资源简介

弧长和扇形面积
一、选择题（共8小题）
1．（2024秋 桥西区期末）如图，一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πcm，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点P旋转了（　　）
A．108° B．120° C．135° D．144°
2．（2025 开福区校级二模）如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（　　）
A．4π B．6π C．8π D．16π
3．（2025 广西模拟）中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，慧慧同学制作了一把扇形纸扇（如图）．已知OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°，现需在扇面一面绘制山水画，则山水画所在纸面的面积（单位：cm2）为（　　）
A． B．75π C．125π D．150π
4．（2025 遂平县三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝70°，连接OA，OC，OD，OC＝2，若OD平分∠AOC，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025春 浦东新区校级期中）如图，图中半圆弧长C1与扇形弧长C2的大小关系是（　　）
A．C1＝C2 B．C1＞C2 C．C1＜C2 D．无法确定
6．（2025 金乡县一模）如图，在△ABC中，AB＝2，，AC＝4，将△ABC绕点A旋转至△ADE使得A，B，E共线，则BC边扫过的部分（即阴影部分）面积为（　　）
A． B．2π C． D．
7．（2025 柳州二模）半径为1的圆中，扇形AOB的圆心角为120°，则扇形AOB的面积为（　　）
A． B． C． D．π
8．（2025春 长宁区期末）如果扇形的半径不变，圆心角扩大到原来的2倍，那么扇形的弧长（　　）
A．不变 B．扩大为原来的4倍
C．缩小为原来的一半 D．扩大为原来的2倍
二、填空题（共8小题）
9．（2025 淮阴区校级一模）圆锥的底面半径r为6cm，母线长为8cm，则圆锥的侧面积为 　 　 ．
10．（2025 淮南模拟）如图，正方形ABCD中，，点O为BC的中点，以点O为圆心，AB长为半径画弧，分别交AB，CD于E，F两点，则图中阴影部分的面积为　 　 ．
11．（2025春 徐汇区校级期中）若一个扇形面积是它所在圆的面积的，则这个扇形的圆心角是　 　 度．
12．（2025 浔阳区校级模拟）一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为　 　 ．
13．（2025 深圳模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，，∠AOB的平分线交弧AB于点C，过点C作CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，则图中阴影部分的面积为 　 　 ．
14．（2025春 上海校级期末）已知一条弧所对的圆心角是72°，那么这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为　 　 ．
15．（2025春 徐汇区校级期末）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的度数为　 　 ．
16．（2025 潞州区模拟）公元前四世纪，希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题：如图，AB为⊙O的直径，过圆心O作OC⊥AB，交⊙O于点C，以C为圆心，CA为半径作，若S阴＝4cm2，则S△ABC＝　 　 cm2．
三、解答题（共5小题）
17．（2024秋 梁溪区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD＝2，∠CAD＝45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求阴影部分的面积．
18．（2025春 浦东新区校级期中）如图所示，已知扇形AOB，OB＝10，∠AOB＝90°，以OB为直径画半圆，点C为弧AB上一动点（不与点A与点C重合），联结OC．
（1）①若∠COB＝45°，求以OB为直径的半圆面积及扇形COB的面积；（结果保留π）②填空：阴影甲的面积与阴影乙的面积大小比较：　 　 ．
（A）甲的面积大
（B）乙的面积大
（C）相等
（D）无法比较
（2）若阴影甲的面积比阴影乙的面积大5π，求弧AC与弧CB的比值．
19．（2025 钱塘区一模）如图，在⊙O中，已知弦AC，BD相交于点E，连结AD，AC＝BD．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AC⊥BD，⊙O的半径为4，求的长．
20．（2025 福州模拟）如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O交BC边于点D，交CA的延长线于点E，且∠C＝∠E．
（1）求证：BD＝CD．
（2）若AC＝4，，求阴影部分的面积．
21．（2025春 宝山区校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，连接AC，并以CD为直径画半圆，求阴影部分的面积．（结果保留π）
参考答案
一、选择题（共8小题）
1．【答案】D
根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数．
【解答】解：∵半径为5cm的定滑轮带动重物上升了4πcm，
根据弧长公式得：
，
整理得，5n＝720，
解得n＝144°．
综上所述，滑轮上某一点P旋转了144°．
故选：D．
2．【答案】B
根据圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为圆锥底面圆的半径为3，
所以圆锥底面圆的周长为：2×π×3＝6π，
则圆锥的侧面展开图中的长为6π．
故选：B．
3．【答案】C
将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题．
【解答】解：∵OA＝20cm，OB＝5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC＝120°，
∴，
，
∴山水画所在纸面的面积为：．
故选：C．
4．【答案】A
根据圆周角定理以及角平分线的定义求出阴影部分扇形的圆心角度数，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵∠B＝70°，
∴∠AOC＝2∠B＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠COD∠AOC＝70°，
∴S扇形．
故选：A．
5．【答案】A
根据圆的周长公式作答即可．
【解答】解：当图形为正方形时，
设正方形的边长为r，
则半圆弧长，扇形弧长，
∴C1＝C2；
故选：A．
6．【答案】B
根据旋转的性质以及直角三角形的判定和性质得出△ABC是直角三角形，∠BAC＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，再根据S阴影部分＝S扇形ACE﹣S扇形ABD，由扇形面积的计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵AB＝2，BC＝2，AC＝4，
∴AB2+BC2＝4+12＝16＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，
∵sin∠BAC，
∴∠BAC＝60°，由旋转的性质可知，∠BAC＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，
∴S阴影部分＝S扇形ACE+S△ADE﹣S△ABC﹣S扇形ABD
＝S扇形ACE﹣S扇形ABD
＝2π．
故选：B．
7．【答案】B
根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：扇形AOB的面积，
故选：B．
8．【答案】D
根据弧长公式可得弧长，当圆心角扩大为原来的2倍，则弧长扩大为原来的2倍，即可求解．
【解答】解：由弧长公式可知：
如果扇形的半径不变，当圆心角扩大为原来的2倍，则弧长为，
∴扇形的弧长扩大为原来的2倍，
故选：D．
二、填空题（共8小题）
9．【答案】48π．
根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：圆锥的侧面积48π，
故答案为：48π．
10．【答案】．
连接OE，OF，过点O作OG⊥AD于点G，根据矩形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的应用，扇形面积公式，勾股定理解答即可．
【解答】解：连接OE，OF，过点O作OG⊥AD于点G，
由条件可知，，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，，
∴四边形ABOG是矩形，
∴AB＝OG，
∴⊙O与AD切于点G，
∵，
∴∠BEO＝∠CFO＝30°，
∴∠BOE＝∠EOF＝∠FOC＝60°，
∴
，
故答案为：．
11．【答案】140．
根据扇形的面积是它所在圆的面积的，可得这个扇形的圆心角占周角的，从而求出结论．
【解答】解：由条件可知这个扇形的圆心角是，
故答案为：140．
12．【答案】见试题解答内容
根据已知的扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，代入弧长公式即可求出半径r．
【解答】解：由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，
即n＝60°，l＝2π，
根据弧长公式l，
得2π，
即r＝6cm．
故答案为：6cm．
13．【答案】见试题解答内容
用扇形的面积减去矩形的面积即可求得答案．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，
∴∠EOC＝∠FOC＝45°，
∵CE⊥OA于点E，CF⊥OB于点F，
∴∠ECO＝∠FCO＝45°，
∴OE＝CE＝OF＝CF，
∴四边形OFCE是正方形，
∵OC＝OA＝4，
∴OE＝OF＝4，
∴S阴影＝S扇形OAB﹣S正方形OFCE16＝8π﹣16，
故答案为：8π﹣16．
14．【答案】．
根据弧长公式以及圆的周长公式列式化简即可．
【解答】解：设这条弧所在圆的半径为r，
则这条弧长为，这条弧所在圆的周长为2πr，
所以这条弧长与这条弧所在圆的周长之比为：2πr．
故选：．
15．【答案】30°．
直接利用扇形弧长公式代入求出即可．
【解答】解：由条件可知，即，
解得n＝30°，
∴此扇形所对的圆心角为：30°．
故答案为：30°．
16．【答案】见试题解答内容
设⊙O的半径为r，则，根据，即，求r2，然后代入求面积即可．
【解答】解：由题意知，∠ACB＝90°，设⊙O的半径为r，则，
∴，即，
解得r2＝4，
∴，
故答案为：4．
三、解答题（共5小题）
17．【答案】见试题解答内容
（1）连接OC，OD，由圆周角定理得∠COD＝2∠CAD＝90°，进而利用勾股定理即可得解；
（2）利用S阴＝S扇形﹣S△COD求解即可．
【解答】解：（1）连接OC，OD，如图，
∵∠CAD＝45°，
∴根据圆周角定理得，∠COD＝2∠CAD＝90°，
∴根据勾股定理得，OC2+OD2＝CD2，
∵OC＝OD，，
∴2OC2＝8，
∴OC＝OD＝2，即⊙O的半径为2；
（2）由（1）得∠COD＝90°，OC＝OD＝2，
∴OC⊥OD，
∴S阴＝S扇形﹣S△COD
＝π﹣2，
答：阴影部分的面积为π﹣2．
18．【答案】（1）①，；②C；
（2）．
（1）根据扇形面积公式即可求出结果；观察图形可得观察图形可知：阴影甲的面积，阴影乙的面积，进而可得结果；
（2）设∠COB＝n°，则∠AOC＝90°﹣n°，根据S甲﹣5π＝S乙，求出n＝27，得到∠BOC＝27°，∠AOC＝63°，再求出，即可解答．
【解答】解：（1）①∵OB＝10，∠COB＝45°，
∴，
；
②如图：
观察图形可知：阴影甲的面积，
阴影乙的面积，
∴阴影甲的面积＝阴影乙的面积；
故选：C．
（2）设∠COB＝n°，则∠AOC＝90°﹣n°，
∵S甲﹣5π＝S乙，
∴S半圆﹣S丙﹣5π＝S扇形OBC﹣S丙，
∴，
∴n＝27，
∴∠BOC＝27°，则∠AOC＝63°，
∵，
∴弧AC与弧CB的比值为．
19．【答案】（1）见解析；
（2）2π．
（1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出，根据圆周角定理证明即可；
（2）根据圆周角定理求出∠COD，根据弧长公式计算得到答案．
【解答】（1）证明：∵AC＝BD，
∴，
∴，
∴，
∴∠A＝∠D；
（2）解：连接OC，OD，
∵AC⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠A＝∠ADE＝45°，
∴∠COD＝2∠A＝90°，
∵⊙O的半径为4，
∴的长为2π．
20．【答案】（1）见证明；
（2）π．
（1）利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可；
（2）连接OD、OE，根据题意求得∠B＝30°，即可求得∠B＝∠C＝30°，得到∠OAE＝60°，证得△AOE是等边三角形，然后利用S阴影＝S扇形OAE﹣S△OAE求得即可．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
又∵∠E＝∠B，∠C＝∠E，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∴BD＝CD；
（2）解：连接OD、OE，
∵，
∴∠BOD＝2∠AOD＝120°，
∴∠AOD＝60°，
∴∠B＝30°，
∵∠B＝∠C＝30°，
∴∠OAE＝60°，
∵OA＝OE，
∴△AOE是等边三角形，
∵AB＝AC＝4，
∴OA＝OE＝AE＝2，
∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△OAEπ．
21．【答案】．
根据全等三角形的判定与性质、扇形面积公式计算即可．
【解答】解：如图．
在Rt△AEF与Rt△COF中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△COF（AAS），
∴SRt△AEF＝SRt△COF，
∴S阴影＝S扇形COEπ×12．

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