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浙教版2024 八年级下册
第一章 二次根式
单元测试·提高卷分析
一、试题难度
三、知识点分布
一、单选题 1 0.9 二次根式的识别
2 0.85 二次根式有意义的条件
3 0.85 求二次根式中的参数
4 0.75 利用二次根式的性质化简；二次根式的加减运算
5 0.65 无理数的大小估算；二次根式的乘除混合运算
6 0.65 同底数幂的除法运算；分式乘方；二次根式的除法；二次根式的加减运算
7 0.65 无理数整数部分的有关计算；利用算术平方根的非负性解题；二次根式的乘法
8 0.65 求一个数的算术平方根；利用二次根式的性质化简
9 0.65 求最短路径(勾股定理的应用)；化为最简二次根式
10 0.65 有理数的乘方运算；已知字母的值 ，求代数式的值；二次根式的应用；求一个数的算术平方根
三、知识点分布
二、填空题 11 0.85 二次根式有意义的条件；求不等式组的解集；分式有意义的条件
12 0.4 最简二次根式的判断；已知最简二次根式求参数；同类二次根式
13 0.65 二次根式有意义的条件；已知最简二次根式求参数
14 0.65 二次根式的应用
15 0.65 二次根式的乘除混合运算
16 0.65 求二次根式的值；数字类规律探索
三、知识点分布
三、解答题 17 0.85 二次根式有意义的条件；求一个数的平方根；求不等式组的解集；分式有意义的条件
18 0.85 二次根式有意义的条件；求一个数的立方根；求不等式组的解集
19 0.75 零指数幂；负整数指数幂；利用二次根式的性质化简；求一个数的立方根
20 0.65 二次根式的应用；二次根式的乘除混合运算；利用平方根解方程
21 0.65 运用完全平方公式进行运算；利用二次根式的性质化简；复合二次根式的化简
22 0.65 利用二次根式的性质化简
23 0.65 求旗杆高度(勾股定理的应用)；化为最简二次根式
24 0.4 二次根式的应用；利用二次根式的性质化简2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·提高卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列式子中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（ ）
A．16 B．21 C．27 D．32
4．下列选项计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
6．下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知x，y满足等式，m是的小数部分，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
8．下列等式：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，一根圆柱形空心塑料管外表面距离左侧管口cm的点处有一只小瓢虫，它要爬行到塑料管外表面与点相对且距离右侧管口cm的点处觅食，已知塑料管横截面的周长为cm，长为cm，则小瓢虫需要爬行的最短距离是（ ）
A． B．10cm C．15cm D．25cm
10．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了下面的公式：如果一个三角形的三边长分别为 a，b，c，则该三角形的面积为．已知 的三边长 a，b，c分别为 2，，4，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围为__________．
12．若最简二次根式与可以合并，则__________．
13．已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______．
14．汉族传统的扇文化起源于远古时代，扇子的分类多种多样．如图扇子的扇面分别为长方形和圆形，若两种扇面的面积相等，其中长方形扇面的长为，宽为，则圆形扇面的周长为__________．
15．人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚的优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设，得，记，……，．则________．
16．将按如图所示方式排列，若规定表示第排从左往右第个数，则表示的数是______________
三、解答题（第 17，18，19，20，21 ，22题每题 10分，第 23题每题 12 分，共 72 分）
17．已知，且，为实数，试求的平方根．
18．已知实数x，y满足，求的立方根．
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，有一块面积为300平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为．
(1)求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）．
(2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为32平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积．
21．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
【类比归纳】
（1）填空： ， ．
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
（3）化简：（请写出化简过程）．
22．明明根据学习“数与式”的经验，想通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律，以下是明明的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律
特例1：；
特例2：；
特例3：；
特例4：_______（举一个符合上述运算特征的例子）；
(2)观察归纳，得出猜想
如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：_______；
(3)证明猜想，确认正确．
23．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为8米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为16米．
(1)求旗杆的高度；
(2)小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留1位小数）
24．【阅读下列材料】：
若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）
【例】：若，，，求的最小值．
解：∵，，
∴，
∴．
∴时，的最小值为8
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
(2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．2025—2026学年八年级数学下学期单元测试卷
第一章 二次根式 单元测试·提高卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B D A D C A A B
1．A
根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，且被开方数为非负数，逐一验证选项即可．
解：A选项：的根指数为2，被开方数，满足二次根式定义，一定是二次根式；
B选项：的被开方数，式子无意义，不是二次根式；
C选项：的根指数为3，不是二次根式；
D选项：当时，无意义，不一定是二次根式．
2．C
本题根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可得到x的取值范围．
解：∵二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，
∴二次根式中，被开方数满足，
解不等式得．
3．B
把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答．
解：，
∵是整数，且n是正整数，
∴正整数的最小值是21．
4．D
本题需根据二次根式的性质、同类二次根式的概念及根式化简规则，逐一判断各选项的计算是否正确．
解：A、，该选项不符合题意；
B、与不是同类二次根式，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，该选项符合题意；
5．A
本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可．
解：
，
，
，即，
的值应在4和5之间．
故选：A．
6．D
本题考查了二次根式的运算、分式的乘方及同底数幂的除法法则，需根据各运算法则逐一判断选项的正误即可．
解：∵与不是同类二次根式，不能合并，
∴A选项错误；
∵===2≠，
∴B选项错误；
∵=≠，
∴C选项错误；
∵==，
∴D选项正确；
故选：D．
7．C
利用算术平方根的非负性求出x、y值，估算的取值范围求得m值，进而可求解．
解：x，y满足等式，，，
∴，，
解得，，
∵m是的小数部分，，
∴，
∴．
8．A
本题考查算术平方根的定义及性质，需逐个验证每个等式是否符合算术平方根的计算规则，统计正确等式的个数来确定答案.
∵，∴①错误；
∵（算术平方根为非负数），∴②错误；
∵，∴③正确；
∵，∴④错误；
综上，正确的等式只有1个，
故选：A.
9．A
本题考查了勾股定理、圆柱的侧面展开图，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
根据题意先画出圆柱的侧面展开图，再利用勾股定理即可求解．
解：如图，将圆柱体的侧面展开，过点作于点，连接，
由题意得，，
∵塑料管的横截面的周长为，
∴，
∴，
∴小瓢虫需要爬行的最短距离是．
故选：A．
10．B
本题考查了代数式求值，熟练掌握平方与开平方的计算方法是解题关键．
把的值代入所给公式即可求解．
解：将代入公式得，
．
故选：B．
11．
根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数为非负数求解即可．
解：要使代数式在实数范围内有意义，则，
所以．
12．9
本题考查了最简二次根式，同类二次根式，解二元一次方程组，掌握最简二次根式的定义，同类二次根式的定义是解题的关键．
由于两个根式都是最简二次根式且可以合并，因此它们的根指数相同且被开方数相等，列方程组，进行求解即可．
解：由题意，得
解得
∴．
故答案为：．
13．答案不唯一
本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答．
解：是最简二次根式，
∴，解得：，
整数的值可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
14．
本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握对应图形面积公式及周长公式是解题的关键．先利用长方形扇面的长和宽求出面积，设圆形扇面半径为，根据两种扇面的面积相等，求出半径，最后代入圆的周长公式求解即可．
解：由题可得，
长方形扇面的面积，
设圆形扇面半径为，
因为两种扇面的面积相等，
根据圆的面积公式，
解得（负值舍去），
因此圆形扇面的周长．
故答案为：．
15．15
本题考查的是数字的变化规律，以及二次根式的混合运算，根据，，可计算出，因此．
解：∵，，
，
，
故答案为：15．
16．
根据数的排列方法可知，第一排：个数，第二排个数．第三排个数，第四排个数，…第排有个数，从第一排到排共有：…个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第排第个数到底是哪个数后再计算．
解：表示第排从左向右第个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是，
，
，
则所表示的数是，
故答案为．
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．
17．
本题考查了二次根式和分式有意义的条件，平方根，根据二次根式和分式有意义的条件得出，的值，代入求值，再由平方根定义即可求解，解题关键是熟练运用二次根式和分式有意义的条件确定字母的值，准确运用平方根的意义求解．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平方根为．
18．4
先利用二次根式有意义的条件，求出x的值，代入后求y的值，然后求出的值，最后求出其立方根．
解：∵有意义，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵64的立方根为，
∴的立方根为4．
19．(1)3
(2)
（1）先根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式的性质计算，再进行加减计算．
（2）先根据乘方、立方根、绝对值、二次根式的性质计算，然后再计算加减运算．
（1）解：
．
（2）解：
．
20．(1)长方形铁皮的长为分米，宽为分米
(2)长方体铁皮盒子的体积为立方分米
本题考查利用平方根解方程，二次根式混合计算等．
（1）根据题意设长方形铁皮的长为分米，则宽为分米，再列式计算后即可求出本题答案；
（2）先求出正方形的边长为分米，再利用长方体体积公式计算即可求出本题答案．
（1）解：设长方形铁皮的长为分米，则宽为分米．
根据题意可得．
即．
，
，
．
长方形铁皮的长为分米，宽为分米；
（2）解：正方形的面积为32平方分米，
正方形的边长为分米．
∴长方体体积，
，
，
答：长方体铁皮盒子的体积为立方分米．
21．
（1），；
（2）；
（3）.
（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
（1）解：；
；
（2）解：
；
（3）解：
．
22．(1)
(2)
(3)见解析
本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
（1）根据前三个特例的表述及计算规律，即可写出答案；
（2）找出前四个特例的表述及计算规律，即可写出答案；
（3）根据二次根式的性质即可证明结论．
（1）解：特例4：；
故答案为：；
（2）解：特例1：；
特例2：；
特例3：；
特例4：；
根据以上各式的规律，可得：；
故答案为：；
（3）证明：是正整数，
，
．
23．(1)旗杆的高度为12米
(2)小明需要后退约米
本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟知勾股定理是解题的关键．
（1）设旗杆的高度为x米，则米，由勾股定理可得，解方程即可得到答案；
（2）过E作于点G，可证明，，米，，利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案．
（1）解：设旗杆的高度为x米，则米，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
答：旗杆的高度为12米；
（2）解：如图，过E作于点G，
由题意得，，
∴，
又∵，
∴，
米，，
（米），
由（1）可知，（米），
在中，由勾股定理得（米），
米，
米米，
答：小明需要后退约米．
24．(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米
(2)
本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．
（1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可；
（2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．
（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为，
∴或（舍去），
∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
（2）解：设的面积为a，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积：，
∵，
∴当，即时，四边形的面积的最小值为：．

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