资源简介

(共26张PPT)
第二部分　重难突破专题
重难突破专题(八)　综合与实践
类型一
跨学科探究类问题
(2025吉林)【知识链接】
实验目的:探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程:如图Z8-1①,在两个完全相同的溢水杯中,分别盛满甲、乙两种不同密度的液体,将完全相同的两个质地均匀的圆
柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A,B的下方,从
离桌面20 cm的高度,分别缓慢浸入到甲、乙两种
液体中,通过观察弹簧测力计示数的变化,探究浮
力大小的变化.(溢水杯的杯底厚度忽略不计)
图Z8-1
实验结论:物体在液体中所受浮力的大小,跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大,浮力就越大.
总结公式:当小铝块位于液面上方时,F拉力=G重力;当小铝块浸入液面后,F拉力=
G重力-F浮力.
【建立模型】在实验探究的过程中,实验小组发现:弹簧测力计A,B各自的示数F拉力(N)与小铝块各自下降的高度x(cm)
之间的关系如图②所示.
图Z8-1
【解决问题】
(1)当小铝块下降10 cm时,直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数;
(2)当6≤x≤10时,求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式;
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时,甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N),若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙液体中小铝块浸入的深度为n(cm),直接写出m,n的值.
(1)当小铝块下降10 cm时,直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数;
解:(1)当小铝块下降10 cm时,弹簧测力计A的示数为2.8 N,弹簧测力计B的示数为2.5 N.
(2)当6≤x≤10时,求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式;
(2)当6≤x≤10时,设弹簧测力计A
的示数F拉力关于x的函数解析式
为F拉力=kx+b.
将(6,4)和(10,2.8)分别代入,
得解得
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=-0.3x+5.8.
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时,甲液体中的小铝块受到的浮力为m(N),若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(N),则乙液体中小铝块浸入的深度为n(cm),直接写出m,n的值.
(3)m=0.6,n=1.6.
[解析]根据图象,知圆柱体小铝块所受重力为4 N.
在F拉力=-0.3x+5.8中,当x=8时,F拉力=-0.3×8+5.8=3.4,
4-3.4=0.6(N),∴m=0.6.
当6≤x≤10时,设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=k1x+b1.
将(6,4),(10,2.5)分别代入,
得解得
∴当6≤x≤10时,弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力=-0.375x+
6.25.
当F拉力=3.4时,-0.375x+6.25=3.4,解得x=7.6,7.6-6=1.6(cm),∴n=1.6.
类型二
实践操作类问题
1.(2025杭州西湖区一模)综合与实践
在综合与实践课上,数学兴趣小组通过测算某热气球的高度,探索实际生活中测量高度(或距离)的方法.
【实践活动】如图Z8-2①,小明、小亮分别在点B,C处同时测得热气球A的仰角∠ABD=45°,∠ACD=53°,BC=15 m,点B,C,D在地面的同一条
直线上,AD⊥BD于点D.(测角仪的高度忽略不计)
【问题解决】(1)计算热气球离地面的高度AD; (参考数据:
sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈)
图Z8-2
图Z8-2
解:(1)在Rt△ACD中,∵tan∠ACD=,
∴CD=≈AD.
在Rt△ABD中,∵tan B=,∴BD==AD.
∵BD-CD=BC,∴AD-AD=15,解得AD=60(m).
答:热气球离地面的高度AD约为60 m.
【方法归纳】小亮发现,原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题,其一般过程为:从实际问题抽象出数学问题,再通过解直角三角形得出实际问题的答案.
爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高.根据他的
想法与思路,完成以下填空:
(2)如图②,在锐角三角形ABC中,设∠ABC=α,∠ACB=β,BC=m,
AD⊥BC于点D,用含α,β和m的代数式表示AD.
解:设AD=x.∵tan α=,∴BD=.∵tan β=,∴CD=①　　　　.
∵BC=BD+CD=m,解得x=②　　 　　　,即可求得AD的长.
图Z8-2
　
2.(2025山西)综合与实践
问题情境:青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人,其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.
实验数据:仿青蛙机器人从水平地面起跳,并落在水平地面上,其运动路线的最高点距地面60 cm,起跳点与落地点的距离为160 cm.
(1)请直接写出顶点N的坐标,并求该抛物线的函数表达式;
数学建模:如图Z8-3①,将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线,其顶点为N,对称轴为直线l,仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点,OM所在直线为x轴,过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴,建立平面直角坐标系.
图Z8-3
问题解决:已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变,即抛物线的形状不变.
(2)如图①,若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳,落地点为Q,点P的坐标为(0,75),点Q在x轴的正半轴上,求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长;
(3)实验表明:仿青蛙机器人在跃过障碍物时,与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm,才能安全通过.如图②,水平地面上有一个障碍物,其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC=∠BCD=90°,AB=57 cm,BC=40 cm,CD=
48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳,发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台,仿青蛙机器人从平台上起跳,则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计,障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内).
(1)请直接写出顶点N的坐标,并求该抛物线的函数表达式;
解:(1)由题意,得抛物线的对称轴为直线x=80,
顶点N的纵坐标为60,
∴顶点N的坐标为(80,60).
设该抛物线的函数表达式为y=a(x-80)2+60.
∵抛物线经过原点,
∴a(0-80)2+60=0,解得a=-,
∴该抛物线的函数表达式为y=-(x-80)2+60.
(2)如图①,若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳,落地点为Q,点P的坐标为(0,75),点Q在x轴的正半轴上,求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长;
(2)∵抛物线的形状不变,P(0,75),
∴新的抛物线可以看作由(1)中的抛物线向上平移75个单位长度得到,
∴新的抛物线的函数表达式为y=-(x-80)2+60+75=-(x-80)2+135.
当y=0时,-(x-80)2+135=0,
解得x1=200,x2=-40(不合题意,舍去),
∴Q(200,0),
故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200 cm.
(3)实验表明:仿青蛙机器人在跃过障碍物时,与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3 cm,才能安全通过.如图②,水平地面上有一个障碍物,其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC=∠BCD=90°,AB=57 cm,BC=40 cm,CD=
48 cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80 cm处的地面起跳,发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台,仿青蛙机器人从平台上起跳,则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度(平台的大小忽略不计,障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内).
(3)该平台的高度为6 cm.
[解析]设该平台的高度为k cm.
以BC所在直线为x轴,青蛙在地面上的起跳点为原点,过起跳点的竖直线为y轴建立平面直角坐标系.
由题意,得新的抛物线的函数表达式为y=-(x-80)2+60+k.
由题可知,A(80,57),B(80,0),C(120,0),D(120,48),
∴直线AD的函数表达式为y=-x+75.
设仿青蛙机器人在跃过障碍物时,与障碍物表面上的点在竖直方向上的距离为h cm,则h=-(x-80)2+60+k-(-x+75),80≤x≤120,则h=-x2+x+k-75,
此函数图象的对称轴为直线x=-=92,开口向下,
∴当x=120时,h取得最小值,最小值为3 cm,
∴-×1202+×120+k-75=3,
解得k=6.
故该平台的高度为6 cm.
类型三
类比探究类问题
(2025江西)综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路,综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.
特例研究
如图Z8-4①,在正方形ABCD中,AC,BD相交于点O.
(1)△ADC可以看成是由△AOB绕点A逆时针旋转并放大为原
来的k倍得到的,此时旋转角的度数为　　　　,k的值为　　　　;
图Z8-4
[解析] ∵四边形ABCD是正方形,∴∠OAB=∠DAC=45°,AD=OA,
∴旋转角的度数为45°,k=.故答案为45°,.
45°
(2)如图②,将△AOB绕点A逆时针旋转,旋转角为α,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD上,点F落在BC上,求的值;
类比探究
(3)如图③,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,O是AB的垂直平分线
与BD的交点,将△AOB绕点A逆时针旋转,旋转角为α,并放缩得
到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD上,点F
落在BC上.猜想的值是否与α有关,并说明理由;
(4)若将(3)中“∠ABC=60°”改为“∠ABC=β”,其余条件不变,探究
BA,BE,BF之间的数量关系(用含β的式子表示).
(2)如图②,将△AOB绕点A逆时针旋转,旋转角为α,并放大得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD上,点F落在BC上,求的值;
(2)根据题意,得△AEF∽△AOB,
∴∠EAF=∠OAB=45°,,
∴∠FAB=∠EAO,,
∴△AFB∽△AEO,∴.
∵∠OAB=45°,∠AOB=90°,
∴,∴.
(3)如图③,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,O是AB的垂直平分线与BD的交点,将△AOB绕点A逆时针旋转,旋转角为α,并放缩得到△AEF(点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD上,点F落在BC上.猜想的值是否与α有关,并说明理由;
(3)的值与α无关.理由如下:
同(2)可证△AFB∽△AEO,∴.
∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°,∴∠ABO=30°.
∵O是AB的垂直平分线与BD的交点,
∴AO=BO,∴∠BAO=∠ABO=30°.
如图,过点O作OG⊥AB于点G,
∴AB=2BG,cos∠ABO==cos 30°=,
∴,∴,
∴的值与α无关.
(4)若将(3)中“∠ABC=60°”改为“∠ABC=β”,其余条件不变,探究BA,BE,BF之间的数量关系(用含β的式子表示).
(4)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=β,∴∠ABO=.
同(3)可证,AO=BO,∠BAO=∠ABO=,=2cos ,
∴BF=2cos ·OE,BA=2cos ·BO.
∵BE=OE+BO,
∴BF+BA=2cos ·OE+2cos ·BO=2cos (OE+BO)=2cos BE.(共27张PPT)
第一部分　思想方法专题
思想方法专题(九)　面积训练
图形的面积计算,除直接利用公式外,还有一些求解策略:
①利用“等底等高则等积”进行转化;②割补法;③平移变换;④旋转变换等.
利用图形的面积或面积关系也可以解决一些非面积问题,如求线段长等.面积比问题常转化为边或高的比求解.
常用求解方法如下:
方法解读
1.如图F9-1,在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=4,将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转45°得到△ADE,AB的对应边AD交CB于点F,则△ABF的面积为 (　　)
A. B.
C. D.
B
图F9-1
[解析]如图,过点F作FH⊥AB,垂足为H.
∵AB=5,AC=3,BC=4,∴AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,tan B=,∴HB=HF.
由旋转的性质,得∠FAB=45°,∴AH=HF.
∵AB=AH+BH,∴HF+HF=5,解得HF=,
∴△ABF的面积AB·HF=×5×.
2.(2025邓州一模)清代文人魏崧在《壹是纪始》中写道:“不倒翁起始于唐朝.”现在“不倒翁”已成为益智的玩具.如图F9-2,“不倒翁”平面示意图是由等边三角形ABC与围成的图形.已知AB=2,等边三角形ABC的中心O是的圆心,则这个“不倒翁”的平面示意图的面积为(　　)
A.2π B.4π
C.π+ D.π+2
D
图F9-2
[解析]如图,连结OA,OB,OC,过点O作OD⊥BC于点D.
由题意可知OA=OB=OC,∠AOB=∠BOC=120°,AB=AC=BC=2,∠BAC=60°,
∴∠OBC=∠OCB=30°,∠BOD=∠BOC=60°,BD=BC=,
∴∠AOB+∠BOD=180°,∴点A,O,D共线,
∴AD==3,
∴S△ABC=BC·AD=×2×3=3.
在Rt△OBD中,BD=,∠OBD=30°,
∴OD=BD·tan∠OBD=×tan 30°=1,OB==2,
∴S△OBC=BC·OD=×2×1=,S扇形OBC=,
∴这个“不倒翁”的平面示意图的面积
=S△ABC+(S扇形OBC-S△OBC)=3+()=+2.
3.(2025安徽)在如图F9-3所示的 ABCD中,E,G分别为边AD,BC的中点,点F,H分别在边AB,CD上移动(不与端点重合),且满足AF=CH,则下列为定值的是
(　　)
A.四边形EFGH的周长
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
C
图F9-3
[解析]如图,连结EG.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.
∵E,G分别为边AD,BC的中点,∴AE=DE=BG=CG,
∴四边形AEGB和四边形DEGC均是平行四边形.
∵点F,H分别在边AB,CD上,
∴S△EGF=S AEGB,S△EGH=S DEGC,∴S四边形EFGH=S ABCD,
∴四边形EFGH的面积是定值.
故选C.
4.(2025金华模拟)如图F9-4,在四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,垂足为E,过点B作BF⊥AD于点F,与AC相交于点G.已知GE=2,AG=5,则当ED=EC时,下列三角形中,面积一定能求出的是 (　　)
A.△BCE B.△CDE
C.△BFD D.△ABD
A
图F9-4
[解析]设BE=y,DE=x,则CE=DE=x.
∵AC⊥BD,BF⊥AD,∴∠AGF+∠GAF=90°,∠BGE+∠GBE=90°.
又∵∠AGF=∠BGE,∴∠GAF=∠GBE.
又∵∠AED=∠BEG=90°,∴△BEG∽△AED,
∴,即,解得xy=14,
∴S△BCE=CE·BE=xy=7,
∴面积一定能求出的是△BCE.
图F9-4
5.如图F9-5,E是 ABCD内一点,连结AE,BE,CE,DE,过点A作AF∥BE,过点D作DF∥CE交AF于点F.若 ABCD的面积为24,则四边形AEDF的面积为 (　　)
A.6
B.8
C.12
D.16
C
图F9-5
[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ABC+∠BAD=180°.
∵AF∥BE,∴∠EBA+∠BAF=180°,∴∠CBE=∠DAF.同理得∠BCE=∠ADF.
在△BCE和△ADF中,∵
∴△BCE≌△ADF(ASA),∴S△BCE=S△ADF,∴S四边形AEDF=S△BCE+S△ADE.
如图,过点E作EP⊥AD,垂足为P,延长PE交BC于点Q.
∵AD∥BC,∴PQ⊥BC.
∵ ABCD的面积为24,∴S△BCE+S△ADE=EQ·BC+PE·AD=PQ·AD=S ABCD=12,
∴S四边形AEDF=S△BCE+S△ADE=12.
6.如图F9-6,点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上,矩形OBCD与交于点E,EF⊥OB于点F.若OD=OF=1,则图中阴影部分的面积是　　　　.
-1
图F9-6
[解析]连结OE,如图.
∵四边形OBCD为矩形,∴∠BOD=∠ODC=∠C=∠OBC=90°.
∵EF⊥OB,∴∠OFE=∠BFE=90°,∴四边形ODEF和四边形BCEF都为矩形.
又∵OD=OF=1,∴四边形ODEF为正方形,
∴∠DOE=∠FOE=45°,S△CDE=S△OFE,OE=OD=,
∴OB=OE=,S扇形AOE=S扇形BOE,
∴由AD,DE和所围成的图形的面积=由BF,FE和所围成的图形的面积,
∴图中阴影部分的面积=S矩形BCEF=BF·EF=(-1)×1=-1.
7.(2025广安)已知△ABC的面积是1.
(1)如图F9-7①,若D,E分别是边BC和AC的中点,AD与BE相交于点F,则四边形CDFE的面积为　　　　;
图F9-7
[解析](1)如图①所示,连结DE.
∵D,E分别是边BC和AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,DE=AB,∴△CDE∽△CBA,
∴=()2=.
∵△ABC的面积是1,∴S△CDE=.
∵D是BC的中点,∴S△BDE=S△CDE=.
∵DE∥AB,∴△DEF∽△ABF,
∴,∴BF=2EF,
∴BE=BF+EF=3EF,
∴,
∴S△DEF=S△BDE=,
∴S四边形CDFE=S△DEF+S△CDE=.
(2)如图②,若M,N分别是边BC和AC上距离点C最近的六等分点,AM与BN相交于点G,则四边形CMGN的面积为　　　　.
(2)如图②所示,连结MN.
∵M,N分别是边BC和AC上距离点C最近的六等分点,
∴CM=BC,CN=AC,∴.
又∵∠C=∠C,∴△CMN∽△CBA,
∴=()2=,,∠CMN=∠CBA,
∴MN∥AB.
∵△ABC的面积是1,∴S△CMN=.
∵M是边BC上靠近点C的六等分点,∴=5,
∴=5,∴S△BMN=.
∵MN∥AB,∴△MNG∽△ABG,
∴,∴BG=6NG,∴BN=BG+NG=7NG,
∴,∴S△MNG=S△BMN=,
∴S四边形CMGN=S△MNG+S△CMN=.
8.如图F9-8,在矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BD是矩形的对角线,E为射线BC上一动点,连结AE交BD于点O,连结OC.
(1)当∠BAE=45°时,求的值以及△EOC的面积;
(2)在点E的运动过程中,满足△OCD是以OC为腰的等腰三角形时,求tan∠BAE;
(3)当EC的长为多少时,以O,E,C,D为顶点的四边形的一条对角线将其分成面积相等的两部分
图F9-8
(1)当∠BAE=45°时,求的值以及△EOC的面积;
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AD∥BC,BC=AD=10.
∵∠BAE=45°,∴BE=AB=6.
∵AD∥BC,∴△ADO∽△EBO,∴.
如图①,过点O作OF⊥BC于点F,则△EOF∽△EAB,
∴,即,解得OF=,
∴S△EOC=EC·OF=×(10-6)×.
(2)在点E的运动过程中,满足△OCD是以OC为腰的等腰三角形时,求tan∠BAE;
(2)①当OC=OD时,∠ODC=∠OCD.
又∵∠ADC=∠BCD=90°,
∴∠ADB=∠OCB.
∵AD∥BC,∴∠ADB=∠OBC,
∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,
∴O为BD的中点,此时点E与点C重合,
∴tan∠BAE=;
②当OC=CD=6时,如图②,过点C作CM⊥BD于点M.
在Rt△ABD中,BD==2.
易证△DCM∽△DBC,∴,即,∴DM=.
∵OC=CD,CM⊥BD,∴OD=2DM=,∴OB=BD-OD=.
∵AD∥BC,∴△BOE∽△DOA,
∴,解得BE=,∴tan∠BAE=.
综上所述,tan∠BAE=或tan∠BAE=.
(3)当EC的长为多少时,以O,E,C,D为顶点的四边形的一条对角线将其分成面积相等的两部分
(3)易知当点E在线段BC上时,OC不可能平分四边形CEOD的
面积,故分以下三种情况:
①若点E在线段BC上,且DE平分四边形CEOD的面积,如图③.
设EC=a,则BE=10-a.
∵DE平分四边形CEOD的面积,∴S△DEO=S△DCE=3a,
∴S△BOE=S△BCD-2S△DCE=30-6a.
∵△BOE∽△DOA,∴,即,解得a=15±5.
经检验,a=15+5和a=15-5均是所列方程的解.
∵点E在BC上,
∴a<10,
∴EC=15-5.
②若点E在线段BC的延长线上,且DC平分四边形CEDO的面积,如图④.
设EC=x.
∵DC平分四边形CEDO的面积,∴S△DCE=S△DOC=3x,
∴S△BOC=S△BCD-S△DOC=30-3x.
∵△AOD∽△EOB,∴,即,解得x=±10-10.
经检验,x=10-10和x=-10-10均是所列方程的解.
∵x>0,∴EC=10-10.
③若点E在线段BC的延长线上,且OE平分四边形CEDO的面积,如图⑤.
过点D作DH⊥AE于点H,过点C作CG⊥AE于点G,则DH=CG.
∵AD∥BC,∴∠DAH=∠CEG.
又∵∠AHD=∠EGC=90°,
∴△ADH≌△ECG(AAS),∴EC=AD=10.
综上,当EC的长为15-5或10-10或10时,以O,E,C,D
为顶点的四边形的一条对角线将其分成面积相等的两部分.(共46张PPT)
第二部分　重难突破专题
重难突破专题(七)　几何最值问题
求几何的最值一般先考虑图形的特殊与极端位置,确定最值的具体数据,再进行一般情形下的推理、论证.常用方法有:
(1)利用几何中的不等关系,如:垂线段最短、两点之间线段最短(三角形的两边之和大于第三边)求解;
(2)建立函数关系式,把几何最值转化成函数的最值.
方法解读
类型一
利用“垂线段最短”求最值
典题精讲
(2025广安)如图Z7-1,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4,D是BC边上的一个动点,连结AD,则AD的最小值为　　　　.
例
1
图Z7-1
[解析]过点A作AH⊥BC于点H,如图,
∴∠AHB=90°.
∵△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠B=45°,
∴△ABH是等腰直角三角形,∴AH=AB=×4=2.
∵AD≥AH,∴AD的最小值为2.
2
(2025台州一模)如图Z7-2,长方形纸片MPQN的宽MP为10 cm,三角板ABC中,AC=8 cm,∠A=60°,∠ACB=90°.将三角板的顶点C固定在纸片的边MN上,边AB与纸片的边PQ交于点D,则BD的最大值是(　　)
A.(12-2)cm
B.4 cm
C.(16-)cm
D.5 cm
例
2
A
图Z7-2
[解析]如图,连结CD,过点C作CT⊥AB于点T.
∵在三角板ABC中,AC=8 cm,∠A=60°,∠ACB=90°,
∴AB==16 cm,AT=AC·cos 60°=4 cm,CT=AC·sin 60°=4 cm,
∴AD=4+DT,DT=.
∵要使BD的值最大,∴AD的值最小,∴DT的值最小,∴CD的值最小.
当CD⊥PQ时,CD的值最小,此时四边形MPDC为矩形,∴CD=MP=10 cm,
∴DT==2(cm),
∴AD=(4+2)cm,
∴BD=AB-AD=16-4-2=(12-2)cm.
1.如图Z7-3,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=6,点E,F分别在AB,BC上,沿直线EF将△BEF翻折,使顶点B的对应点B'落在AC边上,则AE的最大值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.2
题型精练
图Z7-3
[解析]由折叠的性质,得EB=EB'.
当EB的值最小时,EB'的值最小,此时AE的值最大.
当EB'⊥AC时,EB'的值最小,此时,∠AB'E=90°.
∵∠A=30°,∴EB'=AE,∴BE=AE.
∵AB=6,∴AE+AE=6,∴AE=4,∴AE的最大值为4.
C
2.(2025临沂)如图Z7-4,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8.P为边AC上异于点A的一点,以PA,PB为邻边作 PAQB,则线段PQ的最小值是　　　　.
4.8
图Z7-4
[解析]如图,设AB与PQ的交点为M,过点M作MN⊥AP于点N,
∴∠ABC=∠ANM=90°.
又∵∠MAN=∠CAB,∴△AMN∽△ACB,
∴MN∶BC=AM∶AC.
∵∠ABC=90°,AB=6,BC=8,
∴AC==10.
∵四边形PAQB是平行四边形,
∴AM=AB=3,PQ=2PM,∴MN∶8=3∶10,∴MN=2.4.
∵PM≥MN,∴PQ≥2MN=4.8,∴PQ的最小值是4.8.
3.(2025苏州)如图Z7-5,在△ABC中,AC=3,BC=2,∠C=60°,D是线段BC上一点(不与端点B,C重合),连结AD,以AD为边,在AD的右侧作等边三角形ADE,线段DE与线段AC交于点F,则线段CF长度的最大值为　　　　.
图Z7-5
　
[解析]如图所示,过点A作AH⊥BC于点H.
在Rt△AHC中,∠C=60°,∠AHC=90°,AC=3,∴AH=AC·sin C=.
∵△ADE是等边三角形,∴∠ADE=60°=∠C.
又∵∠DAC=∠FAD,∴△DAC∽△FAD,
∴,∴AF=,∴CF=AC-AF=3-,
∴当AD有最小值时,CF有最大值.
当AD⊥BC时,AD有最小值,此时点D与点H重合,
∴AD的最小值为,∴CF的最大值为4-.
4.如图Z7-6,矩形ABCD的边AB=,BC=3,E为AB上一点,且AE=1,F为AD边上的一个动点,连结EF.若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=GE,连结CG,则CG的最小值为　　　　.
图Z7-6
　
[解析]如图,过点G作GH⊥AB于点H,过点G作MN∥AB,
∵四边形ABCD是矩形,AB=,BC=3,∴∠A=∠B=90°,CD=,AD=3.∵AE=1,∴BE=.
∵∠GHE=∠GEF=90°,
∴∠GEH+∠EGH=90°,∠GEH+∠FEA=90°,∴∠EGH=∠FEA.
在△GEH和△EFA中,∵∴△GEH≌△EFA(AAS),
∴HG=AE=1,∴点G在平行AB且到AB的距离为1的直线MN上运动,
∴当点F与点D重合时,CG有最小值,此时AF=EH=3,
∴CG的最小值=.
类型二
利用“两点之间线段最短”求最值
典题精讲
(1)如图Z7-7,已知△ABC是等边三角形,AB=2,AD是BC边上的高线,E是AC的中点,P是AD上一动点,则PE+PC的最小值是 (　　)
A.1 B.
C. D.
例
3
C
图Z7-7
[解析]如图,连结BE,与AD交于点P,连结PC.
由条件可知AD⊥BC,BD=CD,即AD垂直平分BC,
∴PB=PC,∴PE+PC=PB+PE≥BE,
∴BE的长就是PE+PC的最小值.
∵△ABC是等边三角形,∴∠BCE=60°.
由条件可知BE⊥AC,CE=AC=1,∴∠BEC=90°,
∴BE=,∴PE+PC的最小值是.
(2)如图Z7-8,在△ABC中,∠B=90°,∠ACB=60°,D,E分别为AB,AC上的动点.若BC=1,则CD+DE的最小值是　　　　.
图Z7-8
[解析]延长CB到点F,使得BF=BC=1,过点F作FE⊥AC于点E,
交AB于点D,连结CD,如图.
∵∠ABC=90°,∴AB垂直平分CF,∴CD=FD,
∴CD+DE=FD+DE≥FE,
∴FE的长就是CD+DE的最小值.
∵∠ACB=60°,∠CEF=90°,∴∠F=30°,∴CE=CF=1,
∴FE=,∴CD+DE的最小值是.
(两线段有公共点)(2025南充)如图Z7-9,AB是☉O的直径,AD⊥AB于点A,
OD交☉O于点C,AE⊥OD于点E,交☉O于点F,F为的中点,P为线段AB上一动点.若CD=4,则PE+PF的最小值是 (　　)
A.4 B.2
C.6 D.4
例
4
C
图Z7-9
[解析]如图,延长DO交☉O于点M,连结PM,PE,PF,OF.
∵AE⊥OD于点E,交☉O于点F,F为的中点,
∴,∴∠AOC=∠COF=∠BOF.
∵∠AOC+∠COF+∠BOF=180°,∴∠AOC=∠COF=∠BOF=60°,
∴∠BOM=∠AOC=60°=∠BOF,∴点F与点M关于AB对称,
∴PM=PF,∴PE+PF=PE+PM≥EM.
当E,P,M三点共线时,PE+PF的值最小,最小值为EM的长.
∵∠AOC=60°,AD⊥AB,∴∠D=30°,∴OD=2OA.
∵CD=4,∴OD=OC+4=2OA=2OC,∴OC=4,∴OA=OM=4.
∵AF⊥OC,∠AOC=60°,∴∠OAE=30°,∴OE=OA=2,
∴EM=OE+OM=2+4=6,∴PE+PF的最小值为6.
(两线段无公共点)(2025金华金东区二模)如图Z7-10,在△ABC中,AB=AC
=5,BC=6,P,Q分别是边AB和AC上的动点,且始终保持AQ=BP,连结CP,BQ,则BQ+CP的最小值是 (　　)
A.11 B.
C.3 D.8
例
5
B
图Z7-10
[解析]过点B作BD∥AC,且BD=AC,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC,交CB的延长线于点F,连结DP,CD,如图,∴∠DBP=∠BAQ,
∵AB=AC,BD=AC,∴BD=AB.
又∵BP=AQ,∴△BDP≌△ABQ(SAS),∴DP=BQ,
∴BQ+CP=DP+CP≥CD.
当C,P,D三点共线时,BQ+CP取最小值,为CD的长.
∵AB=AC=5,AE⊥BC,BC=6,∴CE=BC=3,AE==4.
∵BD∥AC,∴∠DBF=∠ACE.∵AE⊥CB,DF⊥BC,∴∠F=∠AEC=90°.
又∵BD=AC,∴△BDF≌△CAE(AAS),∴DF=AE=4,BF=CE=3,∴CF=BF+BC=9,
∴CD=,即BQ+CP的最小值是.
1.(2025深圳模拟)如图Z7-11,菱形ABCD的边长为6,∠D=120°,E是AB的中点,P是对角线AC上一动点,则BP+EP的最小值是(　　)
A.3 B.6
C.3 D.6
题型精练
A
图Z7-11
[解析]连结DE,DP,BD,如图.
∵四边形ABCD是菱形,∴点B与点D关于AC对称,
∴DP=BP,∴BP+EP=DP+EP≥DE,
∴BP+EP的最小值为DE的长.
∵∠ADC=120°,CD∥AB,∴∠DAB=60°.
∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形.
∵E是AB的中点,
∴DE⊥AB,AE=3,∴DE=3,
∴BP+EP的最小值是3.
2.如图Z7-12,在△ABC中,D是BC边上的一点,DC=5BD=5,且△ADC的面积为10,则△ABC的周长的最小值是 (　　)
A.10 B.12
C.14 D.16
D
图Z7-12
[解析]如图①,过点A作AE∥BC,作点C关于直线AE的对称点C',交AE于点E,连结BC',交AE于点A',
∴∠BCC'=90°,CE=C'E,AC=AC'.
∵DC=5BD=5,∴BD=1,∴BC=6,
∴C△ABC=AB+AC+BC=AB+AC'+6≥BC'+6.
当B,A',C'三点共线时,△ABC的周长最小.
如图②.
∵S△ADC=10,即CD·CE=10,∴5CE=20,解得CE=4,∴C'E=CE=4,∴CC'=8,
∴BC'==10,∴△ABC的周长的最小值是16.
3.(2025东营)如图Z7-13,在△ABC中,AB=6,∠BAC=30°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是　　　　.
图Z7-13
[解析]如图,过点B作BH⊥AC,垂足为H,交AD于点M',
过点M'作M'N'⊥AB,垂足为N'.
由条件可知M'H=M'N',
∴BM+MN的最小值是BM'+M'N'=BM'+M'H=BH.
∵∠BAC=30°,AB=6,
∴BH=AB=3,
∴BM+MN的最小值是3.
3
4.如图Z7-14,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,BC=3,AB=2,连结对角线AC.已知AC=AD,∠ABC=135°,E是BC边上一点,连结DE,F是DE的中点,连结CF,BF,则BF+CF的最小值为　　　　.
图Z7-14
[解析]∵∠BCD=90°,F是DE的中点,∴CF=DF,∴点F在CD的垂直平分线上.
∵AC=AD,∴点A在CD的垂直平分线上.
如图,过点A作AG⊥CD于点G,则点F在AG上,CG=DG.
当B,F,D三点共线时,BF+CF=BF+DF=BD,
此时BF+CF取得最小值,此时点E与点B重合.
过点A作AH⊥BC,交CB的延长线于点H.
∵∠ABC=135°,∴∠ABH=45°,∴AH=BH=AB=.
∵AG⊥CD,∠BCD=90°,AH⊥CH,∴四边形AHCG是矩形,
∴CG=AH=,∴CD=2CG=2,∴BD=.
5. 如图Z7-15,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=8,AC=10,点D,E分别在AB和AC边上运动,且AD=CE,则CD+BE的最小值为　　　　.
图Z7-15
[解析]方法1 如图①,过点C作CK∥AB,使得CK=AC,
过点B作BG⊥CK于点G,连结BK,EK.
∵CK∥AB,∴∠KCE=∠A,∠ABG=180°-∠BGC=90°.
又∵CK=AC,CE=AD,∴△CKE≌△ACD,∴KE=CD,∴CD+BE=KE+BE≥BK.
当B,E,K三点共线时,CD+BE取最小值,为BK的长.
∵∠ABC=60°,∴∠CBG=30°.
在Rt△BCG中,∵∠G=90°,BC=8,∴CG=BC=4,BG=4,∴GK=CK+CG=14.
在Rt△KBG中,由勾股定理,得BK==2,
∴CD+BE的最小值为2.
方法2 如图②所示,构造△ADM≌△CEB,∴MD=BE,∴CD+BE=CD+MD≥CM,则CD+BE的最小值为CM的长.求解过程略.
6.(2025宜宾)如图Z7-16,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=6,将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1,在射线CA1上取一点D,连结AD,使得△ACD的面积为24,连结BD,则BD的最大值是　　 　　.
图Z7-16
[解析]∵射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1,在射线CA1上取一点D,
∴∠ACD=90°.
∵△ACD的面积为24,∴AC·CD=24,∴AC·CD=48.
过点C作线段CE⊥BC,CE=8,连结DE,如图.
∵BC=6,∴BC·CE=6×8=48,
∴AC·CD=BC·CE,∴.
∵CE⊥BC,∴∠BCE=90°=∠ACD,
∴∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE,即∠ACB=∠ECD,
∴△EDC∽△ABC,∴∠EDC=∠ABC=90°.
∵CE=8,即定角定弦,故点D在以CE为直径的圆上.
记圆心为直径CE的中点O,即☉O的半径为4.
连结OB并延长,与☉O交于一点D1,
此时BD1的长为BD的最大值.
∵BO==2,
∴BD1=BO+OD1=2+4,
∴BD的最大值为2+4.
类型三
建立函数模型求最值
典题精讲
(2023无锡)如图Z7-17,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠DAB=30°,∠ADC=
60°,BC=CD=2.若线段MN在边AD上运动,且MN=1,则BM2+2BN2的最小值是 (　　)
A. B.
C. D.10
例
6
B
图Z7-17
[解析]如图,过点B作BF⊥AD于点F,过点C作CE⊥AD于点E.
∵∠ADC=60°,CD=2,∴CE=CD=.
∵AD∥BC,∴BF=CE=.
要使BM2+2BN2的值最小,则BM和BN越小越好,
∴MN显然在点B的上方(中间位置时).
设FM=x,则FN=1-x,
∴BM2+2BN2=FM2+BF2+2(FN2+BF2)=x2+3+2[(1-x)2+3]=3x2-4x+11=3(x-)2+.
∵3>0,∴当x=时,BM2+2BN2取最小值,为.
(2025宁波镇海区一模)如图Z7-18,已知正方形ABCD中,射线BP与边AD交于点P,过点A,C,D分别作射线BP的垂线,垂足分别为A1,C1,D1.设m=AA1+
CC1+DD1,若AB=1,则m的最小值为　　　　.
例
7
图Z7-18
[解析]连结BD,PC,如图.
由题意,得S正方形ABCD=1×1=1,
由勾股定理得BD=.
∵AB=1,∴1≤BP≤.
∵AD∥BC,∴S△DPC=S△BPD=BP·DD1.
∵S正方形ABCD=S△ABP+S△BCP+S△DPC=BP·(AA1+CC1+DD1),∴AA1+CC1+DD1=.
∵2>0,1≤BP≤,
∴当BP=时,m=AA1+CC1+DD1有最小值,为.
1.如图Z7-19,在矩形ABCD中,AB=4,BC=5,点E在射线AD上运动,以BE为直角边向右作Rt△BEF,使得∠BEF=90°,BE=2EF,连结CF.
(1)当点F恰好落在CD边上时,BF=　　　　;
(2)当EF=　　　　时,CF有最小值.
题型精练
　
图Z7-19
2
[解析](1)当点F落在CD边上时,如图①所示.
∵四边形ABCD是矩形,且AB=4,BC=5,
∴CD=AB=4,AD=BC=5,∠A=∠ADC=∠BCD=90°,∴∠ABE+∠AEB=90°.
∵∠BEF=90°,∴∠AEB+∠DEF=90°,∴∠ABE=∠DEF.
又∵∠A=∠EDF=90°,∴△ABE∽△DEF,∴=2.
由=2,得DE=AB=2,∴AE=AD-DE=5-3=3.
由=2,得DF=AE=,∴CF=CD-DF=4-.
在Rt△BCF中,由勾股定理,得BF=.
(2)过点F作直线MN⊥AD于点M,交BC于点N,如图②所示,
∴∠NME=∠NMD=90°=∠ADC=∠BCD,
∴四边形MNCD是矩形,∴∠MNC=90°,DM=CN,MN=CD=4.
设AE=x.
同(1)可证△ABE∽△MEF,∴,∴=2,
∴MF=,ME=2,∴DM=CN=AD-AE-ME=5-x-2=3-x,FN=MN-MF=4-.
在Rt△CFN中,由勾股定理,得CF2=CN2+FN2=(3-x)2+(4-)2.
整理得CF2=(x-4)2+5.
∵>0,
∴当x=4时,CF2有最小值,为5,
即当x=4时,CF有最小值,最小值为.
在Rt△EMF中,EM=2,MF==2,
由勾股定理,得EF==2,
∴当EF=2时,CF有最小值.
2.(2025浙江24题)在菱形ABCD中,AB=5,AC=8.
(1)如图Z7-20①,求sin∠BAC的值.
(2)如图②,E是AD延长线上的一点,连结BE,作△FBE与△ABE关于直线BE对称,EF交射线AC于点P,连结BP.
①当EF⊥AC时,求AE的长;
②求PA-PB的最小值.
图Z7-20
(1)如图Z7-20①,求sin∠BAC的值.
解:(1)如图①,设AC,BD交于点O.
∵四边形ABCD是菱形,AC=8,
∴AC⊥BD,OA=AC=4,
∴OB==3,
∴sin∠BAC=.
(2)如图②,E是AD延长线上的一点,连结BE,作△FBE与△ABE关于直线BE对称,EF交射线AC于点P,连结BP.
①当EF⊥AC时,求AE的长;
(2)①如图②,设AC,BD交于点O.
由(1)知,AC⊥BD,OB=3.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BD=2OB=6,AD=AB=5.
∵EF⊥AC,AC⊥BD,∴EF∥BD,∴∠DBE=∠FEB.
由轴对称的性质,得∠AEB=∠FEB,
∴∠DEB=∠DBE,∴DE=BD=6,∴AE=AD+DE=11.
(2)如图②,E是AD延长线上的一点,连结BE,作△FBE与△ABE关于直线BE对称,EF交射线AC于点P,连结BP.
②求PA-PB的最小值.
②在Rt△BOP中,由勾股定理,得PB=.
∵PA=OA+OP=4+OP,
∴PA-PB=4+OP-
=4+
=4+=4-.
∵>0,∴要使PA-PB的值最小,需使的值最大,
∴OP+的值最小.
∵的值随着OP的值的增大而增大,
∴OP+的值随着OP的值的增大而增大,
∴当OP取得最小值时,OP+取得最小值,
即此时取得最大值,
∴当OP取得最小值时,PA-PB取得最小值.
如图③所示,过点B分别作BH⊥AD于点H,BT⊥FE于点T.
∵S菱形ABCD=AC·BD=AD·BH,∴BH=.
由轴对称的性质,得BT=BH=.
在Rt△POB中,由勾股定理,得OP=,
∴当PB取得最小值时,OP取得最小值.
由垂线段最短可知PB≥BT=,
∴当点P与点T重合时,PB取得最小值,最小值为,
此时OP=,∴PA-PB=4-,即PA-PB的最小值是.(共26张PPT)
第一部分　思想方法专题
思想方法专题(八)　中点联想训练　
与中点有关的定理:①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;②等腰三角形“三线合一”的性质;③三角形的中位线定理;④垂径定理及其推论.有关图形及常见辅助线:
方法解读
1.如图F8-1,已知AC是☉O的直径,AB=6,BC=8,D是弧BC的中点,连结OD,交BC于点E,则DE= (　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
B
图F8-1
2.如图F8-2,点P是△ABC的重心,过点P作AC的平行线,分别交AB,BC于点D,E.若AC=6,则DE的长为 (　　)
A.2 B.3
C.4 D.5
图F8-2
[解析]连结BP并延长交AC于点F,如图.
∵点P是△ABC的重心,∴PB=2PF.∴.
∵DE∥AC,∴,△BDE∽△BAC.
∴.∴DE=AC=×6=4.
C
3.如图F8-3,AD,BE均为△ABC的高线,且AB=AC,连结DE交AB于点O.若∠C=
28°,则∠OEB的度数为 (　　)
A.62° B.60°
C.58° D.56°
图F8-3
[解析]∵AB=AC,AD是BC边上的高线,
∴BD=CD.
∵BE是AC边上的高线,∴∠BEC=90°.
∴DE=BC=CD.∴∠DEC=∠C=28°.
∴∠OEB=∠BEC-∠DEC=90°-28°=62°.
A
4.(2025德阳)如图F8-4,E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.若BD=AC,四边形EFGH的面积为24,且HF=6,则GH= (　　)
A.4 B.5
C.8 D.10
B
图F8-4
[解析]如图,连结EG与HF交于点O.
∵E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,
∴EH∥BD,EH=BD,FG∥BD,FG=BD,EF=AC,
∴EH∥FG,EH=FG,∴四边形EFGH为平行四边形.
∵BD=AC,∴EH=EF,∴四边形EFGH是菱形,
∴EG⊥HF,OH=HF=3,OG=EG,∴∠HOG=90°.
∵四边形EFGH的面积为24,HF=6,∴24=×6EG,解得EG=8,∴OG=EG=4.
在Rt△HOG中,GH==5.
5.如图F8-5,已知正方形ABCD的边长为4,E为AD的中点,连结CE,取CE的中点F,过点F作CE的垂线,交AB于点G,则AG的长为 (　　)
A.3 B.2
C. D.2
C
图F8-5
[解析]连结GE,GC,如图所示.
∵正方形ABCD的边长为4,
∴AB=BC=AD=4,∠A=∠B=90°.
设AG=a,则BG=AB-AG=4-a.
∵E为AD的中点,∴AE=AD=2.
∵F是CE的中点,GF⊥CE,∴GF是线段CE的垂直平分线,∴GE=GC.
在Rt△AEG中,由勾股定理,得GE2=AG2+AE2=a2+22.
在Rt△BGC中,由勾股定理,得GC2=BG2+BC2=(4-a)2+42,
∴a2+22=(4-a)2+42,解得a=,∴AG=a=.
6.(2025绍兴一模)如图F8-6,Rt△ABC≌Rt△CDE,∠ABC=∠CDE=90°,点C在线段BD上,F是AE的中点,连结BF,DF.若AB=1,DE=2,则BF的长是 (　　)
A. B.
C. D.
D
图F8-6
[解析]过点F作FH⊥BD于点H,如图所示.
∵Rt△ABC≌Rt△CDE,AB=1,DE=2,∴BC=DE=2,CD=AB=1,∴BD=BC+CD=3.
∵∠ABC=∠CDE=90°,∴AB⊥BD,DE⊥BD,∴AB∥DE,
∴四边形ABDE是直角梯形.
∵FH⊥BD,∴FH∥AB∥DE.
又∵F是AE的中点,∴FH是直角梯形ABDE的中位线,
∴FH=(AB+DE)=,BH=DH=BD=.
在Rt△BHF中,由勾股定理,得BF=.
7.(2025内江)如图F8-7,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,E,F分别是边AD,CD上的动点,连结BE,EF,G为BE的中点,H为EF的中点,连结GH,则GH的最大值是
　　　　.
图F8-7
[解析]如图,连结BD,BF.
∵AB=8,AD=6,∠A=90°,
∴BD==10.
∵G为BE的中点,H为EF的中点,∴GH=BF,
∴当BF有最大值时,GH有最大值.
当点F与点D重合时,BF有最大值,为10,∴GH的最大值为5.
5
8.如图F8-8,在菱形ABCD中,O是BD的中点,AM⊥BC,垂足为M,AM交BD于点N.若OM=2,BD=8,则MC的长为　　　　.
图F8-8
[解析]如图,连结AC.
∵四边形ABCD是菱形,∴AC过BD的中点O,∴OA=OC.
∵AM⊥BC,∴∠AMC=90°,∴OM=AC=OC.
∵OM=2,∴OC=2,AC=4.
∵OB=BD=×8=4,∴BC==2.
∵菱形ABCD的面积=BC·AM=AC·BD,
∴2AM=×8×4,∴AM=,∴MC=.
9.如图F8-9,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=2AC=8,D为AB的中点,M,N分别是边AC,
BC上的动点,且MN=4,P是MN的中点,连结BP,DP,则:
(1)DP的最小值为　　　　;
2-2
图F8-9
[解析](1)连结CP,CD,如图①.
∵BC=2AC=8,∴AC=4.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AB==4.
∵D是Rt△ABC斜边上的中点,∴CD=AB=2.
∵∠ACB=90°,P是MN的中点,MN=4,
∴PC是Rt△MCN斜边上的中线,∴PC=MN=2.
∵DP≥CD-PC,
∴当C,P,D三点在同一条直线上时,DP的值最小,最小值为CD-PC.
∵CD=2,PC=2,∴DP的最小值为2-2.
(2)当∠PBC最大时,线段AM的长为　　　　.
图F8-9
4-　
[解析](2)当∠PBC最大时,点C到直线PB的距离最大,
由(1)知PC=2,
∴点P在以点C为圆心,2为半径的圆上,如图②,
∴当BP与☉C相切时,点C到直线PB的距离最大,
即∠PBC最大.
连结PC,过点P作PE⊥BC于点E.
∵PB与☉C相切,
∴PC⊥PB.
在Rt△PBC中,∵BC=8,PC=2,
∴PB==2.
由三角形的面积公式,得S△PBC=BC·PE=PC·PB,
∴PE=.
∵∠ACB=90°,PE⊥BC,∴PE∥AC,
∴△PEN∽△MCN,∴,
∴CM=2PE=,∴AM=AC-CM=4-,
∴当∠PBC最大时,线段AM的长是4-.
10.(2025杭州萧山区二模)如图F8-10,在等腰三角形ABC中,AB=AC,D为BC的中点,点E在AB边上,且DE⊥AB.
(1)求证:BD2=BE·BA;
(2)若AB=6,BC=4,求DE的长.
图F8-10
解:(1)证明:如图,连结AD.
∵AB=AC,D为BC的中点,∴AD⊥BC.
又∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADB=90°.
又∵∠B=∠B,∴△DBE∽△ABD,∴,
∴BD2=BE·BA.
(2)若AB=6,BC=4,求DE的长.
图F8-10
(2)∵BC=4,D为BC的中点,∴BD=CD=BC=2.
∵∠ADB=90°,∴AD==4.
∵S△ABD=AB·DE=BD·AD,
∴×6DE=×2×4,
∴DE=,∴DE的长是.
11.(2024杭州西湖区一模)综合与实践
【模型探究】
(1)如图F8-11①,在△ABC中,O为边BC的中点,作射线AO,CM⊥AO于点M,BN
⊥AO于点N.求证:OM=ON;
【尝试建构】
(2)如图②,在△ABC中,O为边BC的中点,点P
在边BC上(不与点B,C,O重合),作射线AP,CM
⊥AP于点M,BN⊥AP于点N,连结OM,ON,猜想
OM与ON的数量关系,并证明你的猜想;
图F8-11
【迁移应用】
(3)如图③,在△ABC中,点D,E在边BC上,BD=DE=2EC,作射线AD,CM⊥AD于点M,BN⊥AD于点N.连结EM,EN.若EM=1,EN=,求tan∠CDA的值.
(1)如图F8-11①,在△ABC中,O为边BC的中点,作射线AO,CM⊥AO于点M,BN⊥
AO于点N.求证:OM=ON;
图F8-11
解:(1)证明:∵O为边BC的中点,∴OB=OC.
∵CM⊥AO,BN⊥AO,
∴∠CMO=∠BNO=90°.
又∵∠COM=∠BON,
∴△COM≌△BON(AAS).∴OM=ON.
(2)如图②,在△ABC中,O为边BC的中点,点P在边BC上(不与点B,C,O重合),作射线AP,CM⊥AP于点M,BN⊥AP于点N,连结OM,ON,猜想OM与ON的数量关系,并证明你的猜想;
图F8-11
(2)OM=ON.
证明:如图①,延长NO交CM于点H.
∵O为边BC的中点,∴OB=OC.
∵CM⊥AP,BN⊥AP,∴∠CMN=90°,BN∥CM.
∴∠NBO=∠MCO.
又∵∠BON=∠COH,∴△BON≌△COH(ASA).∴NO=HO.
又∵∠CMN=90°,∴OM=ON.
(3)如图③,在△ABC中,点D,E在边BC上,BD=DE=2EC,作射线AD,CM⊥AD于点M,BN⊥AD于点N.连结EM,EN.若EM=1,EN=,求tan∠CDA的值.
(3)(要求tan∠CDA,想到过点E作EF⊥AN,构造Rt△EFD)
如图②,过点E作EF⊥AN于点F,则∠EFD=90°=∠BND.
又∵∠BDN=∠EDF,BD=ED,
∴△BDN≌△EDF(AAS).∴DN=DF.
∵EF⊥AN,CM⊥AN,∴EF∥MC.∴.
∵DE=2EC,∴=2.∴DF=2FM.∴FN=4FM.
设FM=x,则FN=4x.
∵EM=1,EN=,EM2=MF2+EF2,EN2=EF2+FN2,
∴1=x2+EF2,2=EF2+16x2.
∴x=(负值不合题意,已舍去).
∴EF=,DF=.
∴tan∠CDA=.(共23张PPT)
第一部分　思想方法专题
思想方法专题(二)　数形结合思想训练
数形结合思想是通过数与形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法.具体表现为:
(1)利用几何图形的直观性来表示数的问题,常借助数轴、函数图象等;
(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等.
方法解读
1.已知tan α=,tan β=,求α+β的度数,小明经过思考后,画出如图F2-1所示的网格,并把α和β画在网格中,连结AD得到△ABD,且AB=AD,∠DAB=90°.由此可知,α+β=45°.小明这种求解方法体现的数学思想是(　　)
A.数形结合思想
B.分类思想　
C.统计思想
D.方程思想
A
图F2-1
2.如图F2-2,在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形(a>b),把剩下的部分按照图中的虚线分割成四个等腰梯形,将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形,剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是 (　　)
A.(a+b)2=a2+2ab+b2
B.(a-b)2=a2-2ab+b2
C.a2-b2=(a+b)(a-b)
D.a2+b2=(a+b)2-2ab
图F2-2
C
3.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观,形少数时难入微”,数形结合是解决数学问题的重要思想方法.为了了解关于x的不等式-x+2>mx+n的解,某同学绘制了y=-x+2与y=mx+n(m,n为常数,m≠0)的函数图象如图F2-3所示,通过观察图象发现,该不等式的解在数轴上的表示正确的是 (　　)
图F2-3
图F2-4
C
4.已知m>n>0,若关于x的方程x2+2x-3-m=0的解为x1,x2(x1A.x3C.x1[解析]方程x2+2x-3-m=0的解可以看成抛物线y=x2+2x-3与直线y=m交点的横坐标;方程x2+2x-3-n=0的解可以看成抛物线y=x2+2x-3与直线y=n交点的横坐标,函数图象如图所示:
由图可知,x1B
5.如图F2-5所示,在平面直角坐标系中,P是以点C(-,)为圆心,1为半径的☉C上的一个动点,已知A(-1,0),B(1,0),连结PA,PB,则PA2+PB2的最小值是
(　　)
A.6 B.8
C.10 D.12
C
图F2-5
[解析]连结OP,OC,PC.
设P(x,y).
∵A(-1,0),B(1,0),
∴PA2=(x+1)2+y2,PB2=(x-1)2+y2.
∴PA2+PB2=(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=2x2+2y2+2=2(x2+y2)+2.
∵OP2=x2+y2,∴PA2+PB2=2OP2+2.
当点P在线段OC上时,OP取得最小值,此时OP=OC-PC=-1=3-1=2,∴PA2+PB2的最小值为2×22+2=10.
6.(2025南充)已知某函数图象关于y轴对称,当0≤x≤2时,y=x2-2x;当x>2时,y=2x-4.若直线y=x+b与这个函数图象有且仅有四个不同的交点,则实数b的范围是
(　　)
A.-C.-≤b≤0 D.b≤-或b>0
A
[解析]∵函数图象关于y轴对称,当0≤x≤2时,y=x2-2x,当x>2时,y=2x-4,
∴当-2≤x<0时,y=x2+2x;当x<-2时,y=-2x-4.
当0≤x≤2时,y=x2-2x=(x-1)2-1,这是一个开口向上,顶点坐标为(1,-1),与x轴的交点坐标为(0,0),(2,0)的抛物线的一部分;当x>2时,y=2x-4,这是一条过点(2,0),(3,2)的射线.
根据对称性画出函数的图象,如下:
联立消去y并整理,得x2+x-b=0,当1+4b=0,即b=-时,直线y=x+b与y=x2+2x(-2≤x<0)只有一个公共点.
当直线y=x+b过点(0,0)时,b=0.
结合图象可知,当-函数图象有且仅有四个不同的交点.故选A.
7.如图F2-6,数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线,图中的虚线互相平行,则点M表示的数是　　　　.
6
图F2-6
8.(2025威海)把一张矩形纸片按照如图F2-7①所示的方式剪成四个全等的直角三角形,四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形.若矩形纸片的长为m,宽为n,四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的2倍,则=
　　　　.
图F2-7
[解析]由题意,得m2+=2·(m-n)2.
整理,得4m2-8mn+n2=0,∴m=n.
由题图②可知m>n,∴.∴.
9.(2025连云港模拟)如图F2-8①,OA是☉O的半径,M是OA的中点,点N在☉O上从点A开始沿逆时针方向运动一周回到点A.设运动过程中的长为x,MN的长为y,图②是y随x变化的函数图象,则a的值为　　　　.
图F2-8
[解析]当点N与点A重合时,MN的长y=AM,由图象知此时y=1,
∴OA=2AM=2,即☉O的半径r=2.
当的长x=π时,设∠AON=n°,则π,解得n=120,即此时∠AON=120°.
如图,过点N作NG⊥AO,交AO的延长线于点G.
∵∠AON=120°,∴∠NOG=60°,∴∠ONG=30°.
∵ON=OA=2,∴OG=ON=1,NG=.
∵OM=OA=1,∴GM=OG+OM=2,
∴MN=,∴a=.
10.(2025重庆)如图F2-9①,O为矩形ABCD的对角线AC的中点,AB=3,BC=4.E,F是AC上的点(点E,F均不与点A,C重合),且AE=CF,连结BE,DF.用x表示线段AE的长度,点E与点F的距离为y1,矩形ABCD的面积为S,△ABE的面积为S1,△CDF的面积为S2,y2=.
(1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表
达式,并写出自变量x的取值范围;
(2)在如图②所示的平面直角坐标系中画
出函数y1,y2的图象,并分别写出函数y1,y2的一条性质;
图F2-9
(3)结合函数图象,请直接写出当y1图F2-9
(1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
图F2-9
[解析]∵四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=4,
∴∠ABC=90°,AC==5.
∵O为AC的中点,∴AO=CO=.
当0则y1=EF=AC-AE-CF=5-x-x=5-2x;
当∴y1=
如图③,过点B作BM⊥AC于点M.
∵S△ABC=AB·BC=AC·BM,∴BM=,
∴S1=AE·BM=x×x.同理可得,S2=x.
又∵S=AB·BC=3×4=12,∴y2=,∴y2=(0解:(1)y1=
y2=(0(2)在如图②所示的平面直角坐标系中画出函数y1,y2的图象,并分别写出函数y1,y2的一条性质;
图F2-9
(2)函数y1,y2的图象如图④所示:
性质:当0当当0(性质不唯一,合理即可).
(3)结合函数图象,请直接写出当y1图F2-9
(3)结合函数图象,得当y1第一部分　思想方法专题
思想方法专题(一) 整体思想训练
整体思想是指在研究和解决数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,进而对问题进行整体处理的解题方法,主要表现为:①整体代入;②整体加减;③整体代换等.
方法解读
1.(2024常州)当x=2时,代数式ax3+bx+1的值为6,那么当x=-2时,这个代数式的值是 (　　)
A.1 B.-4 C.6 D.-5
2.有甲、乙、丙三种规格的钢条,已知甲种2根,乙种1根,丙种3根,共长23米;甲种4根,乙种2根,丙种5根,共长40米,那么1根丙种钢条的长是 (　　)
A.4米 B.5米 C.6米 D.7米
B
C
3.如图F1-1,☉O是锐角三角形ABC的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F,连结DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC的周长为21,则EF的长为
(　　)
A.8 B.4
C.3.5 D.3
图F1-1
[解析]∵OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,∴由垂径定理,得AD=BD,BE=CE,AF=CF.∴DE,DF,EF都是△ABC的中位线.
∴DE=AC,DF=BC,EF=AB.∴DE+DF+EF=(AC+BC+AB)=×21=10.5.
∵DE+DF=6.5,∴EF=10.5-6.5=4.
B
4.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图F1-2所示.已知∠A=90°,BD=4,CF=6,设正方形ADOF的边长为x,则x2+10x= (　　)
A.12 B.16
C.20 D.24
图F1-2
[解析]由全等三角形的性质,
得BE=BD=4,CE=CF=6,∴BC=BE+CE=10.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+AB2=BC2,
即(x+6)2+(x+4)2=102,整理,得x2+10x=24.故选D.
D
5.(2025宁波模拟)如图F1-3,在△ABC中,AB=10,AC=8.在高线AD所在直线上任取一点P(不与点A,D重合),连结PB,PC,则PB2-PC2的值为 (　　)
A.6 B.18
C.36 D.72
图F1-3
[解析]PB2-PC2=(BD2+PD2)-(CD2+PD2)=BD2-CD2=
(BD2+AD2)-(CD2+AD2)=AB2-AC2=102-82=36.
C
6.已知x2+3x-12=0,则代数式x3-21x+5的值是 (　　)
A.31 B.-31 C.41 D.-41
7.(2025苏州)若y=x+1,则代数式2y-2x+3的值为　　　　.
8.若x+2y-3=0,则3x×9y=　　　　.
[解析]∵x2+3x-12=0,∴x2+3x=12.∴x3+3x2=12x,即x3=12x-3x2.
∴x3-21x+5=12x-3x2-21x+5=-3(x2+3x)+5=-3×12+5=-31.
B
[解析]∵y=x+1,∴y-x=1,∴2y-2x+3=2(y-x)+3=2×1+3=5.
5
27
9.已知一次函数y=ax+b(a,b是常数且a≠0),x与y的部分对应值如下表,那么方程a(x-1)+b=1的解是　 　　　.
x -2 - 2 3
y -5 -3 1 3 5
[解析]由表格可知,在y=ax+b中,当x=时,y=1,即a+b=1,
∴在方程a(x-1)+b=1中,x-1=,∴x=+1.
x=+1
10.数学活动课上,小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题:
已知p+q+2r=1,p2+q2-8r2+6r-5=0,求代数式pq-qr-rp的值.
图F1-4
解∵p+q+2r=1,∴p+q=1-2r.
∴(p+q)2=(1-2r)2.∴p2+2pq+q2=1-4r+4r2.①
∵p2+q2-8r2+6r-5=0,∴p2+q2=8r2-6r+5.②
把②代入①,得8r2-6r+5+2pq=1-4r+4r2,
∴pq=-2r2+r-2.
∴pq-qr-rp=(-2r2+r-2)-r(p+q)=-2r2+r-2-r(1-2r)=-2r2+r-2-r+2r2=-2.(共41张PPT)
第二部分　重难突破专题
重难突破专题(三)　数学文化
类型一
筹算代数体系
典题精讲
(2025金华模拟)我国古代数学著作《九章算术》中的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.如图Z3 1,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项,把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来,就是类似地,表述图②所示的算筹图的方程组是(　　)
A. B.
C. D.
例
1
A
图Z3-1
(2025浙江15题)【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》,书中记载的二项和的乘方(a+b)n展开式的系数规律如图Z3-2所示,其中“三乘”对应的展开式:
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.
【应用体验】
已知(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+16,
则m的值为　　　　.
例
2
图Z3-2
[解析]∵(x+2)4=x4+mx3+24x2+32x+16,
∴mx3=4x3×2=8x3,∴m=8.
8
幻方的历史悠久,传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来,就是一个三阶幻方(如图Z3-3①),将9个数填在3×3(三行三列)的方格中,如果满足每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等,就得到一个广义的三阶幻方.图②的方格中填写了一些数字和字母,若能构成一个广义的三阶幻方,则xy=　　　　.
例
3
图Z3-3
[解析] 根据题意,得
解得∴xy=60=1.
1
1.(2025金华模拟)我国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章里,一次方程组是由算筹布置而成的.如图Z3-4,图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x,y的系数与相应的常数项,把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组的形式表述出来,就是
类似地,表述图②所示的算筹图的方程组是(　　)
A. B. C. D.
题型精练
A
图Z3-4
2.对幻方的研究体现了中国古人的智慧,如图Z3-5①是一个幻方的图案,每个方格中的点数分别代表对应的数字,每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15.如图②是一个没有填完整的幻方,如果它的每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数的和都相等,那么左上角方格中的数字为(　　)
A.4 B.3
C.1 D.-3
图Z3-5
[解析]设左上角方格中的数字为x.
根据题意,得x-2=2+0,解得x=4,
∴左上角方格中的数字为4.
A
3.(2025扬州邗江区三模)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图Z3-6①所示的表,即杨辉三角.现在将所有的奇数记为“1”,所有的偶数记为“0”,则前4行如图②,前8行如图③,则前64行中“1”的个数为
　　　　.
图Z3-6
729
[解析]观察题图②和题图③可知,前8行中包含3个前4行的图形,中间三角形中的数字均为0,
∴前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数
的3倍,即前8行中“1”的个数为9×3=27.
同理可知前16行中“1”的个数是前8行中“1”的个数的3倍,即前16行中“1”的个数为27×3=81,
前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍,即前32行中“1”的个数为81×3=243,
前64行中“1”的个数是前32行中“1”的个数的3倍,即前64行中“1”的个数为243×3=729.故答案为729.
类型二
“赵爽弦图”问题
图形解读
如图Z3-7所示,在正方形ABCD的四边AB,BC,CD,DA上分别取点E,F,G,H,使得BE=CF=GD=AH,此外EQ∥BC,HP∥CD,GO∥DA,FR∥AB,则有以下常用结论:
(1)四边形EFGH、四边形ORQP都是正方形;
(2)EP=HO,HP-EP=OP(其他类似);
(3)S正方形ABCD=4S△AEH+S正方形EFGH,S正方形EFGH=4S△HPE+S正方形OPQR;
(4)S正方形ABCD-S正方形EFGH=S正方形EFGH-S正方形OPQR.
同学们不妨自行证明一下以上结论.
图Z3-7
典题精讲
如图Z3-8是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形.
(1)连结BF,若F恰为AG的中点,则∠BFG的度数为　　　　°;
例
4
图Z3-8
[解析](1)由题意,得△ADF≌△BAG,∴AF=BG.
∵F恰为AG的中点,∴AF=FG,∴BG=FG,
∴△BGF是等腰直角三角形,∴∠BFG=45°.
45
(2)连结CF,若△ABF与△FEC的面积相等,DF=2,则AF的长为　　　　.
图Z3-8
[解析](2)∵四边形EFGH是正方形,∴FG=HG=EF=EH.
设FG=HG=EF=EH=x.
由题意,得AG=CE=DF=BH=2,∴AF=BG=2-x.
∵△ABF与△FEC的面积相等,
∴AF·BG=EF·CE,∴(2-x)2=2x,
解得x1=3-,x2=3+(不合题意,舍去),
∴AF=2-(3-)=-1.
-1
如图Z3-9,2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会徽设计源于1700多年前我国数学家赵爽的“弦图”.它是由4个全等的直角三角形△ABH,△BCE,△CDF,△DAG和一个小正方形EFGH拼接而成的大正方形ABCD.已知直线FH分别交边BC,AD于点M,N.若F,H是线段MN的三等分点,则大正方形ABCD与小正方形EFGH的面积比为　　　　.
例
5
6+9
图Z3-9
[解析]如图,延长CE交AB于点P,过点M作BH的垂线,垂足为Q.
由题意,得∠BEC=90°.
∵MQ⊥BH,∴∠MQB=90°=∠BEC,∴MQ∥FE.
设AH=x,HE=1.
∵F,H是线段MN的两个三等分点,MQ∥FE,
∴EQ=EH=1.
∵四边形EFGH是正方形,∴∠EHF=45°,
∴∠HMQ=45°=∠EHF,
∴△HMQ是等腰直角三角形,
∴MQ=QH=2.
∵EB=HA=x,∴QB=EB-EQ=x-1.
∵∠AHB=90°,∴∠HAB+∠ABH=90°.
又∵∠ABH+∠MBQ=90°,∴∠HAB=∠MBQ.
又∵∠MQB=∠AHB=90°,∴△BQM∽△AHB,∴,
∴,解得x1=+1,x2=-+1.
经检验,x1=+1,x2=-+1都是原方程的解,但x2=-+1不符合题意,舍去,
∴x=+1,
∴AB2=AH2+HB2=x2+(x+1)2=2x2+2x+1=6+9,∴=6+9.
1.(2025温州瓯海区二模)“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.如图Z3-10,由两个全等的矩形ABHC和矩形BDJE,与一个小正方形EFGH剪拼成大正方形CBJK,点A,B,D在一条直线上.若AD=
7,EF=1,则拼补后的正方形CBJK的边长为(　　)
A.5 B.6
C.4 D.5
题型精练
A
图Z3-10
[解析]设AB=a,BD=b.
根据题意,得解得
∴AB=4,AC=BD=3,
∴BC==5,
∴拼补后的正方形CBJK的边长为5.
图Z3-10
2.(2025龙港二模)如图Z3-11,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABF,
△BCE,△CDH,△DAG)和中间一个小正方形EFGH组成,连结DF,CF.若DF=DA
=2,则CF的长为 (　　)
A.2 B.4
C. D.2
图Z3-11
D
[解析]∵△ABF,△BCE,△CDH,△DAG是四个全等的直角三角形,
∴DG=AF,AG=CE,∠AGD=∠BEC=90°.
∵四边形EFGH是正方形,∴EF=FG,∠FGH=90°,
∴∠AGD=∠FGD=90°.
∵DF=DA,DG=DG,∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL),
∴AG=FG,∴DG=AF=2AG.
在Rt△ADG中,由勾股定理,得AG2+DG2=AD2,
∴AG2+(2AG)2=(2)2,∴AG=2,∴CE=EF=2,
∴CF==2.故选D.
图Z3-11
3.“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图Z3-12,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ADE,△DCF,△CBG,△BAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连结CE并延长,交BH的延长线于点I.若IC=2,IE=3-,则tan∠DAE的值为(　　)
A. B.
C.3- D.-1
B
图Z3-12
4.(2025衢州一模)如图Z3-13,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,
△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成,连结DF并延长,分别交EH,AB于点N,M.若FM=MB,
(1)比较大小:DF　　　　DC;(填“>”“=”或“<”)
图Z3-13
[解析](1)由题意,得∠ABE=∠BCF,∠EFC=∠BCD=90°.
∵FM=MB,∴∠ABE=∠MFB,∴∠MFB=∠BCF.
∵∠EFD=∠MFB,∴∠EFD=∠BCF.
∵∠EFC=∠BCD=90°,∴∠DFC=∠DCF,∴DF=DC.
故答案为=.
=
(2)=　　　　.
图Z3-13
[解析](2)设AD=AB=DC=a,MF=MB=x,
则DF=DC=x,AM=AB-MB=a-x,∴DM=DF+MF=a+x.
在Rt△ADM中,由勾股定理,得AD2+AM2=DM2,
即a2+(a-x)2=(a+x)2,
∴a=4x(a=0不符合题意,已舍去),
∴AM=a-x=3x,∴.
　
类型三
“勾股树”问题
图形解读
如图Z3-14所示.
图Z3-14
同学们不妨自行证明一下以上结论.
(2025嵊州模拟)如图Z3-15,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以△ABC的三边为边向外作正方形ACFG,正方形BDEC,正方形AMNB,连结DN.若DN=x,AC
=y,BC=a(a为常数),则下列各式为定值的是 (　　)
A.x+y
B.x2+y2
C.
D.x2-y2
例
6
D
典题精讲
图Z3-15
[解析]如图,连结AD,CD,AN,CN,CN分别交AD,AB于点I,L.
∵四边形BDEC和四边形AMNB都是正方形,
∴BD=BC,AB=NB,∠CBD=∠ABN=90°,
∴∠ABD=∠NBC=90°+∠ABC.
在△ABD和△NBC中,∵
∴△ABD≌△NBC(SAS),∴∠BAD=∠BNC.
∵∠ALI=∠BLN,
∴∠AIC=∠BAD+∠ALI=∠BNC+∠BLN=90°,
∴∠AIN=∠DIN=∠CID=90°,
∴AC2+DN2=AI2+CI2+DI2+NI2,CD2+AN2=AI2+CI2+DI2+NI2,
∴AC2+DN2=CD2+AN2.
∵DN=x,AC=y,BC=a(a为常数),∠ACB=90°,
∴CD2=BD2+BC2=2BC2=2a2,
AN2=AB2+NB2=2AB2=2(AC2+BC2)=2y2+2a2,
∴x2+y2=2a2+2y2+2a2=4a2+2y2,
∴x2-y2=x2+y2-2y2=4a2,
∴x2-y2为定值.故选D.
(2025舟山定海区一模)如图Z3-16,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,分别以Rt△ABC的三边为边向外作正方形ACFG,正方形BCDE,正方形ABMN,连结NC交AB于点H.已知正方形ACFG的面积为4,若H为AB的中点,则正方形BCDE的面积为　　　　.
例
7
图Z3-16
6-2
[解析]过点C作CP⊥NA,交NA的延长线于点P,如图,
∴∠P=90°.
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,H为AB的中点,
∴CH=AH=BH.
设CH=AH=BH=a,则AB=2a.
∵四边形ABMN是正方形,
∴AN=AB=2a,∠NAB=90°.
在Rt△ANH中,由勾股定理,得NH=a,
∴NC=NH+CH=a+a.
∵∠NAB=∠P=90°,∴AH∥PC,∴△NAH∽△NPC,∴,
∴,∴PC=,AP=.
∵正方形ACFG的面积为4,∴AC2=4.
在Rt△ACP中,由勾股定理,得PC2+AP2=AC2,
∴()2+()2=4,解得a2=.
在Rt△ABC中,BC2=AB2-AC2=(2a)2-4=4a2-4,
∴BC2=4×-4=6-2,∴正方形BCDE的面积=BC2=6-2.
1.(2025东营)如图Z3-17所示,正方形ABCD的边长为2,其面积标记为S1,以CD为斜边作等腰直角三角形,以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为S2……按照此规律继续下去,则S2025的值为　　　　.
题型精练
图Z3-17
[解析]如图.
∵正方形ABCD的边长为2,∴S1=CD2=4.
∵△DEC是等腰直角三角形,∴2DE2=CD2=S1,
∴S2=DE2=.同理,S3=S2=.
按照此规律继续下去,则S2025=.
2.如图Z3-18,在△ABC中,∠ACB=90°,分别以△ABC的三边为边向外构造正方形ABDE,BCGF,ACHM,分别记正方形BCGF,△ACE的面积为S1,S2.若∠ACE=30°,则的值为 (　　)
A.8-4 B.
C.2- D.2+
图Z3-18
A
[解析]如图,连结BM交AC于点P,过点E作EQ⊥CA交CA的延长线于点Q,则∠Q=90°.∵四边形ABDE、四边形BCGF和四边形ACHM都是正方形,
∴AB=AE,AM=AC,∠BAE=∠CAM=90°,S1=BC2,∴∠BAM=∠EAP=90°+∠BAC,∴△BAM≌△EAC(SAS),∴∠AMB=∠ACE=30°.
∵∠ACB=∠CAM=90°,∴BC∥AM,∴∠PBC=∠AMB=30°,
∴∠CPB=∠APM=90°-30°=60°.
∵∠Q=∠ACB=90°,∠AEQ=∠BAC=90°-∠QAE,EA=AB,
∴△EAQ≌△ABC(AAS),∴EQ=AC,∴S2=AC·EQ=AC2.
设CP=m,则AP=AC-m.
∵=tan∠CPB=tan 60°=,=tan∠APM=tan 60°=,
∴BC=CP=m,AC=AP=(AC-m),∴AC=m,
∴S1=BC2=(m)2=3m2,S2=AC2=×(m)2=m2,
∴=8-4.
类型四
“七巧板”问题
图形解读
七巧板中各部分的长度如图Z3-19.
图Z3-19
(2025唐山一模)传统的七巧板是从我国宋代的“燕几图”演变而来的,能拼出1600多种不同的图形.嘉琪同学用边长为4的正方形纸板做出如图Z3-20①所示的七巧板,拼接成小鱼图案(外轮廓是轴对称图形)并把图案放到圆中,如图②所示,A,B,C三点在圆上.
(1)BC的长为　　　　;
(2)圆的半径是　　　　.
例
8
6
典题精讲
图Z3-20
[解析]∵大正方形的边长为4,
∴大等腰直角三角形的直角边长为4,中等腰直角三角形的直角边长为2,小等腰直角三角形的直角边长为2,小正方形的边长为2,平行四边形的相邻边长分别为2和2.
(1)∵BC由平行四边形的短边和中等腰直角三角形的斜边组成,
∴BC=2+×2=6.故答案为6.
图Z3-20
(2)如图,延长AQ交BC于点P,设圆心为O,连结OB.
∵小鱼图案外轮廓是轴对称图形,∴AP垂直平分BC,
∴圆心O在AP上,BP=CP=BC=3.
由题意,得AP=4+2+2=8.
设☉O的半径为r,则OA=OB=r,OP=AP-OA=8-r.
在Rt△BOP中,由勾股定理,得OP2+BP2=OB2,
即(8-r)2+32=r2,解得r=.故答案为.
1.(2025温州一模)七巧板源于我国宋代,是广受欢迎的智力游戏.如图Z3-21,用两副七巧板拼出一幅“勾股图”.若一副七巧板ABCD的面积为128 cm2,则△ADE的面积为 (　　)
A.16 cm2 B.24 cm2
C.32 cm2 D.64 cm2
题型精练
C
图Z3-21
[解析]如图.
观察图形,得△ADE≌△ADO,
∴△ADE的面积等于七巧板ABCD的面积的,
∴△ADE的面积=128×=32(cm2).
2.七巧板由我国宋代“燕几图”演变而来,是一种古老的拼图玩具.小凯用一个边长为4的正方形制作了一副七巧板(如图Z3-22①),并用这副七巧板拼成如图②所示的“企鹅”,则图②中AB的长为　　　　.
图Z3-22
[解析]过点A作AH⊥BC,交BC的延长线于点H,如图.
∵∠ACD=90°,∠BCD=45°,
∴∠ACH=45°.
∵BC=4,∴AC=,
∴AH=AC·sin∠ACH=×sin 45°=1,CH=AC·cos∠ACH=×cos 45°=1,
∴BH=BC+CH=4+1=5,
∴AB=.(共41张PPT)
第二部分　重难突破专题
重难突破专题(四)　建立函数模型解决问题
类型一
图象类问题
典题精讲
(2025瑞安二模)如图Z4-1①,共享单车停放点A,B和图书馆C依次在一条东西走向的道路上.甲、乙两人从两停放点之间的点P处同时出发,去往图书馆.甲步行去停放点A,然后骑共享单车去往图书馆,乙步行去停放点B,然后骑共享单车去往图书馆.已知甲、
乙两人的步行速度均为75米/分,两人
到图书馆的距离s(米)与时间t(分)的
函数关系如图②所示.
例
1
图Z4-1
(1)求停放点A,B之间的距离;
(2)求甲追上乙的时间;
(3)若乙改为先步行去停放点A,然后骑共享单车去往图书馆(步行和骑共享单车的速度均不变),会比原来更早到达图书馆吗 相差多少分钟
图Z4-1
解:(1)75×6+75×14=1500(米).
答:停放点A,B之间的距离是1500米.
(2)求甲追上乙的时间;
图Z4-1
(2)如图.
设直线CD的表达式为s=kt+b.
将(6,6000),(26,0)代入,
得
解得
∴s=-300t+7800.
由题意,得a=6000-1500=4500,
乙的步行速度为75米/分,
∴设直线AB的表达式为s=-75t+n.
将(14,4500)代入,得4500=-75×14+n,
解得n=5550.
∴s=-75t+5550(0≤t≤14).
令-300t+7800=-75t+5550,
解得t=10.
答:甲追上乙的时间为10分钟.
(3)若乙改为先步行去停放点A,然后骑共享单车去往图书馆(步行和骑共享单车的速度均不变),会比原来更早到达图书馆吗 相差多少分钟
图Z4-1
(3)乙骑共享单车的速度为4500÷(32-14)=250(米/分),
乙先步行去停放点A,然后骑共享单车去往图书馆
所用时间为6+6000÷250=30(分).
30<32,32-30=2(分).
答:会比原来更早到达图书馆,相差2分钟.
(2025衢州江山市、龙游县、柯城区联考)某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动,展台的总长度是70米,如图Z4-2①所示.甲款机器人先从起点出发,匀速慢跑,到达指定的表演点后开始表演,表演结束后,立刻按原来速度继续向前慢跑,直到终点结束;乙款机器人的起点在甲款机器人起点前7米处,与甲款机器人同时开始慢跑,一直前行,直到终点结束.已知甲、乙两款机器人距离甲款机器人起点的距离y(米)与时间x(秒)
之间的函数关系如图②
所示.
例
2
图Z4-2
(1)求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲款机器人表演的时长;
(2)求当甲、乙两款机器人相遇时,相遇点离展示台终点的距离.
图Z4-2
解:(1)甲款机器人的慢跑速度
为30÷6=5(米/秒),
乙款机器人的慢跑速度为
(70-7)÷18=3.5(米/秒),
甲款机器人表演的时长为18-70÷5=4(秒).
答:甲款机器人的慢跑速度为5米/秒,乙款机器人的慢跑速度为3.5米/秒,甲款机器人表演的时长为4秒.
(2)求当甲、乙两款机器人相遇时,相遇点离展示台终点的距离.
图Z4-2
(2)当0≤x≤6时,甲款机器人y与x之间的函数关系式为y=5x,
乙款机器人y与x之间的函数关系式为y=3.5x+7.
当甲、乙两款机器人相遇时,得解得
此时相遇点离展示台终点的距离为70-(米);
当6当甲、乙两款机器人同时到达终点时,y=70,此时相遇点离展示台终点的距离为70-70=0(米).
答:当甲、乙两款机器人相遇时,相遇点离展示台终点的距离为米或40米或0米.
1.(2025天津)已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上,书店离家
0.6 km,公园离家1.8 km.小华从家出发,先匀速步行了6 min到书店,在书店停留了12 min,之后匀速步行了12 min到公园,在公园停留25 min后,再用15 min匀速跑步返回家.图Z4-3中,x表示时间,y表示离家的距离,图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系.
题型精练
图Z4-3
请根据相关信息,回答下列问题:
(Ⅰ)①填表:
小华离开家的时间/min 1 6 18 50
小华离家的距离/km 0.6
②填空:小华从公园返回家的速度为　　　　km/min;
③当0≤x≤30时,请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式.
(Ⅱ)若小华的妈妈与小华同时从家出发,小华的妈妈以0.05 km/min的速度散步直接到公园.在从家到公园的过程中,对于同一个x的值,小华离家的距离为y1,小华的妈妈离家的距离为y2,当y1图Z4-3
(Ⅰ)①填表:
小华离开家的时间/min 1 6 18 50
小华离家的距离/km 0.6
图Z4-3
[解析]小华在最初的6 min内的速度为0.6÷6=0.1(km/min),
∴当x=1时,y=0.1×1=0.1.
由图象可知:当x=18时,y=0.6,
当x=50时,y=1.8.
故表中从左到右依次填0.1,0.6,1.8.
0.1
0.6
1.8
②填空:小华从公园返回家的速度为　　　　km/min;
图Z4-3
[解析]小华从公园返回家的速度为1.8÷15=0.12(km/min).故答案为0.12.
0.12
③当0≤x≤30时,请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式.
图Z4-3
[解析]当0≤x≤6时,y=0.1x;当6当18则y=0.6+0.1(x-18)=0.1x-1.2.
综上可知,当0≤x≤30时,小华离家的距离y关于时间x的函数解析式为y=
③小华离家的距离y关于时间x的函数解析
式为y=
(Ⅱ)若小华的妈妈与小华同时从家出发,小华的妈妈以0.05 km/min的速度散步直接到公园.在从家到公园的过程中,对于同一个x的值,小华离家的距离为y1,小华的妈妈离家的距离为y2,当y1图Z4-3
[解析]小华的妈妈从家到公园所用的时间
为1.8÷0.05=36(min),则小华的妈妈离家的
距离y2与x之间的函数图象如图所示:
y2与x之间的函数解析式为y2=0.05x(0≤x≤36).
当6≤x≤18时,令y1=y2,得0.05x=0.6,解得x=12;
当18由图象可知,当y1(Ⅱ)当y12.(2025龙泉一模)如图Z4-4,小丽和小庆去某风景区游览,其主要景点位于同一条公路边,其中古刹到塔林的路程为10 km,塔林到草甸的路程为25 km,草甸到飞瀑的路程为10 km.小丽骑电动自行车从古刹出发,沿景区公路匀速去草甸,车速为20 km/h.同一时刻,小庆乘坐电动汽车从飞瀑出发,沿景区公路匀速前往古刹.设两人相距的路程为s km,时间为t h,s关于t的部分函数图象如图Z5-4所示.
(1)求小庆乘坐的电动汽车的速度;
(2)求图中a的值;
(3)求两人之间的路程为5 km时,t的值.
图Z4-4
(1)求小庆乘坐的电动汽车的速度;
图Z4-4
解:(1)(45-20×0.9)÷0.9=30(km/h).
答:小庆乘坐的电动汽车的速度为30 km/h.
(2)求图中a的值;
(2)根据图象,得(20+30)(a-0.9)=30,解得a=1.5.
(3)求两人之间的路程为5 km时,t的值.
图Z4-4
(3)相遇前,当两人之间的路程为5 km时,
(45-5)÷(20+30)=0.8(h);
相遇后,当两人之间的路程为5 km时,
0.9+5÷(20+30)=1(h),
∴两人之间的路程为5 km时,t的值为0.8或1.
类型二
最值类问题
典题精讲
(2025珠海香洲区二模)如图Z4-5,等边三角形ABC的边长为2,D是边AC上一动点,过点D作BC的垂线,垂足为E,记BE的长为x,△BDE的面积为y,则y的最大值是 (　　)
A. B.2
C. D.
例
3
D
图Z4-5
[解析]∵△ABC是边长为2的等边三角形,∴BC=2,∠C=60°,
∴EC=BC-BE=2-x.
∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.
∵tan C=tan 60°=,∴DE=(2-x),
∴△DBE的面积y=BE·DE=(2-x)x=-(x-1)2+,
∴当x=1时,y的最大值是.
图Z4-5
(2025内江)2025年春节期间,我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录,商家推出A,B两款“哪吒”文旅纪念品.已知购进A款纪念品200个,B款纪念品300个,需花费14000元;购进A款纪念品100个,B款纪念品200个,需花费8000元.
(1)求A,B两款纪念品每个进价分别为多少元;
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,每个的售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元,W(单位:元)表示该商家销售A款纪念品的利润,求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值.
例
4
(1)求A,B两款纪念品每个进价分别为多少元;
解:(1)设A款纪念品每个进价为x元,B款纪念品每个进价为y元.
由题意,得解得
答:A款纪念品每个进价为40元,B款纪念品每个进价为20元.
(2)根据网上预约的情况,如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A,B两款“哪吒”纪念品共400个,那么至少需要购进B款纪念品多少个
(2)设需要购进B款纪念品m个,则需要购进A款纪念品(400-m)个.
由题意,得40(400-m)+20m≤12000,
解得m≥200.
答:至少需要购进B款纪念品200个.
(3)在销售中,该商家发现每个A款纪念品售价60元时,可售出200个,每个的售价每增加1元,销售量将减少5个.设每个A款纪念品售价a(60≤a≤100)元,W(单位:元)表示该商家销售A款纪念品的利润,求W关于a的函数表达式,并求出W的最大值.
(3)由题意,得W=(a-40)[200-5(a-60)]
=(a-40)(200-5a+300)
=(a-40)(500-5a)
=500a-20000-5a2+200a
=-5a2+700a-20000
=-5(a-70)2+4500.
∵-5<0,60≤a≤100,
∴当a=70时,W取得最大值,最大值为4500.
综上,W关于a的函数表达式为W=-5a2+700a-20000(60≤a≤100),W的最大值为4500.
1.某动物园商品经销店欲购进进价分别为30元/件,40元/件的A,B两种纪念品,若该经销店每出售1件A种纪念品可获利5元,每出售1件B种纪念品可获利8元,该经销店准备用不超过1920元的资金购进A,B两种纪念品共50件,且这两种纪念品全部出售后利润不低于370元,则共有　　　　种购进方案,最大利润为　　　　元.
题型精练
3
376
[解析]设购进A种纪念品m件,利润为w元,则购进B种纪念品(50-m)件.
根据题意,得
∴8≤m≤10.
∵m为整数,∴m的值为8,9,10,∴共有3种购进方案.
根据题意,得w=5m+8(50-m)=-3m+400.
∵-3<0,
∴当m=8时,w有最大值,最大值为-3×8+400=376.∴最大利润是376元.
2.扎染古称“绞缬”,是我国一种古老的纺织品染色技艺.扎染工艺的发展带动了当地旅游相关产业的发展.某扎染坊第一次用3700元购进甲、乙两种布料共80件,其中两种布料的成本价和销售价如下表:
成本价/(元/件) 销售价/(元/件)
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种
布料各多少件
(2)因热销,第一次购进的布料全部售
完,该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件.若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍,且以相同的销售价全部售完这批布料.设第二次购进甲种布料m件,第二次全部售完后获得的利润为W元.第二次应怎样进货,才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大 最大利润是多少元
(1)该扎染坊第一次购进甲、乙两种布料各多少件
成本价/(元/件) 销售价/(元/件)
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
解:(1)设该扎染坊第一次购进甲种布料x件,乙种布料y件.
根据题意,得解得
答:该扎染坊第一次购进甲种布料25件,乙种布料55件.
(2)因热销,第一次购进的布料全部售完,该扎染坊第二次以相同的成本价再次购进甲、乙两种布料共100件.若此次购进甲种布料的数量不超过乙种布料数量的1.5倍,且以相同的销售价全部售完这批布料.设第二次购进甲种布料m件,第二次全部售完后获得的利润为W元.第二次应怎样进货,才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大 最大利润是多少元
成本价/(元/件) 销售价/(元/件)
甲种布料 60 100
乙种布料 40 70
(2)根据题意,得第二次购进乙种布料(100-m)件,则m≤1.5(100-m),解得m≤60.
根据题意,得W=(100-60)m+(70-40)(100-m)=10m+3000.
∵10>0,∴W随m的增大而增大.
∵m≤60,
∴当m=60时,W有最大值,W最大=10×60+3000=3600,
此时100-m=100-60=40.
答:第二次购进甲种布料60件,乙种布料40件,才能使第二次购进的布料全部售完后获得的利润最大,最大利润是3600元.
类型三
抛物线形问题
典题精讲
(2025杭州临安区一模改编)药碾子是传统的碾药工具,从东汉时期沿用至今.如图Z4-6①,碾槽外轮廓的上沿和下沿可近似看作两条抛物线的部分.如图②,上沿和下沿的两个交点分别为点O和点A,点O与点A到地面的距离相等,OA=8 dm,以OA所在直线为x轴,过点O且垂直于OA的直线为y轴,建立如图②所示的平面直角坐标系,上沿
抛物线的顶点为H(4,-),下沿抛物线的
顶点为P,上沿抛物线的顶点H比点P高 dm.
例
5
图Z4-6
(1)求出上沿抛物线的函数表达式;
(2)B是支撑架与下沿抛物线的交点,过点B作BD⊥OA于点D,交上沿抛物线于点E,BE= dm,求点B的坐标.
图Z4-6
解:(1)设上沿抛物线的函数表达式
为y=a(x-4)2-.
把(0,0)代入,得16a-=0,解得a=,
∴上沿抛物线的函数表达式为y=(x-4)2-(0≤x≤8).
(2)B是支撑架与下沿抛物线的交点,过点B作BD⊥OA于点D,交上沿抛物线于点E,BE= dm,求点B的坐标.
图Z4-6
(2)∵H(4,-),点H比点P高 dm,∴P(4,-4).
设下沿抛物线的函数表达式为y=a'(x-4)2-4.
把(0,0)代入,得16a'-4=0,解得a'=,
∴下沿抛物线的函数表达式为y=(x-4)2-4(0≤x≤8).
∵BE= dm,∴(x-4)2-(x-4)2+4=,解得x=2或x=6.
把x=2代入y=(x-4)2-4,得y=-3;把x=6代入y=(x-4)2-4,得y=-3,∴B(2,-3)或(6,-3).
某科技创新兴趣小组制作了一种投石器,如图Z4-7①,为检验投石器的性能,进行如下操作:如图②,将投石竿点M端拉至水平地面M'处,放手后投石竿绕支点A旋转,从点M处把石头甩出,石头的运动轨迹是抛物线的一部分,以水平地面为x轴,竖直方向OM为y轴建立平面直角坐标系,如图③.已知OM=0.4米,抛物线的顶点P的坐标为(1, ).
(1)求抛物线的函数表达式;
题型精练
图Z4-7
(2)为了检验投石器的性能,在点O的正前方2~2.5米处设置了一个长为0.5米,内壁DE高为0.6米,外壁HF高为0.8米的目标箱(其中DE,HF垂直于x轴).兴趣小组为了把石头投入目标箱,可以垫高投石器或沿x轴正方向移动投石器(假设每次都以相同的角度和力度投石),当垫高投石器时,设垫高的高度为h米,求h的取值范围.(石头落到点D或点H处,视为未投入目标箱)
图Z4-7
(1)求抛物线的函数表达式;
图Z4-7
解:(1)∵抛物线的顶点为(1,),
∴设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+.
∵OM=0.4米,∴M(0,0.4).
把M(0,0.4)代入,得0.4=a+,解得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-(x-1)2+.
(2)为了检验投石器的性能,在点O的正前方2~2.5米处设置了一个长为0.5米,内壁DE高为0.6米,外壁HF高为0.8米的目标箱(其中DE,HF垂直于x轴).兴趣小组为了把石头投入目标箱,可以垫高投石器或沿x轴正方向移动投石器(假设每次都以相同的角度和力度投石),当垫高投石器时,设垫高的高度为h米,求h的取值范围.(石头落到点D或点H处,视为未投入目标箱)
图Z4-7
(2)由题意,得垫高后的抛物线为y=-(x-1)2++h.
∵在点O的正前方2~2.5米处设置了一个长为0.5米,内壁DE高为0.6米,外壁HF高为0.8米的目标箱,
∴把(2,0.6)代入y=-(x-1)2++h,得0.6=-×(2-1)2++h,解得h=;
把(2.5,0.8)代入y=-(x-1)2++h,得0.8=-×(2.5-1)2++h,解得h=,∴第一部分　思想方法专题
思想方法专题(七)　角平分线训练
见角平分线常构造全等三角形或等腰三角形、与角平分线有关的图形或辅助线.
方法解读
1.如图F7-1,在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,D,E分别为BC,AC的中点,BF平分∠ABC,交DE于点F,则EF的长是(　　)
A. B.1
C.2 D.
图F7-1
[解析]在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,
∴AB==5.
∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠FBD.
∵D,E分别为BC,AC的中点,∴DE∥AB,DE=AB=,BD=BC=2,
∴∠ABF=∠BFD,∴∠BFD=∠FBD,∴DF=BD=2,∴EF=DE-DF=.
A
2.(2023舟山模拟)如图F7-2,AE,BE,CE分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,ED⊥BC于点D,ED=3,△ABC的面积为36,则△ABC的周长为 (　　)
A.48 B.36
C.24 D.12
C
图F7-2
[解析]如图,过点E分别作EF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G.
∵BE平分∠ABC,ED⊥BC,EF⊥AB,∴EF=ED=3.
∵CE平分∠ACB,ED⊥BC,EG⊥AC,
∴EG=ED=3.
∴S△ABC=S△ABE+S△BEC+S△AEC=AB·EF+BC·ED+AC·EG=×3(AB+BC+AC)=36.
∴AB+BC+AC=24,
即△ABC的周长为24.
3.(2025安徽名校之约联考)如图F7-3,AD是△ABC的角平分线,BE平分∠ABC交AD于点E,BF是△ABC的外角平分线,交AD的延长线于点F,且BF∥AC,连结CF.下列结论错误的是 (　　)
A.∠EBF=90°
B.∠BCF=∠BFC
C.若CF∥AB,则AE=BD
D.若AF⊥BC,则CF=BC
C
　图F7-3
[解析]由条件可知∠CBE=∠ABC,∠CBF=∠FBG=∠CBG,
∴∠EBF=∠CBE+∠CBF=∠ABC+∠CBG=(∠ABC+∠CBG)=×180°=90°,故选项A正确,不符合题意;
∵BF∥AC,BF平分∠CBG,
∴∠CBF=∠ACB=∠FBG=∠BAC,∴AB=BC.
由条件可知∠CAF=∠FAG.
∵BF∥AC,∴∠CAF=∠AFB,∴∠AFB=∠BAF,
∴AB=BF,∴BC=BF,
∴∠BCF=∠BFC,故选项B正确,不符合题意;
　图F7-3
若CF∥AB,又∵BF∥AC,∴四边形ABFC是平行四边形,
∴AB=CF,AC=BF.
又∵AB=BC=BF,∴△ABC,△BCF均为等边三角形,
∴∠ABC=∠BAC=60°,∴∠BAE=∠ABE=30°,
∴AE=BE.
由三线合一的性质知AF⊥BC.
在Rt△BDE中,BE>BD,∴AE>BD,故选项C错误,符合题意;
若AF⊥BC,则由AF平分∠BAC,结合AD=AD,易证△ADC≌△ADB(ASA),
∴易知AF垂直平分BC,∴CF=BF,∴CF=BC,故选项D正确,不符合题意.故选C.
　图F7-3
4.如图F7-4,在矩形ABCD中,M为边BC的中点,N为边AB上一点,连结DM,DN.若DM平分∠CDN,且AN=3,BN=1,则DN的长为 (　　)
A.4 B.3
C.5 D.3
C
图F7-4
[解析]如图,过点M作MH⊥DN于点H,连结MN.
∵AN=3,BN=1,∴DC=AB=4.
∵M为边BC的中点,∴CM=BM.
∵DM平分∠CDN,∴∠CDM=∠HDM.
又∵∠C=∠DHM=90°,DM=DM,
∴△DMC≌△DMH(AAS),∴HM=CM,DH=DC=4,
∴BM=HM.
又∵MN=MN,∴Rt△MHN≌Rt△MBN(HL),
∴HN=BN=1,∴DN=DH+HN=5.
5. (2025连云港)如图F7-5,在△ABC中,∠ACB=90°,
∠CAB=30°,AD平分∠CAB,BE⊥AD,E为垂足,则的值为(　　)
A.2 B.
C. D.
A
图F7-5
[解析]方法1 ∵∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴AB=2BC,AC=BC.
设BC=x,则AB=2x,AC=x.
∵AD平分∠CAB,∠ACB=90°,
∴点D到AC,AB的距离相等,均为CD的长,∠CAD=∠BAD,
∴.
又∵,∴,
图F7-5
∴CD=BC=(2-3)x,
∴AD==(3)x.
∵BE⊥AD,∠CAD=∠BAD,
∴sin∠CAD=sin∠BAD,∴,即,
∴BE=()x,∴=2.
图F7-5
方法2 如图,延长AC与BE相交于点F.由AD平分∠CAB,AE⊥BE可证△ABE≌△AFE,
∴BE=FE=BF.
易证△ACD∽△BCF,∴,即,
∴=2.
6. 如图F7-6,半圆O的直径AB=5,AC,AD为弦.若AC=3,
AD平分∠BAC,则AD=　　　　.
2
图F7-6
[解析]方法1 双垂直法
如图①,过点D作DG⊥AB于点G,过点D作DH⊥AC交AC的延长线于点H,连结DB,DC.∵AB是半圆O的直径,∴∠ADB=90°.
由AD平分∠BAC可得DG=DH,BD=DC,
∴Rt△BDG≌Rt△CDH.∴BG=CH.
设BG=CH=x,则AH=3+x,AG=5-x.易证△ADH≌△ADG,∴AH=AG.
∴3+x=5-x.∴x=1.∴BG=1,AG=4.
∵∠DAG=∠BAD,∠AGD=∠ADB=90°,
∴△ADG∽△ABD.∴.∴AD2=AG·AB=4×5=20.∴AD=2.
方法2 角平分线+垂直→等腰三角形
如图②,连结BC,BD,延长BD交AC的延长线于点E.
∵AB是半圆O的直径,且AC,AD为弦,
∴∠ACB=∠ADB=90°.∴∠BCE=90°.
由AD平分∠BAC且AD⊥BE,易得△ADB≌△ADE.
则AE=AB=5,CE=2,BC=4.
在Rt△BCE中,BE==2.
∵S△ABE=AE·BC=BE·AD,∴×5×4=×2AD.∴AD=2.
7.(2025舟山定海区一模)如图F7-7,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,
∠BCA=2∠DCA,点E在AC边上,∠EDC=∠ABC.若BC=5,CD=10,AD=2AE,则AC的长为　　　　.
图F7-7
[解析]如图,在AB上取一点F,使AF=AD,连结CF.
∵AC平分∠BAD,∴∠FAC=∠DAC.
又∵AC=AC,AF=AD,∴△AFC≌△ADC(SAS),
∴CF=CD,∠FCA=∠DCA,∠AFC=∠ADC.
∵∠FCA+∠BCF=∠BCA=2∠DCA,
∴∠DCA=∠BCF,即∠DCE=∠BCF.
又∵∠EDC=∠ABC,即∠EDC=∠FBC,
∴△DCE∽△BCF,∴,∠DEC=∠BFC.
∵BC=5,CF=CD=10,∴CE==4.
∵∠AED+∠DEC=180°,∠AFC+∠BFC=180°,
∴∠AED=∠AFC=∠ADC.
又∵∠EAD=∠DAC,∴△EAD∽△DAC.
∴,
∴AC=2AD=4AE=CE=×4.
8.(2024杭州萧山区二模)如图F7-8,以等腰三角形ABC的底边BC为直径作☉O,分别交AB,AC边于点D,E,过点E作EF⊥BC于点F,∠CEF的平分线交BC于点G.若BD=3,CG=1,则FG=　　　　,AE=　　　　.
(参考素材:角平分线定理:三角形一个角的平分线
分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比
例,如)
　
图F7-8
[解析]∵以等腰三角形ABC的底边BC为直径作☉O,分别交AB,AC边于点D,E,
∴由圆及等腰三角形的轴对称性易得CE=BD=3,AD=AE.
∵,∴.设FG=x,则EF=3x.
在Rt△CEF中,由勾股定理,得EF2+CF2=CE2,即(3x)2+(x+1)2=32,
解得x=(负值不符合题意,已舍去).∴FG=,CF=,EF=.
连结BE.∵BC是☉O的直径,∴∠CEB=90°.
∵∠CFE=∠CEB=90°,∠C=∠C,∴△CEF∽△CBE.∴,即.∴BE=4.
设AE=AD=y.在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE2+BE2=AB2,即y2+42=(3+y)2,解得y=.
∴AE=.
9.(2025河南)在∠AOB中,C是∠AOB的平分线上一点,过点C作CD⊥OB,垂足为D,过点D作DE⊥OA,垂足为E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为G.
(1)观察猜想
如图F7-9①,当∠AOB为锐角时,用等式表示线段CG,OE,
OD的数量关系:　　　　　　　　.
OD=CG+OE
图F7-9
[解析] 如图①,过点C作CP⊥OA于点P.
∵OC平分∠AOB,CD⊥OB,CP⊥OA,∴CP=CD.
在Rt△POC和Rt△DOC中,∵
∴Rt△POC≌Rt△DOC(HL),∴OP=OD.
∵DE⊥OA,CG⊥DE,CP⊥OA,
∴∠PEG=∠CGE=∠CPE=90°,
∴四边形CPEG是矩形,∴PE=CG,
∴OD=OP=PE+OE=CG+OE.
故答案为OD=CG+OE.
(2)类比探究
如图②,当∠AOB为钝角时,请依据题意补全图形(无需尺规作图),并判断(1)中的结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请写出正确结论,并证明.
(3)拓展应用
当0°<∠AOB<180°,且∠AOB≠90°时,若=3,请直接写出的值.
(2)类比探究
如图②,当∠AOB为钝角时,请依据题意补全图形(无需尺规作图),并判断(1)中的结论是否仍然成立.若成立,请证明;若不成立,请写出正确结论,并证明.
(2)补全图形,如图②所示.
②
(1)中的结论不成立,正确结论为OD=CG-OE.
证明:如图②,过点C作CQ⊥OA于点Q.
∵OC平分∠AOB,CD⊥OB,CQ⊥OA,∴CQ=CD.
在Rt△QOC和Rt△DOC中,∵
∴Rt△QOC≌Rt△DOC,∴OQ=OD.
∵DE⊥OA,CG⊥DE,CQ⊥OA,
∴∠QEG=∠CGE=∠CQE=90°,
∴四边形CQEG是矩形,∴QE=CG,
∴OD=OQ=QE-OE=CG-OE.
②
(3)拓展应用
当0°<∠AOB<180°,且∠AOB≠90°时,若=3,请直接写出的值.
[解析] (Ⅰ)当0°<∠AOB<90°时,如图③.
∵CG⊥DE,DE⊥OA,∴CG∥OE,
∴△CGF∽△OEF,∴=3,
∴CG=3OE,
∴OD=CG+OE=3OE+OE=4OE,
∴DE=OE.
∵∠DCG+∠CDG=90°,∠ODE+∠CDG=90°,∴∠ODE=∠DCG.
又∵∠DEO=∠CGD=90°,∴△DOE∽△CDG,
∴;
(Ⅱ)当90°<∠AOB<180°时,如图④.
∵CG⊥GF,GF⊥OE,∴CG∥OE,
∴△CGF∽△OEF,∴=3,∴CG=3OE,
∴OD=CG-OE=3OE-OE=2OE,
∴DE=OE.
∵∠DCG+∠CDG=90°,∠ODE+∠CDG=90°,
∴∠ODE=∠DCG.
又∵∠DEO=∠CGD=90°,
∴△DOE∽△CDG,
∴.
综上,的值为或.
(3)的值为或.(共22张PPT)
第一部分　思想方法专题
思想方法专题(五)　转化思想训练
转化思想是解决数学问题的根本思想,解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程.常见的转化方法有:①未知向已知转化;②数与形的相互转化;③多元向一元转化;④不规则向规则转化;⑤生活问题向数学问题转化等.
方法解读
1.(2025遂宁)如图F5-1,圆柱的底面直径为AB,高为AC,一只蚂蚁在点C处,沿圆柱的侧面爬到点B处,现将圆柱侧面沿AC剪开,在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线,正确的是 (　　)
B
图F5-1
图F5-2
2.(2025临沂)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.如图F5-3是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是(　　)
A.π B.2π
C.3π D.4π
图F5-3
[解析]如图,连结AB,DC相交于点O.
∵正方形的内切圆的半径是2,∴AC=BC=4,OA=OB,
∴AB==4,∴OA=OB=AB=2,
∴图中阴影部分的面积是π·(2)2-π·22=4π.
D
3.如图F5-4是钉板示意图,每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形的顶点,钉点A,B的连线与钉点C,D的连线交于点E,则
(1)AB与CD是否垂直 　　　　(填“是”或“否”);
(2)AE=　　　　.
　图F5-4
[解析] (1)如图①,在△ACM和△CFD中,
∵
∴△ACM≌△CFD(SAS).∴∠CAM=∠FCD.
∵∠CAM+∠CMA=90°,∴∠FCD+∠CMA=90°.
∴∠CEM=90°.∴AB⊥CD.
是
(2)AE=　　　　.
　图F5-4
(2)如图②,在Rt△ABH中,由勾股定理,
得AB==2.
∵AC∥BD,∴△ACE∽△BDE.
∴.∴AE=AB=.
4.在《九章算术》“割圆术”中指出:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”,这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想.比如在求1++…的值时,“…”代表按此规律不断求和.我们可设x=1++…,则有x=1+ (1++…),即x=1+x,解得x=2,故1++…=2.
类似地,请你计算:1++…=　　　　.(直接填计算结果即可)
[解析]设1++…=x,则1++…=1+(1++…),∴x=1+x,解得x=.
5.如图F5-5,D是以AB为直径的半圆O的中点,=2,E是直径AB上一个动点.已知AB=2 cm,则图中阴影部分周长的最小值是　　 　　cm.
(π)
图F5-5
[解析]如图,连结DO并延长至点F,使得OF=DO,连结OC,CF,EF,CD.
∵D是以AB为直径的半圆O的中点,
∴∠AOD=∠BOD=90°,∴点D,F关于AB对称,
∴DE=EF,∴CE+DE=CE+EF≥CF.
当点C,E,F在同一直线上时,CE+DE的值最小,最小值为CF的长.
∵=2,∴∠COD=2∠BOC=60°.
又∵CO=OD,∴△OCD为等边三角形,
∴CD=OC=1 cm,∠OCD=60°.
∵OF=OD=OC,∴∠F=∠OCF.
又∵∠F+∠OCF=∠COD=60,∴∠F=∠OCF=30°,
∴∠DCF=90°,∴CF= cm,
∴CE+DE的最小值为 cm.
∵π(cm),
∴图中阴影部分周长的最小值是(π)cm.
6.在学习锐角三角函数时,小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的正切值之间具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣,并进行了一些研究.
(1)初步尝试:
我们知道:tan 60°=　　　　,tan 30°=　　　　;
发现结论:tan A　　　　2tan(填“=”或“≠”).
　　
≠
(2)如图F5-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,求tan的值.
研究思路:小明想构造包含∠BAC的直角三角形,延长CA至点D,使得DA=AB,连结BD,得到∠D=∠BAC,即转化为求∠D的正切值,那么tan=　　　　.
图F5-6
[解析]在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,∴AB=.
∵DA=AB,∴∠D=∠ABD.∴∠D=∠BAC.
∵DC=DA+AC=AB+AC=+2,
∴tan=tan D=-2.
(3)在△ABC中,∠A为锐角,tan A=,∠B=2∠A,AB=3,求S△ABC的值.
图F5-6
(3)如图①,作AB的垂直平分线,交AC于点E,连结BE,过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D,
则EA=EB.∴∠EAB=∠EBA.
∴∠BED=∠EAB+∠EBA=2∠A.
∵∠ABC=2∠A,∴∠BED=∠ABC.
在Rt△ABD中,tan A=,AB=3,
设BD=x,则AD=3x,
∴AB=x=3,∴x=3.∴BD=3,AD=9.
设AE=a,则EB=a,ED=AD-AE=9-a.
在Rt△EBD中,由勾股定理,得EB2=ED2+BD2,
即a2=(9-a)2+32,解得a=5,∴AE=5,ED=9-5=4.
∴tan∠ABC=tan∠BED=.
如图②,过点C作CF⊥AB于点F.
由tan∠ABC=,tan A=,设CF=3m,则AF=9m,BF=4m,
∴AB=13m=3,∴m=.∴CF=.
∴S△ABC=AB·CF=×3.
7.【知识呈现】
转化思想是数学常用的思想方法之一,在解决一些陌生问题的时候,可以构造辅助线,将陌生问题转化为熟悉问题来解决.
(1)如图F5-7①,C是线段AB上一点(AC>BC),AB=16,∠A=∠DCE=∠ABE=
120°,CD=CE=14.
①求证:△ACD≌△BEC;
②求tan D的值.
图F5-7
【小试牛刀】
(2)如图②,在等边三角形ABC中,M,N分别是边AC,AB上的点,将△AMN沿MN翻折,使点A的对应点落在BC边上的点D处.若CD=2,BD=5,求AN的长.
【拓展应用】
(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠C=α(45°<α<90°),D是BC边的中点,E为AC边上任意一点,将射线DE绕着点D逆时针旋
转α,得到射线DG,过点E作EF⊥DE,交射线DG于
点F,连结FB.若FB=FD,求的值.(用含α的式子
表示)
图F5-7
(1)如图F5-7①,C是线段AB上一点(AC>BC),AB=16,∠A=∠DCE=∠ABE=120°,
CD=CE=14.
①求证:△ACD≌△BEC;
图F5-7
解:(1)①证明:∵∠A=∠DCE=∠ABE=120°,
∴∠ACD+∠BCE=60°,∠BEC+∠BCE=60°,
∴∠ACD=∠BEC.
又∵∠A=∠ABE,CD=EC,∴△ACD≌△BEC.
(1)如图F5-7①,C是线段AB上一点(AC>BC),AB=16,∠A=∠DCE=∠ABE=120°,
CD=CE=14.
②求tan D的值.
图F5-7
②如图①,过点E作EH⊥AB,交AB的延长线于点H.
∵△ACD≌△BEC,∴AC=BE,∠D=∠BCE.
设AC=BE=2x,则BC=16-2x.
在Rt△EBH中,∠EBH=180°-∠ABE=60°,
∴BH=BE·cos∠EBH=x,EH=BE·sin∠EBH=x.
在Rt△ECH中,由勾股定理,得CH2+EH2=CE2,
即(16-2x+x)2+(x)2=142,解得x1=3,x2=5.
∵AC>BC,∴2x>16-2x,解得x>4,∴x=5,
∴EH=5,CH=11,∴tan∠ECH=,
∴tan D=tan∠ECH=.
(2)如图②,在等边三角形ABC中,M,N分别是边AC,AB上的点,将△AMN沿MN翻折,使点A的对应点落在BC边上的点D处.若CD=2,BD=5,求AN的长.
(2)如图②,过点N作NH⊥BC于点H.
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=BC=CD+BD=7,∠A=∠B=∠C=60°.
设BN=y,则AN=7-y.由翻折的性质,得DN=AN=7-y.
在Rt△BNH中,BH=BN·cos B=y,NH=BN·sin B=y.
在Rt△DNH中,DH=5-y,DN2=NH2+DH2,
∴(7-y)2=(y)2+(5-y)2,解得y=,∴AN=7-.
(3)如图③,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=∠C=α(45°<α<90°),D是BC边的中点,E为AC边上任意一点,将射线DE绕着点D逆时针旋转α,得到射线DG,过点E作EF⊥DE,交射线DG于点F,连结FB.若FB=FD,求的值.(用含α的式子表示)
(3)如图③,过点E作EN⊥BC于点N,过点F作FM⊥EN,交NE的延长
线于点M,过点F作FJ⊥BD于点J,连结AD,
则四边形MNJF是矩形,∴FM=JN.
∵∠DEN+∠MEF=90°,∠MFE+∠MEF=90°,
∴∠MFE=∠DEN.
又∵∠M=∠DNE=90°,∴△FME∽△END,
∴=tan α.
设CN=a,DN=b,则EN=a·tan α,ME=b·tan α,
∴FM=EN·tan α=atan2α.
∵AB=AC,D是BC边的中点,
∴BD=CD=a+b,∠ADC=90°.
∵FB=FD,∴BJ=DJ=BD=,
∴FM=JN=DJ+DN=+b=atan2α,化简,得b=a.
∵∠ENC=∠ADC=90°,∴MN∥AD,
∴.(共34张PPT)
第二部分　重难突破专题
重难突破专题(二)　几何作图
格点基本作图常见问题:
(1)作平行线:如图①,作已知线段AB的平行线,一般通过构造平行四边形或通过平移得到;
(2)作垂线:如图②,作已知线段AB的垂线;
(3)作比例线段:如图③,作线段的指定比例(以线段AB的一个三等分点为例).
方法解读
图Z2-1
类型一
尺规作图及相关证明和计算
典题精讲
(2025龙港二模)尺规作图问题:
如图Z2-2,在 ABCD中,P是对角线BD上一点(BP(1)用无刻度的直尺和圆规在对角线BD上求作点Q,连结CQ,使得CQ∥AP;(保留作图痕迹,不必写作法)
(2)依据你的作图,请说明CQ∥AP成立的理由.
(要求写出推理过程)
例
1
图Z2-2
(1)用无刻度的直尺和圆规在对角线BD上求作点Q,连结CQ,使得CQ∥AP;(保留作图痕迹,不必写作法)
图Z2-2
解:(1)如图,点Q即为所求.
(2)依据你的作图,请说明CQ∥AP成立的理由.(要求写出推理过程)
图Z2-2
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴∠ABP=∠CDQ.
在△ABP和△CDQ中,∵
∴△ABP≌△CDQ(SAS),
∴∠APB=∠CQD,∴∠APD=∠CQB,∴CQ∥AP.
1.(2025烟台)如图Z2-3,BD是矩形ABCD的对角线,请按以下要求解决问题:
(1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)的条件下,若BE交AD于点F,AB=1,BC=2,求AF的长.
题型精练
图Z2-3
解:(1)如图,△BED即为所求.
(2)在(1)的条件下,若BE交AD于点F,AB=1,BC=2,求AF的长.
图Z2-3
(2)如图.∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=2,AD∥BC,∠A=90°,
∴∠ADB=∠CBD.
∵△BED与△BCD关于直线BD成轴对称,
∴∠EBD=∠CBD,∴∠FBD=∠FDB,∴BF=DF.
设AF=x,则BF=DF=2-x.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB2+AF2=BF2,
即12+x2=(2-x)2,解得x=,∴AF=.
2.(2025金华模拟)尺规作图问题:
如图Z2-4①,已知∠ABC,用尺规作图方法作以BA,BC为邻边的平行四边形ABCD.
(1)如图②,根据作图痕迹,判定四边形ABCD为平行四边形的依据是什么
(2)在图①中,请你再作一个平行四边形ABCD(方法与上题不一样,保留作图痕迹,不需要证明).
图Z2-4
(1)如图②,根据作图痕迹,判定四边形ABCD为平行四边形的依据是什么
解:(1)判定四边形ABCD为平行四边形的依据是两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
(2)在图①中,请你再作一个平行四边形ABCD(方法与上题不一样,保留作图痕迹,不需要证明).
(2)如图,四边形ABCD即为所求.
类型二
根据作图进行推理和计算
典题精讲
(2025衢州衢江区一模)小明研究一道尺规作图题:作△ABC的边BC上的高线.他的作法如下:如图Z2-5,在△ABC中,AB>AC,以点A为圆心,AC为半径作弧交BC于点D,再分别以点C,D为圆心,大于CD的长度为半径作弧,两弧交于点E,连结AE交BC于点F,则AF为BC边上的高线.
(1)你是否同意小明的作法 若同意,请给出证明;若不
同意,请说明理由.
(2)若AB=5,AC=,CF=2,求△ABC的面积.
例
2
图Z2-5
(1)你是否同意小明的作法 若同意,请给出证明;若不同意,请说明理由.
图Z2-5
解:(1)同意.证明:连结EC,ED,如图.
由作图可知AD=AC,ED=EC,
∴AE垂直平分线段CD,
∴AF⊥BC,即线段AF是△ABC的高线.
(2)若AB=5,AC=,CF=2,求△ABC的面积.
图Z2-5
(2)∵AF⊥BC,AC=,CF=2,
∴AF==3,
∴BF==4,
∴BC=BF+CF=4+2=6,
∴△ABC的面积=BC·AF=×6×3=9.
1.(2025嘉兴模拟)小红和小明一起研究一个尺规作图问题:
如图Z2-6①,在 ABCD中,AB小红:如图②,以点C为圆心,CD长为半径作弧,交边AD于点E,连结CE,则∠ECB=66°.
小明:如图③,以点D为圆心,CD长为半径作弧,交边AD于点E,连结CE,则∠ECB=66°.
题型精练
图Z2-6
(1)填空:判断他们的作图方法是否正确:(填“正确”或“错误”)
①小红的作法　　　　;
②小明的作法　　　　.
(2)请从(1)中任选一项判断,说明理由.(要求:写出推理过程)
图Z2-6
正确
错误
(2)请从(1)中任选一项判断,说明理由.(要求:写出推理过程)
图Z2-6
(2)选择①.理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠D=∠B=66°.
由作图知,CD=CE,∴∠CED=∠D=66°.
∵AD∥BC,∴∠ECB=∠CED=66°,
故小红的作法正确.
选择②.理由:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠D=∠B=66°.
由作图知,CD=DE,
∴∠CED=∠DCE=(180°-∠D)=57°.
∵AD∥BC,∴∠ECB=∠CED=57°,
故小明的作法错误.
图Z2-6
2.(2025宁波一模)小宁同学按如下步骤作四边形ABCD:①作∠MAN;②以点A为圆心,3 cm长为半径作弧,分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心,
3 cm长为半径作弧,两弧交于点C;④连结BC,DC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)连结BD,若BD=2 cm,求四边形ABCD的面积.
图Z2-7
解:(1)证明:由作图过程可知,AB=AD=3 cm,CD=BC=3 cm,
∴AB=AD=CD=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)连结BD,若BD=2 cm,求四边形ABCD的面积.
图Z2-7
(2)连结AC,交BD于点O,如图.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AC=2OA,OB=BD=1 cm.
∵AB=3 cm,
∴OA==2(cm),
∴AC=2OA=4 cm,
∴四边形ABCD的面积=AC·BD=×4×2=4(cm2).
类型三
利用无刻度直尺作图(格点作图)
典题精讲
(2025湖州一模)仅用一把无刻度的直尺,按以下要求分别作图,不写作法:
(1)如图Z2-8①,在4×4的正方形网格中,A,B是格点,请找一个格点C,连结AC,使得AC=AB;
(2)如图②,在4×4的正方形网格中,A,B是格点,请找到线段AB的中点,并用字母D表示(保留作图痕迹);
例
3
图Z2-8
解:(1)如图①,点C即为所求
(答案不唯一).
(3)如图③,在 ABCD中,E是边BC上一点,请在边AD上找一点F,连结CF,使得四边形AECF是平行四边形(保留作图痕迹).
(2)如图②,在4×4的正方形网格中,A,B是格点,请找到线段AB的中点,并用字母D表示(保留作图痕迹);
图Z2-8
(2)如图②,点D即为所求.
(3)如图③,在 ABCD中,E是边BC上一点,请在边AD上找一点F,连结CF,使得四边形AECF是平行四边形(保留作图痕迹).
(3)如图③,连结AC,BD相交于点O,连结EO并延长,交AD于
点F,则点F即为所求.
如图Z2-9,在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中,△ABC的顶点A,B,C均在格点上.请按要求完成作图:①仅用无刻度的直尺;②保留作图痕迹并标注相关字母.
(1)如图①,在△ABC内寻找格点P,使得∠BPC=2∠A;
(2)如图②,在线段AC上找一点Q,使得AQ∶CQ=1∶2;
(3)如图③,在△ABC的边AC上找出中点G,并过点G作AC的垂线.
例
4
图Z2-9
(1)如图①,在△ABC内寻找格点P,使得∠BPC=2∠A;
解:(1)如图①,点P即为所求.
(2)如图②,在线段AC上找一点Q,使得AQ∶CQ=1∶2;
(2)如图②,点Q即为所求.
(3)如图③,在△ABC的边AC上找出中点G,并过点G作AC的垂线.
(3)如图③,点G和EG即为所求.
1.(2025诸暨二模)如图Z2-10,△ABC的顶点都在正方形网格的格点(图中网格线的交点)上,每个小正方形的边长均为1.请借助网格和无刻度的直尺按要求作图:
(1)在图①中,作出△ABC的中线CD;
(2)在图②中,作出△ABC的重心,记为点O.
题型精练
图Z2-10
解:(1)如图①,线段CD
即为所求.
(2)在图②中,作出△ABC的重心,记为点O.
图Z2-10
(2)如图②,点O即为所求.
2.图Z2-11①②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格,每个小等边三角形的顶点称为格点,线段AB的端点在格点上,分别按要求画出图形:
(1)在图①中画出两个以AB为斜边的直角三角形ABC,且点C在格点上;
(2)在图②中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE,且点D,E在格点上.
图Z2-11
解:(1)如图①,直角三角形ABC和直
角三角形ABC'即为所求.
(2)在图②中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE,且点D,E在格点上.
(2)如图②,菱形ADBE即为所求.
3.(2025杭州钱塘区二模)如图Z2-12,平行四边形ABCD的顶点均在格点上,找到格点P,使BP平分∠ABC.
画法1:在AD边上找到格点P,使AP=AB.
画法2:在BC边上找到格点E,使BE=AB,连结AE,找到格点P.
(1)请根据上述画法分别在图①和图②中标出格点P,连结BP;
(2)从两种画法中选择一种,证明BP平分∠ABC.
图Z2-12
(1)请根据上述画法分别在图①和图②中标出格点P,连结BP;
图Z2-12
解:(1)根据画法1画图如图①所示,点P即为所求;根据画法2画图如图②所示,点P即为所求.
(2)从两种画法中选择一种,证明BP平分∠ABC.
(2)证明:如图①,设网格中每个小正方形的边长均为1,
则AP=AB==5,∴∠ABP=∠APB.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠APB=∠CBP,
∴∠ABP=∠CBP,即BP平分∠ABC,则点P即为所求.
如图②,设网格中每个小正方形的边长均为1,
则BE=AB==5,∴△ABE是等腰三角形.
∵P为AE的中点,
∴BP平分∠ABC,则点P即为所求.(共22张PPT)
第一部分　思想方法专题
思想方法专题(三)　方程、函数思想训练　
在初中数学里,我们常用函数模型刻画运动变化的规律;刻画运动变化过程中同类量之间的大小,需要用不等式模型;刻画运动变化过程中的某一瞬间,需要用方程模型.借助函数或方程求解问题的常见题型有:①代数式的最值求解;②线段长度求解;③几何最值函数求解等.
方法解读
1.(2024河北)扇文化是中华优秀传统文化的组成部分,在我国有着深厚的底蕴.如图F3-1,某折扇张开的角度为120°时,扇面面积为S,该折扇张开的角度为n°时,扇面面积为Sn.若m=,则m与n关系的图象大致是 (　　)
C
图F3-1
图F3-2
2.圆在中式建筑中有着广泛的应用,如图F3-3,某园林中圆弧形门洞的顶端到地面的高度为2.8 m,地面入口的宽度为1 m,门枕的高度为0.3 m,则该圆弧形门洞所在圆的半径为 (　　)
A.1.2 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.0.5 m
B
图F3-3
[解析]设该圆弧形门洞所在圆的圆心为O,半径为r m.
如图,连结AB,过圆心O作OC⊥AB于点C,延长CO交☉O于点D,连结OA,
则CD=2.8-0.3=2.5(m),AC=BC=AB=×1=0.5(m),∴OC=(2.5-r)m.
在Rt△AOC中,由勾股定理,得OA2=AC2+OC2,
即r2=0.52+(2.5-r)2,解得r=1.3,
即该圆弧形门洞所在圆的半径为1.3 m.
3.如图F3-4①,在矩形ABCD中,E为BC的中点,点P沿BC从点B运动到点C,设BP的长为x,PA+PE=y,图②是点P运动过程中y随x变化的函数图象.若BA>BE,则在点P运动的过程中,△PAD周长的最小值为 (　　)
A.5
B.7
C.10
D.16
D
图F3-4
[解析]由题图②可知,AB+BE=7,AE=5.
在Rt△ABE中,由勾股定理,得AB2+BE2=AE2,
∴AB2+(7-AB)2=52,解得AB=3或AB=4.
∵BA>BE,∴AB=4,BE=3.
∵E为BC的中点,∴BC=2BE=6.
如图,作点A关于BC的对称点A',连结A'D,交BC于点P,则此时△PAD的周长最小,
A'A=2AB=8,AD=BC=6,AP+PD的最小值为A'D的长,
∴A'D==10,∴△PAD周长的最小值为A'D+AD=10+6=16.
4.(2025温州模拟)如图F3-5所示,菱形ABCD的三个顶点A,B,D在☉O上,AD=5,点O在对角线AC上,记☉O的半径为x,AC的长为y,当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变的是 (　　)
A.xy B.x+y
C. D.x-y
A
图F3-5
[解析]如图,连结OB.
∵OA=OB=x,∴∠OAB=∠OBA.
∵四边形ABCD是菱形,∴BA=BC=AD=5,
∴∠OAB=∠ACB,∴∠OBA=∠ACB.
又∵∠OAB=∠CAB,∴△AOB∽△ABC,
∴,∴AB2=AO·AC,∴xy=25.
5.(2025烟台)如图F3-6所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD是角平分线.点E从点A出发,沿AB方向向点B运动,连结CE,点F在BC上,且∠CEF=45°.设AE=x,FD=y.若y关于x的函数图象过点(0,2-),则该图象上最低点的坐标为
(　　)
A.(,) B.(,)
C.(,3-2) D.(,3-2)
B
图F3-6
[解析]∵∠ACB=90°,AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA=45°.
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠CAD=∠BAD=22.5°.
设AC=BC=m,则AB=m.
如图,过点D作DQ∥AB,交AC于点Q,
则∠QDA=∠BAD=∠CAD,∠CQD=∠CAB=45°=∠CDQ,
∴CQ=CD=QD=AQ,
∴CQ+CQ=m,∴CD=CQ=(-1)m.
∵∠CEF=45°=∠CAB,∠CEF+∠BEF=∠ACE+∠CAE,∴∠BEF=∠ACE.
又∵∠CAB=∠CBA,
∴△ACE∽△BEF,∴,即,
∴BF=,∴DF=y=m-(-1)m-=(2-)m-.
∵y关于x的函数图象过点(0,2-),
∴(2-)m=2-,解得m=1,∴y=2--(-x)x=x2-x+2-.
当x=-=-时,y取得最小值,为,
∴该图象上最低点的坐标为(,).
6.骑自行车可以放松心情,是一种非常好的“黄金有氧运动”.骑行过程中,如果车座高度不合适,会使骑行者踩踏费力,甚至造成膝盖磨损.有一种测量方法:双腿(不穿鞋)站立,测量裆部离地面的距离x(单位:cm),得出的数据乘0.883就是相应的骑行时最合适的AC长度(由长度为48 cm的立管AB和可调节的坐杆BC组成,如图F3-7所示).若设AC长度最合适时坐杆BC的长度为y cm,则y与x之间的关系式为　　　　　　　.
y=0.883x-48
图F3-7
7.如图F3-8所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC图F3-8
[解析]∵在Rt△CEB1中,∠C=90°,∠CB1E=30°,
∴B1E=2CE=2m.
∵将△BDE沿DE折叠,点B的对应点为点B1,
∴BE=B1E=2m.
∴BC=CE+BE=m+2m=3m.
3m
8.(2025金华模拟)如图F3-9,在Rt△ABC中,AB=8,∠B=60°,D,E分别是AB,AC边的中点,点F在BC的延长线上,连结EF,∠F=60°.点P从点D出发,沿D→B→F的路线运动到点F,在边EF上找一点Q,连结PQ,使得∠APQ=∠B,则在点P的运动过程中,点Q的运动路径长为　　　　.
图F3-9
[解析]①当点P在DB上运动时,点Q在EF上运动,
此时点Q的运动路径长=EF=4.
②当点P在BF上运动时,∠APQ=∠B=∠F=60°,如图.
∵∠APQ+∠QPF=∠APF=∠B+∠BAP,
∴∠BAP=∠QPF,∴△ABP∽△PFQ,∴.
设BP=a,则PF=6-a.∴,∴QF=-(a-3)2+(0≤a≤6),
当a=3时,QF取得最大值,为,此过程中点Q从点F运动至最远点后又回到点F.
综上,点Q的运动路径长=4+×2=.
9.(2025厦门模拟)如图F3-10,等边三角形ABC的边长为2,D是BC边上不与点B,C重合的动点,过点D作AB边的垂线,交AB于点G,用x表示线段AG的长度,用y表示△ACD的面积.
(1)直接写出x的取值范围;
(2)求y关于x的函数表达式.
图F3-10
解:(1)过点C作CM⊥AB于点M,如图.
∵△ABC是边长为2的等边三角形,
∴AM=AB=×2=1.
∵点D不与点B,C重合,∴AM(2)求y关于x的函数表达式.
图F3-10
(2)如图,过点A作AN⊥BC于点N.
∵△ABC是边长为2的等边三角形,
∴BN=BC=1,∠B=60°.
∵DG⊥AB,∴∠BDG=90°-60°=30°,
∴BD=2BG=2(2-x),
∴CD=2-2(2-x)=2x-2.
∵AN=,
∴y=△ACD的面积=CD·AN=×(2x-2)×x-.
10.(2024威海23题节选)如图F3-11,在菱形ABCD中,AB=10 cm,∠ABC=60°,E为对角线AC上一动点,以DE为一边作∠DEF=60°,EF交射线BC于点F,连结BE,DF.点E从点C出发,沿CA方向以2 cm/s的速度运动至点A处停止.设△BEF的面积为y cm2,点E的运动时间为x s.
(1)求证:BE=EF;
(2)求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
图F3-11
(1)求证:BE=EF;
图F3-11
解:(1)证明:如图,设CD与EF相交于点M.
∵四边形ABCD为菱形,∴BC=DC,∠BCE=∠DCE,AB∥CD.
∵∠ABC=60°,∴∠DCF=60°.
在△BCE和△DCE中,∵
∴△BCE≌△DCE(SAS),∴∠CBE=∠CDE.
∵∠DMF=∠DEF+∠CDE=∠DCF+∠CFE,∠DEF=∠DCF=60°,
∴∠CDE=∠CFE,∴∠CBE=∠CFE,∴BE=EF.
(2)求y与x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
图F3-11
(2)如图,过点E作EN⊥BC于点N,
则∠ENC=90°.
∵BE=EF,∴BF=2BN.
∵AB∥CD,∠ABC=60°,
∴∠BCD=120°.
∵四边形ABCD为菱形,
∴BC=AB=10 cm,∠ACB=∠BCD=60°,
即∠ECN=60°.
∵EN⊥BC,CE=2x cm,
∴EN=CE·sin 60°=2x·x(cm),CN=CE·cos 60°=2x·=x(cm),
∴BN=BC-CN=(10-x)cm,
∴BF=2BN=2(10-x)cm,
∴y=BF·EN=×2(10-x)×x=-x2+10x.
∵0<2x≤10,∴0∴y=-x2+10x(0第二部分　重难突破专题
重难突破专题(六)　圆的综合问题
典题精讲
(2025重庆)如图Z6-1,AB是☉O的直径,点C在☉O上,连结AC.以AC为边作菱形ACDE,CD交☉O于点F,AB⊥CD,垂足为G.连结AD,交☉O于点H,连结EH.若AG=12,GF=5,则DF的长度为　　　　,EH的长度为　　　　.
例
1
3　
图Z6-1
　　浙江中考中,圆的综合问题经常出现在压轴位置,考查圆的相关概念与定理、相似、勾股定理、三角函数、三角形、四边形等知识的综合运用.
[解析]∵AB是☉O的直径,AB⊥CD,AG=12,GF=5,
∴CG=GF=5,∴CF=2CG=10,AC==13.
∵四边形ACDE是菱形,
∴AE=CD=AC=13,
∴GD=CD-GC=13-5=8,DF=CD-CF=13-10=3,
∴AD==4.
如图,连结BC,BH.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ACB=90°,∠AHB=90°,
∴cos∠CAB=,即,解得AB=,
cos∠DAB=,即,解得AH=.
∵四边形ACDE是菱形,∴CD∥AE,∴∠DAE=∠CDA,
∴sin∠DAE=sin∠CDA,cos∠DAE=cos∠CDA.
过点H作HF⊥AE于点F,∴,,∴,,
∴FH=,AF=,∴FE=AE-AF=13-,
∴EH=.
(2025杭州富阳区一模)如图Z6-2是以AB为直径的☉O,C是☉O上一点,将圆形纸片沿着AC折叠,与AB交于点D,连结CD并延长与☉O交于点E.若∠ACD=3∠CAD,则的值等于　　　　.
例
2
[解析]如图,连结OC,OE.
∵∠ACD=3∠CAD,∴设∠CAD=x,∠ACD=3x.
∵将圆形纸片沿着AC折叠,∠CAD=∠CAB,∴,
∴CD=BC,∴∠CBD=∠CDB=∠ACD+∠CAD=4x.
∵AB为☉O的直径,∴∠BCA=90°,
∴∠CBD+∠CAD=90°=4x+x,解得x=18°,
∴∠ACD=3x=54°,∠CBD=∠CDB=4x=72°,∠COB=2∠CAD=36°,
∴∠AOE=2∠ACD=108°,∠DCO=∠CDB-∠COB=36°=∠COB,
∴∠DOE=180°-∠AOE=72°,CD=OD,
∴∠CDB=∠ODE=∠DOE=72°,
∴OE=DE,△DBC∽△DOE,∴.
设☉O的半径为r,∴,
解得CD=r(负值已舍去),∴.
(2025舟山定海区一模)如图Z6-3,△ABC内接于☉O,其中∠BAC<60°,AB=
AC.点E在射线BC上,且满足△ABC≌△BED,DE交☉O于点H,BD交AC于点P.
(1)求证:△BPC为等腰三角形;
(2)如图②,连结AH,交BD于点K,若H为DE的中点,求证:BD·KP=DH·AP;
(3)如图③,若线段BD过圆心O,求S△BPC∶S△ABC的值.
例
3
图Z6-3
(1)求证:△BPC为等腰三角形;
解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵△ABC≌△BED,
∴∠E=∠ABC,∠D=∠ACB,
∴∠E=∠ACB,
∴AC∥DE,∴∠BPC=∠D,
∴∠BPC=∠ACB,∴BP=BC,
∴△BPC为等腰三角形.
(2)如图②,连结AH,交BD于点K,若H为DE的中点,求证:BD·KP=DH·AP;
(2)证明:如图①,连结BH.
∵△ABC≌△BED,∴AB=BE,AC=BD.
又∵AB=AC,∴BD=BE.
又∵H是DE的中点,∴∠DBH=∠EBH=∠DBE.
∵∠EBH=∠CAH,∴∠CAH=∠DBH.
由(1)得∠BPC=∠D.
又∵∠APK=∠BPC,∴∠D=∠APK,
∴△BHD∽△AKP,∴,∴BD·KP=DH·AP.
(3)如图③,若线段BD过圆心O,求S△BPC∶S△ABC的值.
(3)如图②,连结OC,AO,延长AO交BC于点Q.
∵AB=AC,OB=OC,∴AQ⊥BC,∴BQ=CQ.
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=∠BAC.
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,∠BOC=2∠BAC,
∴4∠BAC=180°,∴∠BAC=45°,∴∠BOC=90°.
∵BQ=CQ,∴OQ=BQ=CQ.设BQ=a,则OA=OB=OC=a,
∴AB2=BQ2+AQ2=a2+(a+a)2=(4+2)a2.
由(1)得AC∥DE,∴△BPC∽△BDE.
又∵△ABC≌△BED,∴△BPC∽△ACB,∴=()2==2-.
1.(2025浙江16题)如图Z6-4,矩形ABCD内接于☉O,E是上一点,连结EB,EC,分别交AD于点F,G.若AF=1,EG=FG=3,则☉O的直径为　　　　.
题型精练
图Z6-4
2
[解析]如图,连结AE,设AC与BE的交点为L.
∵四边形ABCD是矩形,且矩形ABCD内接于☉O,
∴∠D=∠BAD=90°,
∴AC是☉O的直径,∴∠AEC=90°.
∵EG=FG,∴∠BEC=∠GFE.
∵∠GFE=∠AFB,∴∠BEC=∠AFB.
∵∠BEC=∠BAC,
∴∠AFB=∠BAC,
∴∠ALB=∠GAC+∠AFB=∠GAC+∠BAC=∠BAD=90°,
∴∠GAC=∠ABE=90°-∠BAC.
∵∠ABE=∠ACG,∴∠GAC=∠ACG,
∴CG=AG=AF+FG=1+3=4.
∵∠D=∠AEG=90°,∠CGD=∠AGE,∴△CDG∽△AEG,
∴=1,∴DG=EG=3,
∴AD=AG+DG=4+3=7,CD=,
∴AC==2,
∴☉O的直径为2.
故答案为2.
2.(2025杭州萧山区一模)如图Z6-5,等腰三角形ABC内接于☉O,AB=BC,将△ABC折叠,使点C落在BC上的点D处.若AD过点O,则=　　　　.
图Z6-5
[解析]设折痕交BC于点F,AD交☉O于点E,连结BE,CE,如图所示.
∵AB=BC,∴∠BAC=∠ACB.
根据折叠可知:∠ACB=∠ADF,
∠AFC=∠AFD=90°,CF=DF,
∴∠ADF=∠BAC=∠ACB,
∴180°-∠ACB-∠BAC=180°-∠ACB-∠ADF,
即∠ABD=∠CAE.
又∵∠ABD=∠AEC,∴∠CAE=∠AEC.
∵AE为☉O的直径,∴∠ACE=90°,
∴∠CAE=∠AEC=45°,∴∠ABD=∠AEC=45°.
∵∠AFB=90°,∴△AFB为等腰直角三角形,
∴AB=AF=BF.
设CF=DF=x,BD=y,则BF=x+y,AB=(x+y),BC=2x+y.
∵AB=BC,∴(x+y)=2x+y,
整理,得(-1)y=(2-)x,
∴y=x=x,∴.
3.(2025杭州上城区一模)如图Z6-6①,☉O为△ABC的外接圆,且AB=BC,D为圆外一动点,且满足BD=BA,连结AD,交BC于点E,交☉O于点F,连结BF.
(1)若AD经过圆心O,AF=5,BF=3,求AB的长;
(2)求证:BF平分∠DBC;
(3)如图②,若BD∥AC,设DF∶EF=k,
请用含k的代数式表示cos C.
图Z6-6
(1)若AD经过圆心O,AF=5,BF=3,求AB的长;
解:(1)如图①.
由题意,得AF为☉O的直径,∴∠ABF=90°.
∵AF=5,BF=3,∴AB==4.
(2)求证:BF平分∠DBC;
(2)证明:∵AB=BC,∴∠BAC=∠BCA.
∵∠BFA=∠BCA,∴∠BAC=∠BFA.
∵BD=BA,∴∠BAD=∠D.
∵∠FBC=∠FAC=∠BAC-∠BAD,∠FBD=∠BFA-∠D,
∴∠FBC=∠FBD,∴BF平分∠DBC.
(3)如图②,若BD∥AC,设DF∶EF=k,请用含k的代数式表示cos C.
(3)连结BO并延长,交AC于点H,如图②.
由(2)知:BF平分∠DBC,∴=k.
设BE=a,则BD=ka,∴AB=BC=BD=ka,∴EC=BC-BE=(k-1)a.
∵BD∥AC,∴△BDE∽△CAE,∴=k,∴AC=kCE=k(k-1)a.
∵BA=BC,☉O为△ABC的外接圆,∴BH⊥AC,
∴AH=CH=AC=a,∴cos C=.
4.(2025湖州一模)如图Z6-7,在矩形ABCD中,E是边CD上的点(不与点C,D重合),过A,D,E三点的圆交对角线BD于点F,交AB于点G,连结EF,AF.
(1)如图①,若AB=AD,连结AE.
①求∠EAF的度数;
②判断△EAF的形状,并说明理由.
(2)如图②,若,延长AF交直线
BC于点H,连结EH.当H是边BC的中点时,求的值.
(3)如图③,若=k(k为常数),延长EF交边AB于点I,当∠BFI=∠BAF时,求的值(用含k的代数式表示).
图Z6-7
(1)如图①,若AB=AD,连结AE.
①求∠EAF的度数;
②判断△EAF的形状,并说明理由.
解:(1)①∵四边形ABCD为矩形,AB=AD,
∴四边形ABCD为正方形,∴∠ADB=∠CDB=45°.
∵∠EAF=∠CDB,∴∠EAF=45°.
②△EAF是等腰直角三角形.理由如下:
由(1)①知:∠ADB=45°,
∴∠AEF=∠ADB=45°,∴∠EAF=∠AEF=45°,
∴△EAF是等腰直角三角形.
(2)如图②,若,延长AF交直线BC于点H,连结EH.当H是边BC的中点时,求的值.
(2)连结AE,如图①.
∵,∴设AB=3m,则AD=BC=2m,
∴BD=m.
∵H是边BC的中点,∴BH=m,∴AH=m.
∵AD∥BC,∴△ADF∽△HBF,∴=2,
∴AF=AH=m,FH=AH=m.
∵∠C=90°,∴tan∠CDB=.
∵∠EAF=∠CDB,∴tan∠EAF=.
∵四边形ADEF为圆的内接四边形,∴∠ADE+∠AFE=180°.
∵∠ADE=90°,∴∠AFE=90°,∴tan∠EAF=,∴EF=AF=m,
∴EH=m,∴.
(3)如图③,若=k(k为常数),延长EF交边AB于点I,当∠BFI=∠BAF时,求的值(用含k的代数式表示).
(3)连结DG,FG,设DG交AF于点H,如图②.
∵四边形ADEF为圆的内接四边形,∴∠ADE+∠AFE=180°.
∵∠ADE=90°,∴∠AFE=90°,∴∠DFA+∠DFE=90°.
∵四边形ADFG为圆的内接四边形,
∴∠DAG+∠DFG=180°.
∵∠DAG=90°,∴∠DFG=90°,
∴∠DFA+∠AFG=90°,∴∠AFG=∠DFE.
∵∠DFE=∠BFI,∠BFI=∠BAF,
∴∠BAF=∠AFG=∠DFE,∴AG=FG.
∵∠AFI=∠AFE=90°,∴∠BAF+∠AIF=90°,∠AFG+∠GFI=90°,
∴∠AIF=∠GFI,∴FG=GI,∴AG=GI.
∵=k,∴设AD=a,则AB=ka,
∴BD=a.
∵∠DAF+∠BAF=90°,∠DFA+∠AFG=90°,
∴∠DAF=∠DFA,∴DF=AD=a,
∴BF=BD-DF=(-1)a.
∵∠ABF=∠FBI,∠BAF=∠BFI,
∴△BAF∽△BFI,∴,
∴BI=a,
∴AI=AB-BI=a,
∴AG=GI=AI=a,
∴-1.(共26张PPT)
第一部分　思想方法专题
思想方法专题(四) 分类讨论思想训练
当数学问题中的某一条件不确定时,需要对这一条件进行分类讨论,然后逐一解决.常见的分类讨论有:①概念的分类;②含有字母系数(参数)的问题的分类;③用到的性质定理有条件或范围限制的分类;④图形位置关系的分类等.
方法解读
1.若x2=9,|y|=2,且xy<0,则x-y的值为 (　　)
A.±5 B.±1
C.-5或-1 D.5或1
A
2.点A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,点C不与点A,B重合,则∠ACB的度数为(　　)
A.50° B.80°或50°
C.130° D.50°或130°
D
3.在△ABO中,已知点A(-6,3),B(-6,-4),以原点O为位似中心,位似比为,把△ABO缩小,则点A的对应点A'的坐标是 (　　)
A.(-2,1) B.(-8,4)
C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)
D
4.在△ABC中,AB=13,AC=15,AD⊥BC于点D,且AD=12,则BC的长为 (　　)
A.14 B.4
C.14或4 D.14或9
[解析]①如图①,当点D在BC边上时,
CD==9,BD==5,
∴BC=9+5=14.
②如图②,当点D在CB的延长线上时,
同理可得CD=9,BD=5,∴BC=9-5=4.
综上,BC的长为14或4.
C
5.(2025杭州富阳区一模)已知一次函数y=kx+b,当-3≤x≤1时,-1≤y≤8,则b的值是
(　　)
A. B. C.或 D.
[解析]①当k>0时,一次函数y=kx+b的图象经过点(-3,-1),(1,8).
将(-3,-1),(1,8)代入y=kx+b,得解得
②当k<0时,一次函数y=kx+b的图象经过点(-3,8),(1,-1).
将(-3,8),(1,-1)代入y=kx+b,得解得综上可得,b的值是或.
C
6.抛物线y=ax2+bx+c经过点A(m-4,y1),B(m,y1),C(6,y2),记该抛物线的对称轴为直线x=h.若3A.当a>0时,y1B.当a>0时,y2C.当a<0时,y1D.当a<0时,cA
[解析]∵点A(m-4,y1),B(m,y1)的纵坐标相同,
∴抛物线的对称轴为直线x==m-2.
∵抛物线的对称轴为直线x=h,3当x=0时,y=ax2+bx+c=c,即抛物线与y轴的交点坐标为D(0,c).
当a>0时,抛物线开口向上,抛物线上的点距离对称轴越远,对应的函数值越大.
由题意,得点A(m-4,y1),B(m,y1)到对称轴的距离相等,均为2,点D(0,c)到对称轴的距离为m-2-0=m-2,点C(6,y2)到对称轴的距离为6-h.∵3又∵3∴A项正确,B项错误.同理可得当a<0时,y1>y2>c,
∴C,D项错误.故选A.
7.(2025东营)如图F4-1,在△ABC中,AB=6,CA=4,D为AC的中点,点E在AB上,当AE为　　　　时,△ABC与以点A,D,E为顶点的三角形相似.
图F4-1
[解析]当时,又∵∠A=∠A,
∴△AED∽△ABC,∴AE==3;
当时,又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,
∴AE=.
综上,AE=3或AE=.
3或
8.(2025江西)如图F4-2,在矩形纸片ABCD中,沿着过点A的直线折叠纸片并展开,AB的对应边为AB',折痕与边BC交于点P.当AB'与AB,AD中任意一边的夹角为15°时,∠APB的度数是　　 　　　　.
82.5°或52.5°或37.5°
图F4-2
[解析]∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠BAD=90°.
由折叠的性质,得∠PAB'=∠PAB=∠BAB'.
如图①,若∠BAB'=15°,
则∠PAB=∠BAB'=×15°=7.5°,
∴∠APB=90°-∠PAB=82.5°;
如图②,若∠DAB'=15°,且点B'与点B在直线AD同侧,
则∠BAB'=∠BAD-∠DAB'=75°,
∴∠PAB=∠BAB'=×75°=37.5°,
∴∠APB=90°-∠PAB=52.5°;
如图③,若∠DAB'=15°,且点B'与点B在直线AD异侧,
则∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=105°,
∴∠PAB=∠BAB'=×105°=52.5°,
∴∠APB=90°-∠PAB=37.5°.
综上所述,∠APB的度数是82.5°或52.5°或37.5°.
9.若函数图象上存在点P(a,b)满足a+b=m(a>0,且m为常数),则称点P为这个函数的“m优和点”.例如:函数图象上存在点P(t,1-t),因为t+1-t=1,所以我们称点P为这个函数的“1优和点”.若二次函数y=x2+(k-3)x+5的“k优和点”有且仅有一个,则k的取值范围为　　　　　　　.
k=-4或k>5
[解析]设这个二次函数的“k优和点”的坐标为(x,k-x).将此坐标代入y=x2+(k-3)x
+5,得k-x=x2+(k-3)x+5,整理可得x2+(k-2)x+5-k=0.∵此方程必有正根,“k优和点”有且仅有一个,∴分以下两种情况:
①该方程的根的判别式为0,即(k-2)2-4(5-k)=0,解得k=±4,
当k=4时,方程的根为负数,不符合题意,故舍去,∴k=-4;
②该方程的根的判别式>0,但有一正一负两个根.
由韦达定理可得5-k<0,
即(k-2)2-4(5-k)>0且k>5,解得k>5.
综上,k的取值范围为k=-4或k>5.
10.(2024宁波江北区一模)如图F4-3,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,P为抛物线y=-ax2-2ax+3a(a>0)上任意一点,过点P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为M,N.设点P的横坐标为t,若抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小,则t的取值范围为　　 　　　　.
-21
图F4-3
[解析]设抛物线与x轴交于点C,A(点C在点A的左侧),与y轴交于点B.∵y=-ax2-2ax+3a=-a(x+1)2+4a,∴抛物线的对称轴为直线x=-1.在y=-ax2-2ax+3a中,当x=0时,y=3a,∴B(0,3a).由抛物线的对称性可知,点B关于直线x=-1的对称点B'(-2,3a)在抛物线上.
令y=0,得-ax2-2ax+3a=0,解得x1=-3,x2=1,
∴C(-3,0),A(1,0).
根据题意可知,需要分类讨论:当点P在点C的左侧,即
t<-3时,如图①,此时抛物线在矩形PMON内的部分所
对应的函数值y随x的增大而增大,不合题意;
当点P在点B'与点C之间(含点B',C),即-3≤t≤-2时,如图②,此时不存在抛物线在矩形PMON内的部分,不合题意;
当点P在点B'与点B之间(不含点B',B),即-2当点P在点A与点B之间(含点A,B),即0≤t≤1时,如图④,此时不存在抛物线在矩形PMON内的部分,不合题意;
当点P在点A的右侧,即t>1时,如图⑤,此时抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小,符合题意.
综上所述,当抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,-21.
11.(2025苏州)两个智能机器人在如图F4-4所示的Rt△ABC区域工作,∠ABC=90°,AB=
40 m,BC=30 m,直线BD为生产流水线,且BD平分△ABC的面积(即D为AC的中点).机器人甲从点A出发,沿A→B的方向以v1(m/min)的速度匀速运动,其所在位置用点P表示,机器人乙从点B出发,沿B→C→D的方向以v2(m/min)的速度匀速运动,其所在位置用点Q表示.两个机器人同时出发,设机器人运动的时间为t(min),记点P到BD的距离(即垂线段PP'的长)为d1(m),点Q到BD的距离(即垂线段QQ'的长)为d2(m).当机器人乙到达终点时,两个机器人立即同时停止运动,此时d1=7.5 m.d2与t的部分对应数值如下表(t1t(min) 0 t1 t2 5.5
d2(m) 0 16 16 0
图F4-4
(1)机器人乙运动的路线长为　　　　m;
(2)求t2-t1的值;
(3)当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等(即d1=d2)时,求t的值.
t(min) 0 t1 t2 5.5
d2(m) 0 16 16 0
图F4-4
[解析] ∵∠ABC=90°,AB=40 m,BC=30 m,
∴AC==50(m).
∵D为AC的中点,∴CD=AC=25 m.
∵BC+CD=30+25=55(m),∴机器人乙运动的路线长为55 m.故答案为55.
55
(2)求t2-t1的值;
图F4-4
t(min) 0 t1 t2 5.5
d2(m) 0 16 16 0
(2)根据题意,得v2==10(m/min).
∵在△ABC中,∠ABC=90°,D为AC的中点,
∴BD=CD=AD=25 m,
∴∠ABD=∠BAC,∠DBC=∠C,
∴sin∠ABD=sin∠BAC=,sin∠DBC=sin C=.
当点Q在BC上时,d2=BQ·sin∠DBC=10t×=8t(m),
∴8t1=16,解得t1=2;
当点Q在CD上时,过点A作AH⊥BD,垂足为H,如图,
则AH=AB·sin∠ABD=40×=24(m).
∵∠CDB=∠ADH,
∴sin∠CDB=sin∠ADH=,
∴d2=QD·sin∠CDB=(55-10t)×=(t)m,
∴t2=16,解得t2=,
∴t2-t1=-2=.
(3)当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等(即d1=d2)时,求t的值.
图F4-4
t(min) 0 t1 t2 5.5
d2(m) 0 16 16 0
(3)当t=5.5时,d1=7.5 m,
此时,BP==12.5(m),
∴AP=AB-BP=40-12.5=27.5(m),
∴v1==5(m/min),
∴d1=BP·sin∠ABD=(40-5t)×=(24-3t)m.
当点Q在BC上时,若d1=d2,则24-3t=8t,解得t=;
当点Q在CD上时,若d1=d2,则24-3t=t,解得t=.
综上所述,t的值为或.
12.(2025台州一模)如图F4-5,在△ABC中,AB=AC,O为BC的中点,点D在边AB上,连结OD.
(1)如图①,若OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E,求证:OE=OD;
(2)如图②,已知∠BAC=90°,AB=4,AD=1.若点F在边AC上,OF=OD,求AF的长.
解:(1)证明:连结OA,如图①.
∵AB=AC,O为BC的中点,
∴AO平分∠BAC.
又∵OD⊥AB,OE⊥AC,
∴OE=OD.
图F4-5
(2)如图②,已知∠BAC=90°,AB=4,AD=1.若点F在边AC上,OF=OD,求AF的长.
(2)如图②,连结OA,过点O作OG⊥AB于点G,OH⊥AC于点H,
则∠OGA=∠OHA=90°.
∵AB=AC=4,∠BAC=90°,O为BC的中点,
∴∠B=∠C=45°,AO平分∠BAC,OA=BC=OB=OC,
∴OG=OH,AH=CH=AC=2,AG=BG=AB=2.
∵AD=1,∴DG=AG-AD=1.
在Rt△OHF和Rt△OGD中,
∴Rt△OHF≌Rt△OGD(HL),
∴FH=DG=1.
当点F在线段AH上时,AF=AH-FH=1;
当点F在线段CH上时,AF=AH+FH=2+1=3.
综上所述,AF的长为1或3.(共29张PPT)
第二部分　重难突破专题
重难突破专题(五)　二次函数性质综合问题
求解二次函数性质综合问题需要从函数的表达式中捕捉一些关键信息,如二次项系数、对称轴的位置、图象与坐标轴的交点,是否过定点等特征,依据二次函数的性质解决问题.
方法解读
类型一
二次函数的增减性和对称性
典题精讲
(2025杭州西湖区一模)已知二次函数y=ax2-2ax+c(a,c是常数,a≠0)的图象经过点(t,y1),(t+1,y2),下列说法正确的是 (　　)
A.若a>0,t>2,则y1B.若a>0,t<2,则y1>y2
C.若a<0,t>2,则y1D.若a<0,t<2,则y1>y2
例
1
A
(2025浙江G3联盟一模)抛物线y=ax2+bx+c经过A(0,4),B(2,0)两点.
(1)求c的值及a,b满足的关系式;
(2)抛物线同时经过两个不同的点M(k,m)和N(-2-k,m),求b的值;
(3)若抛物线在A,B两点间,y随x的增大而减小,求a的取值范围.
例
2
解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,4),∴c=4.
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点B(2,0),
∴4a+2b+c=0,
∴4a+2b=-c=-4,
∴a,b满足的关系式为2a+b=-2.
(2)抛物线同时经过两个不同的点M(k,m)和N(-2-k,m),求b的值;
(2)∵抛物线同时经过两个不同的点M(k,m)和N(-2-k,m),
∴抛物线的对称轴为直线x==-1,
∴-=-1,
∴b=2a,∴2a+b=b+b=-2,解得b=-1.
(3)若抛物线在A,B两点间,y随x的增大而减小,求a的取值范围.
(3)∵2a+b=-2,c=4,∴y=ax2+(-2-2a)x+4,
∴抛物线的对称轴为直线x=-.
当a>0时,∵抛物线在A,B两点间,y随x的增大而减小,
∴抛物线的对称轴经过点B或在点B的右侧,∴≥2,解得a≤1,∴0当a<0时,∵抛物线在A,B两点间,y随x的增大而减小,
∴抛物线的对称轴经过点A或在点A的左侧,∴≤0,解得a≥-1,∴-1≤a<0.
综上,若抛物线在A,B两点间,y随x的增大而减小,
则a的取值范围为01.已知二次函数y=x2-mx+3,当x≤2时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是
　　　　.
题型精练
[解析]∵y=x2-mx+3,a=1>0,∴该函数图象开口向上.
∵当x≤2时,y随x的增大而减小,∴二次函数图象的对称轴直线x=-≥2,
即-≥2,解得m≥4.
m≥4
2.在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点,设抛物线的对称轴为直线x=t.
(1)若对于x1=1,x2=2,有y1=y2,则t的值为　　　　;
(2)若对于0[解析](1)∵对于x1=1,x2=2,有y1=y2,
∴该抛物线的对称轴为直线x=,∴t=.
(2)∵00,∴>t,∴t≤.
　
t≤
3.(2025杭州西湖区一模)设二次函数y=ax2+bx+1(a,b为常数,a≠0).已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示:
(1)若m=1,n=4,
①求二次函数的表达式,并写出函数图象的顶点坐标;
②写出一个符合条件的x的取值范围,使得y随x的增大而增大.
(2)当m=0,n>2时,求p的取值范围.
x … -1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
(1)若m=1,n=4,
①求二次函数的表达式,并写出函数图象的顶点坐标;
x … -1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
解:(1)①由题意,得解得
∴二次函数的表达式是y=x2-2x+1.
∵y=x2-2x+1=(x-1)2,∴该函数图象的顶点坐标为(1,0).
(1)若m=1,n=4,
②写出一个符合条件的x的取值范围,使得y随x的增大而增大.
②∵y=x2-2x+1=(x-1)2,
∴抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,
∴当x>1时,y随x的增大而增大.(答案不唯一)
x … -1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
(2)当m=0,n>2时,求p的取值范围.
(2)当m=0,n>2时,
∴3a+3b<-2,∴a+b+1<.
∵p=a+b+1,∴p<.
类型二
二次函数的最值
典题精讲
设二次函数y=a(x-m)(x-m-k)(a>0,m,k是常数),下列说法正确的是(　　)
A.当k=2时,函数y的最小值为-a
B.当k=2时,函数y的最小值为-2a
C.当k=4时,函数y的最小值为-a
D.当k=4时,函数y的最小值为-2a
例
3
A
[解析]令y=0,则a(x-m)(x-m-k)=0,
∴x1=m,x2=m+k,
∴二次函数y=a(x-m)(x-m-k)的图象与x轴的交点坐标是(m,0),(m+k,0),
∴二次函数图象的对称轴是直线x=.
∵a>0,∴y有最小值.
当x=时,y的值最小,为y=a(-m)(-m-k)=-a,
当k=2时,函数y的最小值为y=-a=-a;
当k=4时,函数y的最小值为y=-a=-4a.故选A.
(2025金华六校联考)已知二次函数y=ax2+2ax-3a(常数a≠0).
(1)求该函数图象的对称轴.
(2)若-2①当a>0时,该函数的最小值为-8,求a的值;
②当a分别取a1,a2(a1>a2)时,两个函数的最小值相等,求a1,a2的数量关系.
例
4
解:(1)该函数图象的对称轴为直线x=-=-1.
(2)①∵a>0,∴该函数图象开口向上.
∵-2<-1<5,∴当x=-1时,该函数取得最小值,为y=a-2a-3a=-4a.
∵该函数的最小值为-8,∴-4a=-8,∴a=2.
(2)若-2②当a分别取a1,a2(a1>a2)时,两个函数的最小值相等,求a1,a2的数量关系.
②∵二次函数y=ax2+2ax-3a图象的对称轴为直线x=-1,-2<-1<5,
∴当a>0时,函数在x=-1处取得最小值,为-4a,
当a<0时,函数在x=5处取得最小值,为32a.
当a1>a2>0或a2∴a1>0,a2<0.
∵两个函数的最小值相等,∴-4a1=32a2,即a1=-8a2.
1.(2025衢州一模)当n≤x≤n+1时,若二次函数y=x2-4x+3的最大值为2,则n的值为
　　 　　　　.
题型精练
[解析]∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴该函数图象的开口向上,对称轴为直线x=2,
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大.
∵n≤x≤n+1,∴当x=n时或当x=n+1时,y取最大值.
①当x=n时,y取最大值,此时<2,即n<,
y=n2-4n+3=2,∴n=2+(不合题意,舍去)或n=2-.
②当x=n+1时,y取最大值,此时>2,即n>,y=(n+1)2-4(n+1)+3=n2-2n=2,
∴n=1+或n=1-(不合题意,舍去).综上,n的值为2-或1+.
2-或1+
2.(2024浙江23题节选)已知二次函数y=x2+bx+c(b，c为常数)的图象经过点
A(-2,5),对称轴为直线x=-.
(1)求二次函数的表达式;
(2)当-2≤x≤n时,二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为,求n的取值范围.
解:(1)∵二次函数图象的对称轴为直线x=-,∴-=-,解得b=1,
∴二次函数的表达式为y=x2+x+c.
又∵二次函数的图象经过点A(-2,5),
∴4-2+c=5,解得c=3,∴二次函数的表达式为y=x2+x+3.
(2)当-2≤x≤n时,二次函数y=x2+bx+c的最大值与最小值的差为,求n的取值范围.
∵二次函数y=x2+x+3的图象经过点A(-2,5),对称轴为直线x=-,
∴该函数图象也经过点(1,5).
当x=-时,y=（-2-+3=,即二次函数图象的顶点坐标为（-,.
由题意,得当-2≤n<-时,二次函数在-2≤x≤n的范围内的最大值为5,最小值为n2+n+3,
∴最大值与最小值的差为5-(n2+n+3)=,
解得n =n =-,不符合题意,舍去.
当-≤n≤1时,二次函数在-2≤x≤n的范围内的最大值为5,最小值为,
∴最大值与最小值的差为5-=,符合题意.
当n>1时,二次函数在-2≤x≤n的范围内的最大值为n2+n+3,最小值为,
∴最大值与最小值的差为(n2+n+3)-=,解得n =1,=-2,不符合题意,舍去.
综上所述,n的取值范围为-≤n≤1.
3.(2025绍兴一模)对于y关于x的函数在t≤x≤t+1范围内有最大值和最小值,将最大值与最小值的差记为d.
(1)若y=2x-5,求d的值.
(2)若y=-x2+2,点A(t,m),B(t+1,n)均在该函数图象上.
①当m+n的值最大时,求d的值;
②当d=4时,求t的值.
解:(1)在y=2x-5中,∵2>0,∴y随x的增大而增大.
∵t≤x≤t+1,∴当x=t时,y取得最小值,为2t-5;
当x=t+1时,y取得最大值,为2(t+1)-5=2t-3,∴d=2t-3-(2t-5)=2t-3-2t+5=2.
(2)若y=-x2+2,点A(t,m),B(t+1,n)均在该函数图象上.
①当m+n的值最大时,求d的值;
(2)①∵点A(t,m),B(t+1,n)均在函数y=-x2+2的图象上,
∴m=-t2+2,n=-(t+1)2+2,
∴m+n=-t2+2-(t+1)2+2=-t2-t+=-(t+)2+,
∴当m+n的值最大时,t=-,此时A(-,),B(,),
∴函数y=-x2+2在t≤x≤t+1范围内的最大值为2,最小值为,∴d=2-.
(2)若y=-x2+2,点A(t,m),B(t+1,n)均在该函数图象上.
②当d=4时,求t的值.
②当x=t时,y=-t2+2,当x=t+1时,y=-(t+1)2+2.分四种情况:
(i)当t+1≤0,即t≤-1时,d=-(t+1)2+2-(-t2+2)=4,∴t=-;
(ii)当-1(iii)当-(iiii)当t≥0时,d=-t2+2-[-(t+1)2+2]=4,∴t=.综上,t的值是-或.
类型三
二次函数性质综合问题
典题精讲
(2025浙江23题)已知抛物线y=x2-ax+5(a为常数)经过点(1,0).
(1)求a的值;
(2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点,且B为线段AC的中点,求t的值;
(3)设m<3例
5
解:(1)把(1,0)代入y=x2-ax+5,得1-a+5=0,解得a=6.
(2)过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点,且B为线段AC的中点,求t的值;
(2)由(1)知,y=x2-6x+5,∴抛物线的对称轴为直线x=-=3.
∵点A(0,t)在y轴上,过点A(0,t)与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点,
∴点B,C关于直线x=3对称,点B,C的纵坐标均为t.
又∵B为线段AC的中点,∴xC=2xB,
∴xB=3,∴xB=2.
将x=2代入y=x2-6x+5,
得y=22-6×2+5=-3,∴t=-3.
(3)设m<3(3)∵y=x2-6x+5=(x-3)2-4,∴抛物线的顶点坐标为(3,-4).
若要使n-m最大,则m,n为一条直线与抛物线的两个交点的横坐标,由抛物线的对称性,得这两个交点关于抛物线的对称轴对称.
又∵直线l1,l2之间的距离为16,为定值,
∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点(3,-4)时,n-m最大,
此时另一条直线的解析式为y=16-4=12,如图:
在y=x2-6x+5中,令y=12,则x2-6x+5=12,解得x1=7,x2=-1,
即n=7,m=-1,∴n-m的最大值为7-(-1)=8.
在平面直角坐标系中,点A(-2,1)在函数y=ax2+bx+1(a>0)的图象上.
(1)求该函数图象的对称轴;
(2)点B(m,y1),C(m+2,y2)在该函数的图象上,若m>-2,求证:y1(3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2(x1题型精练
解:(1)∵点A(-2,1)在函数y=ax2+bx+1的图象上,
∴1=4a-2b+1,∴b=2a,
∴该函数图象的对称轴为直线x=-=-1.
(2)点B(m,y1),C(m+2,y2)在该函数的图象上,若m>-2,求证:y1(2)证明:由(1)得b=2a,
∴y=ax2+bx+1=ax2+2ax+1.
∵点B(m,y1),C(m+2,y2)在该函数的图象上,
∴y1=am2+2am+1,y2=a(m+2)2+2a(m+2)+1,
∴y2-y1=4am+8a=4a(m+2).
∵m>-2,a>0,
∴4a(m+2)>0,
∴y2-y1>0,即y1(3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标分别为x1,x2(x1(3)由(1)得该函数图象的对称轴为直线x=-1.
∵x1,x2是该函数图象与x轴的两个交点的横坐标,
∴x1+x2=-2.
∵1∴-1<2x2<0,∴-0.5该函数图象如图:
∴当x=-0.5时,y<0,即a-a+1<0,解得a>.(共21张PPT)
第一部分　思想方法专题
思想方法专题(六)　构造法训练　
构造法是一种技巧性很强的解题方法,它能训练思维的创造性和敏捷性.常见的构造形式有:①构造方程;②构造函数;③构造基本图形.
方法解读
1.老师布置的作业中有这样一道题:
D
如图,在△ABC中,D为BC的中点,若AC=3,AD=4,
则AB的长不可能是(　　)
A.5　　　　B.7　　　　C.8　　　　　D.9
图F6-1
甲同学认为AB,AC,AD这三条线段不在同一个三角形中,无法解答,老师给的题目有错误;乙同学认为可以从中点D出发,构造辅助线,利用全等的知识解决;丙同学认为没必要借助全等三角形的知识,只需取AB的中点构造三角形的中位线,就可以解决.关于三位同学的思考过程,你认为正确的是 (　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.乙和丙
[解析]如图①所示,
延长AD到点E,使得DE=AD=4,连结CE.
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中,∵
∴△ABD≌△ECD(SAS).
∴AB=EC.
∵AE-AC∴5如图②所示,取AB的中点F,连结DF.
∵D,F分别为BC,AB的中点,
∴DF是△ABC的中位线,AB=2AF.
∴DF=AC=.
∵AD-DF∴∴5故选D.
2.对于一元二次方程,我国古代数学家还研究过其几何解法.以方程x(x+6)=72为例加以说明.数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是:如图F6-2,将四个长为x+6,宽为x的矩形纸片拼成一个大正方形,则大正方形的边长是x+6+x,面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和,即4×72+62,据此易得x==6.小明用此方法解关于x的方程x(3x-n)=24,其中3x-n>x构造出同样的图形,已知小正方形的面积为4,则n的值为 (　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
C
图F6-2
[解析]由题意可知,将四个长为3x-n,宽为x的矩形纸片拼成一个大正方形,则大正方形的边长是3x-n+x,面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和.
∵x(3x-n)=24,小正方形的面积为4,
∴大正方形的面积为4×24+4=100.
∴大正方形的边长为10.
∴3x-n+x=4x-n=10.∴n=4x-10.
∵小正方形的面积为4,∴小正方形的边长为2.
∵小正方形的边长为10-2x,∴10-2x=2.
∴x=4.∴n=4×4-10=6.
图F6-2
3.小明在求代数式的最小值时,采用如下方法:如图F6-3,在平面直角坐标系中,设M(x,0)为x轴上的一个动点,选取点A(0,1)和B(4,2),根据两点之间的距离公式,得AM=,BM=,通过构造,将求代数式的最小值转化为求AM+BM的最小值.由此小明求出的最小值为　　　　.
5
图F6-3
[解析]的最小值即AM+BM的最小值.如图,作点A关于x轴的对称点C,连结BC交x轴于点M,则此时AM+BM的值最小,且等于BC的长.
∵A(0,1),∴C(0,-1).
∵B(4,2),∴BC==5.
∴AM+BM的最小值为5,
即的最小值为5.
4.如图F6-4,在正方形ABCD中,E,F分别是AD,CD上的点,且AE=CF,连结BE,BF,
EF,G是BE的中点,连结AG并延长,交BF于点K.
(1)∠AKB=　　　　°;
图F6-4
[解析](1)如图①,
在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAE=∠BCD=90°.
在△ABE与△CBF中,∵
∴△ABE≌△CBF(SAS),∴∠2=∠1.
∵∠BAE=90°,G是BE的中点,∴AG=BG=EG,
∴∠2=∠3,∴∠1=∠3.
∵∠1+∠2+∠EBF=90°,∴∠2+∠3+∠EBF=90°.
∵∠2+∠3+∠EBF+∠AKB=180°,∴∠AKB=90°.
90
(2)连结CK,当线段CK取得最小值时,的值为　　　　.
图F6-4
[解析](2)∵∠AKB=90°,
∴点K在以AB为直径的☉O上,如图②,连结OC,交☉O于点K,
则此时CK取得最小值.设OB=a,则CB=2a,OK=a,
∴OC=a,∴CK=(-1)a.
∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD,∴△CFK∽△OBK,
∴-1.
又∵CD=2OB,∴.
注:此题构造了圆.
5.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程,其实配方法还有其他重要应用.
例如:已知x可取任意实数,试求二次三项式x2+2x+3的最小值.
解:x2+2x+3=x2+2x+1+2=(x+1)2+2.
∵无论x取何实数,都有(x+1)2≥0,∴(x+1)2+2≥2,即x2+2x+3的最小值为2.
试利用配方法解决下列问题:
(1)x2-6x+12的最小值为　　　　;
(2)比较代数式3x2-x+2与2x2+3x-6的大小,并说明理由;
(3)如图F6-5,在四边形ABCD中,AC⊥BD.若AC+BD=10,
求四边形ABCD面积的最大值.
图F6-5
(1)x2-6x+12的最小值为　　　　;
[解析]x2-6x+12=(x-3)2+3.
∵无论x取何实数,都有(x-3)2≥0,∴(x-3)2+3≥3,
即x2-6x+12的最小值为3.
故答案为3.
3
(2)比较代数式3x2-x+2与2x2+3x-6的大小,并说明理由;
(2)3x2-x+2>2x2+3x-6.理由:
∵3x2-x+2-(2x2+3x-6)=(x-2)2+4>0,
∴3x2-x+2>2x2+3x-6.
(3)如图F6-5,在四边形ABCD中,AC⊥BD.若AC+BD=10,求四边形ABCD面积的最大值.
图F6-5
(3)∵AC⊥BD,AC+BD=10,
∴S四边形ABCD=AC·BD=-AC2+5AC=-(AC-5)2+,
∴四边形ABCD面积的最大值为.
6.(2024长春)【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题:如图F6-6①,在等边三角形ABC中,AB=3,点M,N分别在边AC,BC上,且AM=CN,试探究线段MN长度的最小值.
【问题分析】小明通过构造平行四边形,将双动点问题转化为单动点问题,再通过定角发现这个动点的运动路径,进而解决上述几何问题.
【问题解决】如图②,过点C,M分别作MN,BC的
平行线,并交于点P,作射线AP.
在【问题呈现】的条件下,回答下列问题:
(1)求证:AM=MP;
(2)∠CAP的大小为　　　　度,线段MN长度的最小值为　　　　.
图F6-6
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图③.小明收集了该房屋的相关数据,并画出了示意图,如图④,△ABC是等腰三角形,四边形BCDE是矩形,AB=AC=CD=2米,∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M在AC上,点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为　　　米.
图F6-6
(1)求证:AM=MP;
解:【问题解决】(1)证明:∵CP∥MN,MP∥NC,
∴四边形CPMN是平行四边形,∴MP=NC.
又∵AM=CN,∴AM=MP.
(2)∠CAP的大小为　　　　度,线段MN长度的最小值为　　　　.
[解析]由(1)知AM=MP,∴∠CAP=∠MPA.
∵MP∥NC,∴∠PMC=∠ACB=60°,
∴∠CAP=∠MPA=30°.
∵四边形CPMN是平行四边形,∴MN=PC.
当PC⊥AP时,PC有最小值,此时PC=AC=.
∴线段MN长度的最小值是.
故答案为30,.
30
　
【方法应用】某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理,如图③.小明收集了该房屋的相关数据,并画出了示意图,如图④,△ABC是等腰三角形,四边形BCDE是矩形,AB=AC=CD=2米,∠ACB=30°.MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳,点M在AC上,点N在DE上.在调整钢丝绳端点位置时,其长度也随之改变,但需始终保持AM=DN.钢丝绳MN长度的最小值为　　　米.
图F6-6
[解析]如图,连结AD,过点M,D分别作ED,MN的平行线,并交于点H,作射线AH,则四边形MNDH是平行四边形,∠HMC=∠ACB=30°,
∴MN=DH,MH=ND.
又∵AM=DN,∴AM=MH,∴∠HAM=∠AHM=15°.
∵∠ACD=∠ACB+∠BCD=30°+90°=120°,AC=CD,
∴∠CAD=30°,∴∠HAD=∠CAD+∠HAM=45°.
易求AD=2,
当DH⊥AH时,DH最小,
此时DH=AD·sin 45°=.
故答案为.(共23张PPT)
第二部分　重难突破专题
重难突破专题(一)　代数推理问题　
代数推理侧重于数与式、方程与不等式、函数等内容的运算、变形、证明,抽象程度较高,并且不同的代数推理中涵盖着不同的推理思想,大致的解题策略如下:
(1)对于“数与式”问题,关键在于能够发现图形或者数字中的规律并将其“符号化”;
(2)对于“方程与不等式”问题,能够进行有效变形,借助消元法简化运算;
(3)对于“函数”问题,能够数形结合,同时结合函数中的对称性、增减性综合进行问题判断和解决.
方法解读
类型一
归纳推理
典题精讲
我国古代数学家杨辉发现了如图Z1-1所示的三角形,我们称之为“杨辉三角”,我们把第2行从左到右第1个数定为a(2,1),第4行从左到右第3个数定为a(4,3).由图我们可以知道:a(2,1)=1,a(4,3)=3,按照图中数据规律,a(8,7)+
a(15,14)的值为 (　　)
A.21 B.22
C.84 D.98
例
1
A
图Z1-1
[解析]“杨辉三角”的规律是每行数字左右对称,由1开始逐渐变大,然后变小到1.第n行的数字有n个,且每个数等于它上方两数之和.
按照“杨辉三角”的数据规律,逐步写出前面几行的数据来推导第8行的数据.
第1行:1.
第2行:1　1.
第3行:1　2　1.
第4行:1　3　3　1.
第5行:1　4　6　4　1.
第6行:1　5　10　10　5　1.
第7行:1　6　15　20　15　6　1.
第8行:1　7　21　35　35　21　7　1.
∴a(8,7)是第8行从左到右数第7个数字,即a(8,7)=7.
观察“杨辉三角”的规律,我们发现,第n行从左到右第(n-1)个数为n-1.a(15,14)是第15行从左到右第14个数,根据上述规律可得a(15,14)=14.
∴a(8,7)+a(15,14)=7+14=21.
1.(2025威海)某广场计划用如图Z1-2①所示的A,B两种瓷砖铺成如图②所示的图案.第一行第一列瓷砖的位置记为(1,1),其右边瓷砖的位置记为(2,1),其上面瓷砖的位置记为(1,2),按照这样的规律,下列说法正确的是(　　)
A.(2024,2025)位置是B种瓷砖
B.(2025,2025)位置是B种瓷砖
C.(2026,2026)位置是A种瓷砖
D.(2025,2026)位置是B种瓷砖
题型精练
B
图Z1-2
[解析]A种瓷砖的位置为(1,2),(1,4),(1,6),…,(2,1),(2,3),(2,5),…,
B种瓷砖的位置为(1,1),(1,3),(1,5),…,(2,2),(2,4),(2,6),…,
∴A种瓷砖的坐标规律为(单数,双数),(双数,单数),B种瓷砖的坐标规律为(单数,单数),(双数,双数),∴(2024,2025)位置是A种瓷砖,故A不符合题意;(2025,2025)位置是B种瓷砖,故B符合题意;(2026,2026)位置是B种瓷砖,故C不符合题意;(2025,2026)位置是A种瓷砖,故D不符合题意.故选B.
2.(2025佛山一模)阅读下面的材料,并完成相应的任务.
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算,它有很强的技巧性.
观察下列各式:
22×28=616;35×35=1225;47×43=2021;51×59=3009;….
我们发现,两位数与相乘,当b+c=10时,有如下速算规律:先将十位数字a与a+1相乘,得到的结果作为积的前两位数字;再将个位数字b与c相乘,得到的结果作为积的后两位数字.若b与c相乘的结果是一位数,则在其前面补0.
(1)请根据上述规律,计算:73×77=　　　　,86×84=　　　　;
(2)这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理.请用所学的知识证明上述阅读材料中的结论.
5621
7224
(2)这种在数与代数领域的推理或证明称为代数推理.请用所学的知识证明上述阅读材料中的结论.
(2)证明:设这两个数为10a+b和10a+(10-b),
则(10a+b)·[10a+(10-b)]
=(10a+b)(10a+10-b)
=100a2+100a-10ab+10ab+10b-b2
=100a2+100a+10b-b2
=100a(a+1)+b(10-b).
类型二
演绎推理
典题精讲
(2025杭州萧山区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点
A(-2,m),B(5,n).若mA.当a>0时,3a+b=0
B.当a>0时,2a+b=0
C.当a<0时,a+b=0
D.当a<0时,a-b=0
例
2
B
[解析]把A(-2,m),B(5,n)分别代入y=ax2+bx+c,得m=4a-2b+c,n=25a+5b+c.
∵m0,∴3a+b>0,∴A选项不符合题意;
由3a+b>0,得b>-3a.
当a<0时,a-b-2a>0,∴C,D选项不符合题意;
当a>0时,2a+b>-a.又∵-a<0,∴2a+b=0是可能的.∴B选项符合题意.
故选B.
(2025重庆)已知整式M:a0+a1x+a2x2+…+anxn,其中a0为自然数,n,a1,a2,…,
an为正整数,且a0+a1+…+an=4.有下列说法:
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式;
②当n=3时,满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1;
③满足条件的所有二次三项式中,当x取任意实数时,其值一定为非负数的整式M共有3个.
其中正确的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
例
3
C
[解析]当n=1时,a0+a1=4,
若a0=0,a1=4,则整式M为4x.若a0>0,则整式M不可能为单项式.
当n>1时,∵a1,a2,…,an为正整数,
∴整式M不可能为单项式,故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式.故①正确;
当n=3时,a0+a1+a2+a3=4,当a0=0时,a1+a2+a3=4,
则a1,a2,a3中有一个可能为2,故会有三种情况,对应的整式M为x+x2+2x3,x+2x2+x3,2x+x2+x3,
当a0=1时,a1+a2+a3=3,则a1=a2=a3=1,
故只有一种情况,对应的整式M为1+x+x2+x3,
当a0>1时,a1+a2+a3<3,与a1,a2,…,an为正整数矛盾,故不存在,
∴当n=3时,满足条件的所有整式M的和为5x3+5x2+5x+1,故②错误.
∵多项式为二次三项式,∴n=2,∴a0+a1+a2=4.
∵多项式为三项式,故a0≠0,当a0=1时,a1+a2=3,则有1+x+2x2,1+2x+x2两种,
∵1+x+2x2=2 (x+)2+>0,1+2x+x2=(x+1)2≥0,∴1+x+2x2,1+2x+x2两种都满足条件;
当a0=2时,a1+a2=2,则有2+x+x2一种,
∵2+x+x2=(x+)2+>0,∴2+x+x2满足条件,
当a0>2时,a1+a2<2,与a1,a2,…,an为正整数矛盾,故不存在,
∴满足条件的所有二次三项式中,当x取任意实数时,其值一定为非负数的整式M共有3个,故③正确.故正确说法的个数是2.
1.已知4x+y=1,且-1题型精练
[解析]∵4x+y=1,∴y=1-4x.
∵-1∴y的取值范围为-7≤y<5.
-7≤y<5
2.在学习过程中,甲同学认为:如果a2=b2,那么a2+b2=2ab;乙同学认为:如果a2+b2
=2ab,那么a2=b2.下列对两位同学说法的判断,正确的是 (　　)
A.仅甲正确 B.仅乙正确
C.甲、乙都正确 D.甲、乙都不正确
[解析]∵a2=b2,∴a2-b2=0,∴(a+b)(a-b)=0,
∴a=±b,则a2+b2=±2ab,故甲同学的说法不正确.
∵a2+b2=2ab,∴a2+b2-2ab=0,∴(a-b)2=0,∴a=b,
∴a2=b2,故乙同学的说法正确.故选B.
B
3.已知2x-y=a2-4a+8,x+y=2a2-2a+1.若x≤y,则a的取值范围是 (　　)
A.a≥- B.a≤-
C.a≥ D.a≤
[解析]由题意,得解得
∵x≤y,∴a2-2a+3≤a2-2,解得a≥.
C
4.(2025杭州钱塘区一模)已知二次函数y=mx2+2(m+1)x+3的图象上有四个点A(a,p),B(b,p),C(c,q),D(d,q),其中pA.若m>1,则a+b+c+d<0
B.若m>1,则dC.若m<-1,则a+b+c+d<0
D.若m<-1,则cD
[解析]二次函数y=mx2+2(m+1)x+3的图象的对称轴为直线
x=-=-=-(1+).
∵A(a,p),B(b,p),C(c,q),D(d,q),
∴点A,B关于对称轴对称,点C,D关于对称轴对称.
当m>1时,抛物线开口向上,对称轴-2根据对称性,得-4<<-2,
∴-8由图①,当C,D两点互换位置后,有d当m<-1时,抛物线开口向下,对称轴-1根据对称性,得-2<<0,
∴-4如图②所示,当m<-1时,c一定不是最小,
故④一定不正确.故选D.
5.(2025舟山定海区一模)已知二次函数y=x2-2mx+m+1.
(1)当m=2时,
①求二次函数图象与x轴的交点坐标;
②若(a,y1),(b,y2)是二次函数图象上的点,且a+b=4,求y1+y2的最小值.
(2)若点C(a+1,p)和D(2m-a,q)在二次函数图象上,且点C在对称轴的左侧,求证:p解:(1)①当m=2时,y=x2-4x+3=(x-1)(x-3).
令y=0,则(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为(1,0),(3,0).
(1)当m=2时,
②若(a,y1),(b,y2)是二次函数图象上的点,且a+b=4,求y1+y2的最小值.
②∵(a,y1),(b,y2)是二次函数y=x2-4x+3图象上的点,
∴y1=a2-4a+3,y2=b2-4b+3.
∴y1+y2=a2-4a+3+b2-4b+3.
∵a+b=4,∴b=4-a.
∴y1+y2=a2-4a+3+(4-a)2-4(4-a)+3=a2-4a+3+16-8a+a2-16+4a+3=2a2-8a+6=2(a-2)2-2.
∵(a-2)2≥0,∴2(a-2)2-2≥-2,即y1+y2的最小值为-2.
(2)若点C(a+1,p)和D(2m-a,q)在二次函数图象上,且点C在对称轴的左侧,求证:
p(2)证明:二次函数y=x2-2mx+m+1的图象的对称轴是直线x=-=m.
∵点C(a+1,p)和D(2m-a,q)在二次函数图象上,
∴p=(a+1)2-2m(a+1)+m+1,q=(2m-a)2-2m(2m-a)+m+1.
∴p-q=(a+1)2-2m(a+1)+m+1-(2m-a)2+2m(2m-a)-m-1=(a+1+2m-a)(a+1-2m+a)-2m(a+1-2m+a)=(1+2m)(2a+1-2m)-2m(2a+1-2m)=(2a+1-2m)(1+2m-2m)=2a+1-2m=2(a-m)+1.
∵点C在对称轴的左侧,∴a+1

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