如图14-12,已知直线l1,l2,l3,l4.若∠1=∠2,
则∠3=∠4.
请完成下面的说理过程.
解:已知∠1=∠2,
根据(内错角相等,两直线平行),得l1∥l2.
再根据(※),得∠3=∠4.
A.两直线平行,内错角相等　 B.内错角相等,两直线平行
C.两直线平行,同位角相等　 D.两直线平行,同旁内角互补
考向精练
C
图14-12
2.(2025泸州)如图14-13,直线a∥b.若∠1=132°,则∠2= (　　)
A.42° B.48° C.52° D.58°
图14-13
B
3.(2025嘉兴一模)在同一平面内,将直尺、直角三角尺(∠CAB=30°)和木工角尺(DE⊥DF)按如图14-14方式摆放.若AC∥DE,则∠1的度数为 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.75°
图14-14
[解析]∵AC∥DE,∠CAB=30°,
∴∠BDE=∠CAB=30°.
∵DE⊥DF,∴∠EDF=90°,
∴∠1=180°-∠BDE-∠EDF=180°-30°-90°=60°.
C
4.(2023菏泽)一把直尺和一个含30°角的直角三角尺按如图14-15方式放置.若∠1=20°,则∠2= (　　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
图14-15
B
5. (2025杭州西湖区一模)如图14-16,一束光线PO从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射,已知AD∥BC,延长PO交BC于点P'.若∠POA=50°,∠P'OQ=25°,则∠OQB的度数为 (　　)
A.45° B.55°
C.65° D.75°
图14-16
[解析]∵∠POA=50°,
∴∠DOP'=∠POA=50°,
∴∠DOQ=∠DOP'+∠P'OQ=75°.
∵AD∥BC,∴∠OQB=∠DOQ=75°.
D
6.把含30°角的直角三角尺和一把直尺摆放成如图14-17所示的图形,能使∠1与∠2互余的图形有 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
图14-17
D
[解析]如图①.∵AD∥BC,∴∠1=∠3.
∵∠EFG=90°,∴∠3+∠2=90°,∴∠1+∠2=90°.
如图②,延长EF交BC于点H.
∵AD∥BC,∴∠1=∠FHM.
∵∠EFG是△FHM的一个外角,∠EFG=90°,
∴∠2+∠FHM=90°,∴∠2+∠1=90°.
如图③.∵AD∥BC,∴∠1=∠3.
∵∠EFG=90°,∴∠3+∠2=180°-∠EFG=90°,
∴∠2+∠1=90°.
如图④,过点F作FH∥AD,交EG于点H,
∴∠1=∠DFH.
∵AD∥BC,∴FH∥BC,∴∠2=∠HFG.
∵∠EFG=90°,∴∠DFH+∠HFG=90°,
∴∠1+∠2=90°.
故能使∠1与∠2互余的图形有4个.
7.随着科技的进步和人工智能技术的成熟,仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴.如图14-18所示,当仿生机器狗平稳站立时,AB∥CD,∠ABE=
135°,∠CDE=145°,此时∠BED的度数为 (　　)
A.70°
B.75°
C.80°
D.85°
图14-18
C
8.如图14-19,将一条两边沿互相平行的纸带折叠.若∠AGE=40°,则∠ABC的度数为 (　　)
A.50° B.65°
C.70° D.75°
图14-19
[解析] 如图,延长AB至点M.
∵EC∥FB,∠AGE=40°,
∴∠FBG=∠AGE=40°.
由折叠的性质,得∠FBC=∠MBC,
∴∠FBC+∠MBC=180°+40°=220°,
∴∠FBC=110°,∴∠ABC=∠FBC-∠FBG=70°.
C(共37张PPT)
备考手册
第16课时　等腰三角形
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
等腰三角形
定义 有①　　　相等的三角形叫做等腰三角形
性质 等腰三角形是轴对称图形,底和腰不相等的等腰三角形有②　　　条对称轴
等腰三角形的两个底角相等(也可以说成:在同一个三角形中,③
　 　 )
等腰三角形的④　　　平分线、底边上的中线和高线互相重合,简称等腰三角形⑤　 　　　
判定 如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形(也可以简单地说成:在同一个三角形中,⑥　　 　　　)
两边
1
等边对
等角
顶角
三线合一　
等角对等边
基础自测
1.如图16-1,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,下列结论不一定正确的是(　　)
A.∠B=∠C
B.AB=2BD
C.∠1=∠2
D.AD⊥BC
图16-1
B
2.(2023眉山)如图16-2,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,则∠ACD的度数为 (　　)
A.70° B.100°
C.110° D.140°
图16-2
C
3.如图16-3,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,交AC于点D,E为AB的中点,连结DE,则∠ADE的度数是　　　　.
图16-3
[解析]∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠C=×(180°-36°)=72°.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=36°,∴∠ABD=∠A,
∴AD=BD.
又∵E为AB的中点,∴∠AED=90°,∴∠ADE=90°-∠A=54°.
54°
考
点
二
等边三角形
定义 ⑦　　　 　都相等的三角形叫做等边三角形
性质 等边三角形是轴对称图形,有⑧　 　条对称轴
等边三角形的各个内角都等于⑨ 　　
判定 ⑩　 　个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角是60°的 　　　　三角形是等边三角形
面积 S△ABC=ah=a2,其中a为边长,h为高线的长,h=a
三条边
3
60°
三
等腰
基础自测
4.在等边三角形ABC中,AB=4,则它的高线的长为　　　　,面积为　　　　.
5.如图16-4,△ABC是等边三角形,BD是中线,延长BC到点E,使CE=CD.不添加辅助线,请你写出四个正确结论:
①　　　　　　　　;②　　　　　　　　　;
③　　　　　　　　;④　　　　　　　　.
2
图16-4
4
①BD⊥AC;②∠DBC=∠DEC=30°;③DB=DE;
④△ABD≌△CBD;⑤△DCE∽△BDE;
⑥∠CDE=30°;⑦BD平分∠ABC;
⑧DE2=BE·CE等(答案不唯一,写出四个正确的即可)
考
点
三
角平分线的性质与判定
性质 角平分线上的点到角两边的距离 　 　
逆定理 角的内部,到角两边距离相等的点,在这个角的 　　　　　上
相等
平分线
基础自测
6.如图16-5,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交BC于点D,BC=6,BD=4,则点D到AB的距离是　　　　.
2
图16-5
7.(2023株洲)如图16-6,在 ABCD中,AB=5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段CD于点E,则EC=　　　　.
图16-6
2
考
点
四
线段垂直平分线的性质与判定
相等
性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 　 　
逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的 　　　　　上
垂直平分线
基础自测
8.(2023丽水)如图16-7,在△ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,
∠B=∠ADB.若AB=4,则DC的长是　　　　.
图16-7
[解析]∵∠B=∠ADB,∴AD=AB=4.
∵DE是AC的垂直平分线,
∴DC=AD=4.
4
9.(2025连云港)如图16-8,在△ABC中,BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为 (　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
图16-8
[解析]∵DE垂直平分AB,FG垂直平分AC,
∴EA=EB,GA=GC,
∴△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=7.
C
等腰三角形的性质与判定
考向一
(2025嘉兴二模)如图16-9,在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在边AB,AC上,且CB=CE=CF,连结BF.
(1)若∠A=40°,求∠BFC的度数;
(2)若∠BFC+∠BEC=126°,求∠A的度数.
例
1
图16-9
解:(1)∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠A)=70°.
∵CB=CF,∴∠BFC=∠CBF=(180°-∠ACB)=55°.
(2)若∠BFC+∠BEC=126°,求∠A的度数.
图16-9
(2)由(1)得∠ABC=∠ACB,∠BFC=∠CBF.
∵CB=CE,∴∠CBE=∠BEC,
∴∠CBE=∠BEC=∠BCF.
∵∠BFC+∠BEC=126°,∴∠BFC+∠BCF=126°,
∴∠CBF=180°-(∠BFC+∠BCF)=54°,
∴∠BFC=∠CBF=54°,
∴∠BCF=180°-∠BFC-∠CBF=72°,
∴∠CBE=∠BCF=72°,
∴∠A=180°-∠CBE-∠BCF=36°.
等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据.
通性通法
(2024江西)追本溯源
题(1)来自课本中的习题,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)如图16-10①,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线,交AB于点E,请判断△BDE的形状,并说明理由.
例
2
图16-10
解:(1)△BDE是等腰三角形.
理由如下:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵BC∥ED,∴∠EDB=∠CBD,
∴∠EDB=∠ABD,∴EB=ED,
∴△BDE是等腰三角形.
方法应用
(2)如图②,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,
过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
①图中一定是等腰三角形的有 (　　)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
图16-10
[解析]共有四个等腰三角形,分别是△ABE,△ABG,△AFD,△CGF.
故选B.
B
方法应用
(2)如图②,在 ABCD中,BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线于点F,交BC于点G.
②已知AB=3,BC=5,求CF的长.
图16-10
②∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AE∥BC,
∴∠AEB=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AE=AB=3.
又∵AF⊥BE,∴∠BAF=∠EAF.
∵BC∥AD,∴∠EAG=∠AGB,∴∠BAF=∠AGB,
∴BG=AB=3.
∵AB∥FD,∴∠BAF=∠CFG.
又∵∠AGB=∠CGF,
∴∠CGF=∠CFG,
∴CG=CF.
∵CG=BC-BG=5-3=2,
∴CF=2.
图16-10
1.(2024重庆B卷)如图16-11,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD平分∠ABC,交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为　　　　.
考向精练
2
图16-11
2.如图16-12,在△ABC中,AD平分∠BAC,交BC于点D,E是AC边上的一点,连结DE.若∠BAC=30°,∠CED=120°,DE=1,则AE的长为　　　　.
图16-12
[解析] 如图,过点D作DF∥AB,交AC于点F,∴∠EFD=∠BAC=30°,∠FDA=∠BAD.
∵∠CED=120°,∴∠FED=60°,∴∠EDF=90°,
∴EF=2DE=2,∴DF=.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴∠FAD=∠FDA,
∴AF=DF=,∴AE=EF+AF=2+.
2+
3.(2024滨州)【问题背景】
某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现:
①如图16-13,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;
②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+
BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C吗
基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出
∠B=∠C,并分别提供了不同的证明方法.
图16-13
小军 小民
证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得…… 证明:∵AD⊥BC,
∴△ADB与△ADC均为直角三角形
根据勾股定理,得……
【问题解决】
(1)完成①的证明;
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整.
图16-13
(1)完成①的证明;
①如图16-13,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C;
图16-13
解:(1)证明:∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADB和△ADC中,∵
∴△ADB≌△ADC(SAS),∴∠B=∠C.
(2)把②中小军、小民的证明过程补充完整.
小军 小民
证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得…… 证明:∵AD⊥BC,
∴△ADB与△ADC均为直角三角形
根据勾股定理,得……
(2)小军的证明过程:分别延长DB,DC至E,F两点,使得BE=BA,CF=CA,连结AE,
AF,如图所示.
∵AB+BD=AC+CD,
∴BE+BD=CF+CD,即DE=DF.
∵AD⊥BC,∴∠ADE=∠ADF=90°.
在△ADE和△ADF中,∵
∴△ADE≌△ADF(SAS),∴∠E=∠F.
∵BE=BA,CF=CA,∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF.
∵∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF,
∴∠ABC=∠ACB.
小民的证明过程:
∵AD⊥BC,
∴△ADB与△ADC均为直角三角形.
根据勾股定理,得AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2,
∴AB2-BD2=AC2-CD2,
∴(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD).
∵AB+BD=AC+CD,①
∴AB-BD=AC-CD.②
由①+②,可得AB=AC,∴∠B=∠C.
等边三角形的性质与判定
考向二
如图16-14,在等边三角形ABC的AC,BC边上各取一点P,Q,使AP=CQ,AQ,BP相交于点O.求∠BOQ的度数为_________.
例
3
图16-14
[解析]∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°.
又∵AP=CQ,
∴△ABP≌△CAQ(SAS).
∴∠ABP=∠CAQ.
∴∠BOQ=∠ABP+∠BAO=∠CAQ+∠BAO=∠BAC=60°.
60°
4.(2024自贡)如图16-15,等边三角形ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D,AB长12 m.现将钢架立柱缩短成DE,∠BED=60°,则新钢架减少用钢 (　　)
A.(24-12)m B.(24-8)m
C.(24-6)m D.(24-4)m
考向精练
D
图16-15
5.(2024杭州钱塘区三模)如图16-16,△ABC为等边三角形,D为BC延长线上一点.若AD=,∠CAD=15°,则AB的长为　　　　.
图16-16
2
6.如图16-17,等边三角形ABC的边长为4,D是AC上一点,过点D作BC的垂线,交BC于点E,若线段BE=x,Rt△CDE的面积y是线段BE的长度x的二次函数,则这个函数的顶点式是　　 　　　　.(写出自变量的取值范围)
图16-17
y=(x-4)2(2≤x≤4)
[解析]∵等边三角形ABC的边长为4,BE=x,DE⊥BC,
∴CE=4-x,∠DEC=90°,∠C=60°,
∴∠CDE=90°-60°=30°,
∴CD=2CE=2(4-x),
∴DE=(4-x),
∴y=CE·DE=(4-x)·(4-x)=(x-4)2.
∵D是AC上一点,∴0≤4-x≤2,即2≤x≤4,
∴y=(x-4)2(2≤x≤4).
图16-17
等腰三角形中的分类讨论
考向三
若等腰三角形一腰上的高是另一腰长的一半,则顶角的度数是
　 　　　.
例
4
30°或150°
如图16-18,已知O为直线BC上一定点,A为直线BC外一定点.在直线BC上取点P,使得以O,A,P为顶点的三角形为等腰三角形.
(1)当∠AOC=30°时,通过分类讨论、画图尝试可以找到满足条件的点P共有　　　　个;
(2)若在直线BC上有两个满足条件的点P,则∠AOC的度数为　　　　　　.
例
5
图16-18
[解析](1)如图所示.
若OA为等腰三角形的腰,点P4,P1,P2即为所求;
若OA为等腰三角形的底,点P3即为所求.
综上,满足条件的点P共有4个.
4
(2)若在直线BC上有两个满足条件的点P,则∠AOC的度数为　　 　　　　.
[解析](2)若在直线BC上有且仅有两个满足条件的点P,则点P3,P4与点P1或点P2重合,或点P3,P4不存在,∴∠AOC的度数为60°或120°或90°.
60°或120°或90°　
图16-18
7.如图16-19,在平面直角坐标系中,点A(3,1),点P在x轴上,若以P,O,A为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P共有　 　个.
考向精练
4
图16-19(共23张PPT)
备考手册
第20课时　解直角三角形的实际应用
教材知识整合
高频考向探究
考
点
解直角三角形的实际应用
仰角和 俯角
仰角:在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫仰角.
俯角:视线在水平线下方的叫俯角
坡比和 坡角 坡比:坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡比,记作i=
①　　　
坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作α,i=tan α
坡比越大,坡角α越大,坡面②　　　
h∶l
越陡
(续表)
方向角 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角
基础自测
1.如图20-1,某游乐场一山顶滑梯的坡角为α,高为h,则滑梯的长l为 (　　)
A.hsin α B.htan α C. D.
图20-1
C
2.学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面,如图20-2所示.已知彩旗绳与地面形成25°角(即∠BAC=
25°),彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米),则彩旗绳AB的长度为 (　　)
A.32sin 25°米 B.32cos 25°米
C.米 D.米
图20-2
D
3.如图20-3是一架人字梯,已知AB=AC=2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为 (　　)
A.4cos α米 B.4sin α米
C.4tan α米 D.米
图20-3
A
解直角三角形的实际应用
考 向
(2025舟山三模)某数学活动小组设计采用航拍无人机测量楼高.如图20-4所示,航拍无人机飞行到楼房前方某高度时测得楼房底端B处的俯角为53°,楼房顶端A处的俯角为37°,BS=140米(点S为航拍无人机的位置).
(1)求此时航拍无人机离地面的垂直距离;
(2)求楼房的高度AB.
(参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,tan 37°≈0.75,
结果精确到1米)
例
1
图20-4
(1)求此时航拍无人机离地面的垂直距离;
图20-4
解:(1)如图,过点S作SF⊥BC于点F.
由题意,得∠GSB=53°,∠GSF=90°,
∴∠FSB=∠GSF-∠GSB=37°.
在Rt△SFB中,cos∠FSB=,
∴SF=BS·cos∠FSB≈140×0.8=112(米).
答:此时航拍无人机离地面的垂直距离约为112米.
(2)求楼房的高度AB.
图20-4
(2)如图,过点A作AE⊥SF于点E.
在Rt△BFS中,sin∠BSF=,∴BF=BS·sin∠BSF≈140×0.6=84(米).
由题意可知四边形AEFB为矩形,
∴AE∥BF,AE=BF=84米,AB=EF.
又∵SG∥BF,∴AE∥SG,∴∠SAE=∠GSA=37°.
在Rt△SEA中,tan∠SAE=,
∴SE=AE·tan∠SAE≈84×0.75=63(米),
∴EF=SF-SE=112-63=49(米),∴AB=EF=49米.
答:楼房的高度AB约为49米.
(2025连云港)如图20-5,港口B位于岛A的北偏西37°方向,灯塔C在岛A的正东方向,AC=6 km,一艘海轮D在岛A的正北方向,且B,D,C三点在一条直线上,DC=BD.
(1)求岛A与港口B之间的距离;
(2)求tan C的值.
(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈)
例
2
图20-5
(1)求岛A与港口B之间的距离;
图20-5
解:(1)如图,过点B作BM⊥AD,垂足为M.
由题意,得AC⊥AD,∴BM∥AC,
∴△BDM∽△CDA,∴.
∵DC=BD,AC=6 km,∴,解得BM=(km).
在Rt△ABM中,∵sin∠BAD=sin 37°=≈,
∴AB=4(km).
答:岛A与港口B之间的距离约为4 km.
(2)求tan C的值.
图20-5
(2)在Rt△ABM中,∵cos∠BAD=cos 37°=≈,
∴AM=(km).
∵△BDM∽△CDA,∴,
∴AD=AM=(km).
在Rt△ADC中,tan C=.
如图20-6①,扬中塔又称扬中新广播电视发射塔,昵称扬中小蛮腰,位于扬中市滨江公园内,距离市区1.2千米,与镇江新区隔江相望,是扬中热门景点之一.如图②,扬中塔AB建在背水坡坡比为1∶,坡长CD=6米,塔底B距离C点10米的环岛江堤上,小明在距离D点275米的E处测得塔顶A的仰角为30°,已知堤坝顶部BC与地面DE平行,求扬中塔AB的高度(参考数据:≈1.7,结果保留整数).
例
3
图20-6
解:如图,延长AB交ED于点F,则AF⊥ED,过点C作CG⊥ED,垂足为G.
又∵CB∥ED,CG⊥ED,∴四边形BCGF是矩形,∴GF=BC=10米,BF=CG.
∵背水坡坡比为1∶,∴.
设CG=x米,则DG=x米.
在Rt△CDG中,∵x2+(x)2=62,∴x=3(负值已舍去),
∴BF=CG=3 米,DG==3(米),
∴EF=ED+DG+GF=275+3+10=288(米).
在Rt△AEF中,∵tan∠AEF=,即tan 30°=,
∴AF=288·tan 30°=288×=96(米),
∴AB=AF-BF=96-3=93≈158.1≈158(米).
答:扬中塔AB的高度约为158米.
1.如图20-7,海中有一小岛A,在点B测得小岛A在北偏东30°方向上,渔船从点B出发,由西向东航行10 n mile到达点C,在点C测得小岛A恰好在正北方向上,此时渔船与小岛A的距离为 (　　)
A. n mile B. n mile
C.20 n mile D.10 n mile
考向精练
D
图20-7
2.(2025浙江13题)无人机警戒在高速公路场景中的应用,是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图20-8,在高速公路上,交警在A处操控无人机巡查,无人机从点A处飞行到点P处悬停,探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.若测得A处到P处的距离为500 m,从点A观测点P的仰角为α,
cos α=0.98,则A处到B处的距离为　　　　m.
图20-8
490
3.(2025湖州一模)纵观古今,解码测量背后的数学智慧.
(1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.意思是把“矩(曲尺)”仰立放,可测物体的高度.如图20-9①,点B,D,E在同一水平线上,∠ABE=
∠CDE=90°,AE与CD交于点F,测得DF=0.35米,DE=0.55米,BE=22米,求树AB的高度.
(2)【今】某综合实践活动小组尝试通过利用无人机
(无人机限高120米)测算某山体的海拔,设计了如下两
种方案.请选择其中一种可行的测算方案,计算该山体
的海拔(AB的长).(精确到1米)
图20-9
方案一:如图②,无人机位于海拔为60米的C处,测得山顶A处的仰角α为45°,山脚D处的俯角β为65°.(参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
方案二:如图③,当无人机位于海拔为60米的C处时,测得山顶A处的仰角γ为45°;当无人机垂直上升到海拔为113米的G处时,测得山顶A处的仰角θ为25°.(参考数据:sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,tan 25°≈0.47)
图20-9
(1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.意思是把“矩(曲尺)”仰立放,可测物体的高度.如图20-9①,点B,D,E在同一水平线上,∠ABE=∠CDE=
90°,AE与CD交于点F,测得DF=0.35米,DE=0.55米,BE=22米,求树AB的高度.
图20-9
解:(1)∵∠ABE=∠CDE=90°,∠AEB=∠FED,
∴△ABE∽△FDE,
∴.
∵DF=0.35米,DE=0.55米,BE=22米,
∴,∴AB=14(米).
答:树AB的高度为14米.
(2)【今】某综合实践活动小组尝试通过利用无人机(无人机限高120米)测算某山体的海拔,设计了如下两种方案.请选择其中一种可行的测算方案,计算该山体的海拔(AB的长).(精确到1米)
方案一:如图②,无人机位于海拔为60米的C处,测得山顶A处的仰角α为45°,山脚D处的俯角β为65°.(参考数据:sin 65°≈0.91,cos 65°≈0.42,tan 65°≈2.14)
方案二:如图③,当无人机位于海拔为60米的C处时,测得山顶A处的仰角γ为45°;当无人机垂直上升到海拔为113米的G处时,测得山顶A处的仰角θ为25°.(参考数据:sin 25°≈0.42,cos 25°≈0.91,tan 25°≈0.47)
(2)方案一不可行,方案二可行.
由题意,得BE=60米,四边形CGHE,CFBE为矩形,
∴CF=BE=60米,
∴EH=CG=113-60=53(米),GH=CE.
∵∠ACE=γ=45°,∠AEC=90°,
∴AE=CE.
∵∠AGH=θ=25°,∠AHG=90°,
∴=tan 25°,
∴=1-=tan 25°,
∴AE=CE=≈=100(米),
∴AB=AE+EB=100+60=160(米).
答:该山体的海拔约为160米.(共37张PPT)
备考手册
第18课时　相似三角形
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
比例线段及比例的性质
1.比例线段
四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即①　　　　,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.
2.比例的性质
(1)基本性质:
ad=②　　 　(a,b,c,d都不为0);
(2)比例中项:
如果三个数a,b,c满足比例式 ③　 　　,那么b就叫做a,c的比例中项.
bc
b2=ac
3.黄金分割
如果点P把线段AB分成两条线段AP和PB,使AP>PB,且④　　　　　,那么称线段AB被点P黄金分割,点P叫做线段AB的黄金分割点,所分成的较长一条线段AP与整条线段AB的比叫做黄金比,黄金比=⑤　　　　≈⑥　 　　.
4.由平行线截得的比例线段
基本事实:两条直线被一组平行线(不少于3条)所截,所
得的对应线段成比例.
如图18-1,若l1∥l2∥l3,则,=⑦　　　　,
=⑧　　　　.
图18-1
　
0.618
　
　
基础自测
1.如果5a=2b(ab≠0),那么下列比例式中正确的是 (　　)
A. B.
C. D.
C
2.如图18-2,直线l1∥l2∥l3,直线AC依次交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF依次交l1,l2,l3于点D,E,F.若,DE=6,则EF的长为_______.　
图18-2
8
3.古筝是一种弹拨弦鸣乐器,又名汉筝、秦筝,是汉民族古老的民族乐器,流行于中国各地.如图18-3,将古筝弦抽象为一条线段AB,若AB=90 cm,支撑点C是线段AB上靠近点A的一个黄金分割点(),则BC的长为
cm.(结果保留根号)
图18-3
(45-45)
考
点
二
相似三角形的性质
性质 相似三角形的对应角⑨　　　　,对应边⑩ 　　　　
相似三角形的周长之比等于 　　　
相似三角形的面积之比等于 　　　 　　　
相似三角形的对应线段(角平分线、中线、高线)之比等于 　　　
拓展 三角形的重心分每一条中线成1∶ 　　　　的两条线段
相等
成比例
相似比
相似比的平方
相似比
2
基础自测
4.(2025青海)如图18-4,在△ABC中,DE∥BC,且AD=3,DB=2,则的值是　　　.
5.两个相似三角形的面积之比为1∶4,较小的三角形的周长为4,则较大的三角形的周长为 (　　)
A.16 B.8
C.2 D.1
图18-4
B
6.如图18-5,在△ABC中,已知AC=4,BC=3,D是AB上一点,连结CD.若AD=2DB,且△BCD∽△BAC,则CD的长为　　　　.
图18-5
　
考
点
三
相似三角形的判定
1.平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;
2.有两个角对应相等的两个三角形相似,特别地,直角三角形斜边上的高线分得的两个直角三角形相似,且都与原直角三角形相似;
3.两边对应成比例,且 　　　　　的两个三角形相似;
3. 　　　　对应成比例的两个三角形相似.
夹角相等
三边
基础自测
7.已知△ABC如图18-6所示,则下列4个三角形(图18-7)中,与△ABC相似的是
(　　)
图18-6
图18-7
C
8.如图18-8,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高线.
(1)写出图中的相似三角形:　　　　　　　　　 　　;
(2)根据△ABC∽△ACD,有,即AC2=AD·AB,类似的结论还有:
　　　　　　　　　　　 　;
(3)若AC=6,BC=8,则CD=　　　　,BD=　　　　,AD=　　　　.
图18-8
△ABC∽△CBD∽△ACD
BC2=BD·AB,CD2=AD·BD
4.8
6.4
3.6
9.如图18-9,添加一个条件,不能判定△ABC与△ADE相似的是 (　　)
A.∠B=∠AED
B.∠B=∠ADE
C.
D.
图18-9
C
考
点
四
相似多边形
成比例
定义 对应角相等,对应边 　　　　的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比也叫做相似比
性质 相似多边形的周长之比等于 　　　　,面积之比等于
　　　　　　　
相似比
相似比的平方
基础自测
10.手工制作课上,小红利用一些花布的边角料,剪裁后装饰手工画.下面四个图案(图18-10)是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边,其中每个图案花边的宽度都相同,那么图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是(　　)
图18-10
D
考
点
五
图形的位似
一、一般地,如果两个图形满足以下两个条件:所有经过对应点的直线都相交于同一点;这个交点到两个对应点的距离之比都相等,那么这两个图形就叫做位似图形,经过各对应两点的直线的交点叫做位似中心.位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比.
二、当以坐标原点为位似中心时,若原图形上点的坐标为(x,y),位似图形与原图形的位似比为k,则位似图形上的对应点的坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky).
基础自测
11.(2024浙江6题)如图18-11,在平面直角坐标系中,△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B'的坐标为 (　　)
A.(-4,8) B.(8,-4)
C.(-8,4) D.(4,-8)
图18-11
[解析]∵△ABC与△A'B'C'是位似图形,位似中心为点O,
点A(-3,1)的对应点为A'(-6,2),∴△ABC与△A'B'C'的相似
比为1∶2.∵点B的坐标为(-2,4),∴点B的对应点B'的坐
标为(-2×2,4×2),即(-4,8).故选A.
A
12.(2025浙江6题)如图18-12,五边形ABCDE,A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形,已知点A,A'的坐标分别为(2,0),(3,0).若DE的长为3,则D'E'的长为(　　)
A. B.4
C. D.5
图18-12
C
平行线分线段成比例
考向一
(2023北京)如图18-13,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD.若AO=2,OF=1,
FD=2,则的值为　　　　.
例
1
图18-13
[解析]∵AO=2,OF=1,∴AF=AO+OF=2+1=3.
∵AB∥EF∥CD,∴.
1.(2025杭州上城区一模)如图18-14是一张横格数学作业纸,纸中的横线都平行,且相邻两条横线间的距离都相等.已知线段AC在横格纸上,与作业纸中的横线交于点B.若AC=10,则AB的长是 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
考向精练
图18-14
[解析]如图,过点A作AD⊥CE于点D,交BM于点N.
设相邻两条横线间的距离为a.
∵BM∥CE,∴,
∴,∴AB=4.
B
相似三角形的性质与判定
考向二
(2023陕西)如图18-15,DE是△ABC的中位线,点F在DB上,DF=2BF,连结EF并延长,与CB的延长线相交于点M.若BC=6,则线段CM的长为 (　　)
A. B.7
C. D.8
例
2
图18-15
[解析]∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥BC,DE=BC=×6=3.
∴△DEF∽△BMF.∴=2.∴BM=.∴CM=BC+BM=.
C
变式 如图18-16,BE是△ABC的中线,点F在BE上,连结AF并延长,交BC于点D.若BF=3EF,则= (　　)
A. B.
C. D.
图18-16
[解析]过点E作EH∥AD,交BC于点H,如图,则.
∵BE是△ABC的中线,∴CE=EA,∴CH=HD.
∵EH∥AD,∴=3,∴.
B
题中有线段的比例关系时,常需要过分点作平行线来解决问题.注意选择不同的分点作平行线难度是不同的.
通性通法
如图18-17,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
例
3
图18-17
解:(1)证明:∵AG⊥BC,AF⊥DE,
∴∠AFE=∠AGC=90°.
∵∠EAF=∠GAC,∴∠AED=∠ACB.
又∵∠EAD=∠CAB,∴△ADE∽△ABC.
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
图18-17
(2)方法1 由(1)可知:△ADE∽△ABC,∴.
由(1)易证△EAF∽△CAG.∴.
方法2 ∵AG⊥BC,AF⊥DE,△ADE∽△ABC,
∴.
2.如图18-18,在 ABCD中,∠ABC的平分线交AC于点E,交AD于点F,交CD的延长线于点G.若AF=2FD,则的值为 (　　)
A. B.
C. D.
考向精练
C
图18-18
[解析]由AF=2DF,可以设DF=k,则AF=2k,AD=3k.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB∥CD,AB=CD.
∴∠FBC=∠AFB=∠DFG,∠ABF=∠G.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBG.
∴∠ABF=∠AFB=∠DFG=∠G.
∴AB=CD=AF=2k,DG=DF=k.
∴CG=CD+DG=3k.
∵AB∥CG,∴△ABE∽△CGE.∴.
图18-18
题中有平行线时,常伴有相似三角形,有兴趣的同学不妨找一找图18-19中的相似三角形.
通性通法
图18-19
图中有中点或等分点这类条件时,可考虑作平行线构造相似三角形.如例2的变式.
3.(2025杭州钱塘区一模)如图18-20,已知四边形ABCD的对角线AC,BD交于点E,F是BD上一点,连结AF,△ABF∽△ACD.
(1)求证:△ABC∽△AFD;
(2)若BC=4,AD=9,FD=6,求AC的长.
图18-20
解:(1)证明:∵△ABF∽△ACD,
∴,∠BAF=∠CAD,
∴,∠BAF-∠CAF=∠CAD-∠CAF,
∴∠BAC=∠FAD,∴△ABC∽△AFD.
(2)若BC=4,AD=9,FD=6,求AC的长.
图18-20
(2)∵△ABC∽△AFD,∴.
∵BC=4,AD=9,DF=6,∴,∴AC=6.
位似
考向三
(2025兰州)如图18-21,在平面直角坐标系xOy中,△ABC与△A'B'C'位似,位似中心是原点O.已知BC∶B'C'=1∶2,则点B(2,0)的对应点B'的坐标是
(　　)
A.(3,0) B.(4,0)
C.(6,0) D.(8,0)
例
4
B
图18-21
变式 (2025杭州临安区一模)如图18-22,在平面直角坐标系中,等边三角形ABC与等边三角形BDE是以原点O为位似中心的位似图形,且面积比为1∶9,点A,B,D均在x轴上.若点C的坐标为(2,),则点E的坐标为 (　　)
A.(4,2)
B.(5,2)
C.(6,3)
D.(8,3)
图18-22
C
[解析]∵等边三角形ABC与等边三角形BDE是以原点O为位似中心的位似图形,且面积比为1∶9,
∴△ABC∽△BDE,相似比为1∶3.
∵点C的坐标为(2,),
∴点E的坐标为(2×3,×3),即(6,3).
4.如图18-23,在菱形ABCD中,点B的坐标为(2,1),点C的坐标为(1,0),点D在y轴的正半轴上,以点C为位似中心,在x轴的下方作菱形ABCD的位似图形菱形A'B'CD',并把菱形ABCD的边长放大到原来的2倍,则点B的对应点B'的横坐标是 (　　)
A.-1.5 B.-0.5
C.-2 D.-1
考向精练
D
图18-23
5.(2025温州一模)在如图18-24所示的6×7的正方形网格中,点A,B,C,D是格点,线段CD是由线段AB位似放大得到的,则它们的位似中心是 (　　)
A.点P1 B.点P2
C.点P3 D.点P4
图18-24
[解析]如图,连结CA,DB并延长,则交点即为它们的位似中心,∴它们的位似中心是点P3.
C
李阿姨要装修自己带阁楼的新居(如图18-25为新居剖面图),在建造客厅到阁楼的楼梯AC时,为避免上楼时墙角F碰头,设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m.已知客厅高AB=2.8 m,楼梯洞口宽AF=2 m,阁楼阳台宽EF=
3 m.如果要使墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75 m,那么楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米
例
5
图18-25
解:根据题意,得AF∥BC,∴∠ACB=∠GAF.
又∵∠ABC=∠GFA=90°,∴△ABC∽△GFA.
∴,即.
∴BC=3.2.∴CD=2+3-3.2=1.8.
∴楼梯底端C到墙角D的距离CD是1.8 m.
利用相似三角形解决实际问题
考向四
[解析]如图,过点B作BM⊥x轴于点M,过点B'作B'N⊥x轴于点N,
则BM∥B'N,∴.
∵把菱形ABCD的边长放大到原来的2倍得到菱形A'B'CD',
∴CB'=2CB,∴.
∵点B的坐标为(2,1),点C的坐标为(1,0),
∴OC=CM=1,∴CN=2,∴ON=1,∴点B'的横坐标是-1.(共24张PPT)
备考手册
第19课时　锐角三角函数
教材知识整合
高频考向探究
考
点
一
锐角三角函数的定义及性质
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b 正弦 sin A=
余弦 cos A==①　　
正切 tan A==②　　
∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数.由定义可知,∠A为锐角时,0　
基础自测
1.(2025衢州一模)如图19-1,△ABC的三个顶点都在3×1的正方形网格的格点上,则tan B的值为 (　　)
A. B.
C. D.
图19-1
A
2.(2025杭州富阳区一模)如图19-2,在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则 (　　)
A.a=bsin B B.b=csin B
C.a=btan B D.b=ctan B
图19-2
B
3.如图19-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,若tan B=,则sin A的值为　　　　.
图19-3
考
点
二
特殊角的三角函数值
α sin α cos α tan α
30° ③　　 ④　　 ⑤　　
45° ⑥　　 ⑦　　 ⑧　　
60° ⑨　　 ⑩
　
　
　
　
　
1
基础自测
4.(2025杭州钱塘区一模)计算:sin230°+cos230°=　　　　.
5.在△ABC中,若锐角∠A,∠B满足|sin A-|+(cos B-)2=0,则∠C=　　　　.
1
90°
考
点
三
解直角三角形
在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b 三边关系 a2+b2= 　　　
两锐角关系 ∠A+∠B= 　　　°
边与角关系 sin A=cos B= 　 　,cos A=sin B= 　 　　,
tan A= 　　　　,tan B= 　　　　
c2
90
基础自测
6.如图19-4,已知△ABC.
(1)如图①,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,cos B=,则AB=　　　　,AC=　　　　,
sin B=　　　　,tan B=　　　　;
图19-4
[解析](1)在Rt△ABC中,cos B=,BC=6,
∴AB=BC=10.根据勾股定理得AC==8,
∴sin B=,tan B=.
10
8
　
　
(2)如图②,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AC=8,则AB=　　　　;
图19-4
[解析](2)过点A作AD⊥BC于点D.
∵AC=8,∠C=60°,∴AD=4.
∵∠B=45°,∴AB=AD=4.
4　
(3)如图③,在△ABC中,∠B=30°,BC=10,∠ACB=135°,则BC边上的高线长为
　　　　.
[解析](3)如图,过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D.
∵∠ACB=135°,∴∠ACD=45°.
∴在Rt△ACD中有CD=AD.
∵∠B=30°,∴tan B=,即.
∴,解得AD=5+5.
5+5
锐角三角函数的相关计算
考向一
如图19-5,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若AD=8,CD=4,则tan B的值为 (　　)
A. B.
C. D.
例
1
图19-5
[解析]∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∴∠B+∠DCB=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠DCB=90°,∴∠B=∠ACD,
∴tan B=tan∠ACD=.
D
如图19-6,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1.若△ABC的三个顶点都在格点上,则sin∠BAC=　　　　,
tan∠ACB=　　　　.
例
2
图19-6
　
[解析]如图,过点B作BM⊥AC于点M.
由题意可知AB=2,AC==3.
∵S△ABC=AC·BM=×2×3,
∴BM=,
∴sin∠BAC=,AM=,
∴CM=AC-AM=2,
∴tan∠ACB=.
变式 1 如图19-7,在由边长为2的小正方形组成的网格中,点A,B,C都在格点上,以AB为直径的圆经过点C和点D,则tan∠ADC=　　　　.
图19-7
[解析]∵AB为圆的直径,
∴∠ACB=90°.
在Rt△ABC中,tan∠ABC=.
∵∠ADC=∠ABC,∴tan∠ADC=tan∠ABC=.
变式 2 如图19-8,△ABC的顶点在边长为1的正方形网格的格点上.
(1)直接写出cos B和tan(∠ACB-90°)的值;
(2)求sin A的值.
图19-8
解:(1)cos B=cos 45°=,tan(∠ACB-90°)=.
(2)S△ABC=×2×3=×3·sin A,
∴sin A=.
求锐角三角函数值,需将角放置到直角三角形中或借助等角求解.解题步骤:
通性通法
解直角三角形
考向二
(2025杭州富阳区一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin B=,AC=4.求∠A的度数和△ABC的面积.
例
3
图19-9
解:在Rt△ABC中,∵sin B=,
∴∠B=60°,AB==8.
∴BC==4,∠A=90°-60°=30°.
∴S△ABC=AC·BC=×4×4=8.
如图19-10,在△ABC中,∠B=45°,BC=3,tan C=,则中线AD的长为(　　)
A. B.2 C. D.
例
4
图19-10
D
[解析]如图,过点A作AE⊥BC于点E.
设AE=x.
在Rt△ABE中,∵∠B=45°,∴BE==x.
在Rt△AEC中,∵tan C=,∴,∴CE=2AE=2x.
∵BC=BE+CE,∴x+2x=3,
解得x=1,∴AE=BE=1.
∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD=BC=1.5,∴DE=BD-BE=1.5-1=0.5.
在Rt△ADE中,AD=.
图22-10中的三角形均可解,同学们可尝试求解图形中的线段.
通性通法
图22-10
1.如图19-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,D为边AC上一点,∠BDC=45°,AD=
7,则CD=　　　　.
考向精练
图19-11
[解析]∵∠C=90°,∴sin A=.设BC=5x,则AB=13x,∴AC==12x.
∵∠BDC=45°,∠C=90°,∴∠BDC=∠CBD=45°,
∴CD=BC=5x,∴AD=AC-CD=7x.
∵AD=7,∴7x=7,解得x=1,∴CD=5x=5.
5
2.(2024浙江19题)如图19-12,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE是BC边上的中线,
AB=10,AD=6,tan∠ACB=1.
(1)求BC的长;
(2)求sin∠DAE的值.
图19-12
解:(1)∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD中,AB=10,AD=6,
∴BD==8.
∵tan∠ACB=1,∴=1,∴CD=AD=6,
∴BC=BD+CD=8+6=14.
(2)求sin∠DAE的值.
图19-12
(2)∵AE是BC边上的中线,
∴CE=BC=7,
∴DE=CE-CD=7-6=1.
在Rt△ADE中,由勾股定理,得AE=,
∴sin∠DAE=.

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