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八下第一章：二次根式培优训练试题
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．使有意义的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．全体实数
2．有下列二次根式：①；②；③；④．其中是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知，则的值为（
A． B． C．3 D．
4．已知，，则的值为（ ）．
A． B．5 C． D．
5．在根式①；②；③；④；⑤中的最简二次根式的个数（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．若与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．已知，则值为（ ）
A． B． C． D．
8.已知，则代数式的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则的值为（　　）
A．2026 B．2033 C． D．
10.如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11．已知是整数，则满足条件的最小正整数
12．若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则
13．已知则a，b，c的大小关系是________
14.计算：若，则代数式
15.设，其中为正整数，则的值为 ．
16．已知若都是实数，且为正整数，且，，则
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）计算下列各式：
(1)； (2)．
18.（本题6分）(1)已知，则的值为______；
(2)若x，y为实数，且，求的值．
19.（本题8分）请认真阅读下列这道例题的解法．例：若，为实数，且，化简：．
(1)解：由解得，，
(2)已知，求的值．
20．（本题8分）（1）若实数x，y满足，求的值．
下面是小明的部分解题过程：
解：若想使该式子有意义，则需要同时满足，且，则…
请你将上述过程补充完整；
（2）已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
21．（本题10分）观察下列一组等式，解答后面的问题：
，
．
(1)化简：_______，______（n为正整数）
(2)比较大小：_______（填“”，“”或“”）
(3)请根据上面的结论，找规律，计算下列算式的结果：
22．（本题10分）某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得．
(1)如图1，请计算人工湖两端点之间的距离；（结果保留根号）
(2)如果最后一名同学所站的点处恰好到点和点距离相等，如图2，请计算两点间的距离．
23.（本题12分）如图1，点A的坐标为(a，2)，点B的坐标为(b，0)，且a，b满足点C在y轴负半轴上，AC交x轴于点E，点D在x轴正半轴上，且AC⊥AD．
（1）判断△OAB的形状，并说明理由．
（2）探究线段OC，OD，OA之间的数量关系并证明．
（3）如图2，点F在x轴负半轴上，∠FAC＝45°，探究BE，EF，OF之间的数量关系并证明．
24.（本题12分）一数学兴趣小组探究勾股定理在折叠中的应用，如图，将一张长方形纸片ABCD放在平面直角坐标系中， 点A与原点O重合， 顶点 B、D分别在x轴、y轴上，AB=8,AD=6，P为边CD上一动点，连接BP，将△BCP沿BP折叠，点C落在点处．
(1)如图1， 连接BD， 当点在线段BD上时， 求
(2)在（1）的条件下，求点 P 的坐标．
(3)如图2，当点P与点 D 重合时， 沿BD将△BCD折叠得，与x轴交于点E，求△CDE的面积．
(4)是否存在点 P，使得点到长方形的两条较长边的距离之比为？若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
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八下第一章：二次根式培优训练试题答案
一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.答案：B
解析：∵式子有意义，
∴，
∴，
故选择：B．
2.答案：B
解析：根据最简二次根式的定义分析各根式：
①： ，被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意；
②：被开方数不含分母，且和都不能开得尽方，符合最简二次根式的条件，符合题意；
③：被开方数不含分母，且无法分解出能开得尽方的因式，符合最简二次根式的条件，符合题意；
④：被开方数含分母，不符合最简二次根式的条件，不符合题意．
综上，是最简二次根式的有②③，共个．
故选择：B．
3.答案：A
解析：∵ ，
∴，，
解得，，
∴ ，
故选择：A．
4.答案：C
解析：，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
故选择：C．
5.答案：C
解析： ①，含平方因数9，不是最简二次根式；
② ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③ ，被开方数无分母且无平方因数，是最简二次根式；
④ ，含平方因数9，不是最简二次根式；
⑤ ，不能简化，是最简二次根式；
∴最简二次根式有③和⑤，共2个，
故选择：C．
6.答案：B
解析：由题意知，，
∴，
解得，，
故选择：B．
7.答案：A
解析：∵，
∴且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴值为．
故选择：A．
8.答案：C
解析：∵，
∴，
∴
．
故选择：C．
9.答案：D
解析：∵
设：
故选择：D
10.答案：C
解析：∵如图②，，，
∴，
∵现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，
∴能裁剪的纸条的条数为（条），，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
同理可得：另两条纸条的长分别为，，
∴长方形纸条的总长度为，
如图③，用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），
∴，，
∴，
∴正方形美术作品的面积为，
故选择：C．
二．填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.答案：1
解析：∵是整数，
∴是完全平方数，
∴满足条件的最小正整数的值为1，此时，满足条件．
故答案为：1
12.答案：5
解析：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，
∴，，
解得：，，
此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。
∴，
故答案为：5；
13.答案：
解析：∵
故答案为：
14.答案：
解析：当时，
．
故答案为：．
15.答案：
解析：，，
……
，
．
故答案为：．
16.答案：
解析：设，
∴
，
∵为正整数，且，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，
∴
，
∵为正整数且，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，．
∴．
∴
，
故答案为：．
三．解答题（共8题，共72分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.解析：（1）原式
；
（2）解：原式
．
18.解析：（1），
∴，，
解得：，，
那么，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，，
则，
那么，
则或，
那么或，
即的值是7或3．
19.解析：（1）由，
解得：，
∵
．
；
故答案为：3，1，
（2）解：∵
由：，
解得：，
∵
∴
，
．
20.解析：由题意得，，且，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，且，
∴，
∴；
∵a，b分别为等腰三角形的两条边长，
∴①是底，则腰为．
，
∴3，5，5能组成三角形，
∴此三角形的周长为．
②是底，则腰为．
，
∴3，3，5能组成三角形，
∴此三角形的周长为．
综上所述，三角形的周长为11或13．
21.解析：；
；
（2）解：由（1）可得，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴
22.解析（1）连接，过点作，则由题意，可知：，
∴，
在中，由勾股定理，得：；
答：人工湖两端点之间的距离为；
（2）设，则：，
在中，，
在中，，
由题意，得：，
∴，
∴，
∴；
∴
答：两点间的距离为．
23.解析：（1）结论：△OAB是等腰直角三角形
理由：∵ ，
∴a-2=0，b-4=0，解得a=2，b=4，
∴点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（4，0），
∴OB=4，
∴OA=AB，
∴OA2+AB2=()2+()2=16=42=OB2，
∴△OAB是等腰直角三角形；
（2）结论：OD=OC+OA
理由：∵△OAB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠ABO=45°，∠OAB=90°，
∴∠AOC=∠ABD=135°，
∵AC⊥AD，
∴∠COD=90°，
∴∠OAC=90°-∠CAB=∠BAD，
在△AOC和△ABD中，
∴△AOC≌△ABD（ASA），
∴OC=BD，
∴OD=BD+OB=OC+OB，
∴，
∴OD=OC+OA
（3）OF2+BE2=EF2
理由如下：
过A作AG⊥AC交y轴于G，连接FG，如图：
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠AOB=∠ABO=45°，∠OAB=90°，
∴∠AOG=45°=∠ABO，
∵AG⊥AC，
∴∠OAG=90°-∠OAC=∠BAE，
在△AGO和△AEB中，
∴△AGO≌△AEB（ASA），
∴OG=BE，AG=AE，
Rt△GOF中，∵OF2+OG2=FG2，
∴OF2+BE2=FG2，
∵∠FAC=45°，
∴∠FAC=∠GAF=45°，
在△FGA和△FEA中，
∴△AFG≌△AFE（SAS），
∴FG=EF，
∴OF2+BE2=EF2
24.解析：(1)∵
∵将△BCP沿BP折叠，点C落在点处，
故答案为：4；
（2）解：由（1）知：
设
解得，
，
，
∴点P的坐标为；
（3）解：∵，
∴，
∵沿BD将△BCD折叠得，
,
∴DE=BE，
设则
∴在中，,
∴，
解得，
∴，
∴△ODE的面积
（4）解：如图所示，过点作交CD于点E，交AB于点F，
∵，
∴，
∴四边形ADEF是长方形，
∴EF=AD=6，
①当点在AB的上方时，
若，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
若，
∴，
由折叠得，，
∴，
∴，
∴设，则，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
当点在AB的下方时，如图，过点作交CD于点E，交AB于点F，
则，
若，则，
∴，
∴，
∵，
∴四边形CEFB是矩形，
∴
设，则，
在中，由勾股定理得：
解得：，
∴，
∴；
综上所述，点P的坐标为或或．
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