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(共22张PPT)
平行四边形的对称性
提分微课(四)
分/类/精/析
平行四边形的中心对称性的一般结论
类型一
(浙教版八下P87例3)已知:如图W4-1, ABCD的对角线AC,BD交于点O.过点O作直线EF,分别交AB,CD于点E,F.求证:OE=OF.
例
1
图W4-1
证明:如图.
在 ABCD中,∵AB∥CD,
∴∠1=∠2.
又∵OA=OC,∠3=∠4,
∴△AOE≌△COF.∴OE=OF.
[通性通法]
由平行四边形的性质得到的结论:
(1)平行四边形的两条对角线将其分成四个面积相等的小三角形,且相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形两邻边之差;
(2)过平行四边形两条对角线交点的直线平分平行四边形的周长和面积.
变式 1 如图W4-2,EF过 ABCD对角线的交点O,交AD于点E,交BC于点F,有下列结论:①AE=CF;②若AB=4,AC=6,则2S△ABC.其中正确的结论是　 　　　.(只填序号)
①②③④
图W4-2
[解析]∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,OA=OC,OB=OD,
∴∠OEA=∠OFC,∠OAE=∠OCF,
∴△OAE≌△OCF(AAS),∴AE=CF,故①正确;
∵AC=6,∴OA=OC=AC=3.又∵AB=4,∴1∴2∵O为对角线BD的中点,∴S△AOB=S△ABD=S ABCD,故③正确;
由题图可知S四边形ABFE-S△OAE=S△ABC-S△OCF.∵△OAE≌△OCF,
∴S△OAE=S△OCF,∴S四边形ABFE=S△ABC,故④正确.
故答案为①②③④.
图W4-2
变式 2 如图W4-3, ABCD的对角线AC和BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F,AC=6,△AEO的周长为14,则CF+OF的值为　　　　.
图W4-3
[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,AC=6,
∴OA=OC=3,AB∥CD,∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,AE=CF.
∵△AEO的周长为14,∴OA+AE+OE=14,
∴AE+OE=14-3=11,∴CF+OF=AE+OE=11.
11
利用平行四边形的中心对称性求面积
类型二
如图W4-4,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=4,BC=6,∠ABC=
60°,则图中阴影部分的面积为 (　　)
A.3 B.3
C.12 D.6
例
2
图W4-4
[解析]如图,过点A作AM⊥BC于点M,则∠AMB=90°.
∵∠ABC=60°,AB=4,∴AM=2,
∴S ABCD=BC·AM=12.
易证△BOE≌△DOF(ASA),∴S△BOE=S△DOF,
∴图中阴影部分的面积= ABCD的面积=3.
B
[通性通法]
涉及过平行四边形中心的直线,求面积或已知面积(关系)时,注意借助平行四边形的对称性和等量转化求解.
变式 如图W4-5,若四边形ABCD是平行四边形,过对角线的交点O作直线EF分别交边AB,CD于点E,F,过点O作直线GH分别交边AD,BC于点G,H,且S四边形DGOF
=S ABCD.若AD=3,AB=5,AG=1,则DF=　　　　.
图W4-5
[解析]如图,过点O作OM⊥CD于点M,ON⊥AD于点N.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=5,OA=OC.
∵S△COD=S△AOD=S ABCD,S四边形DGOF=S ABCD,
∴S△AOD=S四边形DGOF,∴S△AOG=S△DOF.
∵S△AOG=AG·ON=ON,S△DOF=DF·OM,
∴ON=DF·OM.
∵S ABCD=AD·2ON=CD·2OM,∴3×2ON=5×2OM,
∴,∴DF=.
1.如图W4-6,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线EF分别交AD和BC于点E,F.若AB=2,BC=4,则图中阴影部分的面积为　　　　.
巩/固/训/练
图W4-6
4
2.(2024眉山)如图W4-7,在 ABCD中,O是BD的中点,EF过点O,下列结论:①AB
∥DC;②EO=ED;③∠A=∠C;④S四边形ABOE=S四边形CDOF.其中正确结论的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
图W4-7
C
3.【感知】如图W4-8①,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线EF分别交边AB,CD于点E,F.易证:△BOE≌△DOF(不需要证明).
【探究】若图①中的直线EF分别交边CB,AD的延长线于点H,G,其他条件不变,如图②.求证:△BOH≌△DOG;
【应用】在图②中,连结AH.若∠ADB=90°,AB=10,AD=6,BH=BC,求GH的长和四边形AHBD的面积.
图W4-8
【探究】若图①中的直线EF分别交边CB,AD的延长线于点H,G,其他条件不变,如图②.求证:△BOH≌△DOG;
解:【探究】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OD=OB,∴∠ODG=∠OBH,∠G=∠OHB.
在△BOH和△DOG中,∵
∴△BOH≌△DOG(AAS).
图W4-8
【应用】在图②中,连结AH.若∠ADB=90°,AB=10,AD=6,BH=BC,求GH的长和四边形AHBD的面积.
【应用】∵∠ADB=90°,AB=10,AD=6,∴BD==8.
∵BH=BC,BC=AD=6,∴BH=3.
∵AD∥BH,∴BD⊥CH.在Rt△OBH中,OB=BD=4,BH=3,∴OH=5.
由【探究】得△BOH≌△DOG,∴DG=BH=3,OH=OG=5,∴GH=10,四边形AHBD的面积=(BH+AD)·BD=×(3+6)×8=36.
4.(2025杭州滨江区一模)如图W4-9①,在正方形ABCD中,过对角线的交点O的两条互相垂直的直线交该正方形各边于点E,F,G,H.求证:AE=BG,EF与GH把该正方形分成面积相等的四部分.
小滨、小江在完成上述解答后,进一步思考,若将图形一般化,是否也会有类似的结论 两位同学进行了如下探究.
图W4-9
(1)如图②,在矩形ABCD中,过对角线的交点O的两条直线交该矩形各边于点E,F,G,H.
小滨:若BG∶AE=BA∶AD,则EF与GH把该矩形分成面积相等的四部分.
小江:若EF⊥GH,则EF与GH把该矩形分成面积相等的四部分.
请判断小滨、小江的猜想是否正确,并说明理由;
(2)请仿照小滨、小江同学的探究过程,写出一个类似的真命题:
如图③,在 ABCD中,
　　　　　　　　　　　　　　　　.
(1)如图②,在矩形ABCD中,过对角线的交点O的两条直线交该矩形各边于点E,F,G,H.
小滨:若BG∶AE=BA∶AD,则EF与GH把该矩形分成面积相等的四部分.
小江:若EF⊥GH,则EF与GH把该矩形分成面积相等的四部分.
请判断小滨、小江的猜想是否正确,并说明理由;
解:(1)小滨的猜想正确,小江的猜想错误.理由如下:
如图,过点O作OT⊥BA,OP⊥AD,垂足分别为T,P.
∵四边形ABCD是矩形,
∴OB=OA=OD=OC,∠BAD=90°,
∴∠OTB=∠BAD=90°,
∴OT∥AD,
∴△BTO∽△BAD,∴,
∴BT=BA,OT=AD.
同理DP=AD,OP=BA,∴S△OBG=BG·OT=BG·AD,S△AEO=AE·OP=AE·BA.
若BG∶AE=BA∶AD,则AE·BA=BG·AD,
∴S△OBG=S△AEO,
∴S四边形AEOG=S△AEO+S△AGO=S△OBG+S△AGO=S△AOB=S矩形ABCD.
∵矩形是中心对称图形,
∴S四边形CFOH=S四边形AEOG=S矩形ABCD,
∴S四边形EOHD=S四边形FOGB=S矩形ABCD,
∴若BG∶AE=BA∶AD,则EF与GH把该矩形分成面积相等的四部分,故小滨的猜想正确.
∵∠BAD=∠ATO=∠OPA=90°,
∴四边形ATOP为矩形,∴∠TOP=90°.
若EF⊥GH,则∠EOG=90°,∴∠TOP=∠EOG,
∴∠TOP-∠TOE=∠EOG-∠TOE,即∠1=∠2.
又∵∠OTG=∠OPE=90°,∴△OTG∽△OPE.
∵BT=AB,DP=AD,∴AT=AB,AP=AD.
由题意,得S四边形AEOG=S梯形AEOT+S△OTG,S矩形APOT=
S梯形AEOT+S△OPE=AP·AT=AD·AB=S矩形ABCD.
又∵△OTG∽△OPE,但不一定全等,∴S△OTG不一定等于S△OPE,
故S矩形APOT不一定等于S四边形AEOG,∴S四边形AEOG不一定等于S矩形ABCD,
∴若EF⊥GH,则EF与GH不一定把该矩形分成面积相等的四部分,∴小江的猜想错误.
(2)请仿照小滨、小江同学的探究过程,写出一个类似的真命题:
如图③,在 ABCD中, 　　　　　　　　　　　　　　　　.
(2)过对角线的交点O的两条直线交该平行四边形各边于点E,F,G,H,若S△AOE=
S△BOG,则EF与GH把该平行四边形分成面积相等的四部分(共20张PPT)
矩形的折叠
提分微课(七)
如图W7-1,在正方形ABCD中,将AD折叠,点D落在点D'处,折痕为AP.回答下列问题:
1.图形折叠前后有什么变化 你能得出哪些结论
2.“折痕”有什么作用
复/习/回/顾
图W7-1
典/例/精/析
如图W7-2①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P在BC上,且不与点B重合,将△ABP沿AP折叠,得到△AB'P.
(1)如图①,当点B'落在线段AD上时,PB的长为　　　　;
(2)如图②,当点B'落在线段AB的垂直平分线MN上时,连结BB',则BB'的长为
　　　　;
(3)如图③,当点B'落在对
角线AC上时,BP的长为
　　　　;
例
图W7-2
3
3
　
(4)如图④,当点P与点C重合时,CB'与AD交于点E,则AE的长为　　　　;
(5)如图⑤,当点P,B',D在同一直线上时,PB的长为　　　　;
(6)如图⑥,当P是BC的中点时,延长AB'交CD于点F,求CF的长.
图W7-2
　
4-
(6)如图⑥,当P是BC的中点时,延长AB'交CD于点F,求CF的长.
(6)连结FP,易知Rt△PB'F≌Rt△PCF,∴B'F=CF.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠D=90°,AD=BC=4,CD=AB=3.
设B'F=CF=x,则DF=3-x,AF=3+x.
在Rt△ADF中,由勾股定理,得42+(3-x)2=(3+x)2,
解得x=,即CF的长为.
[通性通法]
求解折叠问题需重点关注以下几点:
1.关注“全等”:明确对应线段、对应角之间的相等关系.
2.关注“对称轴”:基于“垂直平分线”与“角平分线”挖掘隐含信息.
3.关注点和折痕的特殊性:
(1)如图①,折痕为对角线AC,△AB'E≌　△CDE　;
若连结B'D,BB',则有B'D∥　AC　,BB'⊥　B'D　.
(2)如图②,折叠使得点B的对应点B'落在对角线AC上时,出现反“A”形相似、“十字架”模型,用勾股定理或相似可求解.
(3)如图③,点D,B',P在同一直线上,折叠出现等腰三角形,角平分线+平行→等腰三角形.△ADP为等腰三角形.
1. 如图W7-3,在矩形ABCD中,点G,E分别在边BC,DC上,连结AG,EG,AE,将△ABG和△ECG分别沿AG,EG折叠,点B,C恰好落在AE上的同一点,记为点F.若CE=3,CG=4,则DE的长度为 (　　)
A. B.
C.3 D.
B
巩/固/训/练
图W7-3
[解析]方法1 由折叠的性质可知,AB=AF,EF=CE=3,CG=GF=4=BG,
∴BC=BG+CG=4+4=8.∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC=8.
设AB=CD=x,在Rt△ADE中,AD=8,DE=x-3,AE=AF+EF=x+3,
由勾股定理得(x-3)2+82=(x+3)2,解得x=,∴DE=DC-EC=-3=.
图W7-3
方法2 ∵GC=4,CE=3,∠C=90°,∴GE==5.
根据折叠的性质知:BG=GF=GC=4,CE=EF=3,∠AGB=∠AGF,∠EGC=∠EGF,
∴AD=BC=BG+GC=8,∠AGE=90°.
易证Rt△EGF∽Rt△EAG,∴,即.∴AE=.
在Rt△ADE中,由勾股定理得
DE=.
图W7-3
2. 如图W7-4,已知矩形纸片ABCD,其中AB=3,BC=4,现将纸片进行如下操作:
第一步,如图①,将纸片对折,使AB与DC重合,折痕为EF,展开后如图②;
第二步,再将图②中的纸片沿对角线BD折叠,展开后如图③;
第三步,将图③中的纸片沿过点E的直线折叠,使点C落在对角线BD上的点H处,如图④,则DH的长为(　　)
A. B.
C. D.
图W7-4
D
[解析]方法1 如图①,连结CH.根据题意,可知EB=EH=EC,
∴B,C,H在以E为圆心,BC为直径的圆上.∴∠BHC=90°.∴CH⊥BD.
∵在矩形ABCD中,AB=3,
∴CD=3.∴BD==5.
∴CH=.
∵tan∠BDC=,
∴HD=.
方法2 由题意得CD=AB=3,BD=5,设纸片沿EM折叠,如图②,由折叠可知BE=CE=EH=BC=2,∠EHM=∠C=90°,CM=HM,进而得出∠EBH=∠EHB.利用等角的余角相等可得∠HDM=∠DHM,则MD=MH.∴DM=CM=CD=.过点M作MG⊥BD于点G,由等腰三角形的性质可得DH=2DG.
易证明△MGD∽△BCD,
∴,即.∴DG=.
∴DH=2DG=.
3.如图W7-5是一张矩形纸片ABCD,点E,F分别在边AB,BC上,把△BEF沿直线EF折叠,使点B落在对角线AC的中点G处.若AB=6,BC=8,则BE= (　　)
A.2 B.4
C.5 D.
图W7-5
D
[解析]如图,连结BG交EF于点H.
∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°.
∵AB=6,BC=8,∴AC=10.∵G是AC的中点,∠ABC=90°,∴BG=AG=CG=AC=5,∴∠HBE=∠BAC.
∵点G与点B关于直线EF对称,∴EF垂直平分BG,∴BH=GH=BG=,∠BHE=90°,
∴=cos∠HBE=cos∠BAC=,∴BE=BH=.
4.如图W7-6,在长方形纸片ABCD中,AB=12,AD=20,折叠纸片,使点A落在BC边上的点A'处,折痕为PQ,当点A'在BC边上移动时,折痕的端点P,Q也随之移动.点P,Q分别在边AB,AD上移动,则点A'在BC边上可移动的最大距离为 (　　)
A.8 B.10
C.12 D.16
图W7-6
A
[解析]在长方形纸片ABCD中,AB=12,AD=20,∴BC=AD=20.①当点P与点B重合时,BA'=BA=12,则CA'=BC-BA'=20-12=8.
②当点Q与点D重合时,由折叠得A'D=AD=20.
由勾股定理,得CA'==16,
∴点A'在BC边上可移动的最大距离为16-8=8.
图W7-6
5.如图W7-7,E是矩形ABCD的 边BC上一点,沿AE折叠,点B恰好落在CD边上的点F处.设=x,=y,求y关于x的函数表达式.
图W7-7
解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=∠D=90°,∴∠FEC+∠EFC=90°.
由折叠得BE=EF,AB=AF=DC=DF+FC,∠B=∠AFE=90°,
∴∠EFC+∠AFD=90°,∴∠FEC=∠AFD,
∴△FEC∽△AFD,∴,∴.
而=x,=y,∴y=,∴y=1+,∴y=1+.
6.如图W7-8,已知矩形ABCD,E为BC边上一点,将△ABE沿AE翻折得到△AFE,延长AF交BC于点G,连结DG.若CG=5,cos∠ADG=.
(1)求AB的长;
(2)当时,求证:G是EC的中点.
图W7-8
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AB=CD,∠B=∠C=90°,∴∠CGD=∠ADG.
在Rt△CGD中,cos∠ADG=cos∠CGD=,
∴DG=13,∴AB=CD==12.
(2)当时,求证:G是EC的中点.
图W7-8
(2)证明:由折叠可知BE=EF,∠B=∠AFE=90°,
∴.
设BE=EF=4x,EG=5x,则FG==3x.
∵∠EFG=∠B=90°,∠EGF=∠AGB,
∴△GEF∽△GAB,∴,即,解得EF=4,
∴x=1,∴EG=5=CG,
∴G是EC的中点.(共28张PPT)
关注“等弧”灵活转化
提分微课(六)
典/例/精/析
如图W6-1,AB为☉O的直径,C,D为☉O上的点,
.若∠CAB=40°,则∠CAD=　　　　.
例
1
图W6-1
25°
[解析]方法1 如图①,连结BC,BD.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°.∴∠ABC=50°.
∵,
∴∠CAD=∠ABD=∠CBD=25°.
方法2 如图②,连结BD,则∠ADB=90°.
∵,∴∠CAD=∠ABD.
设∠CAD=∠ABD=x°.
在Rt△ABD中,x+40+x=90,
解得x=25,∴∠CAD=25°.
方法3 如图③,连结BC,CD.∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°.∴∠ABC=50°.
由圆内接四边形的性质可得∠D=130°.
∵,
∴∠CAD=∠ACD==25°.
方法4 如图④,连结OC,OD.
∵OA=OC,∠OAC=40°,∴∠AOC=100°.
∵,∴∠AOD=∠COD=50°.
∴∠CAD=∠COD=25°.
变式 如图W6-2,AB是☉O的直径,点C在☉O上,∠CAB的平分线交☉O于点D,连结BC交AD于点F,若AB=10,AD=8,求CF的长.
图W6-2
解:如图,连结BD.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=∠ACB=90°.
∴BD==6.
∵∠BAD=∠CAD=∠CBD,∠ADB=∠BDF,
∴△DAB∽△DBF.
∴,即.∴FD=.
∴AF=AD-FD=8-,BF=.
可证△FAC∽△FBD,
∴,即.∴CF=.
[通性通法]
圆弧中点的联想:
如图①,D为的中点,则
①弦相等:BD=CD;
② 圆周角相等:
∠BAD=∠CAD=∠CBD=∠BCD;
③垂径定理的推论:
OD⊥BC且M为BC的中点;
④相似三角形:
△CDN∽△ADC,△ANB∽△CND,　　　　　　,　　　　　　.
如图W6-3,△ABC内接于☉O且∠ACB=90°,弦CD平分∠ACB,连结AD,BD.若AB=5,AC=4,(1)求BD的长;(2)求CD的长.
例
2
图W6-3
解:(1)∵弦CD平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠BAD=∠BCD=45°,∠ABD=∠ACD=45°,AB是☉O的直径.
∴△ADB是等腰直角三角形.∴BD=AB=.
在Rt△ABC中,由AB=5,AC=4,得BC=3.
如图,过点B作BH⊥CD于点H,则△BCH为等腰直角三角形,
∴BH=CH=.
在Rt△BDH中,DH==2,
∴CD=DH+CH=.
(2)求CD的长.
变式 (2024杭州富阳区一模)如图W6-4,AB是☉O的直径,C是直线AB上方的☉O上一点,点M是△ABC的内心,连结AM,BM,CM,延长CM交☉O于点D.
(1)若AB=10,AC=6,求BC的长;
(2)求∠AMB的度数;
(3)当点C在直线AB上方的☉O上运动时,求证:DM=AB.
图W6-4
解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵AB=10,AC=6,∴BC==8.
(2)求∠AMB的度数;
图W6-4
(2)∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.
∵点M是△ABC的内心,∴AM平分∠CAB,BM平分∠CBA,∴∠MAB=∠CAB,∠MBA=∠CBA,
∴∠MAB+∠MBA=(∠CAB+∠CBA)=45°,
∴∠AMB=180°-(∠MAB+∠MBA)=135°.
(3)当点C在直线AB上方的☉O上运动时,求证:DM=AB.
图W6-4
(3)证明:如图,连结AD,BD,
则∠ADB=90°.
∵点M是△ABC的内心,
∴CM平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°,
∴,∴AD=BD,
∴AB=AD.
∵∠DAB=∠BCD=45°=∠ACD,∠MAB=∠MAC,
∴∠DAB+∠MAB=∠ACD+∠MAC,
∴∠DAM=∠DMA,∴DM=AD,∴AB=DM,
∴DM=AB.
[通性通法]
半圆弧的中点:
如图②,D为的中点,且AB为☉O的直径,则
①图①中的结论成立;
②特殊角度45°:
∠ACD=∠BCD=∠ABD=∠BAD=45°;
③等腰直角三角形:
如△AOD,∠BOD,△ABD均是等腰直角三角形,
∴AD=BD=AB.
巩/固/训/练
1.如图W6-5,BD是☉O的直径,C是的中点,弦AC与BD交于点P.若∠ADB=
62°,则∠CPD的度数为 (　　)
A.105° B.107°
C.109° D.111°
图W6-5
[解析]∵BD是☉O的直径,∴∠BAD=90°.
∵C是的中点,∴,∴∠BaAC=∠DAC=45°.
∵∠CPD是△ADP的外角,
∴∠CPD=∠CAD+∠ADB=45°+62°=107°.
B
2.如图W6-6,△ACD是圆内接三角形,B是圆上一点,连结AB,BD,BD与AC交于点E,且满足AB=AC,∠BAC=∠CAD.若CD=2,AD=3,则CE=　　　　.
图W6-6
[解析]在△ABE和△ACD中,∵
∴△ABE≌△ACD(ASA),∴AE=AD=3.
∵∠CDE=∠BAC,∠CAD=∠BAC,
∴∠CDE=∠CAD.
又∵∠DCE=∠ACD,∴△CDE∽△CAD,
∴CD∶CA=CE∶CD,
即2∶(3+CE)=CE∶2,∴CE=1.
1
3.如图W6-7,将☉O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,点P是优弧上一点,则∠APB的度数为　　　　.
图W6-7
[解析]连结OA,OB,过点O作OC⊥AB于点D,
交于点C,如图.
∵将☉O沿弦AB折叠,圆弧恰好经过圆心O,
∴OD=CD,∴OD=OC=OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∴∠AOB=120°,
∴∠APB=∠AOB=60°.
60°　
4.(2025龙泉一模)如图W6-8,△ABC内接于☉O,AB=AC,连结BO并延长交AC于点E,交☉O于点D,连结AO,AD,CD.
(1)求证:∠ABC=∠ADB;
(2)猜想OA与CD的位置关系,并说明理由;
(3)若CD=6,tan∠OAB=,求AE的长.
图W6-8
解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ADB=∠ACB,∴∠ABC=∠ADB.
(2)猜想OA与CD的位置关系,并说明理由;
图W6-8
(2)OA∥CD.理由如下:如图,延长AO交BC于点F.
∵AB=AC,∴,即A为的中点,
∴AF⊥BC,∴∠AFB=90°.
∵BD是☉O的直径,
∴∠BCD=90°,
∴∠AFB=∠BCD,
∴OA∥CD.
(3)若CD=6,tan∠OAB=,求AE的长.
图W6-8
(3)由(2)易得OF=CD=3.
∵tan∠OAB=,∴设BF=x,则AF=2x,
∴OA=OB=2x-3.
∵BF2+OF2=OB2,∴x2+32=(2x-3)2,解得x=4(x=0舍去),
∴BF=4,OA=5,AF=8,
∴AC=AB==4.
∵AO∥CD,∴△AOE∽△CDE,∴,∴AE=AC=.
5.(2025衢州江山市、龙游县、柯城区联考)如图W6-9,在Rt△ABC中,∠ACB=
90°,☉O是△ABC的外接圆,D是的中点,连结CD交AB于点E.
(1)求∠DCB的度数.
(2)如图②,过点A作AF⊥CD于点F,连结OD,已知tan D=,AE=.
①若,求的值;
②连结OF,求OF的长.
图W6-9
(1)求∠DCB的度数.
解:(1)连结OD.∵AB是直径,D是的中点,
∴∠AOD=∠BOD=90°,∴∠DCB=∠BOD=45°.
(2)如图②,过点A作AF⊥CD于点F,连结OD,已知tan D=,AE=.
①若,求的值;
(2)①∵∠AOD=90°,tan D=,
∴设OE=a,则OD=2a.
∵AE=,OA=OD,∴a+=2a,解得a=,
∴OE=,OD=2.
∵AF⊥CD,∴∠AFE=90°=∠AOD.
又∵∠AEF=∠OED,∴∠FAE=∠D,∴tan∠FAE=tan D=,∴.
∵AE=,EF2+AF2=AE2,∴EF=1,AF=2.
∵∠ACD=∠AOD=45°,
∴△ACF是等腰直角三角形,∴CF=AF=2,∴CE=3.
在Rt△OED中,ED==5,∴.
(2)如图②,过点A作AF⊥CD于点F,连结OD,已知tan D=,AE=.
②连结OF,求OF的长.
②当时,过点O作OG⊥CD于点G,如图①.
∵CD=CF+EF+ED=2+1+5=8,∴DG=CD=4,∴EG=ED-DG=1.
∵EF=1,∴GF=2.
∵∠OEG=∠DEO,∠OGE=∠DOE=90°,
∴△OEG∽△DEO,∴,∴OG=2.
在Rt△OGF中,OF2=OG2+GF2,∴OF=2.
当时,过点O作OG⊥CD于点G,如图②.
∵∠BAF=∠D,∴tan∠BAF=tan D=.
设OE=b,则OA=OD=2b.
∵AE=,∴3b=,∴b=,
∴OE=,OA=OD=.
∵AE=,,
∴EF=1,AF=2.
∵OG⊥CD,AF⊥CD,∴OG∥AF,∴△OEG∽△AEF,∴,∴OG=.
在Rt△ODG中,DG=.
在Rt△ODE中,DE=,∴DF=,
∴GF=,∴OF=.
综上,OF的长为2或.(共26张PPT)
一线三等角基本结构
提分微课(三)
典/例/精/析
(2023邵阳)如图W3-1,CA⊥AD,ED⊥AD,B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)求证:△ABC∽△DEB;
(2)求线段BD的长.
例
1
图W3-1
解:(1)证明:∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠CBE=∠D=90°.
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°.
∴∠C=∠DBE.∴△ABC∽△DEB.
(2)∵△ABC∽△DEB,∴.∴.∴BD=3.
变式1 如图W3-2,已知点A(0,4),B(4,1),BC⊥x轴于点C,P为线段OC上一点,且PA⊥PB,则点P的坐标为　　　　.
图W3-2
[解析] ∵PA⊥PB,∴∠APO+∠BPC=90°.∵AO⊥x轴,∴∠APO+∠PAO=90°.∴∠PAO=∠BPC.
∵BC⊥x轴,AO⊥x轴,∴∠BCP=∠POA=90°.
∴△BCP∽△POA.∴.
∵A(0,4),B(4,1),∴AO=4,BC=1,OC=4.
设P(x,0),则OP=x,PC=4-x,
∴,解得x1=x2=2.∴点P的坐标为(2,0).
(2,0)
变式 2 如图W3-3,正方形ABCD的边长为4,E是BC上一点,过点E作EF⊥AE,交DC于点F,连结AF,则AF的最小值是 (　　)
A.5 　　　 B. 　　　　
C.2 　　　　　　 D.3
A
图W3-3
[解析]设BE=x,则EC=BC-BE=4-x.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠C=∠D=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°.
∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°,∴∠AEB+∠CEF=90°,
∴∠BAE=∠CEF,∴△ABE∽△ECF,
∴,∴,
∴CF==-x2+x=-(x-2)2+1,
∴当x=2时,CF最大=1,此时DF最小=DC-CF=3.
在Rt△ADF中,AF=,
∴当DF最小为3时,AF最小,
∴AF最小==5,即AF的最小值是5.
图W3-3
如图W3-4,E是AB的中点,AC=5,BD=2.若∠A=∠CED=∠B,则AB的长是
(　　)
A.7 　　　 B. 　　　　　
C.2 　　　　　　 D.10
例
2
图W3-4
[解析] ∵∠A=∠CED=∠B,∴△ACE∽△BED.
∴.
∵E是AB的中点,∴AE=BE.
∴AE2=AC·BD=10.∴AE=.∴AB=2AE=2.
C
变式 如图W3-5,在平面直角坐标系中,四边形OABC是梯形,CB∥OA,OC=BA,
OA=7,BC=1,AB=5,P为x轴上的一个动点,且不与点O,A重合.连结CP,过点P作PD交AB于点D.
(1)直接写出点B的坐标:　　　　;
(2)当点P在线段OA上运动时,使得∠CPD=∠OAB,且BD∶AD=3∶2,则点P的坐标为　　　　　　　.
图W3-5
[解析] 过点B作BQ⊥x轴于点Q.∵AB=OC,
∴AQ=(7-1)÷2=3,OQ=4.
在Rt△BQA中,BA=5,由勾股定理,得BQ==4,
∴点B的坐标为(4,4).
(4,4)
(2)当点P在线段OA上运动时,使得∠CPD=∠OAB,且BD∶AD=3∶2,则点P的坐标为　　　　　　　.
图W3-5
[解析] ∵∠CPA=∠OCP+∠COP,
即∠CPD+∠APD=∠OCP+∠COP,
而∠CPD=∠OAB=∠COP,∴∠OCP=∠APD.
∴△OCP∽△APD.∴.∵,AB=5,
∴AD=2.设OP=x,则AP=7-x,∴,解得x=2或x=5.
∴点P的坐标为(2,0)或(5,0).
(2,0)或(5,0)
[通性通法]
基本图形1　一线三直角
△ABC∽△CED
△ABC≌△CED
基本图形2　一线三等角(基本图形1的一般化)
△ABC∽△CED
①
△ABC∽△CDE
②
1.(2023东营)如图W3-6,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AB上,∠ADE=
60°.若BD=4DC,DE=2.4,则AD的长为 (　　)
A.1.8 B.2.4
C.3 D.3.2
巩/固/训/练
图W3-6
[解析]∵△ABC为等边三角形,∴AC=BC,∠B=∠C=60°.
∵∠ADB=∠ADE+∠BDE=∠C+∠DAC,∠ADE=60°,
∴∠BDE=∠DAC.∴△ADC∽△DEB.∴.
∵BD=4DC,∴BD=BC.∴.∵DE=2.4,∴AD=DE=3.
C
2.如图W3-7,已知矩形ABCD的顶点A,D分别落在x轴、y轴上,OD=2OA=6,
AD∶AB=3∶1,则点C的坐标是　　　　.
图W3-7
(2,7)
3.如图W3-8,D是等边三角形ABC中边AB上的点,AD=2,BD=4.现将△ABC折叠,使得点C与点D重合,折痕为EF,且点E,F分别在边AC和BC上,则=　　　　.
图W3-8
4.如图W3-9,在Rt△AOB中,O为坐标原点,∠AOB=90°,∠B=30°.如果点A在反比例函数y=(x>0)的图象上运动,那么点B在函数　 　　　(填函数解析式)的图象上运动.
图W3-9
y=-(x>0)
[解析]如图,分别过点A,B作AC⊥y轴于点C,BD⊥y轴于点D,
则∠ACO=∠BDO=90°,∴∠BOD+∠OBD=90°.
∵∠AOB=90°,∴∠AOC+∠BOD=90°,
∴∠OBD=∠AOC,∴△AOC∽△OBD,
∴=()2=tan2∠ABO=.设A(a,b),B(x,y).
∵点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴ab=1,即S△AOC=,∴S△BOD=OD·BD=,
∴OD·BD=3,即xy=3.
又∵点B在第四象限,∴点B在函数y=-(x>0)的图象上运动.
5.如图W3-10,在矩形ABCD中,AB=m,BC=8,E为线段BC上的动点(不与点B,C重合),EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,连结DF.设CE=x,BF=y,若y=,当△DEF为等腰三角形时,m的值为　　　　.
图W3-10
2或6
[解析]∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°,∴∠BEF=90°-∠CED=∠CDE.
又∵∠B=∠C=90°,∴△BEF∽△CDE,
∴,即,∴y=,
∴,解得x1=6,x2=2.
∵∠DEF=90°,∴只有当DE=EF时,△DEF为等腰三角形.
在△BEF和△CDE中,∵∴△BEF≌△CDE(AAS),
∴BE=CD=m,即m=8-x.当x=2时,m=6;当x=6时,m=2.故答案为2或6.
图W3-10
6.【基础巩固】(1)如图W3-11①,已知AC⊥AB于点A,BD⊥AB于点B,P是AB上一点,PC=PD,∠CPD=90°,求证:△CAP≌△PBD;
【尝试应用】(2)如图②,已知AC=BC=2,AB=4,点D,E分别在边AC和BC上,P是AB上一点,且PD=PE,∠DPE=90°,求AD+BE的值;
【拓展提高】(3)如图③,已知AC=BC=2,AB=4,点D,E分别在射线AC和直线BC上,P是边AB上一点,且AP=1,
∠DPE=90°,△DPE的两条直角
边长之比为1∶2,直接写出此时
BE的长.
图W3-11
(1)如图W3-11①,已知AC⊥AB于点A,BD⊥AB于点B,P是AB上一点,PC=PD,
∠CPD=90°,求证:△CAP≌△PBD;
图W3-11
解:(1)证明:∵AC⊥AB,BD⊥AB,
∴∠A=∠B=90°,∴∠C+∠APC=90°.
∵∠CPD=90°,∴∠APC+∠BPD=90°,
∴∠C=∠BPD.
在△CAP和△PBD中,∵
∴△CAP≌△PBD(AAS).
(2)如图②,已知AC=BC=2,AB=4,点D,E分别在边AC和BC上,P是AB上一点,且PD=PE,∠DPE=90°,求AD+BE的值;
图W3-11
(2)如图①,过点C作CF⊥AB于点F,过点D作DG⊥AB于点G,
过点E作EH⊥AB于点H.
∵AC=BC=2,AB=4,
∴AF=BF=2,∴CF==4.
∵CF⊥AB,DG⊥AB,EH⊥AB,
∴DG∥CF∥EH,
∴△ADG∽△ACF,△BEH∽△BCF,
∴,,
∴,,
∴AG∶AD∶DG=2∶2∶4=1∶∶2,BH∶BE∶EH=1∶∶2.
设AG=x,BH=y,
则AD=x,DG=2x,BE=y,EH=2y.
∵∠DPE=90°,DG⊥AB,
∴∠EPH+∠DPG=∠DPG+∠PDG=90°,
∴∠EPH=∠PDG.
又∵∠DGP=∠PHE=90°,PD=EP,
∴△PDG≌△EPH(AAS),
∴PG=EH=2y,DG=PH=2x.
∵AG+PG+PH+BH=AB=4,∴x+2y+2x+y=4,
∴x+y=,∴AD+BE=(x+y)=.
(3)如图③,已知AC=BC=2,AB=4,点D,E分别在射线AC和直线BC上,P是边AB上一点,且AP=1,∠DPE=90°,△DPE的两条直角边长之比为1∶2,直接写出此时BE的长.
图W3-11
(3)分两种情况讨论:
①如图②,当PD∶EP=1∶2时,过点C作CF⊥AB
于点F,过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥AB
于点H.
同(2),得AG∶AD∶DG=1∶∶2,
BH∶BE∶EH=1∶∶2.
∵∠DPE=90°,DG⊥AB,∴∠EPH+∠DPG=∠DPG+∠PDG=90°,
∴∠EPH=∠PDG.
又∵∠DGP=∠PHE=90°,∴△PDG∽△EPH,∴.
设AG=m,则DG=2m,PH=2DG=4m.
∵AP=1,∴PG=AP-AG=1-m,∴EH=2PG=2-2m,
∴BH=EH=1-m,∴BE=BH=m.
∵AP+PH+BH=AB=4,∴1+4m+(1-m)=4,解得m=,
∴BE=.
②如图③,当PD∶EP=2∶1时,过点C作CF⊥AB于点F,过点D作DG⊥AB于点G,过点E作EH⊥AB于点H.
同(2),得AG∶AD∶DG=1∶∶2,BH∶BE∶EH=1∶∶2.
∵∠DPE=90°,DG⊥AB,
∴∠EPH+∠DPG=∠DPG+∠PDG=90°,
∴∠EPH=∠PDG.
又∵∠DGP=∠PHE=90°,
∴△PDG∽△EPH,∴=2.
设AG=n,则DG=2n.
∵AP=1,∴PG=AG-AP=n-1,∴EH=PG=n-,PH=DG=n,
∴BH=EH=n-,∴BP=PH-BH=n-(n-)=n+.
∵AP+BP=AB=4,∴1+n+=4,解得n=,
∴BH=,
∴BE=BH=.
综上,BE的长为或.(共26张PPT)
二次函数对称性和增减性的应用
提分微课(一)
典/例/精/析
已知二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1,则a,b的大小关系为(　　)
A.a>b B.a例
[解析]∵二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值,
∴该二次函数图象开口向上,即a>0.
又∵最小值为1,即-b=1,∴b=-1,∴a>b.
A
变式探究1　对称轴确定,取值范围确定
(1)已知0≤x≤0.5,那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是 (　　)
A.-10.5 B.2 C.-2.5 D.-6
[解析]∵y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2,
∴该二次函数图象开口向下,对称轴是直线x=2,
∴当x<2时,y随x的增大而增大.
又∵0≤x≤0.5,
∴当x=0.5时,y取最大值,y最大=-2×(0.5-2)2+2=-2.5.
C
(2)已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a>0),若-3≤x≤1,则函数y的最大值为
(用含a的代数式表示).
[解析] 易知抛物线y=ax2+4ax+3a的对称轴为直线x=-2.∵a>0,∴抛物线开口向上.∵(-2)-(-3)<1-(-2),∴若-3≤x≤1,则当x=1时,y有最大值8a.
8a
变式探究2　对称轴不确定,取值范围确定
已知抛物线y=x2+(2a-1)x-3,当-1≤x≤3时,函数的最大值为1,则a的值为 (　　)
A.- B.- C.-或- D.-1或-
[解析]∵y=x2+(2a-1)x-3,∴图象开口向上,对称轴为直线x=-.
若-≤1,即a≥-,则当x=3时,y取得最大值1,∴9+(2a-1)×3-3=1,解得a=-.
若->1,即a<-,则当x=-1时,y取得最大值1,∴1+(2a-1)×(-1)-3=1,解得a=-1.故a的值为-1或-.
D
变式探究3　对称轴确定,取值范围不确定
(1)已知y=-x2+4x-3,当-1≤x≤m时,此函数的最小值为-8,最大值为1,则m的取值范围是 (　　)
A.0≤m<2 B.0≤m≤5 C.m>5 D.2≤m≤5
[解析]∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴该函数图象开口向下,对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,1),∴当x=-1时,y=-8,且x=-1和x=5对应的函数值相等.
∵当-1≤x≤m时,此函数的最小值为-8,最大值为1,
∴2≤m≤5.
D
(2)若当t-1≤x≤t时,二次函数y=-x2+4x-4的最大值为-1,则t的值为　　　　.
[解析]∵y=-x2+4x-4=-(x-2)2,
∴函数图象的顶点坐标为(2,0),对称轴为直线x=2.
①当t<2时,∵a=-1<0,∴图象开口向下,
∴当t-1≤x≤t时,y随x的增大而增大,∴当x=t时,y取得最大值-1,即-(t-2)2=-1,
解得t1=1,t2=3(舍去);
②当t-1>2,即t>3时,∵a=-1<0,∴图象开口向下,
∴当t-1≤x≤t时,y随x的增大而减小,∴当x=t-1时,y取得最大值-1,即-(t-1-2)2=-1,
解得t3=4,t4=2(舍去).
综上所述,t的值为1或4.
1或4
(3)(2025龙泉一模)已知二次函数y=ax2-2ax+4,其中a≠0.
①求该二次函数图象的对称轴;
②无论a取任意非零实数,该二次函数图象都经过A(x1,y1),B(x2,y2)两个定点,其中x1③若a=1,当t-1≤x≤t时,该二次函数的最大值与最小值的差为2,求t的值.
解:①∵y=ax2-2ax+4=a(x-1)2+4-a,
∴该函数图象的对称轴是直线x=1.
(3)(2025龙泉一模)已知二次函数y=ax2-2ax+4,其中a≠0.
②无论a取任意非零实数,该二次函数图象都经过A(x1,y1),B(x2,y2)两个定点,其中x1②y=ax2-2ax+4=a(x2-2x)+4.
∵无论a取任意非零实数,该二次函数图象都经过A(x1,y1),B(x2,y2)两个定点,
∴x2-2x=0,解得x=0或x=2.
又∵x1(3)(2025龙泉一模)已知二次函数y=ax2-2ax+4,其中a≠0.
③若a=1,当t-1≤x≤t时,该二次函数的最大值与最小值的差为2,求t的值.
③当a=1时,y=x2-2x+4=(x-1)2+3,
∴该函数图象开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,3).
∴当x≤1时,y随x的增大而减小;当x≥1时,y随x的增大而增大.
若t≤1,则当x=t-1时,y取最大值,y=t2-4t+7;当x=t时,y取最小值,y=t2-2t+4.
∴t2-4t+7-(t2-2t+4)=2.∴t=.
若t-1<1当x=t-1时,y取最大值,y=t2-4t+7或当x=t时,y取最大值,y=t2-2t+4.
∴t2-4t+7-3=2或t2-2t+4-3=2.
∴t=2±(不合题意,舍去)或t=1±(不合题意,舍去).
若t-1≥1,即t≥2,则当x=t-1时,y取最小值,y=t2-4t+7;当x=t时,y取最大值,y=t2-2t+4.
∴t2-2t+4-(t2-4t+7)=2.∴t=.
综上,t=或t=.
[通性通法]
二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在m≤x≤n上的最值:
1.结合图象确定最值:设图象的对称轴为x=h.
(1)如图①,若n(2)如图②,若m>h,则当x=m时,y取得最小值;当x=n时,y取得最大值.
(3)如图③,若m≤h≤n,n-h>h-m,则当x=h时,
y取得最小值;当x=n时,y取得最大值.
2.借助对称性确定最值:
(1)先确定a的符号,再通过与对称轴的距离确定函数的最值:
①当a>0时,越靠近对称轴,函数值越小;
②当a<0时,越靠近对称轴,函数值越大.
(2)当a的符号不确定时,进行分类讨论.
1.二次函数y=2(x+1)2+3的最小值是 (　　)
A.-1 B.1 C.2 D.3
2.设M=-x2+4x-4,则 (　　)
A.M<0 B.M>0
C.M≤0 D.M≥0
D
巩/固/训/练
C
3.已知抛物线y=-x2+2,当1≤x≤5时,y的最大值是 (　　)
A.2 B. C. D.
[解析]∵y=-x2+2,a=-<0,
∴该抛物线开口向下,对称轴是y轴.
∵当1≤x≤5时,
∴当x=1时,y取得最大值,y最大值=-+2=.
C
4.已知二次函数y=2x2-4x-1,在0≤x≤a时,y的最大值为15,则a的值为 (　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
[解析]易知抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-3),开口向上,当x=0时,y=-1,∴在直线x=1的右侧,y随x的增大而增大.∴当x=a时,y=15,即2a2-4a-1=15,解得a1=4,a2=-2(舍去).故a的值为4.
D
5.若二次函数y=-x2+6x-5在x的一定取值范围内,最大值为4,最小值为-5,则满足条件的x的取值范围可以是 (　　)
A.x≥0 B.0≤x<3
C.1≤x≤6 D.x≤6
[解析]∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=3,当x=3时,函数取得最大值4.把y=-5代入y=-x2+6x-5,得-5=-x2+6x-5,解得x1=0,x2=6.结合函数图象可知,选项C符合题意.
C
6.已知二次函数y=x2-2x+2,当0≤x≤t时,函数的最大值为M,最小值为N.若M=5N,则t的值为 (　　)
A.0.5 B.1.5 C.3 D.4
[解析]∵y=x2-2x+2=(x-1)2+1,
∴当x=1时,y取得最小值1,当x<1时,y随x的增大而减小,当x>1时,y随x的增大而增大,当x=0时,y=2;当x=t时,y=t2-2t+2.∴可分以下情形分析:
①当0②当1≤t≤2时,M=2,N=1,此时不满足M=5N,不符合题意;
③当t>2时,M=t2-2t+2,N=1.又M=5N,∴t2-2t+2=5.∴t1=3,t2=-1(舍去).
综上,t的值为3.
C
7.当函数y=-(x-2)(x-3)取得最大值时,x=　　　　.
[解析]∵y=-(x-2)(x-3)=-x2+5x-6=-(x-)2+,
∴当x=时,该函数取得最大值.
8.已知二次函数y=x2-2x+k,当-3≤x≤2时,y的最大值为9,则k的值为　　　　.
[解析]∵y=x2-2x+k=x2-2x+1+k-1=(x-1)2+k-1,
∴抛物线开口向上,对称轴是直线x=1.
又∵-3≤x≤2,∴当x=-3时,y取得最大值,最大值为16+k-1=15+k.
∴15+k=9,解得k=-6.
-6
9.已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是　　　　.
[解析]∵y=x2-2x=(x-1)2-1,
∴该函数图象的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1,-1).
∵1-(-1)=3-1,∴x=-1和x=3时的函数值相等.
∵-1≤x≤t-1,当x=-1时,函数取得最大值,
当x=1时,函数取得最小值,∴1≤t-1≤3,解得2≤t≤4.
2≤t≤4
10.(2024枣庄)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.
(1)求m的值;
(2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位,得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时,求新的二次函数的最大值与最小值的和.
解:(1)∵点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上,
∴4a+2b-3=-3,解得b=-2a,∴二次函数的表达式为y=ax2-2ax-3,
∴二次函数图象的对称轴为直线x=-=1,∴m=1.
(2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位,得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时,求新的二次函数的最大值与最小值的和.
(2)∵点Q(1,-4)在二次函数y=ax2-2ax-3的图象上,∴a-2a-3=-4,解得a=1,
∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4.
将该二次函数的图象向上平移5个单位,得到的新图象对应的函数表达式为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1.
∵0≤x≤4,1>0,∴当x=1时,新的函数有最小值,为1,
当x=4时,新的函数有最大值,为(4-1)2+1=10,
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11.
11.(2024温州瓯海区二模)已知抛物线y=ax2-(b+2)x-a+b+6(a<0,a,b均为常数)过点(3,4).
(1)求a,b之间的数量关系及该抛物线的对称轴;
(2)若函数y的最大值为5,求该抛物线与y轴的交点坐标;
(3)当自变量x满足0≤x≤3时,记函数y的最大值为m,最小值为n.求证:3m+n=16.
解:(1)∵抛物线y=ax2-(b+2)x-a+b+6(a<0,a,b均为常数)过点(3,4),
∴9a-3b-6-a+b+6=4,∴b=4a-2,
∴抛物线的对称轴为直线x=-=2.
(2)若函数y的最大值为5,求该抛物线与y轴的交点坐标;
(2)∵b=4a-2,
∴y=ax2-4ax+3a+4=a(x-2)2-a+4.
∵a<0,
∴函数y的最大值为-a+4.
∵函数y的最大值为5,
∴-a+4=5,解得a=-1,
∴3a+4=1,
∴该抛物线与y轴的交点坐标是(0,1).
(3)当自变量x满足0≤x≤3时,记函数y的最大值为m,最小值为n.求证:3m+n=16.
(3)证明:由(2)知y=a(x-2)2-a+4(a<0),
∴抛物线开口向下,当x=2时,y取得最大值,为-a+4.
∵0≤x≤3,
∴当x=2时,y取得最大值;当x=0时,y取得最小值,为3a+4,
∴n=3a+4,m=-a+4,
∴3m+n=-3a+12+3a+4=16.(共24张PPT)
正方形中的“十字”结构
提分微课(五)
典/例/精/析
(浙教版八下《5.3正方形》P129作业题T4)
已知:如图W5-1,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的点,AE⊥BF.求证:AE=BF.
例
图W5-1
证明:在正方形ABCD中,
∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC.
∵AE⊥BF,∠ABC=90°,
∴∠ABF+∠BAE=90°,∠ABF+∠CBF=90°.
∴∠BAE=∠CBF.∴△ABE≌△BCF(ASA).
∴AE=BF.
[通性通法]
如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE⊥BF,则△BCF≌△ABE.
AE⊥BF AE=BF;
AE=BF AE⊥BF.
变式1 如图W5-2,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,AB上,AF=BE,AE与DF相交于点O,则∠AOD的度数为　　　　.
图W5-2
[解析]在正方形ABCD中,AB=AD,∠DAF=∠ABE=90°.
在△DAF和△ABE中,
∵∴△DAF≌△ABE(SAS),∴∠ADF=∠BAE,
∴∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=90°,
∴∠AOD=180°-(∠ADF+∠DAO)=90°.
90°
变式2 在正方形ABCD中,点E在CD上,点M,N分别在AD,BC上,连结AE,MN交于点P.甲小组同学根据MN⊥AE画出图形如图W5-3①所示,乙小组同学根据MN=AE画出图形如图②所示.甲小组同学发现已知MN⊥AE仍能证明MN=AE,乙小组同学发现已知MN=AE无法证明MN⊥AE一定成立.
(1)在图①中,已知MN⊥AE于点P,求证:MN=AE;
(2)在图②中,若∠DAE=α,则∠APM的度数为多少
图W5-3
(1)在图①中,已知MN⊥AE于点P,求证:MN=AE;
解:(1)证明:如图①,过点M作MH⊥BC于点H.
∵四边形ABCD是正方形,∴CD=AD,∠C=∠D=90°,
∴四边形CDMH是矩形,
∴CD=MH=AD,∠AMH=∠DMH=90°,
∴∠AMP+∠HMN=90°.
∵AE⊥MN,∴∠AMP+∠DAE=90°,
∴∠HMN=∠DAE.
又∵MH=AD,∠MHN=∠D=90°,
∴△HMN≌△DAE(ASA),∴MN=AE.
(2)在图②中,若∠DAE=α,则∠APM的度数为多少
(2)如图②,过点N作NL⊥AD于点L.
同(1)可证四边形CDLN是矩形,∴CD=LN=AD.
∵∠NLM=∠D=90°,∴△LNM和△DAE都是直角三角形.
∵NL=AD,MN=EA,
∴Rt△LNM≌Rt△DAE(HL),
∴∠MNL=∠DAE=α,∴∠LMN=90°-α,
∴∠APM=∠LMN-∠DAE=90°-2α.
[通性通法]
如图,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,CD,BC,AD边上的点,EF⊥GH.
△EFM≌△GHN,EF=GH(反之,若EF=GH,则EF⊥GH不一定成立).
变式3 如图W5-4,在正方形ABCD中,E是DC边的中点,AE的垂直平分线分别交AD,BC边于点F,G,垂足为H.若AB=4,则GH的长为　　　　.
图W5-4
[解析]过点B作BN∥GF交AD于点N,如图.∵四边形ABCD是正方形,AB=4,
∴AD∥BC,AD=CD=AB=4,∠BAN=∠D=90°,
∴四边形BGFN是平行四边形,∴BN=GF.
∵AE⊥FG,BN∥GF,∴BN⊥AE,∴∠BNA+∠EAD=90°.
∵∠D=90°,∴∠AED+∠EAD=90°,∴∠BNA=∠AED.
在△AED和△BNA中,∵
∴△AED≌△BNA(AAS),∴AE=BN=FG.
∵E是DC边的中点,∴DE=CD=2,
∴AE==2,∴FG=2.
∵H是AE的中点,∴AH=AE=.
∵∠AHF=∠D=90°,∠FAH=∠EAD,
∴△AFH∽△AED,∴,即,
∴FH=,∴GH=FG-FH=2.
变式4 如图W5 5,将边长为8的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边上的点E处,点A落在点F处,折痕为MN,若MN=4,则线段CN的长是　　　　.
3
巩/固/训/练
1.如图W5-6,正方形ABCD的边长为3,E为BC边上一点,BE=1.将正方形沿GF折叠,使点A恰好与点E重合,连结AF,EF,GE,则GF的长为　　　　,四边形AGEF的面积为　　　　.
图W5-6
5
2.如图W5-7,在正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,BE⊥CF于点G,若BC=8,AF=2,则GF的长为　　　　.
图W5-7
5.2
[解析]∵四边形ABCD为正方形,BC=8,
∴∠CDF=∠BCE=90°,AD=DC=BC=8.
又∵AF=2,∴DF=6.
∵BE⊥CF于点G,∴∠BGC=90°,
∴∠CBG+∠BCG=∠BCG+∠DCF=90°,
∴∠CBG=∠DCF,∴△CDF≌△BCE,∴CE=DF=6.
在Rt△BCE中,∵BC=8,CE=6,∴BE=10.
∵S△BCE=BE·CG=BC·CE,
∴CG==4.8.
∵△CDF≌△BCE,∴CF=BE=10,
∴GF=CF-CG=10-4.8=5.2.
图W5-7
3.如图W5-8,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE=DF=2,
BE与AF相交于点G,H为BF的中点,连结GH,则GH的长为　　　　.
图W5-8
[解析]易证AF⊥BE,∴∠BGF=90°.
∵H为BF的中点,
∴GH=BF.
∵BC=5,CF=CD-DF=5-2=3,∠C=90°,
∴BF=.∴GH=BF=.
4.如图W5-9,正方形ABCD的边长为4,E,F分别是BC,CD上的一动点,且BE=CF,连结AE,BF,两线交于点P,连结CP,则CP的最小值是 (　　)
A.2-2
B.3-2
C.2
D.+2
图W5-9
A
[解析]在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°.
在△ABE和△BCF中,∵
∴△ABE≌△BCF(SAS),∴∠BAE=∠CBF.
∵∠CBF+∠ABF=90°,∴∠BAE+∠ABF=90°,
∴∠APB=90°,∴点P在以AB为直径的圆上.
设AB的中点为G,当C,P,G三点在同一直线上时,CP有最小值,如图所示:
∵正方形ABCD的边长为4,∴BC=4,BG=2,
∴CG==2.∵PG=BG=2,∴CP=2-2.故选A.
5.如图W5-10,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB,BC上,连结AF,过点E作EG⊥
AF交CD于点G,连结FG.若AE=2BF,∠BAF=α,则∠EGF一定等于(　　)
A.45°+α
B.45°-α
C.2α
D.α
图W5-10
B
[解析]过点D作DH∥EG交AB于点H,连结AG,如图所示:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠BAD=∠CDA=90°,AB∥CD,∴∠BAF+∠FAD=90°.
∵EG⊥AF,DH∥EG,∴DH⊥AF,∴∠ADH+∠FAD=90°,∴∠ADH=∠BAF=α.
在△ABF和△DAH中,∵
∴△ABF≌△DAH(ASA),∴AH=BF,AF=DH,
∴AE=AH+HE=BF+HE.
∵AE=2BF,∴HE=BF,∴AH=HE=BF.
∵AB∥CD,DH∥EG,∴四边形DGEH是平行四边形,∴HE=DG,∴AH=DG.
在△AHD和△DGA中,∵
∴△AHD≌△DGA(SAS),
∴∠DAG=∠ADH=α,DH=AG,
∴∠FAG=∠BAD-(∠BAF+∠DAG)=90°-2α.
∵AF=DH,DH=AG,∴AF=AG,
∴∠AFG=∠AGF=(180°-∠FAG)=45°+α.
∵EG⊥AF,∴∠EGF=90°-∠AFG=45°-α.
6.(2025杭州临安区一模)如图W5-11,在边长为4的正方形ABCD中,E,F分别为边BC,DC上的点,且BE=DF,过点F作AE的垂线交AB于点H.
(1)求证:AE=FH;
(2)请写出AH与BE之间的数量关系并证明.
图W5-11
解:(1)证明:过点F作FK⊥AB于点K,如图所示,
则∠FKH=∠FKA=90°.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠B=∠BAD=∠D=90°,
∴∠FKA=∠BAD=∠D=90°,
∴四边形ADFK是矩形,
∴AD=FK,DF=AK,
∴AB=FK.
∵FH⊥AE,∠FKH=90°,
∴∠BAE+∠AHF=90°,∠KFH+∠AHF=90°,
∴∠BAE=∠KFH.
在△BAE和△KFH中,∵
∴△BAE≌△KFH(ASA),
∴AE=FH.
(2)请写出AH与BE之间的数量关系并证明.
图W5-11
(2)AH=2BE.
证明:∵△BAE≌△KFH,∴BE=KH.
又∵BE=DF,DF=AK,
∴AK=BE,
∴AH=AK+KH=BE+BE=2BE.(共24张PPT)
含字母的二次函数的性质分析
提分微课(二)
典/例/精/析
根据解析式画出二次函数图象,并结合图象从开口方向、对称轴、顶点坐标、是否过定点、m变化对函数图象的影响几个方面分析图象特征.
(1)y=x2-2x+m;　　　　　　
例
1
图W2-1
解:(1)y=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,其图象如图①所示.
①开口向上(开口方向不变、开口大小不变);②对称轴为直线x=1(对称轴不变);③顶点坐标为(1,m-1)(上下移动);④图象不过定点;⑤随着m的变化,函数图象上下平移.
(2)y=x2-2mx+1;
图W2-1
(2)y=x2-2mx+1=(x-m)2+1-m2,其图象如图②所示.①开口向上(开口方向不变、开口大小不变);②对称轴为直线x=m(左右平移);③顶点坐标为(m,1-m2);④过定点(0,1);⑤随着m的变化,函数图象上下左右平移.
(3)y=mx2-2x+1;　　　　　　
图W2-1
(3)y=mx2-2x+1,其图象如图③所示.
①开口方向不确定,开口大小变化;②对称轴为直线x=会变化;③顶点坐标为(,1-);④过定点(0,1);⑤随着m的变化,图象的开口方向和开口大小发生变化.
(4)y=mx2-2mx-3.
图W2-1
(4)y=mx2-2mx-3=m(x-1)2-3-m,其图象如图④所示.
①开口方向、大小不确定;②对称轴为直线x=-=1;③过定点(0,-3),
(2,-3);④顶点坐标为(1,-3-m);⑤若m>0,当m越来越大时,开口越来越小,顶点下移;若m<0,当|m|越来越大时,开口越来越小,顶点上移.
(0,4)
写出以下二次函数图象经过的定点坐标,其中m为常数.
(1)若y=x2-2mx+4,则该函数的图象经过定点　　　　;
(2)若y=x2+mx-2m,则该函数的图象经过定点　　　　;
(3)若y=mx2-2(m+1)x+4(m≠0),则该函数的图象经过定点　　　　　　　.
例
2
(2,4)
(0,4),(2,0)
变式1 已知二次函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数且m≥1),该函数图象恒过定点A,则点A的坐标为　　　　.
变式2 若关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根是x=-2,则抛物线y=x2+mx
+n-5一定过一个定点,该定点的坐标是　　　　.
[解析]∵y=-x2+(m-1)x+m=-(x+1)(x-m),∴定点A的坐标为(-1,0).
(-1,0)
[解析]∵关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的一个根是x=-2,
∴抛物线y=x2+mx+n与x轴的一个交点坐标为(-2,0).
∵抛物线y=x2+mx+n向下平移5个单位得到抛物线y=x2+mx+n-5,
∴抛物线y=x2+mx+n-5一定过定点(-2,-5).
(-2,-5)
[通性通法]
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的系数变化与图象变化:
系数变化 图象变化
a,b定,c变
a,c定,b变
b,c定,a变
2.求解含参二次函数y=ax2+bx+c问题时,首先要分析解析式,确定不变量,重点关注三个方面:
(1)a的符号(开口方向和开口大小);
(2)对称轴(a,b成比例,则对称轴确定);
(3)图象是否过定点.
3.求含字母系数m的二次函数图象定点坐标的方法:
(1)使m失去影响力:将含参数m的项合并,并提取公因式m,令另一个含x的因式值为0,此时x的值就是函数图象定点的横坐标;
(2)特殊值法:既然无论参数m取何值,抛物线都经过一个定点,不妨给参数m取两个不同的值,得到两条不同的抛物线,两条抛物线的交点就是这个定点;
1.下列关于抛物线y=-mx2+4mx+m的描述,正确的是 (　　)
A.开口向上 B.与x轴没有交点
C.对称轴为直线x=-2 D.一定经过第三、四象限
巩/固/训/练
[解析]y=-mx2+4mx+m=-m(x-2)2+5m.∵m的正负不能确定,
∴抛物线的开口方向无法确定,故选项A不符合题意;
当y=0时,x=2±,故选项B错误,不符合题意;
该抛物线的对称轴为直线x=2,故选项C错误,不符合题意;
当m>0时,抛物线开口向下,顶点坐标为(2,5m),该函数图象经过第一、二、三、四象限;当m<0时,抛物线开口向上,顶点坐标为(2,5m),该函数图象经过第一、二、三、四象限.故选D.
D
2.二次函数y=-x2+bx+c,若b+c=0,则该函数的图象一定过点 (　　)
A.(-1,1) B.(1,-1)
C.(-1,-1) D.(1,1)
[解析]∵b+c=0,∴c=-b,
∴y=-x2+bx+c=-x2+bx-b==-x2+b(x-1),
∴当x=1时,y=-1.
故该函数的图象一定过点(1,-1).
B
3.在平面直角坐标系中,无论m取何值,抛物线y=x2+(m+3)x+m+5恒过定点P.若定点P关于原点中心对称的点Q也在抛物线上,则抛物线的顶点位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
D
4.若抛物线y=ax2+(a2-a)x-a2与一次函数y=ax+b的图象都经过同一定点,则代数式a2+ab-3的值是 (　　)
A.0 B.3 C.-3 D.±3
[解析]∵y=ax2+(a2-a)x-a2=a[x2+(a-1)x-a]=a(x+a)(x-1),
∴抛物线必经过定点(1,0),
∴一次函数y=ax+b的图象也经过点(1,0),∴a+b=0,
∴a2+ab-3=a(a+b)-3=-3.故选C.
C
5.已知抛物线y=mx2+(1-3m)x+1-4m一定经过一定点P,则点P的坐标是
　　　.
[解析]y=mx2+(1-3m)x+1-4m=mx2+x-3mx+1-4m=(x2-3x-4)m+x+1.
∵无论m取何值,该抛物线总经过一定点,
∴x2-3x-4=0,∴x1=-1,x2=4.
当x=-1时,y=0;当x=4时,y=5,
∴点P的坐标为(-1,0)或(4,5).
(-1,0)或(4,5)
6.在平面直角坐标系中,设二次函数y=ax2-bx-a+b(a,b为常数,且a≠0),则该函数图象一定经过定点　　　　.
[解析]∵y=ax2-bx-a+b=(ax2-a)-(bx-b)=a(x-1)(x+1)-b(x-1)=(x-1)(ax+a-b),
∴当x=1时,y=0,
即该函数图象一定经过定点(1,0).
(1,0)
7.已知二次函数y=ax2+2ax-1.
(1)随着a的取值变化,该函数图象除经过定点(0,-1),经过的另一个定点的坐标为　　　　;
[解析]∵y=ax2+2ax-1=a(x2+2x)-1=ax(x+2)-1,∴当x=0或x=-2时,y=-1,
∴无论a取何值,二次函数的图象过点(0,-1),(-2,-1).
(-2,-1)
(2)该二次函数图象与x轴有交点,过该二次函数图象的顶点与定点(0,-1)作直线,该直线与x轴交于点P(m,0),且|m|≥1,则a的取值范围为　　　 　　　.
[解析]∵该二次函数图象与x轴有交点,∴Δ=(2a)2+4a≥0,∴a>0或a≤-1.
∵y=ax2+2ax-1=a(x+1)2-a-1,∴该二次函数图象的顶点坐标为(-1,-a-1).
设过该二次函数图象的顶点与定点(0,-1)的直线的解析式为y=kx-1.
将(-1,-a-1)代入,得-a-1=-k-1,∴k=a,∴y=ax-1.
令y=0,则x=,∴该直线与x轴的交点坐标为(,0).
∵该直线与x轴交于点P(m,0),且|m|≥1,∴||≥1,
∴当a>0时,≥1,即008.画出下列函数的大致图象,并指出其图象的特征.
(1)y=mx2-2x+1;
图W2-2
解:(1)大致图象如图①所示.其图象的特征如下:①随着m的变化,开口方向和开口大小发生变化;②对称轴为直线x=,会变化;③过定点(0,1).
①
(2)y=mx2-2mx-3m.
图W2-3
(2)大致图象如图②所示.其图象的特征如下:①随着m的变化,开口方向、开口大小、顶点坐标都在变;②对称轴为直线x=-=1;③顶点坐标为(1,-4m);④过定点(-1,0),(3,0).
9.(2025宁波一模)甲、乙、丙三个同学研究了二次函数y=ax2-2ax+a-1(a≠0)的图象和性质,并交流了自己的学习成果.
(1)甲同学的说法:当x=0和x=2时,函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗 请说明理由;
(2)乙同学的发现:a取某个值时,该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个,且以这三个点为顶点的三角形的面积为3.根据乙同学的发现,求出此时a的值;
(3)丙同学的探索:若a>0,当0(1)甲同学的说法:当x=0和x=2时,函数值相等.你认为甲同学的说法正确吗 请说明理由;
解:(1)正确.
理由如下:∵y=ax2-2ax+a-1=a(x-1)2-1,
∴该函数图象的对称轴为直线x=1,
∴当x=0和x=2时,函数值相等,
∴甲同学的说法正确.
(2)乙同学的发现:a取某个值时,该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个,且以这三个点为顶点的三角形的面积为3.根据乙同学的发现,求出此时a的值;
(2)∵y=a(x-1)2-1,且a取某个值时,该函数图象上到x轴的距离为1的点有3个,
∴这三个点中有一个是顶点(1,-1),∴另外两个点的纵坐标为1.
令y=ax2-2ax+a-1=1,则x=1±,则两个点之间的距离为2.
∵以这三个点为顶点的三角形的面积为3,
∴×(2 )×2=3,解得a=.
(3)丙同学的探索:若a>0,当0(3)∵该函数图象的顶点坐标为(1,-1),若a>0,当0∴这4个不同的整数值分别为-1,0,1,2.
∵a>0,0∴当x=3时,y取得最大值,为4a-1,
∴2<4a-1≤3,解得

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